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20111届高考数学解题技巧:第1讲

时间:2012-05-03


第1讲

选择题的解题方法与技巧 题型特点概述

选择题是高考数学试卷的三大题型之一. 选择题的分数一 般占全卷的 40%左右,高考数学选择题的基本特点是: (1)绝大部分数学选择题属于低中档题,且一般按由易到 难的顺序排列,主要的数学思想和数学方法能通过它得到充 分的体现和应用,并且因为它还有相对难度(如思维层次、解 题方法的优劣选择,解

题速度的快慢等),所以选择题已成为 具有较好区分度的基本题型之一. (2)选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有 一定的综合性和深度等特点,且每一题几乎都有两种或两种

以上的解法,能有效地检测学生的思维层次及观察、分析、 判断和推理能力. 目前高考数学选择题采用的是一元选择题(即有且只有一 个正确答案),由选择题的结构特点,决定了解选择题除常 规方法外还有一些特殊的方法.解选择题的基本原则是: “小题不能大做”,要充分利用题目中(包括题干和选项)提 供的各种信息,排除干扰,利用矛盾,作出正确的判断. 数学选择题的求解,一般有两条思路:一是从题干出发 考虑,探求结果;二是从题干和选择支联合考虑或从选择支 出发探求是否满足题干条件. 解答数学选择题的主要方法包括直接对照法、概念辨析 法、图象分析法、特例检验法、排除法、逆向思维法等,这 些方法既是数学思维的具体体现,也是解题的有效手段.

解题方法例析
题型一 直接对照法 直接对照型选择题是直接从题设条件出发,利用已知条 件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知 识,通过严谨推理、准确运算、合理验证,从而直接得出 正确结论,然后对照题目所给出的选项“对号入座”,从 而确定正确的选择支.这类选择题往往是由计算题、应用 题或证明题改编而来,其基本求解策略是由因导果,直接 求解.

例1 设定义在R上的函数f(x)满足f(x)· f(x+2)=13,若f(1)= 2,则f(99)等于 A.13 B.2 13 C. 2 ( 2 D. 13

C

)

思维启迪 先求f(x)的周期.

13 解析 ∵f(x+2)= , f(x) 13 13 ∴f(x+4)= = =f(x). f(x+2) 13 f(x) ∴函数f(x)为周期函数,且T=4. 13 13 ∴f(99)=f(4×24+3)=f(3)= = 2 . f(1)

探究提高 直接法是解选择题的最基本方法,运用直接法 时,要注意充分挖掘题设条件的特点,利用有关性质和已有 的结论,迅速得到所需结论.如本题通过分析条件得到f(x) 是周期为4的函数,利用周期性是快速解答此题的关键.

1 变式训练1 函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)= , f(x) 若f(1)=-5,则f(f(5))的值为 A.5 1 C. 5 ( 1 D.- 5

D

)

解析

B.-5 1 1 由f(x+2)= ,得f(x+4)= =f(x), f(x) f(x+2)

所以f(x)是以4为周期的函数,所以f(5)=f(1)=-5, 1 从而f(f(5))=f(-5)=f(-1)= f(-1+2) 1 1 = =- . 5 f(1)

x2 y2 例2 设双曲线 2- 2=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有 a b 一个公共点,则双曲线的离心率为 5 5 A. B.5 C. 4 2 ( D ) D. 5

b 思维启迪 求双曲线的一条渐近线的斜率即 的值,尽而 a 求离心率.

解析

设双曲线的渐近线方程为y=kx,这条直线与抛物
?y=kx ? ? 2 ?y=x +1 ?

