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解三角形知识点、高考总结


解三角形

?1? 正弦定理:
① a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C ③

(2)推论:正余弦定理的边角互换功能 ② sin A ?

a b c , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R

a b c a?b?c ?

? = = 2R sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C
1 1 1 ab sin C = bc sin A = ca sin B 2 2 2

④ a : b : c ? sin A : sin B : sin C

三角形的面积公式: s ?

? b2 ? c2 ? a 2 , ?cos A ? 2 bc ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, ? a 2 ? c 2 ? b2 ? 2 ? 2 2 , 余弦定理: ?b ? a ? c ? 2ac cos B, ? ?cos B ? 2 2 2 2 ac c ? a ? b ? 2 ab cos C . ? ? 2 2 2 ? ? cos C ? a ? b ? c . ? 2ab ?
1、 (2013 湖南)在锐角中 ?ABC ,角 A, B 所对的边长分别为 a , b .若 2a sin B ?

3b, 则角A等于

2、 (2013 安徽) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长为 a, b, c .若 b ? c ? 2a ,则 3sin A ? 5sin B, 角 C ? ___

π 3、[2014· 江西卷] 在△ABC 中,内角 A, B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c2=(a-b)2+6, C= ,则△ABC 3 的面积是 a 4、[2014· 广东卷] 在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c.已知 bcos C+ccos B=2b,则 = b 1 5、[2014· 天津卷] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 b-c= a,2sin B=3sin C, 4 则 cos A 的值为________. 1 6、[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB=1,BC= 2,则 AC= 2 7、 (2013 陕西)设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形状为
8、 (2013 天津)在△ABC 中, ?ABC ?

?
4

, AB ? 2, BC ? 3, 则 sin?BAC =C

3 10 10

9、 (2013 辽宁)在 ?ABC ,内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c. a sin B cos C ? c sin B cos A ?

a ? b ,则 ?B ? A A.

? 6

1 b, 且 2

10、[2014· 四川卷] 如图 13 所示,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的 俯角分别为 67°,30°,此时气球的高度是 46 m,则河流的宽度 BC 约 等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据 sin 67°≈0.92, cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80, 3≈1.73) 1 例 1、 [2014· 全国] △ABC 的内角 A,B,C 的对边为 a,b,c.已知 3acos C=2ccos A,tan A= ,求 B. 3

例 2、在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C 成等差数列。 (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值。

例 3、 (2013 北京)在△ABC 中,a=3,b=2

6 ,∠B=2∠A.

(I)求 cosA 的值;

(II)求 c 的值.

例 4、 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 2 cos 2 A ? B cos B ? sin( A ? B) sin B ? cos( A ? C ) ? ? 3 . 2 5 (Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.

例 5、 (2013 湖北)在 ?ABC 中,角 A , B , C 对应的边分别是 a , b , c .已知 cos 2 A ? 3cos ? B ? C ? ? 1 .

(I)求角 A 的大小; (II)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值.

例 6、[2014· 安徽卷] 设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A=2B. (1)求 a 的值; π (2)求 sin?A+ ?的值. 4? ?

1、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a , b, c ,若 a ? b ? 2c ,则 cos C 的最小值为
2 2 2

2、在 ?ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则 ?ABC 的形状是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

) D.不能确定

3、在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c ,已知 8b=5c,C=2B,则 cosC= 4、 设△ ABC 的内角 A ,B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c . 若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ab , 则角 C ? 5、在△ABC 中,若 a =2,b+c=7,cosB= ? .

1 ,则 b=_______。 4

6、已知△ABC 得三边长成公比为 2 的等比数列,则其最大角的余弦值为_________. 7、设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 cos A ?

3 5 , cos B ? ,b ? 3 则c ? 5 13

8、[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(2+b)· (sin A -sin B)=(c-b)sin C,则△ABC 面积的最大值为________.16. 3 9、已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (1)求 A (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c .

1 → → 10、在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边为 a,b,c,且 a>c.已知BA·BC=2,cos B= ,b=3.求: 3 (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值.

11、 (2013 山东)设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a ? c ? 6 , b ? 2 , cos B ?

7 . 9

(Ⅰ)求 a , c 的值;

(Ⅱ)求 sin( A ? B) 的值.

12、 (2013 新课标Ⅱ)△ ABC 在内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a ? b cos C ? c sin B .

(Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 ,求△ ABC 面积的最大值.


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