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2011年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题解答

时间:2012-04-04


2011 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题解答
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.某同学使用计算器求 50 个数据的平均数时,错将其中的一个数据 150 输入为 15,那么由此求出的平均 值与实际平均值的差是( ▲ )A. 2.7 解:求出的平均值 ? 实际平均值 = 15 ? 150) 50 ( ÷ 2.设集合 A = {x |

log 1 ( x + 1) > ?2} , B = {x | 2
2

B. ? 2.7

C.3

D. ?0.3

= ?2.7 ,选 B.
< 1} ,则 A I B 等于( ▲ )

x ? x2

A. {x | x < 0, 或1 < x < 3} B. {x | x > 3} C. {x | ?1 < x < 0, 或1 < x < 3} D. {x | 0 < x < 1} 解:可得 A = {x | ?1 < x < 3} , B = {x | x < 0, 或x > 1} ,所以 A I B = {x | ?1 < x < 0, 或1 < x < 3} ,选 C.3.已知 sin α = sin β ,则 α 与 β 的关系是( ▲ ) A. α = β 或 α = π ? β B. α = 2kπ + β , k ∈ Z C. α = (2k + 1)π ? β , k ∈ Z D. α = kπ + (?1)
k

β,k ∈ Z α 与 β 的 终 边 位 置 相 同 或 关 于 y 轴 对 称 , 所 以 α = 2kπ + β , k ∈ Z 或

解 : 由 于 sin α = sin β ,

α = (2k + 1)π ? β , k ∈ Z ,合并得 α = kπ + (?1) k β , k ∈ Z .选 D.
4.下列函数中在区间 ? 0,

? π? ? 上单调递增的是( ▲ ) ? 4?

A . y = log 2 ?sin ? x ?

? ?

? ?

π ? 1?

? ? π ? 1? π? 1 ? B . y = log 2 ?sin ? 2 x + ? + ? C . y = sin ? 2 x ? ? + ?? 6 ? 2? 6 ? 2? 6? 2 ? ? ? ?

D. y = sin ?
3

?π ? ? π? ? x ? 解:将选择支中各函数用区间 ?0, ? 逐一检验知,只有 C 中函数满足要求.选 C. ?6 ? ? 4?
x x

5.若 ( sin 50° ) ? ( tan 50° ) ≤ sin 50 A. x + y ≥ 0 B. x ? y ≥ 0

(

° ?y

)

? ( tan 50° ) 则( ▲ )
?y

C. x + y ≤ 0

D. x ? y ≤ 0
t t

解:因为 0 < sin 50° < 1 , tan 50° > 1 ,可知函数 f (t ) = ( sin 50° ) ? ( tan 50° ) 单调递减,已知不等式即

f ( x) ≤ f (? y ) ,所以 x ≥ ? y ,选 A.
6.函数 f ( x ) = ln | x ? 1| ? x + 3 的零点个数为( ▲ )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
y
3

解: f ( x) = 0 ? ln | x ? 1|= x ? 3 ,所以 f ( x) 的零点个数即函数

2

1

y = ln | x ? 1| 与函数 y = x ? 3 的交点的个数, 作图可知有 3 个交点,
选 D. 7.记 O 为坐标原点,已知向量 OA = (3, 2) , OB = (0, ?2) ,又有点

-4

-2

O
-1

2

4

6

x

-2

-3

uuu r

uuu r

-4

uuur 5 C ,满足 AC = ,则 ∠ABC 的取值范围为( ▲ ) 2

?π π ? ? ? uuur 5 uuu r 5 解:Q AC = ,点 C 在以点 A 为圆心, 为半径的圆周上.可得 AB = 5 ,如图 2 2
A. ? 0, ? B. ? 0, ? ? 6? ? 3? C. ? 0, ? 2 D. ? , ? 6 3 线 BC 与圆周相切时, ∠ABC 有最大值为

? π?

? π?

? π? ? ?