线y=x2+1相切,联立
2

,整理得x2-kx+1=

b 0,则Δ=k -4=0,解得k=± 2,即 =2,故双曲线的离 a c 心率e= = a c2 = a2 a2+b2 = a2 b2 1+( ) = 5. a

探究提高 关于直线与圆锥曲线位臵关系的题目,通常是联 立方程解方程组.本题即是利用渐近线与抛物线相切,求 出渐近线斜率.

x2 y2 变式训练2 已知双曲线C: 2- 2=1(a>0,b>0),以C的右 a b 焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是 A.a B.b C. ab ( B ) D. a2+b2 x2 y2 b 解析 - =1的其中一条渐近线方程为:y=- x, a2 b2 a 即bx+ay=0,而焦点坐标为(c,0),根据点到直线的距

|b× a2+b2| 离d= 2 2 =b.故选B. a +b

题型二 概念辨析法 概念辨析是从题设条件出发,通过对数学概念的辨析,进 行少量运算或推理,直接选择出正确结论的方法.这类题 目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性质,这需 要考生在平时注意辨析有关概念,准确区分相应概念的内 涵与外延,同时在审题时要多加小心,准确审题以保证正 确选择.一般说来,这类题目运算量小,侧重判断,下笔 容易,但稍不留意则易误入命题者设臵的“陷阱”.

例3 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),给出下列条 件,①a=kb(k∈R);②x1x2+y1y2=0;③(a+3b)∥(2a-
2 2 b);④a· b=|a||b|;⑤x1y2+x2y2≤2x1x2y1y2. 2 1

其中能够使得a∥b的个数是 A.1 B.2 C.3

( D.4

D )

解析 显然①是正确的,这是共线向量的基本定理; ②是错误的,这是两个向量垂直的条件;③是正确 的,因为由(a+3b)∥(2a-b),可得(a+3a)=λ(2a- λ+3 1 1 b),当λ≠ 时,整理得a= b,故a∥b,当λ= 时 2 2 2λ-1 也可得到a∥b;④是正确的,若设两个向量的夹角为 θ,则由a· b=|a||b|cos θ,可知cos θ=1,从而θ=0,所 2 2 以a∥ b;⑤是正确的,由x1 y 2 +x2 y 2 ≤2x1x2y1y2,可得 2 1 (x1y2-x2y1)2≤0,从而x1y2-x2y1=0,于是a∥ b.

探究提高 平行向量(共线向量)是一个非常重要和有用的概 念,应熟练掌握共线向量的定义以及判断方法,同时要将 共线向量与向量中的其他知识(例如向量的数量积、向量的 模以及夹角等)有机地联系起来,能够从不同的角度来理解 共线向量.

变式训练3

关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:

①若a· b=a· c,则b=c. ②若a=(1,k),b=(-2,6),a∥b,则k=-3. ③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为 60° . 则假命题为 A.①② B.①③ C.②③ ( B ) D.①②③

解析 ①a· b=a· c?a· (b-c)=0,a与b-c可以垂直,而不 一定有b=c,故①为假命题. ②∵a∥b,∴1×6=-2k.∴k=-3.故②为真命题. ③由平行四边形法则知围成一菱形且一角为60° ,a+b为其 对角线上的向量,a与a+b夹角为30° ,故③为假命题.

题型三 数形结合法 “数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基 石,二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定 条件下可以互相转化,而数形结合法正是在这一学科特点 的基础上发展而来的.在解答选择题的过程中,可以先根 据题意,做出草图,然后参照图形的做法、形状、位臵、 性质,综合图象的特征,得出结论.

例4

(2009· 海南)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最 ( B.5 C.6 D.7 )

小值.设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大 值为 A.4 思维启迪

C

画出函数f(x)的图象,观察最高点,求出纵

坐标即可.本题运用图象来求值,直观、易懂. 解析 由题意知函数f(x)是三个函
数y1=2x,y2=x+2,y3=10-x中 的较小者,作出三个函数在同一 个坐标系之下的图象(如图中实线 部分为f(x)的图象)可知A(4,6)为函 数f(x)图象的最高点.

变式训练4
? ? ?

? ?x2 y2 ? (2010· 湖北)设集合A=?(x,y)? 4 +16=1 ? ? ?
x? ?

? ? ?, ? ?

