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垂线

时间:2013-10-14


在相交线的模型中, 固定木条a,转动木 b 条b,

b

b

b

b

α

α )
a

当b的位置变化 时,a、b所成的角 α也会发生变化.

? 看书39到40页一半,以小组为单位进行 汇报所得。

? 学习目标:1.什么是垂直?什么是垂足? ? 2.已知两条直线垂直,可以得到什么结 论? ? 3.由什么条件可以证明两条直线垂直? ? 4.生活中有哪些垂直的实例,举例说明。

在相交线的模型中,固 定木条a,转动木条b,
当b的位置变化时,a、 b b所成的角α也会发生 变化. 当α =90°时,a与b垂直. 当α ≠90°时,a与b 不垂直,叫斜交.
斜交 两条直线相交 垂直
b b

b

b

α

α )
a

垂直是相交 的特殊情况

一、垂直的定义
1.垂直定义:当两条直线相交所成的四 个角中,有一个角是直角时,这两条直 线互相垂直,其中一条直线叫另一条直 线的垂线,它们的交点叫垂足。 a 如图,a、b互相垂直,O叫垂 O 足.a叫b的垂线,b也叫a的垂线。
b

从垂直的定义可知,判断两条直线互相 垂直的关键:只要找到两条直线相交时 四个交角中一个角是直角。

2.垂直的表示:用“⊥”和直线字母

表示垂直 如图,a、b互相垂直, 垂足为O,则记为: a⊥b或b⊥a, 若要强调垂足,则记为: a⊥b, 垂足为O.
a
α

b

O

3.垂直的书写形式:

如图,当直线AB与CD相 交于O点,∠AOD=90° 你可得出什么结论呢?

A O

D

书写 ∵∠AOD=90°(已知) C ∴AB⊥CD(垂直的定义) 形式:
反之,若直线AB与CD垂直,垂足为O, 那么,你又可得出什么结论呢? 书写形式: ∵ AB⊥CD (已知) ∴ ∠AOD=90° (垂直的定义) 应用垂直的定义: ∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°

B

生活中的垂直

看谁做得快
1.若直线m、n相交于点O,

∠1=90°,则__________。 m⊥n
2.若直线AB、CD相交于点O, 3.如图,BO⊥AO,∠BOC 与∠BOA的度数之比为1:5,
B

m
1

O

n

且AB⊥CD,那么∠BOD=____。 90°
C

那么∠COA=_____, 75°
∠BOC的补角为______度。 165
O A

练习:

1. 如图,直线AB、CD相交于 点O,OE⊥AB,∠1=120°, E C 求∠COE的度数.
A 1 O D B

如图 ,已知AB. CD相交于O, OE⊥CD于O,∠AOC=36°,则 ∠BOE= 54° (A)36° (B) 64°

(C)144°
O A

D

(D) 54°
B

C

E

选择题

巩固练习

1.下面四种判断两条直线垂直的方法 正确的有___个 (1)两条直线相交所成的四个角中有一 个角是直角,则这两条直线互相垂直. (2)两条直线相交,有一组邻补角相等 ,则这两条直线互相垂直. (3)两条直线相交,所成的四个角相等 ,这两条直线互相垂直. (4)两条直线相交,有一组对顶角互补 ,则这两条直线互相垂直.

选择题

巩固练习

2.两条直线相交所成的四个角中,下 列条件中能判定两条直线垂直的是 [ C ] A有两个角相等 B.有两对角相等 C.有三个角相等 D有四对邻补角 3.两个角的平分线相互垂直的 有 [ D ] A.两角互补; B.两角互为对顶角; C.两角都是直角; D.两角为邻补角

? 垂线的画法
? (1)用三角尺画已知直线L的垂

线,这样的垂线能画出几条?
? (2)经过直线L上一点A画L的垂 线,这样的垂线能画出几条?

? (3)经过直线L外一点B画L的垂
线,这样的垂线能画出几条?

1.垂线的画法: 工具:直尺、三角板 如图,已知直线 l,作l的垂 线。 A 问题: 这样画l的垂 l 线可以画几 O 条?无数条
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Cm

1放、 2靠、 3画线、

孝感市文昌中学学生专用尺

1.垂线的画法:

如图,已知直线 作l的垂线.
B

l 和l 上的一点A ,
则所画直线AB 是过点A的直线l的 垂线.

A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

l

1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
11

2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在 直尺上; 3移:移动三角板到已知点; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm

1.垂线的画法: 如图,已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线. 则所画直线AB A 请同学们 是过点A的直线l的 画一下 垂线.

B
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

l

1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直 3移:移动三角板到已知点; 尺上; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
11

孝感市文昌中学学生专用尺

Cm

m和m上(或外)的一 点A ,作m的垂线,可以作几条?
问题:过已知直线

能作一条,而且只能作一条.
结论:

过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直.

线段、射线的垂线应怎么画呢?