可知,当直
y

π
6

,当 A B,C 三点共线时 ∠ABC 有最 ,
C A

小值为0,所以 ∠ABC 的取值范围为 ? 0, ? .选 A. 6 则 8. 已知 k ∈ Z ,AC = (2, 2) ,AB = ( k , 2) , AB ≤ 5 , ?ABC 是直角三角形的概率是( ▲ ) A.
O

uuur

uuu r

? π? ? ?

uuu r

C

x

1 2 1 1 B B. C. D. 9 9 8 4 uuu r uuu r uuur 解: AB ≤ 5 与 ABC 构成三角形及 k ∈ Z 知 k ∈ {?4, ?3, ?2, ?1, 0,1,3, 4} , 由 可得 BC = (2 ? k , 0) .AC
uuu r uuur uuu r uuu r uuu r

与 AB 垂直,则 k = ?2 ;若 AC 与 BC 垂直,则 k = 2 (舍去) ;若 BC 与 AB 垂直 k = 0 ,或 k = 2 (舍 去) ;综上知,满足要求的 k 有2个,所求概率为
2 2

1 .故选 D. 4

9.设 S = x + 2 xy + 2 y + 2 x + 1 ,其中 x ∈ R, y ∈ R ,则 S 的最小值为( ▲ ) A. 1 B. ?1 C. ?
2

3 D. 0 4
2
2

解 1: x + (2 y + 2) x + (2 y + 1 ? S ) = 0 ,由 ? = ( 2 y + 2 ) ? 4 2 y + 1 ? S ≥ 0
2

(

)

得 S ≥ y ? 2 y = ( y ? 1) ? 1 ≥ ?1 .当且仅当 y = 1, x = ?2 时, S min = ?1 .选 B.
2
2

解 2: S = x + 2 xy + 2 y + 2 x + 1 = x + 2( y + 1) x + ( y + 1) + y ? 2 y
2 2 2 2 2

= ( x + y + 1) + ( y ? 1) ? 1 ≥ ?1 .当且仅当 y = 1, x = ?2 时, Smin = ?1 .选 B.
2 2

若存在过 Q 的直线交函数 y = 2 的图象于 A, B 两点, 满足 QA = AB , 则称点 Q 为“Ω 10. Q 在 x 轴上, 点
x

uuu r

uuu r

点” 那么下列结论中正确的是( ▲ ) ,

A. x 轴上仅有有限个点是“Ω点” ;

B. x 轴上所有的点都是“Ω点” ;

C. x 轴上所有的点都不是“Ω点” ;
x2

D. x 轴上有无穷多个点(但不是所有的点)是“Ω点” .

解 1:设 Q a,) A x, 1 , B x2, 2 ,因为 QA = AB ,所以 x2 = 2 x1 ? a , 2 ( 0 , 2 1 2
x x

(

)

(

)

uuu r

uuu r

= 2 × 2 x1 ,得

x1 = a + 1, x2 = a + 2 . 即对于 x 轴上任意 Q a,) 总有 (a + 1 2 ) (a + 2, ) ( 0 点, A ,a +1 ,B 2a + 2 满足题设要求,
故选 B. 解 2: (动态想象) :任取 x 轴上 Q 点,将直线 l 由 x 轴位置开始绕 Q 点逆时针旋转

π
2

, l 与函数 y = 2 的
x

图象的位置关系必将经历从不交到相切再到交于两个点 A, B (由下至上)直到最后只交于一个点.当交于 两个点时,在 | QA | ? | AB | 由正到负的过程中必将经历零点.当 | QA | ? | AB |= 0 时,即有 QA = AB ,所 以 x 轴上所有的点都是“Ω点” . 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 7 分,共 49 分. 11.同时抛掷三枚均匀的硬币,出现两个正面一个背面的概率是▲ .
开 始

uuu r

uuu r

S = 0, i = 1

解:同时抛掷三枚均匀硬币出现的等可能基本事件共有8种,其中两个正面一个背面


3 的情况有(正,正,背)(正,背,正)与(背,正,正)三种,故所求概率为 . , 8
12.如图执行右面的程序框图,那么输出的 S 值为 解: S = ▲ .

i < 10?