B= (x,y)|y=3 ?,则A∩B的子集的个数是 A.4 B.3 C.2

( D.1

A

)

x2 y2 解析 集合A中的元素是椭圆 4 + 16 =1上的点,集合B中 的元素是函数y=3x的图象上的点.由数形结合,可知 A∩B中有2个元素,因此A∩B的子集的个数为4.

例5 函数f(x)=1-|2x-1|,则方程f(x)·x=1的实根的个数 2 是 A.0 思维启迪 B.1 C.2 D.3 (

C

)

若直接求解方程显然不可能,考虑到方程可 ?1? x ?1? x 转化为f(x)= ? ? ,而函数y=f(x)和y= ? ? 的图象又都可以 ?2? ?2? 画出,故可以利用数形结合的方法,通过两个函数图象 交点的个数确定相应方程的根的个数. ?1? x 解析 方程f(x)· =1可化为f(x)= ?2? x, 2 ? ? 在同一坐标系下分别画出函数y=f(x)和 ?1? y= ?2? x的图象,如图所示.可以发现其 ? ? ?1? x 图象有两个交点,因此方程f(x)= ?2? 有 ? ? 两个实数根.

探究提高 一般地,研究一些非常规方程的根的个数以及根 的范围问题,要多考虑利用数形结合法.方程f(x)=0的根 就是函数y=f(x)图象与x轴的交点横坐标,方程f(x)=g(x)的 根就是函数y=f(x)和y=g(x)图象的交点横坐标.利用数形 结合法解决方程根的问题的前提是涉及的函数的图象是我 们熟知的或容易画出的,如果一开始给出的方程中涉及的 函数的图象不容易画出,可以先对方程进行适当的变形, 使得等号两边的函数的图象容易画出时再进行求解.

变式训练5 函数y=|log1 x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],
2

则区间[a,b]的长度b-a的最小值是 ( D ) 3 3 A.2 B. C.3 D. 2 4 解析 作出函数y=|log 1 x|的图象,如图所示,由y=0解
2

1 得x=1;由y=2,解得x=4或x= 4 .所以区间[a,b]的长 1 3 度b-a的最小值为1-4=4.

题型四

特例检验法

特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图 形、特殊位臵)代替题设普遍条件,得出特殊结论,再对各 个选项进行检验,从而做出正确的选择.常用的特例有特 殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊 位臵等. 特例检验是解答选择题的最佳方法之一,适用于解答“对 某一集合的所有元素、某种关系恒成立”,这样以全称判 断形式出现的题目,其原理是“结论若在某种特殊情况下 不真,则它在一般情况下也不真”,利用“小题小做”或 “小题巧做”的解题策略.

例6 已知A、B、C、D是抛物线y2=8x上的点,F是抛物线

→ → → → → → → 的焦点,且FA+FB+FC+FD=0,则|FA|+|FB|+|FC|+ → |FD|的值为
A.2 B.4 C.8 D.16 ( D )

解析 取特殊位置,AB,CD为抛物线的通径,

→ → → → 显然FA +FB +FC+FD=0, → → → → 则|FA |+|FB |+|FC|+|FD|=4p=16,故选D.
探究提高 本题直接求解较难,利用特殊位臵法,则简便 易行.利用特殊检验法的关键是所选特例要符合条件.

变式训练6 已知P、Q是椭圆3x2+5y2=1上满足∠POQ= 1 1 90° 的两个动点,则 2+ 2等于 ( B ) OP OQ 8 34 A.34 B.8 C. D. 15 225

3 5 解析 取两特殊点P( 3 ,0)、Q(0, 5 )即两个端点,则 1 1 + =3+5=8.故选B. OP2 OQ2

例7 数列{an}成等比数列的充要条件是 A.an+1=anq(q为常数)
2 B.an+1=an·n+2≠0 a

( B

)

C.an=a1qn 1(q为常数) D.an+1= an·n+2 a



解析 考查特殊数列0,0,?,0,?, 不是等比数列,但此数列显然适合A,C,D项. 故选B.

