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高一指数函数与对数函数经典基础练习题


指数函数与对数函数
一. 【复习目标】
1. 掌握指数函数与对数函数的函数性质及图象特征. 2. 加深对图象法,比较法等一些常规方法的理解. 3. 体会分类讨论,数形结合等数学思想.

二、 【课前热身】
1.设 y1 ? 4 A.
0.9

, y2 ? 8

0.48

>
?1? , y3 ? ? ? ?2?
B

?1.5

,则 (

) C y1 ? y 2 ? y3 ) D D y1 ? y3 ? y 2

y3 ? y1 ? y 2

y 2 ? y1 ? y3

2.函数 f ( x) ?| loga x | (a ? 0且a ? 1) 的单调递增区间为 ( A

?0, a?

B

?0,???

C

?0,1?

?1,???
? 得到, 2

3. 若函数 f ( x) 的图象可由函数 y ? lg?x ? 1? 的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转

f ( x) ? (
A 10
?x

) B

?1

10 x ? 1

C

1 ? 10? x

D

1 ? 10x

4.若直线 y=2a 与函数 y ?| a x ? 1 | (a ? 0, 且a ? 1 的图象有两个公共点,则 a 的取值范围 ) 是 . .

5..函数 y ? log2 (3x ? x 3 ) 的递增区间是

三. 【例题探究】
例 1.设 a>0, f ( x) ?

ex a ? 是 R 上的偶函数. a ex

(1) 求 a 的值; (2) 证明: f ( x) 在 ?0,??? 上是增函数

例 2.已知 f ( x) ? log 2

x?2 , g ( x) ? log 2 ?x ? 2 ? ? log 2 ? p ? x ?( p ? 2) x?2

(1) 求使 f ( x), g ( x) 同时有意义的实数 x 的取值范围 (2) 求 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的值域.

例 3.已知函数 f ( x ) ? a ?
x

x?2 (a ? 1) x ?1

(1)

证明:函数 f ( x) 在 ?? 1,??? 上是增函数;

(2)证明方程 f ( x) ? 0 没有负数根

四、方法点拨 1.函数单调性的证明应利用定义. 2.含参数的二次函数在闭区间上的最值应注意谈论. 3.会用反证法证明否定性的命题.

1 求下列各式中的 x 的值: (1) 3x ? 1 ;(2) 4 x ?
3 1 ;(3) 2 x ? 9 ; 64

(4) 5 2 x

? 125 ;(5) 7 2 x ?1 ? 1 .

2 有下列 5 个等式,其中 a>0 且 a≠1,x>0 , y>0 ① loga (x ? y) ? loga x ? loga y ,② loga (x ? y) ? loga x ? loga y , ③ loga
x 1 ? loga x ? loga y ,④ loga x ? loga y ? loga (x ? y) , y 2

⑤ loga (x 2 ? y 2 ) ? 2(loga x ? loga y) , 将其中正确等式的代号写在横线上_____________. 3 化简下列各式: (1) 4 lg 2 ? 3 lg 5 ? lg 1 ;
5
1 lg 9 ? lg 240 2 (2) 2 36 1 ? lg 27 ? lg 3 5 1?



(3) lg 3 ? lg 70 ? lg 3 ;
7

(4) lg2 2 ? lg 5 lg 20 ? 1 . 4 利用对数恒等式 a log
4 5
a

N

? N ,求下列各式的值:

(1) ( 1 ) log 3 ? ( 1 ) log 4 ? ( 1 ) log 5
3

4

5

3

(2) 3

log 1 4
3

? 10 log0.01 2 ? 7
7

log 1 2
7

(3) 25log 2 ? 49log 3 ? 100lg
5

6

(4) 2

log4 12

?3

log9 27

?5

log25

1 3

5 化简下列各式: (1) (log 4 3 ? log8 3) ? (log3 2 ? log9 2) ; (2) [(1 ? log6 3) 2 ? log6 2 ? log6 18] ? log4 6

冲刺强化训练(3)
1.函数 y ? 3x
2

?1

?? 1 ? x ? 0?的反函数是(
? ? 1? ? 3?

) B

A. y ? 1 ? log3 x ? x ?

1? ? y ? ? 1 ? log3 x ? x ? ? 3? ? ?1 ? ? x ? 1? ?3 ?

C y ? 1 ? log3 x ?