输出S

1 2 (1 + 32 + 52 + 72 + 92 ) = 55 . 3
[sin x ]

1 S = S + × i2 3

13.函数 f ( x) = 3

的值域是



. (其中 [ x] 表示不超过实数 x 的最大整数)

i=i+2

结束 (12 题图)

解: 1 ≤ sin x ≤ 1 , ? 所以 [ sin x ] 的所有可能取值为 ?1,0,1 , 从而 f ( x) 值域 ? ,1,3? . 14. 已知定义域为 R 的函数 y = f ( x) 对任意 x ∈ R 都满足条件 f x ( )+ f 4 ? x 0 ( )= 与 f x+2 ? f x?2 ( ) ( )= 0 ,则对函数 y = f ( x) ,下列结论中必定正确的是 论的序号)① y = f ( x) 是奇函数;② y = f ( x) 是偶函数; ③ y = f ( x) 是周期函数;④ y = f ( x) 的图象是轴对称的. ▲

?1 ?3

? ?

. (填上所有正确结

解:由 f x + 2 ? f x ? 2 ( ) ( )= 0 知 f ( x) 有周期 T = 4 ,于是 f x = ? f 4 ? x = ? f (? x) ,知 f ( x) 为 () ( ) 奇函数,填①③. 15.若 n 为整数,关于 x 的方程 ( x ? 2011)( x ? n)
2011

+ 1 = 0 有整数根,则 n =
2011





解:设 x = x0 为方程的整数根,则 ( x0 ? 2011)( x0 ? n)

?x ? n = 1 ? x0 ? n = ?1 = ?1 ,必有 ? 0 或? ? x0 ? 2011 = ?1 ? x0 ? 2011 = 1

得 n = 2009 或 n = 2013 .

( = f ,若函数 y = (x) g 有且仅有 4 个不同 16. y = f ( x) 是定义域为 R 的函数, g x) f ( x + 1) + (5 ? x)
的零点,则这 4 个零点之和为 ▲ .

(4-x) g x) y = (x) =( , g 有对称轴 x = 2 ,故 4 个零点和为 8. 解: g
D Y

17.求值: sin 6° + sin 78° + sin 222° + sin 294° =




C

解 1:如图,构造边长为 1 的正五边形 ABCDE ,使得

E O X

uuu r uuu r AB = (cos 6°,sin 6°) ,则依次可得 BC = (cos 78°,sin 78°) , uuu r uuur CD = (cos150°,sin150°) , DE = (cos 222°,sin 222°) , uuu r uuu uuu uuu uuur uuu r r r r r EA = (cos 294°,sin 294°) ,由于 AB + BC + CD + DE + EA = 0 ,
所以 sin 6° + sin 78° + sin150° + sin 222° + sin 294° = 0 , 从而 sin 6° + sin 78° + sin 222° + sin 294° = ? sin150° = ?
A

B (17题题) 题

1 . 2

解 2:原式 = ( sin 6° + sin 294° ) + ( sin 78° + sin 222° ) = 2sin150° cos144° + 2sin150° cos 72°

= 2sin150° ( cos144° + cos 72° ) = 2 cos108° cos 36° = ?2sin18° cos 36° = ? =? sin 72° 1 =? . 2 cos18° 2

sin 36° ? cos 36° cos18°

三、解答题:本大题共 3 小题,共 51 分. 18. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) = sin x + 2 3 sin x cos x + sin ? x +
2

? ?

π?

π? ? ? sin ? x ? ? . 4? ? 4?

⑴求 f ( x) 的最小正周期和 f ( x) 的值域; ⑵若 x = x0 ? 0 ≤ x0 ≤ 解:⑴ f ( x) = sin x + 2 3 sin x cos x + sin ? x +
2

? ?

π?

求 ? 为 f ( x) 的一个零点, f (2 x0 ) 的值. 2?

=

? 1 ? cos 2 x + 3 sin 2 x + ? ? 2 ?

π? ? ? sin ? x ? ? 4? ? 4? ?? 2 ? 2 2 2 1 sin x + cos x ?? ?? 2 sin x ? 2 cos x ? = 3 sin 2 x ? cos 2 x + 2 ? 2 2 ?? ?
? ?

π?