探究提高

判断一个数列是否为等比数列的基本方法是定 an+1 义法,也就是看 是否为常数,但应注意检验一个数列 an 为等比数列的必要条件是否成立.

a2n 变式训练7 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若 = an 4n-1 S2n ,则 的值为 ( ) Sn 2n-1 A.2 B.3 C.4 解析 方法一 (特殊值检验法) a1+a2 4 a2 3 取n=1,得 =1,∴ =1=4, a1 a1 S2n S2 a1+a2 于是,当n=1时, = = =4. Sn S1 a1 D.8

方法二 (特殊式检验法) 2n-1 a2n 4n-1 2· 注意到 = = ,取an=2n-1, an 2n-1 2· n-1 1+(4n-1) · 2n S2n 2 = =4. Sn 1+(2n-1) · n 2

方法三 (直接求解法) a2n-an a2n 4n-1 2n 由 = ,得 = , an 2n-1 an 2n-1 d(2n-1) nd 2n 即 = ,∴an= , an 2n-1 2 a1+a2n · 2n a1+a2n S2n 2 于是, = =2· Sn a1+an a1+an · n 2 d d + (4n-1) 2 2 =2· =4. d d + (2n-1) 2 2

答案

C

题型五

筛选法

数学选择题的解题本质就是去伪存真,舍弃不符合题目 要求的选项,找到符合题意的正确结论.筛选法(又叫排 除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通 过特例,对于错误的选项,逐一剔除,从而获得正确的 结论.

例8 方程ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是( C ) A.0<a≤1 B.a<1 C.a≤1 D.0<a≤1或a<0

1 解析 当a=0时,x=- ,故排除A、D. 2 当a=1时,x=-1,排除B. 故选C.

探究提高

选择具有代表性的值对选项进行排除是解决

本题的关键.对“至少有一个负根”的充要条件取值进 行验证要比直接运算方便、易行.不但缩短时间,同时 提高解题效率.

变式训练8 已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴 的交点至少有一个在原点右侧,则实数m的取值范围是 ( A.(0,1) C.(-∞,1) B.(0,1] D.(-∞,1]

D

)

1 解析 令m=0,由f(x)=0得x=3适合,排除A、B. 令m=1,由f(x)=0得:x=1适合,排除C.

题型六

估算法

由于选择题提供了唯一正确的选择支,解答又无需过 程.因此,有些题目,不必进行准确的计算,只需对其数值 特点和取值界限作出适当的估计,便能作出正确的判断, 这就是估算法.估算法往往可以减少运算量,但是加强了 思维的层次.

?x≤0 ? 例9 若A为不等式组?y≥0 ?y-x≤2 ? 的面积为 3 A. 4

表示的平面区域,则当a从

-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域 ( B.1 7 C. 4 ) D.2

解析

如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角 1 形.阴影部分面积比1大,比S△OAB= ×2×2=2小,故选 2 C项.

答案 C
探究提高 “估算法”的关键是应该确定结果所在的大致范 围,否则“估算”就没有意义.本题的关键在所求值应该比 △AOB的面积小且大于其面积的一半.

变式训练9 已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离 等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球面面积是 ( D ) 16 A. π 9 C.4π 8 B. π 3 64 D. π 9

2 3 解析 ∵球的半径R不小于△ABC的外接圆半径r= 3 , 16 2 2 则S球=4πR ≥4πr = 3 π>5π,故选D.

规律方法总结 1.解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、验证 法和数形结合法.但大部分选择题的解法是直接法,在解 选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述 一种或几种方法“巧解”,在“小题小做”、“小题巧 做”上做文章,切忌盲目地采用直接法. 2.由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性 强,稍不留心就会误入“陷阱”,应该从正反两个方向肯 定、否定、筛选、验证,既谨慎选择,又大胆跳跃. 3.作为平时训练,解完一道题后,还应考虑一下能不能用 其他方法进行“巧算”,并注意及时总结,这样才能有效 地提高解选择题的能力.

