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上海市五校2014届高三第二学期联合教学调研数学(理科)试卷(WORD版)


上海市五校 2014 届高三第二学期联合教学调研 数学(理科)试卷
考生注意:
1、本试卷考试时间 120 分钟,试卷满分 150 分. 2、答题前,考生务必在试卷和答题纸的规定位置准确填写、填涂学校、姓名、准考证号. 3、考试结束只交答题纸.

一、填空题: (本大题共 14 题,每题 4 分,共 56 分,考生应在答题纸相应编号的空格内

直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. )
?1 1 1.已知线性方程组的增广矩阵为 ? ?0 a

? 4? 6? ? ,若该线性方程组解为 ? ? ,则实数 a ? ___. 2? ? 2?

2.已知 i 为虚数单位,复数

5i 的虚部是______. 2?i

3. 在极坐标系 (ρ , θ ) ( 0 ? ? <2? ) 中, 曲线 ? ? cos? ? sin ? ? ? 1 与 ? ? sin ? ? cos? ? ? 1 的交点的极坐标为 .

2 4.已知 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 4 | 的最小值为 n ,则二项式 ( x ? ) 展开式中 x 项的系数
n

1 x



. .

5. 已知 y ? f ( x) 是奇函数,若 g ( x) ? f ( x) ? 2 且 g (1) ? 1 ,则 g (?1) ?

6.设 P 为函数 f ( x) ? sin ? x 的图象上的一个最高点,Q 为函数 g ( x) ? cos? x 的图象上的 一个最低点,则|PQ|最小值是 .

7.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等, 则甲或乙被录用的概率为 .
2 2

8.过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x +y ≤4}分为两部分,使得这两部分的面积 之差最大,则该直线的方程为 . 9. 在右图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径为 40cm, 母线长最短 50cm,最长 80cm,则斜截圆柱的侧面面积 S=______cm . 10.设 M( x0 , y0 )为抛物线 C: x ? 8 y 上一点,F 为抛物线 C
2
2

80cm 50cm

40cm 的焦点,以 F 为圆心、 FM 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交, 则 y0 的取值范围是 .

1 11. 在正项等比数列{ an }中,a1 = ,a6 ? a7 =3.则满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1a2 ?an 的最 2 大正整数 n 的值为________. 12. 定义:如果函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b ? 上存在 x0 (a ? x0 ? b) ,满足

f ( x0 ) ?

f (b) ? f (a ) ,则称 x0 是函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b ? 上的一个均值点.已知函数 b?a
___.

f ( x) ? ? x 2 ? mx ? 1 在区间 ? ?1,1? 上存在均值点,则实数 m 的取值范围是_

13. 若函数 f ( x) 满足 f ( x) ? 1 ?

1 ,当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ,若在区间 (?1,1] 上, f ( x ? 1)
.

g ( x) ? f ( x) ? mx ? m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是

14. 在实数集 R 中,我们定义的大小关系“ ? ”为全体实数排了一个“序”.类似的, 我们在平面向量集 D ? {a | a ? ( x, y), x ? R, y ? R} 上也可以定义一个称为“序”的 关系,记为“ ? ”. 定义如下: 对于任意两个向量 a1 ? ( x1 , y1 ),a2 ? ( x2 , y2 ), , a1 ? a2 当且仅当“ x1 ? x2 ” 或“ x1 ? x2且y1 ? y2 ”. 按上述定义的关系“ ? ”,给出如下四个命题: ① 若 e1 ? (1,0),e2 ? (0,1) , 0 ? (0,0) 则 e1 ? e2 ? 0 ; ② 若 a1 ? a 2 , a 2 ? a3 ,则 a1 ? a3 ; ③ 若 a1 ? a2 ,则对于任意 a ? D , a1 ? a ? a2 ? a ; ④ 对于任意向量 a ? 0 , 0 ? (0,0) ,若 a1 ? a2 ,则 a ? a1 ? a ? a2 . 其中真命题的序号为 . 二、选择题: (本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分,每题有且只有一个正确答案,考生应 在答案纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分.)