π? 1 ? = 2sin ? 2 x ? ? + .…………………………………………………..4 分 6? 2 ? 所以 f ( x) 的最小正周期 T = π ;……………………………..……….…..5 分
由 ?1 ≤ sin ? 2 x ?

? ?

π? ? 3 5? ? ≤ 1 ,得 f ( x) 的值域为 ? ? , ? .…………………..7 分 6? ? 2 2?

⑵ f ( x) = 2sin ? 2 x ?

π? 1 ? ? + ,由题设知 f ( x0 ) = 0 ? sin ? 2 x0 ? ? = ? ,….8 分 6? 2 6? 4 ? π? π π π 5π π π ? 由 0 ≤ x0 ≤ ? ? ≤ 2 x0 ? ≤ ,结合 sin ? 2 x0 ? ? < 0 知 ? ≤ 2 x0 ? < 0 , 6? 2 6 6 6 6 6 ?
? ?
可得 cos ? 2 x0 ?

π? 1

? ?

π?

15 .…………………………………………………..10 分 ?= 6? 4

π? π π? π ?? π? π? ? ? sin 2 x0 = sin ? ? 2 x0 ? ? + ? = sin ? 2 x0 ? ? cos + cos ? 2 x0 ? ? sin 6? 6 6? 6 6? 6? ? ? ??
1 3 15 1 15 ? 3 =? × + × = ,………………………...………..12 分 4 2 4 2 8 π? π π? π ?? π? π? ? ? cos 2 x0 = cos ? ? 2 x0 ? ? + ? = cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin 6? 6 6? 6 6? 6? ? ? ?? 15 3 1 1 3 5 +1 × + × = ,……………………………..………..14 分 4 2 4 2 8 π? π? π? ? ? ? ∴ sin ? 4 x0 ? ? = sin 2 x0 cos ? 2 x0 ? ? + cos 2 x0 sin ? 2 x0 ? ? 6? 6? 6? ? ? ? = = 15 ? 3 15 3 5 + 1 ? 1 ? 7 ? 3 5 × + ×?? ? = 8 8 4 16 ? 4?

π? 1 7 ? 3 5 1 11 ? 3 5 ? ∴ f (2 x0 ) = 2sin ? 4 x0 ? ? + = 2 × + = .……….……..16 分 6? 2 16 2 8 ?
19. (本题满分 17 分)设函数 f ( x) = x + bx ? 3 ,对于给定的实数 b , f ( x ) 在区间 [ b ? 2, b + 2] 上有
2

最大值 M (b) 和最小值 m(b) ,记 g (b ) = M (b) ? m(b ) . ⑴求 g (b) 的解析式;⑵问 b 为何值时, g (b) 有最小值?并求出 g (b) 的最小值.

解:⑴ f ( x ) = ? x +

? ?

b? b2 b ? ? 3 ? ,抛物线开口向上,其对称轴方程为 x = ? ,下面就对称轴 2? 4 2

2

[b ? 2, b + 2] 端点的相对位置分段讨论:……………….………………………..1 分
①当 0 ≤ b ≤

b 4 b ? b? 时, b ? 2 ≤ ? ≤ b + 2 且 (b + 2) ? ? ? ? ≥ ? ? (b ? 2) , 2 3 2 ? 2?
2

此时 M (b) = f (b + 2) = 2b + 6b + 1 , m(b) = ?3 ?

b2 9 2 . g (b) = b + 6b + 4 .…3 分 4 4 b 4 b ? b? ②当 ? ≤ b < 0 时, b ? 2 ≤ ? ≤ b + 2 且 (b + 2) ? ? ? ? ≤ ? ? (b ? 2) , 2 3 2 ? 2?
2

此时 M (b) = f (b ? 2) = 2b ? 6b + 1 , m(b) = ?3 ? ③当 b >

b2 9 2 . g (b) = b ? 6b + 4 .…5 分 4 4

4 b 时, ? < b ? 2 , f ( x) 在区间 [ b ? 2, b + 2] 上递增, 3 2
2 2

此时 M (b) = f (b + 2) = 2b + 6b + 1 , m(b) = f (b ? 2) = 2b ? 6b + 1 . g (b) = 12b .…7 分

④当 b < ?

