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2014-1-13 2.3.1.抛物线及其标准方程


2.4.1抛物线及其标准方程

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抛物线的生活实例

投篮运动

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18:18:14

18:18:14

探照灯

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/> 平面内与一个定点F和一条定直线l (l不经过点F)的距离相等的点的轨迹 叫做抛物线 l

一、抛物线定义

其中

定点F叫做抛物线的焦点 定直线 l 叫做抛物线的准线

H

M

· · F

定义告诉我们: 1、判断抛物线的一种方法
2、抛物线上任一点的性质:|MF|=|MH|
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二、抛物线的标准方程
求曲线方 程的基本 步骤是怎 样的?

1、建系、设点 3、写出x,y所满足的关系式 4、化 简
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2、动M(x,y)点所满足的条件的集合

5、证明

想一想 设 |KF| = p ,它表示焦点到 交点N位于KF的什 准线的距离故p>0 么位置?
M

H K

N l

··
F

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建系
y H yM

y

K O

NO l

··
OF

K
x
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F

N

1.标准方程的推导:
l 设︱KF︱= p p p 则F( 2 ,0),l:x = H 2 p 设动点M的坐标为(x,y), x ? ? 2 K o 由|MF|=|MH|可知,

y
M(x,y)

· · F

? p ? , 0 ? ? ? 2x ?

p 2 p 2 (x ? ) ? y ? x ? 2 2
化简得
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y2 = 2px(p>0)

方程的推导 (设|KF| = p)
y y y

H
Ko F

M
x

H K oF

M

H
x Ko F

M
x

L
y
2=

(1) P 2p(x- 2 )

L
y
2=

(2) P 2p(x+ 2 )

L

(3)

y 2= 2px

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2.抛物线的标准方程
把方程 y2 = 2px(p>0) 叫做抛物线的标准方程
K

l
O

y

.F

x

p p 其中 焦点 F( 2 ,0),准线方程l:x = 2

而p 的几何意义是: 焦点到准线的距离

一条抛物线,由于它在坐标平面内的 焦点位置不同,方程也不同,所以抛 物线的标准方程还有其它形式.
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3.四种抛物线的标准方程对比
图形 标准方程 焦点坐标
y ? 2 px ? p ? ,0 ? ? ? p ? 0? ? 2 ?
2

准线方程

p x?? 2

y ? ?2 px ? p ? ? ? ,0 ?
2

? p ? 0?

?

2

?

p x? 2
p y?? 2

p? x 2 ? 2 py ? ? 0, ?

? p ? 0?
2

?

2?

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x ? ?2 py ? p ? 0?

p? ? ? 0,? ? 2? ?

p y? 2

寻找:区别与联系
一、四种形式标准方程的共同特征
y 2 ? 2 px y 2 ? ?2 px

? p ? 0?

? p ? 0?

2 x x ? 2 py ? ?2 py ? p ? 0? ? p ? 0?

2

1 1、二次项系数都化成了_______

2、四种形式的方程一次项的系数都含2p
O 点 ,且焦点与准 3、四种抛物线都过____ 18:18:15 线分别位于此点的两侧

寻找:区别与联系
二、四种形式标准方程的区别
y ? 2 px y 2 ? ?2 px x 2 ? 2 py x 2 ? ?2 py ? p ? 0? ? p ? 0? ? p ? 0? ? p ? 0?
2

1、一次项(X或Y)定焦点 2、一次项系数符号定开口方向. 18:18:15 正号朝正向,负号朝负向。

例1 已知抛物线的标准方程是y2 = 6x,
求它的焦点坐标和准线方程;

解: ∵2P=6,∴P=3

1 3 是一次项系数的 4 所以抛物线的焦点坐标是( 2,0) 1 3 是一次项系数的 准线方程是x= ? 4 2 的相反数
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例2 已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)
求它的标准方程。

解: 因为焦点在y的负半轴上,所以设所
求的标准方程为x2= -2py P ?2 由题意得 2 ,即p=4

∴所求的标准方程为x2= -8y
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解题感悟:
求抛物线标准方程的步骤:
(1)确定抛物线的形式. ( 2) 求 p 值 (3)写抛物线方程

注意:焦点或开口方向不定,则要注意分类讨论
结束
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P66思考:
2 y ? ax (a ? 0) 的图像为什么 二次函数

是抛物线?指出它的焦点坐标,准线方程。

1 1 y ? ax (a ? 0) ? x ? y ? ? ?2 p a a
2 2

当a>0时与当a<0时,结论都为:

1 1 焦点(0, )准线y=4a 4a
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巩固提高:

例3

M是抛物线y2 = 2px(P>0)上一点,若点 M 的横坐标为X0,则点M到焦点的距离是

X0 +

————————————

— 2

p

y

(X0, y0) M

O F



x

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X= - p/2

巩固提高:
例4.求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程。
解:(1)当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时,把A(-3,2) 代入x2 =2py,得p=


A

y

(2)当焦点在x轴的负半轴上时, 把A(-3,2)代入y2 = -2px,

9 4

O

x

4 9 2 2 ∴抛物线的标准方程为x = y或y = ? x 3 2
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2 得 p= 3



小结
1、理解抛物线的定义,四种标准方程类型. 2、会求不同类型抛物线的焦点坐标、准 线方程

3、会求抛物线标准方程

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作业
P73 A组 :1,2(必做)
补充:求经过点p(4,-2)的抛物线 的标准方程。

18:18:15

18:18:15

挑战教材:
想一想?定义中当直线l经过定点F,则点M 的轨迹是什么?
l

经过点F且垂直于l 的直线

F

·

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解法一:以 L为 y 轴,过点 F 垂直于 L 的直线为 x轴建 立直角坐标系(如下图所示),则定点 F ( p, o) 设动点 点 M ( x, y)
( x ? p) 2 ? y 2 ? x

y

M(x,y)
F

化简得:y ? 2 px ?

2

p ( p ? 0)

2

O

L

x

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解法二:以定点 F 为原点,过点 F 垂直于 L的直线为x轴建 L 的方程 立直角坐标系(如下图所示),则定点 F (0, 0) , 为x ? ? p y
设动点 M ( x, y),由抛物线定义得 M(x,y)
F(O)

x ?y
2

2

? x? p
2

x

化简得:

y

? 2 px ?

p

2

( p ? 0)

L

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M

y

p ,0) F(- 2
F o

L

χ=

p 2
x

y2=-2pχ
(p>0)
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