?1 ? ? x ? 1? ?3 ?

D y ? ? 1 ? log3 x ?

2.若 f ( x) ? ? A 1

? f ( x ? 3)(x ? 6) ,则 f (?1) 的值为 ( log x ( x ? 6 ) ? 2
B 2
x

) D 4 )

C 3

3.已知 x1 是方程 xlgx=2006 的根, x2 是方程 x 10 ? 2006的根,则 x1 ? x2 等于( A 2005
| x|?2

B 2006 的值域是

C 2007

D 不能确定

?1? 4.函数 y ? ? ? ?2?

5.函数 y ? a x (a ? 0,且a ? 1 在 ?1 , 2? 上的最大值比最小值大 )

a ,则 a 的值是 2
a 2

6.已知函数 f ( x) ? loga ( x 2 ? ax ? 3)(a ? 0且a ? 1 满足:对任意实数 x1 , x 2 ,当 x1 ? x 2 ? 时,总 ) 有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,那么实数 a 的取值范围是 7.设函数 f ( x) ? log2 (a ? b ) 且 f (1) ? 1, f (2) ? log2 12
x x

(1) (2)

求 a,b 的值; 当 x ? ?1,2? 时,求 f ( x) 最大值

2 8.已知函数 f ( x) 在定义域 ?? 1,1? 上是减函数,且 f (a ? 1) ? f (1 ? a )

(1) (2)

求 a 的取值范围; 解不等式: log a a ? 1 ? log a 1.
x

?

?

2 2 9.设函数 f ( x) ? log 3 ( x ? 4mx ? 4m ? m ?

1 ) ,其中 m 是实数,设 M ? ?m | m ? 1? m ?1

(1) 求证:当 m ? M 时, f ( x) 对所有实数 x 都有意义;反之,如果 f ( x) 对所有实数 x 都 有意义,则 m ? M ;

(2) 当 m ? M 时,求函数 f ( x) 的最小值; (3) 求证:对每一个 m ? M ,函数 f ( x) 的最小值都不小于 1.

第3讲
一、[课前热身]
1. D 2. D 3.A

指数函数与对数函数
1 2
5. ?0,1?

4. 0 ? a ?

二、[例题探究]
1.(1)解 依题意,对一切 x ? R 有 f ( x) ? f (? x) ,即.

ex a 1 ? x ? x ? ae x a e ae

所以 ? a ?
2

? ?

1 1 ?? x 1 ? ?? e ? x ? ? 0 对一切 x ? R 成立,由此得到 a ? ? 0 , a a ?? e ?

即, a ? 1 ,又因为 a>0,所以 a=1 (2)证明 设 0 ? x1 ? x2 ,

f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? e x1 ? e x2 ?

1 1 ? ? e x1 ? e x2 e x1 e x2
x1 ? x2

?

???

1
x ? x2

?e 1

1 ? e x1 ? x2 ? ? 1? ? e x2 ? e x1 x1 ? x2 e ?

?

?

由 x1 , x2 . ? 0, x2 ? x1 ? 0 得 e

? 1, e x2 ? e x1 ? 0

? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0,即f ( x)在?0,???上是增函数 .

x?2 ? 0 ? x ? 2或x ? ?2, x?2 ?x ? 2 ? 0 又? 且p ? 2 ?p ? x ? 0 ?2,p ? ? 2 ? x ? p, 故f ( x)与g ( x)的公共定义域为 2.(1)由
? ? p ? 2 ?2 ? p ? 2 ?2 ? (2) F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? log2 ??x ? 2?? p ? x ?? ? log2 ?? ? x ? ? ?? ? ? (2<x<p) 2 ? ? 4 ? ? ? ? ? ?

p ?2? ? p ?2? ? 令u ( x) ? ?? x ? ? ?? ? 2 ? ? 4 ? ? ?p?2 p?2 p?2 ?p? , 抛物线u ( x)的对称轴x ? 2 2
p?2 当p ? 6时, ? ?2, p ? 2 (Ⅰ) ? p ? 2?2 ? 值域为?? ?,2 log ? p ? 2? ? 2? ? 0 ? u ( x) ? 2 4