?? ?,1?上为减函数”的 15. “a=1”是“函数 f ( x) ?| x ? a | 在区间
A.充分不必要条件; C.充要条件; B.必要不充分条件; D.既不充分也不必要条件.





16.设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{ an }的前 n 项和, 则下列命题错误 的是 ( .. A.若 d<0,则数列{ Sn }有最大项;

)

B.若数列{ Sn }有最大项,则 d<0; C.若数列{ Sn }是递增数列,则对任意 n∈N ,均有 Sn >0; D.若对任意 n∈N ,均有 Sn >0,则数列{ Sn }是递增数列. 17. 过抛物线 y =4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A,B 两点,它们到直线 x=-2 的距离之和等于 5,则这样的直线 A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在. ( )
2 * *

18.设 A1 , A2 , A3 , A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若 A , 1A 3 ? ?A 1A 2 (λ ∈R)

?????

?????

????? ????? 1 1 ,且 ? ? 2 ,则称 A3 , A4 调和分割 A1 , A2 , A1 A4 ? ? A1 A2 (μ ∈R) ? ?
已知平面上的点 C,D 调和分割点 A,B 则下面说法正确的是 (A) .C 可能是线段 AB 的中点; (B) .D 可能是线段 AB 的中点; ( )

(C) .C,D 可能同时在线段 AB 上; (D) .C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上.

三、解答题: (本大题满分 74 分,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必 要的步骤 .) 19、(12 分)在△ ABC 中,角 A, B , C 所对的边分别为 a , b , c ,满足 (1)求角 C ; (2)求 sinA ? sinB 的取值范围. 解:

a ? c sin A ? sin B . ? b sin A ? sinC

20、 (14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形,

?ABC ? 90o , AD ∥ BC ,且 PA ? AD ? 2 , AB ? BC ? 1 , E 为 PD 的中点.
(1)求二面角 E ? AC ? D 的余弦值;

B 两点重合) (2)在线段 AB 上求一点 F (不与 A , ,使得 AE ∥平面 PCF ,
并求出 AF 的长. 解:

P
E A

D
C

B

21、(本小题满分 14 分) 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点 O 为圆心的两个同 心圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为 30 米,其中 大圆弧所在圆的半径为 10 米.设小圆弧所在圆的半径为 x 米,圆心角为 ? (弧度) . (1)求 ? 关于 x 的函数关系式; (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为 4 元/米,弧线 部分的装饰费用为 9 元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为 y ,求 y 关于 x 的 函数关系式,并求出 x 为何值时, y 取得最大值? 解:

?
O (第 21 题图)

22、 (16 分)如图,在正方形 OABC 中, O 为坐标原点,点 A 的坐标为 (10, 0) ,点 C 的坐标为

(0,10) .分别将线段 OA 和 AB 十等分,分点分别记为 A1 , A2 ,.... A9 和 B1 , B2 ,....B9 ,连结

OBi ,过 Ai 做 x 轴的垂线与 OBi 交于点 Pi (i ? N * ,1 ? i ? 9) .
(1)求证:点 Pi (i ? N ,1 ? i ? 9) 都在同一条抛物线上,并求该抛物线 E 的方程;
*

(2)过点 C 做直线与抛物线 E 交于不同的两点 M , N ,若 ?OCM 与 ?OCN 的面积比为 (3)倾斜角为 a 的直线经过抛物线 E 的焦点 F,且与抛物线交于 A、B 两点,若 ? 为 锐角,作线段 AB 的垂直平分线 m 交 y 轴于点 P,证明|FP|+|FP|cos2a 为定值, 并求此定值. 解:

4 :1 ,求直线的方程.