P

Q

A

B

O

A

注意: 过一点画已知线段(或射线) 的垂线,就是画这条线段(或射线)所 在直线的垂线.

课堂练习: 过点P作线段或射线所在直线的垂线
.
B O

. A

.P
.

.P

.A

(1)
(2)

过点P分别向角的两边作垂线
.P

.P

.P

.P

1、如图,分别过A、B、C作 BC、AC、AB的垂线。 F
A D C

B
E

解:如图、直线AD⊥BC于D、直线BE⊥AC于E、 直线CF⊥AB于F

?连接直线L外 一点P与直线L 上各点 ,这些 线段中,哪一 A 条最短?

P

B

C

D

m

连接直线外一点与直线上各点的 所有线段中,垂线段最短。
简单说成:垂线段最短. 垂线段最短 垂线段的长度 直线外一点到这条直线的垂线段的长 度,叫做点到直线的距离。

例3、如图,点M、N分别在直线AB、CD 上,用三角板画图, 1)过M点画CD的垂线交CD于F点, MN 2)M点和N点的距离是线段____的长, 3)M点到CD的距离是线段____的长。 MF M A B ∴直线MF为所 求垂线。 D F C N

在△ABC中,∠ABC=90° ,①过点B 作三角形ABC的AC边上的高BD,过D点 作三角形ABD的AB边上的高DE。

②点A到直线BC的距离是线段 的长度.

点B到直线AC的距离是线段
点D到直线AB的距离是线段 线段AD的长度是点

的长度.
的长度

到直线 的距离.

拓展应用1

如图:在铁路旁边有 一张庄,现在要建一 火车站,为了使张庄 人乘火车最方便(即 距离最近),请你在 铁路上选一点来建火 车站,并说明理由。

张庄

N

垂线段最短

1、点A处是一座小屋,BC A 是一条公路,一人在O处。 (1)此人到小屋去,怎样走最近? 为什么? (2)此人要到公路去,怎样走 最近?为什么? A 2、下列说法正确的是( )


O


D

(A)线段AB叫做点B到直线AC的距 B 离。 (B)线段AB的长度叫做点A到直线

C

(C)线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离 AC的距离 (D)线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离

选择题:

2.如图, AC⊥BC, ∠C=900 ,线段 AC、BC、CD中最短的是( C ) (A) AC (B) BC (D) 不能确定
C

(C) CD

A

D

B

想一想: 已知: 如图AD<AE <AC<AB 能说AD的长是A到BC的 A 距离吗?

答:不能。
B D EC

如图2-22,AC⊥BC于C,CD⊥AB 于D,DE⊥BC于E.试比较四条线 段AC,CD,DE和AB的大小
解:∵ AC⊥BC于C,(已知) ∴ AC<AB.(垂线段最短) 又∵ CD⊥AD于D,(已知) ∴ CD<AC.(垂线段最短) ∵ DE⊥CE于E,(已知) ∴ DE<CD.(垂线段最短) ∴ AB>AC>CD>DE.

2、如图,∠ABC=90° ,∠1=60° ,过B作 AC的垂线BO,垂足是O,过O作BC的垂线, 垂足是D,若∠1= ∠2,求∠ABO, ∠BOD.
解: ∵∠ABC=90°( 已知) A ∠1=60°(已知 ) ∴∠ABO=30° (互余的定义) ∵BO ⊥AC于O点 (已知) 1 ) ∴∠BOC=90°(垂直的定义) B 又∵∠2=∠1 (已知) ∴∠2=60° (等量代换) (互余的定义) ∴∠BOD=30°

O 2

D

C

小结
回忆两条直线相交这部分知识,并问:你们能够 把它们画成一个知识结构图吗?

E E

E 注意:画线段(或射线)的 垂线时,有时要将线段 延长(或将射线反向延 长)后再画垂线.

课堂练习 1.过点 P向线段 AB 所在直线引垂线,正确的是( C ). A B C D

课堂练习 1.选择题 过点 P 向线段 所在直线引垂线,正确的是( C ). AB A B C D

? 4.垂线段

? 如图5.1—9,连接直线L外一点P与直线L上 各点 O, A1,A2,A3,…,其中 PO⊥L(我们称PO为点P到直线L的垂线 段). 比较线段PO,PA1,PA2,PA3,… 的长短,这些线段中,哪一条最短?

选择题:
1、已知点A,与点A的距离是5cm的直线可画( D ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条

例4、如图2-23,试用直尺或三角板量出: 1.城市A与城市B的距离. 2.城市A,B到大河l的距离.

G D M· C


问题1:长方体的顶点A处有 一只蚂蚁想爬到点C处,请你 帮它画出爬行的最佳路线。并 F 说明理由。 问题2:若A处的蚂蚁想爬到 棱BC上,你认为它的最佳路线是 什么? E 问题3:若蚂蚁在点M处,想 爬到棱BC上,请你设计一条最 佳路线。

N
B

· A


13.2垂线练习题

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