2

2

p?2 ? 2,u ( x)在?2, p ?上有0 ? u ( x) ? 4( p ? 2) 2 ? g ( x) ? log2 ?4( p ? 2)? ? 2 ? log2 ? p ? 2? (2)当2 ? p ? 6时,即 ? 值域为?? ?,2 ? log2 ? p ? 2??
3.证明(1)设 x1 , x2 ? ?? 1,???,且 x1 ? x 2

f ?x2 ? ? f ?x1 ? ? a x2 ? a x1 ?

x2 ? 2 x1 ? 2 3?x2 ? x1 ? ? ? a x2 ? a x1 ? ?x1 ? 1??x2 ? 1? x2 ? 1 x1 ? 1

? x2 ? x1 , a ? 1? a x2 ? a x1 ? 0, x2 ? x1 ? 0 ,
? x1 , x2 ? ?? 1,???? ?x1 ? 1??x2 ? 1? ? 0 综上有f ?x2 ? ? f ?x1 ? ? 0即f ( x)在?? 1,???上为增函数
(2)设存在 x0 ? 0?x0 ? ?1? ,使 f ?x0 ? ? 0 则a
x0

??

x0 ? 2 1 x ,且 0 ? a 0 ? 1即 ? x 0 ? 2 这与 x0 ? 0 矛盾 2 x0 ? 1

故方程 f ( x) ? 0 无负根

冲刺强化训练(3)
1. D 2. C 3. B 4. ? 0, ? 4

? ?

1? ?

5.

1 3 或 2 2

6.

?? 2,2?

7. ?1? 由已知得?

?log2 ?a ? b ? ? 1

?a ? b ? 2 ?a ? 4 ?? 2 ?? 2 ?log2 a ? b ? 12 ?a ? b ? 12 ?b ? 2

?

2

2

?

(2)由(1)得 f ( x) ? log2 4 ? 2
x

?

x

?

1? 1 ? 令 t ? 4 ? 2 ? ? 2x ? ? ? 2? 4 ?
x x

2

?1 ? x ? 2 ? 2 ? 2 x ? 4 ? ? 2 ? t ? 12 又y ? log2 t在t ? ?2, 12?递增

9 ? x 1? 49 ? ?2 ? ? ? 4 ? 2? 4

2

? x ? 4时,y max ? log2 12 ? 2 ? log2 3

? f ( x)在?? 1, 1?上递增

8.(1)? 不等式f ?a ? 1? ? f 1 ? a 等价于
2

?

?

?0 ? a ? 2 ?? 1 ? a ? 1 ? 1 ? ? 2 ?? 1 ? 1 ? a ? 1 ? ?? 2 ? a ? 2 ? 0 ? a ? 1 ?a ? 1 ? 1 ? a 2 ?? 2 ? a ? 1 ? ?
( 2) ? 0 ? a ? 1 ? 不等式 loga a x ? 1 ? loga 1 等价于loga a x ? 1 ? 0 ? 0 ? a x ? 1 ? 1

?

?

?

?

?loga 2,0? ? 原不等式的解集为:
9.(1)令 t= x ? 4mx ? 4m ? m ?
2 2

? 1 ? a x ? 2 ? loga 2 ? x ? 0
1 m ?1

则 t= ? x ? 2m ? ? m ?
2

1 1 ? 0 ?t ? 0 若 m>1,则 m ?1 m ?1
t>0, 则



1 ? 4 m2 ? m ? 1 ? 2 ? ? ?4m? ? 4? 4m 2 ? m ? ?0 ??? m ?1? m ?1 ?

?

?

1? 3 ? ?m ? m ?1 ? ?m ? ? ? ? 0 2? 4 ?
2

2

? m ? 1即m ? M
(2)当 m ? M 时

t ? ? x ? 2m ? ? m ?
2

1 1 ?x ? 2m时取等号 ? ? m? m ?1 m ?1

又函数 y ? log3 t 在定义域上递增? x ? 2m时, f ( x)有最小值log3 ? m ?

? ?

1 ? ? m ?1?

1 1 ? m ?1? ?1 m ?1 m ?1 1 (3) 又m ? 1? m ? 1 ? ? 2?m ? 2时取等号?又函数 y ? log3 x 在定义域上递增 m ?1 1 ?m ? ?3 m ?1 ?m ?
1 ? ? ? log3 ? m ? ? ? 1 , ∴对每一个 m ? M ,函数 f ( x) 的最小值都不小于 1. m ?1? ?

w w


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