(an , S n ) 在函数 y ? 23、 (18 分)在正数数 {an } 中, S n 为 an 的前 n 项和,若点
象上,其中 c 为正常数,且 c ≠1. (1)求数列 {an } 的通项公式;

c2 ? x 的图 c ?1

n2 n a n ? 2 (2)设数列 {bn } 满足 bn ? ,当 c ? 2 的时候,是否存在正整数 m、n(1<m<n) , (2n ? 1) 使得 b1 , bm , bn 成等比数列?若存在,求出所有的 m、n 的值,若不存在,请说明理由;
(3)设数列 {cn } 满足 cn ? {

n, n ? 2k ? 1 3 时候,在数列 {cn } 中,是 , k ? N * ,当 c ? 2an , n ? 2k 3 否存在连续的三项 cr , cr ?1 , cr ? 2 ,按原来的顺序成等差数列?若存在,求出所有满足条 件的正整数 r 的值;若不存在,说明理由.

数学答案(理科)
一、填空题
?1 1 1.已知线性方程组的增广矩阵为 ? ?0 a

? 4? 6? ? ,若该线性方程组解为 ? ? ,则实数 a ? _1__. 2? ? 2?

5i 的虚部是__2____. 2?i 3. 在极坐标系 (ρ , θ ) ( 0 ? ? <2? ) 中, 曲线 ? ? cos? ? sin ? ? ? 1 与 ? ? sin ? ? cos? ? ? 1
2.已知 i 为虚数单位,复数 的交点的极坐标为 . 【解析】 曲线 ? (cos ? ? sin ? ) ? 1 与 ? (sin ? ? cos ? ) ? 1 的直角坐标方程分别为 x ? y ? 1 和

y ? x ? 1 ,两条直线的交点的直角坐标为 (0 , 1) ,化为极坐标为 (1 ,
1 x
n

?
2

).

2 4.已知 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 4 | 的最小值为 n ,则二项式 ( x ? ) 展开式中 x 项的系数

为 15 . 5. 若已知 y ? f ( x) 是奇函数,若 g ( x) ? f ( x) ? 2 且 g (1) ? 1 ,则 g (?1) ?

3

6.设 P 为函数 f ( x) ? sin ? x 的图象上的一个最高点,Q 为函数 g ( x) ? cos? x 的图象上的一 个最低点,则|PQ|最小值是

17 2 .

7. 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人,这五人被录用的机会均等, 9 则甲或乙被录用的概率为 10 【解析】 :选 D 事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”,从五位学生 中选三人的基本事件个数为 10,“甲和乙都未被录用”只有 1 种情况,根据古典概型和 1 9 对立事件的概率公式可得,甲或乙被录用的概率 P=1- = . 10 10 8. 过点 P(1,1)的直线, 将圆形区域{(x, y)|x2 +y2≤4}分为两部分, 使得这两部分的面积之差最大, 则该直线的方程为 x+y-2=0 。 9. 在右图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径为 40cm, 母线长最短 50cm,最长 80cm,则斜截圆柱的侧面面积 S=__2600 ? ____cm2。 10.设 M( x0 , y0 )为抛物线 C: x ? 8 y 上一点,F 为抛物线 C
2

的焦点,以 F 为圆心、 FM 为半径的圆和抛物线 C 的准线相交, 50cm 则 y0 的取值范围 9 是(2,+∞) 。 40cm

80cm

1 11. 在正项等比数列{an}中, a5= , a +a =3. 则满足 a1+a2+?+an>a1a2 ?an 的最大正整数 n 的值 2 6 7 为____12____. 1 1 【解析】设{an}的公比为 q.由 a5= 及 a5(q+q2 )=3 得 q=2,所以 a1= ,所以 a6=1,a1a2 ?a11=a11 6 2 32 1 1 =1, 此时 a1+a2 +?+a11>1.又 a1+a2 +?+a12 =27- , a a ?a =26<2 7- , 所以 a1a2?a12 >a1a2 ? 32 1 2 12 32 1 1 a12 ,但 a1+a2+?+a13=28- ,a1a2?a13=26·2 7=25·28>28- ,所以 a1+a2+?+a13<a1a2? 32 32 a13,故最大正整数 n 的值为 12. 12.定义:如果函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b ? 上存在 x0 (a ? x0 ? b) ,满足

f (b) ? f (a ) , 则称 x0 是函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b ? 上的一个均值点 . 已知函数 b?a f ( x) ? ? x 2 ? mx ? 1 在区间 ? ?1,1? 上存在均值点,则实数 m 的取值范围是_(0,2)___; f ( x0 ) ?

