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2.3 幂函数


第二章 基本初等函数(I) 2.3 幂函数

泰安一中 高一数学组 刘飞

判一判
判断下列函数是否为幂函数.
(1) y=x4 1 ( 2) y ? 2 x (3) y= -x2 (4) y=x3+2 (5) y=2x

(6) y=1

下面研究幂函数

>y?x .
1 2

?

y=x y ? x

2

y?x

3

y?x

y?x

?1

y=x0 在同一平面直角坐标系内作出这
六个幂函数的图象.

y=x y ? x
x … …
… … …

2

y?x y?x
3

1 2

y?x
1 1
1 1 1

?1

y=x0
3 3
9 27

-3 -3
9 -27 \

-2 -2
4 -8 \

-1 -1
1 -1 \

0 0
0 0 0

2 2
4 8

… …
… … …

y?x

y?x
y?x

2

3
1 2

y?x

2
1/2

3
1/3

y?x

?1

… -1/3

-1/2

-1

\

1



4

3

2

1

(1,1)
2 4 6

-6

-4

-2

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

4

3

y=x

2

1

(1,1)
2 4 6

-6

-4

-2

-1

(-1,-1)

x y=x2
-2 -3 -4

-3 -2 -1 0 1 2 9 4 1 01 4

3 9

(-2,4)

4

(2,4) y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

(2,4) y=x2 y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

x y=x3
-3 -4

-3 -2 -27 -8

-1 0 1 2 3 -1 0 1 8 27

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

x
1 2

0

1

2

4

-3

y?x 0

1

2

2

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

x
y?x
?1

-3 -2 -1 1
? 1 1 ? ?1 3 2

2

3
1 3

-3

1

1 2

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

观察幂函数图象,将你发现的结论写在下表:
y=x 定义域 值域 奇偶性 R R y=x2 R y=x3 y=x
1 2

y=x-1

R [0,+∞) R [0,+∞)

{x|x≠0}
{y|y≠0}

[0,+∞)







非奇 非偶



在R 在(-∞,0]上减, 在R上 单调性 上增 在[0,+∞)上增, 增

在[0, 在(-∞,0)上减, +∞)上增, 在(0,+∞)上减

公共点

(1,1)

幂函数的性质
(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图 象都通过点(1,1); (2) 如果α>0,则幂函数图象过原点,并且 在区间[0,+∞)上是增函数; (3) 如果α<0,则幂函数图象在区间(0,+∞) 上是减函数; (4) 当α为奇数时,幂函数为奇函数;当α为偶 数时,幂函数为偶函数.

题型一 幂函数定义
如果函数 f ( x) ? (m ? m ?1)x
2 m2 ?2m?3

是幂函数,

且在区间( 0 , +∞ )内是减函数,求满足条件的
实数m的集合。

解:依题意,得 m ? m ? 1 ? 1 解方程,得 m=2或m=-1 ?3 检验:当 m=2时,函数为 f ( x) ? x 0 符合题意.当m=-1时,函数为 f ( x) ? x ? 1 不合题意,舍去.所以m=2
2

题型二 求幂函数定义域 值域

(1)y ? x (2)y ? x (3)y ? x (4)y ? x (5)y ? x (6)y ? x

2 3 2 ? 3 3 2 3 ? 2 ?2 ?3

题型三 利用单调性判断下列各值的大小。

(1)5.20.8 与 5.30.8
(2)0.220.3 与 20.30.3 ? ? (3) 2.5 5 与2. 75
解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数,

∵5.2<5.3

∴ 5.20.8 < 5.30.8

(2)y=x0.3在(0,+∞)内是增函数 ∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,+∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5

(4)若(a+1) ? (3 ? 2a) ,则a的取值范围。

?

1 2

?

1 2

题型四 幂函数图像应用 步步高52页

备选1

证明幂函数 f ( x) ? x 在[0,+∞)上是增函数.

复习用定义证明函数的单调性的步骤: (1). 设x1, x2是某个区间上任意二值,且x1<x2; (2). 作差 f(x1)-f(x2),变形 ; (3). 判断 f(x1)-f(x2) 的符号; (4). 下结论. 证明:任取

x1, x2 ?[0,??),且x1 ? x2 , 则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ?
?

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) x1 ? x2

x1 ? x2 , ? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 ). x1 ? x2

所以幂函数 f ( x) ? x 在[0,+∞)上是增函数.
作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有理化的方式



备选2 判断正误

1 1.函数f(x)=x+ 为奇函数. x 2.函数f(x)=x2,x?[-1,1)为偶函数.

3.函数y=f(x)在定义域R上是奇函数, 且在(-?,0]上是递增的,则f(x)在[0,+ ?) 上也是递增的.

4.函数y=f(x)在定义域R上是偶函数, 且在(-?,0]上是递减的,则f(x)在[0,+ ?) 上也是递减的.

课堂小结:

本节知识结构: 幂函数

定义

五个特殊幂函数
图象 基本性质


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