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7 线面平行相交


直线与平面及两平面的相对位置 平行问题
包 括

直线与平面平行
平面与平面平行

一、 直线与平面平行

若一直线平行于平面上的某一直 线,则该直线与此平面必相互平行。

例1:过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。
b? c?m?

/>n?

正平线 o

x a?
a

c m


n

b

唯一解

二、 两平面平行 ① 若一平面上的两相 交直线对应平行于另 a? x 一平面上的两相交直 线,则这两平面相互 a 平行。 ② 若两投影面垂直面 a? 相互平行,则它们具 x 有积聚性的那组投影 必相互平行。
a c?

b? c? d?

e?

f?

o
c d f e

b
b? d? e?

f?
h?

o
f h

c

b

d e

[例2] 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K 作一平面平行于已知平面 。 s? m?

n?
r? r n

f?

k?

e?

k f s

e

m

相交问题
直线与平面相交 平面与平面相交

一、 直线与平面相交 交点是直线与平面的共有点 交点是直线可见与不可见的分界点。
● 求直线与平面的交点。 ●

判别两者之间的相互遮挡关系,即判别可 见性。

例3 求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。 ⑴ 平面为特殊位置 空间及投影分析
b? n?

a?

1?(2?)


k ? ●
c? c


x

m?
m a
2

● ●

作 图 ① 求交点 ② 判别可见性
n

k 1 b

还可通过重影点判别可见性。

⑵ 直线为特殊位置
b? m?

空间及投影分析
c?

k?
a? x





n?

1?(2?)

b
k● 2 m(n) ● 1


a

c

作图 用面上取点法 ① 求交点 ② 判别可见性

二、 两平面相交(利用积聚性求交线)
两平面相交其交线为直线,交线是两平 面的共有线,同时交线上的点都是两平面的 共有点。

要解决的问题:
① 求两平面的交线 方法: ⑴ 确定两平面的两个共有点。 ⑵ 确定一个共有点及交线的方向。 ② 判别两平面之间的相互遮挡关系,即: 判别可见性。

平面与平面相交

M

K F
N
L

两平面的交线是一条直线,这条直线为两平面所共有

例4:求两平面的交线 MN并判别可见性。

a? b? e? ● m?(n?)

空间及投影分析

f?
c?

d a d




n

e

作 图
c
f

m

① 求交线 ② 判别可见性

b 如何判别?

可通过正面投影 直观地进行判别。

例5 求两平面的交线MN并判别可见性。
b? ? f? e? m ● a? e
● ● ●

空间及投影分析
n? 1? ● 2? c? h?

b m n



作 图
h
1(2)

a
f

① 求交线 ② 判别可见性

c

三. 直线与平面相交(利用辅助平面法求交点)
PV

1?
k?

步骤: 1.过EF作正 垂平面P。

2?

2.求P平面与 ΔABC的交线 ⅠⅡ。 3.求交线 ⅠⅡ与EF的交 点K。

2
k

示意图

1

以铅垂面为辅助平面求线面交点。
2?
k? 步骤: 1.过EF作铅 垂平面P。 2.求P平面与 ΔABC的交线 ⅠⅡ。 3.求交线 ⅠⅡ与EF的交 点K。 k

1?
PH

1

2

四、求两平面的交线

PV n?

2?

1?
m? m

k?

l?

QV

e

两一般 位置平面相 交,求交线 步骤:

2
e k l

1

1.用求直线 与平面交点 的方法,作 出两平面的 两个共有点K、 E。 2.连接两个 共有点,画 出交线KE。

示意图

n

两平面相交,判别可见性
3? 4? 1? (2? )
利 用 重 影 点 判 别 可 见 性

2

3 4

( )

1


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