知能提升演练
1.已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则A∩(?NB)等 于 A.{1,5,7} C.{1,3,9} B.{3,5,7} D.{1,2,3} (

A

)

解析

由于3∈?NB,所以3∈A∩(?NB)

∴排除B、C、D,故选A.

2.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b.如果 c∥d,那么 A.k=1且c与d同向 C.k=-1且c与d同向 ( D B.k=1且c与d反向 D.k=-1且c与d反向 )

解析 当k=1时,c=a+b,不存在实数λ,使得a =λb.所以c与d不共线,与c∥d矛盾.排除A、B; 当k=-1时,c=-a+b=-(a-b)=-d,所以 c∥d,且c与d反向.故应选D.

3.已知函数y=tan A.0<ω≤1 C.ω≥1

? π π? ωx在?- , ?内是减函数,则( ? 2 2?

B

)

B.-1≤ω<0 D.ω≤-1

解析 可用排除法,∵当ω>0时正切函数在其定义域内 各长度为一个周期的连续区间内为增函数,∴排除A、 C,又当|ω|>1时正切函数的最小正周期长度小于π, ? π π? ∴y=tan ωx在?-2,2?内不连续,在这个区间内不是减 ? ? 函数,这样排除D,故选B.

4.已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于 任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则实数m 的取值范围是 A.(0,2) C.(2,8) B.(0,8) D.(-∞,0) (

B

)

解析

当 m=1 时, f(x)=2x2-6x+1, g(x)=x, f(x)与 g(x) 由

的图象知,m=1 满足题设条件,故排除 C、D. 当 m=2 时,f(x)=4x2-4x+1, g(x)=2x,由其图象知, m=2 满足题设条件,故排除 A. 因此,选项 B 正确.

5.已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA= ( 2cos α, 2sin α),则向量OA与向量OB的夹角的 取值范围是 ( )











π A.[0,4] π 5π C.[ , ] 4 12

5π π B.[12,2] π 5π D.[ , ] 12 12

解析

→ ∵|CA|= 2 ,∴A的轨迹是⊙C,半径为 2 .

π π → → 由图可知∠COB= ,设向量OA与向量OB的夹角为θ,则 - 4 4 π π π ≤θ≤ + ,故选D. 6 4 6

答案

D

6.设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数
?f(x),f(x)≤K, ? K,定义函数fK(x)=? ?K,f(x)>K. ?

取函数f(x)=2 (

-|x|

, )

1 当K= 时,函数fK(x)的单调递增区间为 2 A.(-∞,0) C.(-∞,-1)
-|x|

C

B.(0,+∞) D.(1,+∞)

1 |x| 1 解析 函数f(x)=2 =( ) ,作图f(x)≤K= ?x∈(-∞, 2 2 -1]∪[1,+∞),故在(-∞,-1)上是单调递增的,选C项.

7.设x,y∈R,用2y是1+x和1-x的等比中 项,则动点 (x,y)的轨迹为除去x轴上点的 A.一条直线 C.双曲线的一支 B.一个圆 D.一个椭圆 (

D

)

解析 (2y)2=(1-x)(1+x)(y≠0)得x2+4y2=1(y≠0).

8.设A、B是非空数集,定义A*B={x|x∈A∪B且 x∈A∩B},已知集合A={x|y=2x-x2},B={y|y=2x, x>0},则A*B等于 A.[0,1]∪(2,+∞) C.(-∞,1] D.[0,2] ( C ) B.[0,1)∪(2,+∞)

解析 A=R,B=(1,+∞), 故A*B=(-∞,1],故选C.

x2 2 9.(2010· 福建)若点O和点F(-2,0)分别为双曲线 2-y a =1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一

