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直线的倾斜角与斜率


3.1 直线的倾斜角与斜率
? 知识要点

?

倾斜角

1. 定义:取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜 .. 角 . . 2. 倾斜角的范围: ? 直线的斜率 1. 定义:倾斜角不是 的直线,它的倾斜角α 的 叫做这条直线的斜

率.直

线的斜率常用 k 表示,即 k=tan α . 2. 当α 当α 当α 时,k 时,直线的斜率不存在 时 k

3. 计算公式:过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式 k=

y2-y1 (x1≠x2) x2-x1

说明:过两点的斜率公式与两点的顺序无关,当倾斜角α =90°时,斜率的坐标公 式不再适合. ? 两直线平行 1. 判定方式:l 1∥l2 ? k1=k2. (两直线不重合时) ? 两直线垂直 1. 判定方式:l1⊥l2 ? k1k2=-1.(两条直线都有斜率)

?

经典例题

例题1

已知 A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线 AB,BC,CA 的斜率,并判断它们的倾斜角

是钝角还是锐角.

1

例题2

.若三点 A(2,3),B(3,2),C(

1 ,m)共线,求实数 m 的值. 2

变式: 1.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线, 则

1 1 + 的值等于_____________. a b

例题3

已知三角形的顶点 A(0,5),B(1,-2),C(-6,m),BC 的中点为 D,当 AD 斜率为 1 时,求 m 的值及|AD|的长.

变式:1. 过点 P(-1,-1)的直线 l 与 x 轴和 y 轴分别交于 A、B 两点,若 P 恰为线段 A 的中心,求直线 l 的斜率和倾斜角.

例题4

已知点 A(-2,3),B(3,2),过点 P(0,-2)的直线 l 与线段 AB 有公共点,求直线

l 的斜率 k 的取值范围.

变式:已知 P(-3,2) ,Q(3,4)及直线 ax+y+3=0.若此直线分别与 PQ 的延长线、QP 的延长线相交,试分别求出 a 的取值范围.

2

?

课后练习 )

1、已知 m≠0,则过点(1,-1)的直线 ax+3my+2a=0 的斜率为( A. 1 3 1 B.- 3 C.3 D.-3 )

2、关于直线的倾斜角和斜率,下列哪些说法是正确的( A.任一条直线都有倾斜角,也都有斜率 B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大

C.平行于 x 轴的直线的倾斜角是 0 或π ;两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等 D.直线斜率的范围是(-∞,+∞) 3、已知直线 y=kx+k+2 与以 A(0,-3)、B(3,0)为端点的线段相交,求实数 k 的取值范 围.

4、已知两直线 l1:y=2k(x+2),l2:y=3k(x-2),它们与 x 轴围成一个三角形,若使 P(3,3)在这 三角形内,求 k 的范围.

3

第3章
一、选择题 1.直线 l 的倾斜角是斜率为 A.1 B. 3

3.1

3.1.1

3 的直线的倾斜角的 2 倍,则 l 的斜率为( 3 2 3 C. 3 D.- 3

)

2.已知点 A(1,0)、B(3,-2),直线 l 经过点 P(0,-3)与线段 AB 相交,则 l 的斜率取值范 围是( ) 1? B.? ?-∞,3?∪[3,+∞) 1 ? D.? ?-3,3?或不存在 ) 1 D. 2

1 ? A.? ?3,3? C.不存在

1 3.若 A(-2,3)、B(3,-2)、C( ,m)三点共线,则 m 值为( 2 A.-2 B.2 1 C.- 2

4.①直线 l 的倾斜角是 α,则 l 的斜率为 tanα;②直线 l 的斜率为-1,则其倾斜角为 45° ; ③与坐标轴平行的直线没有倾斜角; ④任何一条直线都有倾斜角, 但不是每一条直线都存在 斜率. 上述命题中,正确的个数为( A.0 个 B.1 个 ) C.2 个 D.3 个 )

5.已知直线 l1 与 l2 垂直,l1 的倾斜角 α1=60° ,则 l2 的斜率为(

A. 3

B.

3 3

C.- 3

D.- )

3 3

6.过点 P(-2,m)和 Q(m,4)的直线斜率等于 1,则 m 的值为( A.1 B.4 C.1 或 3 D.1 或 4 )

7.直线 l 经过原点和点(-1,-1),则它的倾斜角是( A.45° 二、填空题 B.135° C.35° 或 135°

D.90°

8. 等腰三角形 ABC 中, 底边 BC 平行于 x 轴, AB 的斜率为 k, 则边 AC 的斜率为________. 7 9.已知点 M(5,3)和点 N(-3,2),若直线 PM 和 PN 的斜率分别为 2 和- ,则点 P 的坐标为 4 ________.
4

10. 若过 P(1-a,1+a)和 Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角, 那么实数 a 的取值范围是________. 11.已知 a>0,若平面内三点 A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则 a=________. 三、解答题 12.求经过 A(ma,mb),B(a,b),(ab≠0,m≠1)两点的直线的斜率,并判断倾斜角为锐角 还是钝角.

13.若直线 l 的斜率为函数 f(a)=a2+4a+3(a∈R)的最小值,求直线 l 的倾斜角 α.

14.已知 A(-3,8),B(2,4),若 PA 的斜率是 PB 斜率的两倍,点 P 在 y 轴上,求点 P 的坐标.

15.已知三点 A(a,2),B(5,1),C(-4,2a)在同一条直线上,求 a 的值.

第3章
一、选择题

3.1

3.1.2
)

1.直线 l1 的斜率为 2,l1∥l2,直线 l2 过点(-1,1)且与 y 轴交于点 P,则 P 点坐标为(

5

A.(3,0)

B.(-3,0)

C.(0,-3)

D.(0,3)

2.已知两点 A(2,0)、B(3,4),直线 l 过点 B,且交 y 轴于点 C(0,y),O 是坐标原点,且 O、 A、B、C 四点共圆,那么 y 的值是( A.19 19 B. 4 ) C.5 D.4

3.已知直线 l1 经过两点(-1,-2),(-1,4),直线 l2 经过两点(2,1)、(x,6),且 l1∥l2,则 x =( ) A.2 B.-2 C.4 D.1 )

4.已知直线 l 与过点 M(- 3, 2),N( 2,- 3)的直线垂直,则直线 l 的倾斜角是( A.60° B.120° C.45° D.135° )

5.直线 l1⊥l2,又 l2 过点 A(1,1),B(m,n),l1 与 y 轴平行则 n=( A.1 B.-1 C.2

D.不存在 )

6.已知 A(-1,2),B(1,3),C(0,-2),点 D 使 AD⊥BC,AB∥CD,则点 D 的坐标为( 9 4? A.? ?-7,7? 54 13? B.? ?7,7? 38 13? C.? ?3,3? 38 5? D.? ? 7 ,7? )

7.已知点 M(1,-3)、N(1,2)、P(5,y),且∠NMP=90° ,则 log8(7+y)的值为( A.1 二、填空题 2 B. 3 C.0 1 D. 2

8.平行四边形 ABCD 中,已知三个顶点坐标为 A(-3,1)、B(3,0)、C(-1,2),则 D 点坐标为 ________. 9.直线 l 过点 A(0,1)和 B(-2,3),直线 l 绕点 A 顺时针旋转 90° 得直线 l1,那么 l1 的斜率是 ______;直线 l 绕点 B 逆时针旋转 15° 得直线 l2,则 l2 的斜率是______. 三、解答题 10.已知实数 x 、

y

y 满足 2 x ? y ? 8 ,当 2 ? x ? 3 时,求 的最大值和最小值. x

6


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