1 ,当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ,若在区间 (?1,1] 上, f ( x ? 1) g ( x) ? f ( x) ? mx ? m 有两个零点,则实数 m 的取值范围是 1 【解析】∵ f ( x) ? 1 ? f ( x ? 1)
13. 若函数 f ( x) 满足 f ( x) ? 1 ? 当 x∈[0,1]时,f(x)=x, ∴x∈(-1,0)时, x ? 1 ? (0,1) ∴ f(x) = f(x)+1 =

1 x ?1

1 ?1 x ?1

因为 g(x)=f(x)-mx-m 有两个零点, 所以 y=f(x)与 y=mx+m 的图象有两个交点,

1 时,两函数有两个交点 2 14. 在实数集 R 中,我们定义的大小关系“ ? ”为全体实数排了一个“序”.类似的,我
函数图象如图,由图得,当 0<m≤ 们在平面向量集 D ? {a | a ? ( x, y), x ? R, y ? R} 上也可以定义一个称为“序”的关 系,记为 “ ? ”.定义如下:对于任意两个向量 a1 ? ( x1 , y1 ),a2 ? ( x2 , y2 ), , a1 ? a2 当且仅当“ x1 ? x2 ”或“ x1 ? x2且y1 ? y2 ”. 按上述定义的关系“ ? ”,给出如下四个命题: ① 若 e1 ? (1,0),e2 ? (0,1) , 0 ? (0,0) 则 e1 ? e2 ? 0 ; ② 若 a1 ? a 2 , a 2 ? a3 ,则 a1 ? a3 ; ③ 若 a1 ? a2 ,则对于任意 a ? D , a1 ? a ? a2 ? a ; ④ 对于任意向量 a ? 0 , 0 ? (0,0) ,若 a1 ? a2 ,则 a ? a1 ? a ? a2 . 其中真命题的序号为 ① ② ③ ; 【解析】 (1)①显然正确 (2)设 a1 ? ( x1 , y1 ),a2 ? ( x2 , y2 ), a3 ? ( x3 , y3 ) 由 a1 由 a2

? a2 ,得“ x1 ? x2 ”或“ x1 ? x2且y1 ? y2 ”
? a3 ,得“ x2 ? x3 ”或“ x2 ? x3且y2 ? y3 ”

若x1 ? x2 ? x3 ,则 a1 ? a3
若“ x1 ? x2 ”且“ x2 ? x3且y2 ? y3 ”,则 x1 ? x3 ,所以 a1 ? a3 若“ x1 ? x2且y1 ? y2 ” 且“ x2 ? x3 ”,则 x1 ? x3 ,所以 a1 ? a3 若“ x1 ? x2且y1 ? y2 ” 且“ x2 ? x3且y2 ? y3 ”,则 x1 ? x3且y1 ? y3 ,所以 a1 ? a3 综上所述,若 a1 ? a 2 , a 2 ? a3 ,则 a1 ? a3 (3)设 a1 所以②正确

? ( x1 , y1 ),a2 ? ( x2 , y2 ),a ? ( x, y) ,则

a1 ? a ? ( x1 ? x, y1 ? y ),a2 ? a ? ( x2 ? x, y2 ? y)
由 a1

? a2 ,得“ x1 ? x2 ”或“ x1 ? x2且y1 ? y2 ”

若 x1 ? x2 ,则 x1 ? x ? x2 ? x ,所以 a1

? a ? a3 ? a

若 x1 ? x2且y1 ? y2 ,则 x1 ? x ? x2 ? x且y1 ? y ? y2 ? y ,所以 a1

? a ? a3 ? a

综上所述,若 a1 ? a2 ,则对于任意 a ? D , a1 ? a ? a2 ? a 所以③正确 (4) a1

? ( x1 , y1 ),a2 ? ( x2 , y2 ),a ? ( x, y)