4 b 时, ? > b + 2 , f ( x) 在区间 [ b ? 2, b + 2] 上递减, 3 2
2 2

此时 M (b) = f (b ? 2) = 2b ? 6b + 1 , m(b) = f (b + 2) = 2b + 6b + 1 . g (b) = ?12b .…9 分

? ? ?12b, ? ? 9 b 2 ? 6b + 4, ?4 综上所得 g (b ) = ? ? 9 b 2 + 6b + 4, ?4 ? ? 12b, ?
⑵当 b < ? 当?

4 b<? ; 3 4 ? ≤ b < 0; 3 ………………………………………………10 分 4 0≤b≤ ; 3 4 b> . 3

4 ? 4? 时, g (b ) = ?12b > g ? ? ? = 16 ;…………………………………………11 分 3 ? 3?

4 9 ≤ b < 0 时, g (b) = b2 ? 6b + 4 递减, g (b) > g (0) = 4 ;…………..….……13 分 3 4 4 9 2 时, g (b ) = b + 6b + 4 递增, g (b) ≥ g (0) = 4 ;…………....………15 分 3 4

当0 ≤b ≤ 当b >

4 ?4? 时, g (b) = 12b > g ? ? = 16 .……………………………………..………16 分 3 ?3?

综上所述,当 b = 0 时, [ g (b) ]min = 4 .…………..…………………………………17 分 20.(本题满分 18 分)定义在正实数集上的函数 f ( x ) 满足下列条件: ①存在常数 a 0 (

< a < 1 ,使得 f (a ) = 1 ;②对任意实数 m ,当 x ∈ R + 时,有 f ( x m ) = mf ( x) . )

⑴求证:对于任意正数 x, y , f ( xy ) = f ( x ) + f ( y ) ; ⑵证明: f ( x ) 在正实数集上单调递减; ⑶若不等式 f log a ( 4 ? x ) + 2 ? f log a (4 ? x)
2

(

)

(

8

) ≤ 3 恒成立,求实数 a 的取值范围.
= am , y = an ,

⑴证明:Q x, y 均为正数,且 0 < a < 1 ,根据指数函数性质可知,总有实数 m, n 使得 x 于是

f ( xy ) = f a m a n = f a m+ n = (m + n ) f (a ) = m + n ,..…2 分
m n

(

)

(

)

又 f ( x ) + f ( y ) = f (a ) + f (a ) = mf (a ) + nf (a) = m + n , ⑵证明:任设 x1 , x 2

∴ f ( xy ) = f ( x) + f ( y ) ..5 分

∈ R + , x1 > x 2 ,可令 x1 = x 2 t (t > 1) , t = aα (α < 0) .…………….7 分

则由⑴知

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = f ( x 2 t ) ? f ( x 2 ) = f ( x 2 ) + f (t ) ? f ( x 2 )

= f ( t ) = f ( aα ) = α f ( a ) = α < 0 ,………………………………………………………..9 分
即 f ( x1 ) < f ( x2 ) .∴ f ( x) 在正实数集上单调递减;..……………………………..10 分 ⑶解:令 log a (4 ? x ) = t ,原不等式化为 f t + 2 ? f ( 8t ) ≤ 3 ,其中 t > 0 .
2

(

)

?x? Q f ( x) ? f ( y ) = f ( x) + f ( y ?1 ) = f ? ? 且 f (a) = 1(0 < a < 1) , ? y?
不等式可进一步化为 f ?

? t2 + 2 ? 3 ? ≤ f ( a ) ,……………………….……..12 分 8t ? ?

又由于单调递减,∴

t2 + 2 ≥ a 3 对于 t > 0 恒成立.……………………..13 分 8t

2 ? ? t2 + 2 1 ? ? ? ? t ? 2 ? + 2 2 ? ≥ 1 ,………………….……….…..15 分 而 = ? ? ? 2 2 8t 8 ?? t ? ? ?

且当 t =

? t2 + 2 ? 1 2 时? .……………………………………..16 分 ? = ? 8t ?min 2 2 1 2 2
,又 0 < a < 1 ,终得 0 < a <

∴ a3 ≤

2 .…………………………..18 分 2


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