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速度的关联


所谓关联速度就是两个通过某种方式联系起来的速度.比如一根杆上的两个速度通过杆发生联系,一根绳两端的速度通过绳发生联系.常用的结论有: 1,杆或绳约束物系各点速度的相关特征是:在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向 的分速度. 2 面切向的分速度在无相对滑动时相同. 3 4,如果杆(或张紧的绳)围绕某一点转动,那么杆(或张紧的绳)上各点相对转动 轴的角速度相同· 类型 1 量分别为m1

、m2 和m3 的三个质点A、B、C位于光滑的水平桌面上,用已 拉直的不可伸长的柔软轻绳AB和BC连接,∠ABC=π -α ,α 为锐角,如图5-1所 示.今有一冲量I沿BC方向作用于质点C,求质点A开始运动时的速度. (全国中学物理 竞赛试题)

图 5-1

图 5-2

2 α 角 的光滑斜面上,如图5-2所示.当绳变为竖直方向时,圆筒转动角速度为ω (此时绳未松 弛),试求此刻圆筒轴O的速度、圆筒与斜面切点C的速度.(全国中学生奥林匹克物理竞 赛试题) 3 1 的速度沿垂直于 AB 的方向向上移动,而直线 CD 以大小 为v2 的速度沿垂直于CD的方向向左上方移动,两条直线交角为α ,如图 5-3所示.求它 们的交点P的速度大小与方向.(全国中学生力学竞赛试题)

图 5-3

图 5-4

以上三例展示了三类物系相关速度问题. 类型 1 求的是由杆或绳约束物系的各点速度; 类型 2 求接触物系接触点速度;类型 3 则是求相交物系交叉点速度.三类问题既有共同遵从的一 般规律,又有由各自相关特点所决定的特殊规律,我们若能抓住它们的共性与个性,解决物 系相关速度问题便有章可循. 伸长的线等,它们都具有刚体的力学性质,是不会发生形变的理想化物体,刚体上任意两点 之间的相对距离是恒定不变的;任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成 的.如图 5-4所示,三角板从位置ABC移动到位置A′B′C′,我们可以认为整个板 一方面做平动, 使板上点B移到点B′, 另一方面又以点B′为轴转动, 使点A到达点A′、

点C到达点C′.由于前述刚体的力学性质所致,点A、C及板上各点的平动速度相同,否 则板上各点的相对位置就会改变.这里,我们称点B′为基点.分析刚体的运动时,基点可 以任意选择. 于是我们得到刚体运动的速度法则: 刚体上每一点的速度都是与基点速度相同 的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和. 我们知道转动速度v=rω , r是转动半 径,ω 是刚体转动角速度,刚体自身转动角速度则与基点的选择无关. 刻我们总可以找到某一点,这一点的速度恰是沿杆或绳的方向,以它为基点,杆或绳上其他 点在同一时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度(与基点相同的平动速度).因此,我 们可以得到下面的结论. 1 向的分速度. 体的力学性质及“接触”的约束可知, 沿接触面法线方向,接触双方必须具有相同的法向分速度,否则将分离或形变,从而违反接 触或刚性的限制. 至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度, 则取决于该方向上双 方有无相对滑动,若无相对滑动,则接触双方将具有完全相同的速度.因此,我们可以得到 下面的结论. 2 面切向的分速度在无相对滑动时相同. ?我们来看交叉的两直线a、b,如图 5-5所示, 设直线a不动,当直线b沿自身方向移动时,交点P并不移动,而当直线b沿直线a的方向 移动时,交点P便沿直线a移动,因交点P亦是直线b上一点,故与直线b具有相同的沿直 线a方向的平移速度.同理,若直线b固定,直线a移动,交点P的移动速度与直线a沿直 线b方向平动的速度相同.根据运动合成原理,当两直线a、b各自运动,交点P的运动分 别是两直线沿对方直线方向运动的合运动.于是我们可以得到下面的结论.

图 5-5 3 这三类相关速度特征,依据这些特征,并运用速度问题中普遍适用的合成法则、相对运动法 则,解题便有了操作的章法. 3 道例题,展示每一条原则在不同情景中的应用. 1 5-6所示,杆AB的A端以速度v做匀速运动,在杆运动时恒与一静止的 半圆周相切,半圆周的半径为R,当杆与水平线的交角为θ 时,求杆的角速度ω 及杆上与半 圆相切点C的速度.

图 5-6

点C速度必沿杆的方向.以点C为基点,将杆上点A速度v分解成沿杆方向分量v1 和垂直 于杆方向分量v2(如图 5-7所示),则v1 是点A与点C相同的沿杆方向平动速度,v2 是 点A对点C的转动速度,故可求得点C的速度为

图 5-7
C=v1=v·cosθ , v2=v·sinθ =ω ·AC. 由题给几何关系知,A点对C点的转动半径为 θ , 代入前式中即可解得 2 ω =(vsin θ )/(Rcosθ ). 2 5-8 所示,合页构件由三个菱形组成,其边长之比为 3∶2∶1,顶点A3 以 速度v沿水平方向向右运动,求当构件所有角都为直角时,顶点B2 的速度vB2.

图 5-8 作为B2A1 杆上的一点,其速度是沿B2A1 杆方向的速度v1 及 垂直于B2A1 杆方向速度v1′的合成;同时作为杆B2A2 上的一点,其速度又是沿B2A2 杆 方向的速度v2 及垂直于B2A2 杆方向的速度v2′的合成.由于两杆互成直角的特定条件, 由图 5-9显见,v2=v1′,v1=v2′.故顶点B2 的速度可通过v1、v2 速度的矢量和求 得,而根据杆的约束的特征,得
2

图 5-9

1

=(

/2)vA1;

2

=(

/2)vA2,

于是可得

由几何关系可知 A1∶vA2∶vA3=A0A1∶A0A2∶A0A3=3∶5∶6, A1=v/2,vA2=(5/6)v,
B2

=(

/6)v.