由a 由 a1

? 0得

“ x ? 0 ”或“ x ? 0且y ? 0 ” “ x1 ? x2 ”或“ x1 ? x2且y1 ? y2 ”

? a2 得

若“ x ? 0且y ? 0 ”且“ x1 ? x2 且y1 ? y2 ” ,则 xx1 ? xx2 ? 0 且yy1 ? yy2 , 所以 xx1 ? yy1 ? xx2 ? yy2 所以 a ? a1 ? a ? a2 所以④不正确 综上所述,①②③正确,选 B 二、选择题

15. “a=1”是“函数 f ( x) ?| x ? a | 在区间 ?? ?,1?上为减函数”的 ( A ) A.充分不必要条件; B.必要不充分条件; C.充要条件; D.既不充分也不必要条件; 16.设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前 n 项和,则下列命题错误 的是( C ) .. A.若 d<0,则数列{Sn}有最大项; B.若数列{ S n }有最大项,则 d>0; C.若数列{ S n }是递增数列,则对任意 n∈N ,均有 S n >0; D.若对任意 n∈N ,均有 S n >0,则数列{ S n }是递增数列; [解析] 本题考查等差数列的通项、前 n 项和,数列的函数性质以及不等式知识,考查灵活 运用知识的能力,有一定的难度. 法一:特值验证排除.选项 C 显然是错的,举出反例:-1,0,1,2,3,?满足数列{S n} 是递增数列,但是 S n >0 不恒成立. n? 法二:由于 S n =na1+ d? n-1? d 2 ? d= n +?a1- ?n,根据二次函数的图象与性质知当 2? 2 2 ?
* * *

d<0 时,数列{ S n }有最大项,即选项 A 正确;同理选项 B 也是正确的;而若数 列{ S n }是递增数列,那么 d>0,但对任意的 n∈N , S n >0 不成立,即选项 C 错 误;反之,选项 D 是正确的;故应选 C. 2 17. 过抛物线 y =4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A,B 两点,它们到直线 x=-2 的距离之和等于 5,则这样的直线 ( D ) A.有且仅有一条; B.有且仅有两条;C.有无穷多条; D.不存在; 【解析】 由题意知 A,B 点到 x=-1 的距离和为 3,由抛物线定义可知|AB|=3,我们知道 抛物线中过焦点的弦长最小值为 2p=4,而|AB|=3,显然这样的弦不存在. 18.设 A1 , A2 , A3 , A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若 A , 1A 3 ? ?A 1A 2 (λ ∈R)

?????

?????

? ? ? ? ? ? A A ? A 1 4 ?A 12

(μ ∈R) ,且

1

?

?

1

?

? 2 ,则称 A3 , A4 调和分割 A1 , A2 ,已知平面上的

点 C,D 调和分割点 A,B 则下面说法正确的是 ( D ) (A) .C 可能是线段 AB 的中点; (B) .D 可能是线段 AB 的中点; (C) .C,D 可能同时在线段 AB 上; (D) .C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上; 【解析】C、D 在不在线段 AB 上就是看 λ 、μ 的取值,比如 λ >1 时 C 就在 AB 延长线上,μ > 1 就表示 D 在 AB 延长线上,题目就是要根据

1

?

?

1

?

? 2 比较 λ 、μ 的可能取值
1 1 1 ,那么 或 2 ? ?

现在看 A 和 B 选项:如果 C 或者 D 在线段 AB 中点,那么 λ 、μ 中有一个是 中有一个是 2,但是又有

1

?

?

1

?

? 2 ,所以这个情况不可能; 1

看 C 选项:如果 C、D 同时在线段 AB 上,那么经过计算可以算得无法使 所以这个情况不可能; 看 D 选项:如果 C、D 同时在线段 AB 延长线上,那么 λ 、μ 都大于 1 那么也无法使 三、解答题 19、在△ ABC 中,角 A, B , C 所对的边分别为 a , b , c ,满足 (1)求角 C ;

?