→→ 点,则OP· 的取值范围为 FP ( B A.[3-2 3,+∞) B.[3+2 3,+∞) 7 7 C.[- ,+∞) D.[ ,+∞) 4 4 解析 由c=2得a2+1=4,∴a2=3, x2 2 ∴双曲线方程为 3 -y =1.设P(x,y)(x≥ 3),

)

→→ ∴OP· 的取值范围为[3+2 3,+∞). FP

→→ OP· =(x,y)· FP (x+2,y) x2 4 2 2 2 2 =x +2x+y =x +2x+ 3 -1=3x +2x-1(x≥ 3). 4 2 令g(x)= x +2x-1(x≥ 3 ),则g(x)在[ 3 ,+∞)上单调 3 递增.g(x)min=g( 3)=3+2 3.

10.已知等差数列{an}满足a1+a2+?+a101=0,则有 ( A.a1+a101>0 C.a3+a99=0 B.a2+a102<0 D.a51=51

C

)

解析 取满足题意的特殊数列an=0,则a3+a99=0,故 选C.

11.在等差数列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,则a7- 1 a8的值为 ( C ) 2 A.4 B.6 C.8 D.10

解析 令等差数列{an}为常数列an=16. 1 显然a7- a8=16-8=8. 2 故选C.

1 1 12.若 < <0,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|; a b b a ③a<b;④ + >2中,正确的不等式是 ( C ) a b A.①② B.②③ C.①④ D.③④

解析 取a=-1,b=-2,则②、③不正确,所以A、 B、D错误,故选C.

13.(2010· 全国)如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆 时针运动,其初始位置为 P0( 2,- 2),角速度 为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图 象大致为 ( )

解析

观察并联想P运动轨迹与d的关系,

当t=0时,d= 2,排除A、D;当开始运动时d递减,排除B.

答案

C

? x2 ? ? -a?+4a的最小值等于3,则实数a的 14.若函数f(x)=? 2 ? ?x +1 ?

值等于 3 A. 4

( B.1 3 C. 或1 4

)

D.不存在这样的a

解析 方法一 直接对照法 x2 令 2 =t,则t∈[0,1). x +1 若a≥1,则f(x)=|t-a|+4a=5a-t不存在最小值; 若0≤a<1,则f(x)=|t-a|+4a,当t=a时取得最小值4a, 3 于是4a=3,得a=4符合题意; 若a<0,f(x)=|t-a|+4a=t+3a,当t=0时取得最小值 3a,于是3a=3,得a=1不符合题意. 3 综上可知,a=4.

方法二

试验法
? x2 ? ? -1? 2 ?x +1 ? ? ?

若a=1,则f(x)=

+4>4,显然函数的最小值不是

? x2 3? 3 ? - ? +3,这时 3,故排除选项B、C;若a= ,f(x)= ? 2 ? 4 ?x +1 4 ?

x2 3 只要令 2 - =0,即x=± 3,函数可取得最小值3,因此 x +1 4 A项正确,D项错误.

答案

A

m-3 4-2m π θ 15.已知sin θ= ,cos θ= ( <θ<π),则tan 等于 2 m+5 m+5 2 ( D ) m-3 A. 9-m m-3 B. | | 9-m C. 1 3 D.5

解析 由于受条件sin2θ+cos2θ=1的制约,故m为一确 定的值,于是sin θ,cos θ的值应与m的值无关,进而 θ π π θ π θ tan 2 的值与m无关,又 2 <θ<π, 4 < 2< 2 ,∴tan 2 >1,故 选D项.

16.已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么 y=f(x),y=g(x)图象可能是 ( )

解析

从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同,可以

排除B项,再者导函数的函数值反映的是原函数增加的快 慢,可明显看出y=f(x)的导函数是减函数,所以原函数应该 增加的越来越慢,排除A、C两项,最后只有D项,可以验证 y=g(x)导函数是增函数,增加越来越快.

答案

D


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2011届高考数学第一轮复习综合测试题1

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2011届高考数学第一轮知识点复习25

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2011届高考数学第一轮复习测试题27

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2011届高考数学第一轮复习测试题21

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