图 5-10 的速度 的.当然我们也可以选取其他合适的点为基点来分析.如图 5-10所示,若以A1、A2 点为 基点,则B2 点作为B2A1 杆上的点,其速度是与A1 点相同的平动速度vA1 和对A1 点的转 动速度vn1 之合成,同时B2 点作为B2A2 杆上的点,其速度是与A2 点相同的平动速度vA 2 和对A2 点的转动速度vn2 之合成,再注意到题给的几何条件,从矢量三角形中由余弦定 理得
2

而由矢量图可知 n1=( /2)(vA2-vA1),
B2

=(

/6)v.

3 5-11 所示,物体A置于水平面上,物体A上固定有动滑轮B,D为定滑轮, 一根轻绳绕过滑轮D、B后固定在C点,BC段水平.当以速度v拉绳头时,物体A沿水平 面运动,若绳与水平面夹角为α ,物体A运动的速度是多大?

图 5-11

BD段方向的分速度v, 再看绳的这个速度与物体A移动速度的关系: 设物体A右移速度为 vx,则相对于物体A(或动滑轮 B 的轴心),绳上B点的速度为vx,即 BA=vx, 方向沿绳 BD 方向;而根据运动合成法则,在沿绳 BD 方向上,绳上 B 点速度是相对于参照系 A(或动滑轮 B 的轴心)的速度vx 与参照系A对静止参照系速度vxcosα 的合成,即 BA+vxcosα ; 由上述两方面可得 x=v/(1+cosα ). 4 5从动杆AB沿竖直方向上升,O为凸轮圆心,P为其顶点.求当∠AOP=α 时,AB杆的 速度.

图 5-12

图 5-13

点速度vA是竖直向上的,轮上A点的速度v0 是水平向右的,根据接触物系触点速度相关特 征,两者沿接触面法向的分速度相同,如图 5-13 所示,即 α =v0sinα , A=v0tanα . 故AB杆的速度为v0tanα . 5 5-14 所示,缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子A上,以恒定的速 度v拉绳,当绳与竖直方向成α 角时,求线轴中心O的运动速度vO.设线轴的外径为R, 内径为r,线轴沿水平面做无滑动的滚动. v 拉绳时, 线轴沿顺时针方向运动. 从绳端速度v到轴 心速度vO,是通过绳、轴相切接触相关的.考察切点B的速度:本题中绳与线轴间无滑动, 故绳上B点与轴上B点速度完全相同, 即无论沿切点法向或切向, 两者均有相同的分速度. 图 5-15是轴上B点与绳上B点速度矢量图:轴上B点具有与轴心相同的平动速度vO 及对轴 心的转动速度rω (ω 为轴的角速度),那么沿切向轴上B点的速度为rω -vOsinα ;而 绳上B点速度的切向分量正是沿绳方向、大小为速度v,于是有关系式,即

图 5-14

图 5-15

ω -vOsinα 又由于线轴沿水平地面做纯滚动,故与水平地面相切点C的速度为零,则轴心速度为 O=Rω 由①、②两式可解得 O=(Rv)/(r-Rsinα ). O=(Rv)/(r-Rsinα ),请读者自行证明. 6 5-16所示,线轴沿水平面做无滑动的滚动,并且线端A点速度为v,方 向水平.以铰链固定于点B的木板靠在线轴上,线轴的内、外径分别为r和R.试确定木板 的角速度ω 与角α 的关系.

图 5-16

图 5-17

vn,而板上C点的这个法向速度正是C点关于B轴的转动速度,如图5-17 所示,即 n=ω ·BC=ω ·Rcot(α /2) n 和与轴心相同 的平动速度vO 的矢量和,而vCn 是沿C点切向的,则C点法向速度vn 应是 n=vOsinα /(R+r)=vO/ 将②、③两式代入①式中,得 ω =(1-cosα )/(R+r)v. 7 5-18 所示,水平直杆AB在圆心为O、半径为r的固定圆圈上以匀速u竖 直下落, 试求套在该直杆和圆圈的交点处一小滑环M的速度, 设OM与竖直方向的夹角为φ .

图 5-18 φ 的一段弧时,据交叉点速度相关特 征,将杆的速度u沿杆方向与圆圈切线方向分解,则M的速度为 /sinφ . 8 5-19所示,直角曲杆OBC绕O轴在如图 5-19 所示的平面内转动,使套 在其上的光滑小环沿固定直杆OA滑动.已知OB=10cm,曲杆的角速度ω =0.5ra d/s,求φ =60°时,小环M的速度.

图 5-19

图 5-20

点速度相关特征,求出该速度沿OA方向的分量即为小环速度. 径OM、大小是v=ω ·M=10cm/s. B方向分解成两个分速度,如图 5-20 所示,即得小环M的速度为


=vMA=v·tanφ =10

cm/s.

9 5-21 所示,一个半径为R的轴环O1 立在水平面上,另一个同样的轴环O2 以速度v从这个轴环旁通过,试求两轴环上部交叉点A的速度vA与两环中心之距离d之间 的关系.轴环很薄且第

图 5-21

图 5-22

速度为v, 将此速度沿轴环O1、 O2 的交叉点A处的切线方向分 解成v1、v2 两个分量,如图 5-22,由线状相交物系交叉点相关速度规律可知,交叉点A的 速度即为沿对方速度分量v1.注意到图 5-22 中显示的几何关系便可得
2


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