?

1

?

? 2 成立

1

?

?

1

?

? 2 成立所以选 D
a ? c sin A ? sin B . ? b sin A ? sinC

(2)求 sinA ? sinB 的取值范围. a ? c sin A ? sin B a ? b 解: (Ⅰ) ,化简得 a 2 ? b 2 ? ab ? c 2 , ? ? b sin A ? sinC a ? c ? a 2 ? b2 ? c 2 1 所以 cos C ? ? ,C ? . 3 2ab 2 (Ⅱ) sinA ? sinB ? [sin A ? sin( 因为 A ? (0,

?4 分 ?6 分 ?8 分 10 分

? 2? ) , A ? ? ( , ) ,所以 sin( A ? ) ? ( ,1] . 3 6 6 6 6 2

? 2? ? A)] ? 3 sin( A ? ) . 6 3 ? 1 ? 5?

3 ?12 分 , 3] . 2 20、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形, ?ABC ? 90o , AD ∥ BC ,且 PA ? AD ? 2 , AB ? BC ? 1 , E 为 PD 的中点. (1)求二面角 E ? AC ? D 的余弦值; (2)在线段 AB 上求一点 F (不与 A , ,使得 AE ∥平面 PCF , B 两点重合) 并求出 AF 的长. y, z 轴建立空间直角 解: (1)如图,以 A 为坐标原点, AB , AD , AP 所在直线分别为 x , 坐标系 A ? xyz .???5 分 则 A(0 , 0, 0) , C (1,, 1 0) , E (0 ,, 1 1) , P(0 , 0, 2) , z ??? ? ??? ? ??? ? P 所以 AP ? (0 ,, 0 2) , AC ? (1,, 1 0) , AE ? (0 ,, 1 1) . ??? ? 因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 AP ? (0 ,, 0 2) 为 E 平面 ACD 的一个法向量.??6 分 ?? 设平面 EAC 的法向量为 n1 ? ( x , y, z) , A D ?? ??? ? ?? ??? ? ?x ? y ? 0 , 由 n1 ? AC ? 0 , n1 ? AE ? 0 得 ? B C x ?y ? z ? 0, 令 x ? 1 ,则 y ? ?1 , z ? 1 ,
故 sinA ? sinB 的取值范围是 ( 所以 n1 ? (1, ?1, 1) 是平面 EAC 的一个法向量.

y

??

???8 分

AP ?? 所以 cos ? n1 ,

?? ??? ?

1? 0 ? (?1) ? 0 ? 1? 2 12 ? (?1)2 ? 12 ? 2

?

3 3

3 . 9分 3 (2)解:设在线段 AB 上存在点 F (不与 A , ,使得 AE ∥平面 PCF . B 两点重合) ??? ? ??? ? 设 F (a , 0, 0) ,则 CF ? (a ?1, ?1, 0) , CP ? (?1, ?1, 2) . ?? ? 设平面 PCF 的法向量为 n2 ? ( x , y, z) , z P ?? ? ??? ? ?? ? ??? ? ?(a ? 1) x ? y ? 0 , 由 n2 ? CF ? 0 , n2 ? CP ? 0 得 ? E ?? x ? y ? 2 z ? 0 ,
因为二面角 E ? AC ? D 为锐角, 所以二面角 E ? AC ? D 的余弦值为 令 x ? 1 ,则 y ? a ? 1 , z ?

a ? 1 , ) 是平面 PCF 的一个法向量.?12 分 所以 n2 ? (1 ,
因为 AE ∥平面 PCF ,所以 AE ? n2 ? 0 ,即 ( a ? 1) ?

?? ?

a , 2

a 2

x B

A F

D
C
2 , 3

y

??? ? ?? ?

a ? 0, 2

解得 a ?

所以在线段 AB 上存在一点 F (不与 A , , B 两点重合) 使得 AE ∥平面 PCF ,且 AF =

2 .??14 分 3

21、(本小题满分 14 分) 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点 O 为圆心的两个同心 圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为 30 米,其中大 圆弧所在圆的半径为 10 米.设小圆弧所在圆的半径为 x 米,圆心角为 ? (弧度) . (1)求 ? 关于 x 的函数关系式; (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为 4 元/米,弧线部 分的装饰费用为 9 元/米. 设花坛的面积与装饰总费用的比为 y ,求 y 关于 x 的函数 关系式,并求出 x 为何值时, y 取得最大值? X 解:(1)设扇环的圆心角为?,则 30 ? ? ?10 ? x ? ? 2(10 ? x) ,
10 ? 2 x ,?????????4 分 10 ? x (2) 花坛的面积为 1 ? (102 ? x2 ) ? (5 ? x)(10 ? x) ? ? x2 ? 5x ? 50, (0 ? x ? 10) .?7 分 2 装饰总费用为 9? ?10 ? x ? ? 8(10 ? x) ? 170 ? 10x ,?9 分

所以 ? ?

?

O ? x 2 ? 5 x ? 50 x 2 ? 5 x ? 50 ( 第 21 题图 ) =? 所以花坛的面积与装饰总费用的比 y = , ???? 11 分 170 ? 10 x 10(17 ? x) 39 1 324 3 12 令 t ? 17 ? x ,则 y ? ? (t ? ) ≤ ,当且仅当 t=18 时取等号,此时 x ? 1,? ? . 10 10 t 10 11 答:当 x ? 1 时,花坛的面积与装饰总费用的比最大.???????????14 分

22、如图,在正方形 OABC 中, O 为坐标原点,点 A 的坐标为 (10, 0) ,点 C 的坐标为 (0,10) .分别 将线段 OA 和 AB 十等分,分点分别记为 A1 , A2 ,.... A9 和 B1 , B2 ,....B9 ,连结 OBi ,过 Ai 做 x 轴的垂线与 OBi 交于点 Pi (i ? N * ,1 ? i ? 9) . (1)求证:点 Pi (i ? N * ,1 ? i ? 9) 都在同一条抛物线上,并求该抛物线 E 的方程; (2)过点 C 做直线与抛物线 E 交于不同的两点 M , N ,若 ?OCM 与 ?OCN 的面积比为 (3)倾斜角为 a 的直线经过抛物线 E 的焦点 F,且与抛物线交于 A、B 两点,若 ? 为锐角, 作线段 AB 的垂直平分线 m 交 y 轴于点 P,证明|FP|+|FP|cos2a 为定值,并求此定值。 解:(Ⅰ)依题意,过 Ai (i ? N ,1 ? i ? 9) 且与 x 轴垂直的直线方程为 x ? i
*

4 :1,求直线的方程.

? Bi (10, i ) ,? 直线 OBi 的方程为 y ?

? x?i 1 2 ? 2 设 Pi 坐标为 ( x, y ) ,由 ? i 得: y ? x ,即 x ? 10 y , 10 y? x ? 10 ? * ? Pi (i ? N ,1 ? i ? 9) 都在同一条抛物线上,且抛物线 E 方程
为 x ? 10 y (4 分)
2

i x 10

(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为 y ? kx ? 10 由?

? y ? kx ? 10 2 得 x ? 10kx ? 100 ? 0 2 ? x ? 10 y
2

此时 ? ? 100k +400 ? 0 ,直线与抛物线 E 恒有两个不同的交点 M , N 设: M ( x1 , y1 ) N ( x2 , y2 ) ,则 ?

? x1 ? x2 ? 10k ? x1 ? x2 ? ?100

? S?OCM ? 4 S?OCN ? x1 ? 4 x2
又? x1 ? x2 ? 0 ,? x1 ? ?4 x2

? y ? kx ? 10 3 ,解得 k ? ? 2 2 ? x ? 10 y 3 直线的方程为 y ? ? x +10 ,即 3x ? 2 y ? 20 ? 0 或 3x +2 y ? 20 ? 0 (6 分) 2 5 (3)直线 AB: y ? tan ? ? x ? 代入 x 2 ? 10 y , 2 2 整理得: x ? 10 tan ? ? x ? 25 ? 0 设方程二根为 x1,x2 ,则 x1 ? x2 ? 10 tan ? .
分别带入 ?
5? ? 设 AB 中点 M 为 ? 5 tan ? , 5 tan 2 ? ? ? 2? ? 1 5 AB 的垂直平分线方程是:y= ? (x ? 5 tan ? ) ? 5 tan 2 ? ? tan ? 2
2 2 令 x=0,则 y ? 5 tan ? ? 5 ? ,有P(5 tan ? ? 5 ?

5 2

5 , 0) 2

故 FP ? OP ? OF ? 5tan2 ? ? 5 于是|FP|+FP|cos2a=10,为定值。 (6 分)

(an , S n ) 在函数 y ? 23、在正数数列 {an } 中, S n 为 an 的前 n 项和,若点
其中 c 为正常数,且 c≠1。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {bn } 满足 bn ?

c2 ? x 的图象上, c ?1

n2 n a n ? 2 ,当 c ? 2 的时候,是否存在正整数 m、n(1<m<n) ,使 (2n ? 1)
n, n ? 2k ? 1 3 时候,在数列 {cn } 中,是 , k ? N * ,当 c ? 2an , n ? 2k 3

得 b1 , bm , bn 成等比数列?若存在,求出所有的 m、n 的值,若不存在,请说明理由; (3)设数列 {cn } 满足 cn ? {

否存在连续的三项 cr , cr ?1 , cr ? 2 ,按原来的顺序成等差数列?若存在,求出所有满足条件的 正整数 r 的值;若不存在,说明理由。

c 2 ? an c 2 ? a n c 2 ? a n ?1 , n ? 2时, S n ? S n ?1 ? ? c ?1 c ?1 c ?1 an?1 ? an an 1 an ? , (c ? 1)an ? an?1 ? an , can ? an?1 , ? c ?1 an?1 c 所以数列 {an } 为等比数列
解:(1) S n ?

2分

将 (a1 , S1 ) 代入 y ?
n?2 故 an ? ( )

c2 ? x 得, a1 ? c c ?1

3分 4分

1 c

n2 n a n ? 2 n m 2 1 n ( ) ? ? , 若 b1 , bm , bn 成等比数列,则 (2) bn ? 2m ? 1 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2 2 m n 3 ? 2m ? 4 m ? 1 ? 即 ,可得 ? 2 n 4m ? 4m ? 1 6n ? 3 m2 6 6 所以 ? 2m 2 ? 4m ? 1 ? 0 ,解得: 1 ? m ? 1? 2 2 又 m ? N * 且 m ? 1 ,所以 m ? 2 ,此时 n ? 12 所以当 m ? 2 , n ? 12 ,使得 b1 , bm , bn 成等比数列 10 分
(3)若 cr ? c2k ,则由 cr ? cr ? 2 ? 2cr ?1 ,得 2 ? 3k ?1 ? 2 ? 3k ? 2(2k ? 1) ,化简得

4 ? 3k ?1 ? 2k ? 1 ,此式左边为偶数,右边为奇数,不可能成立。 若 cr ? c2k ?1 ,则由 cr ? cr ? 2 ? 2cr ?1 ,得 (2k ? 1) ? (2k ? 1) ? 2 ? 2 ? 3k ?1
k ?1 化简得 k ? 3

12 分 14 分 16 分

k ?1 k 1 ? 2k ? k ?1 ? ?0 k 3 3 3 3k 因此, 1 ? T1 ? T2 ? T3 ? ??,故只有 T1 ? 1 ,此时 r ? 2 ? 1 ? 1 ? 1
令 Tk ?

k

k ?1

, k ? N * , Tk ?1 ? Tk ?

综上, 在数列 {cn } 中, 仅存在连续的三项 c1 , c2 , c3 ,按原来的顺序成等差数列, 此时正整数 r =1


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