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两道竞赛题的简证

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) 重庆市合川太和中学 ( 4 0 1 5 5 5   袁安全

  

1] 题 1  [ 如 图 1,

P A、 P B 分别 与 ⊙O 切 于 、 过点 P 的割线 点 A B,
与 ⊙O 交 于 点 C、 D, M 为P A 的 中 点, CM 与

连结 A 证明: C E 的交点, F, A F⊥B C. 证明   如 图 2 所 示, 以 B F 为 边 向

B C 外 侧 作 正 △A 连接 P F P, A、 P C, △B
图1

A B 交于点 E . 证明 D E∥P A.

则 易 得 ∠P B C + , C B=1 8 0 ° ∠A 则  P B∥A C. 又易得  B C=B F=B P, 于是  ∠B P C=4 0 ° = ∠B A C, 所以  B、 P、 A、 C 四点共圆 . 则  P A=B C=P B=P F, 于是  P 为 △A B F 的外心 . 1 1 , 有  ∠B A F= ∠B P F= ×6 0 ° =3 0 ° 2 2 , 而  ∠B A F+ ∠A B C=3 0 ° +6 0 ° =9 0 ° 故  A F⊥B C. 参考文献 [ ]吴忠麟 . 1 2 0 1 3 年全国高中数学联赛江苏区 ] ( ) 中等数学 , 复赛 [ J . 2 0 1 4 2 [ ] 李延林 . 2 2 0 1 3年北京市中学生数学竞赛复 [ ] ( ) 赛( 高一 ) 中等数学 , J . 2 0 1 4 2 ( 责审   张思明 )

证明   如图 1 所 示 , 设A B 与C D 交于点 连接 AD、 则P Q, A C、 B D、 B C、 P E, A=P B. 由 M 为P A 的中点知  S△ACE =S△PCE . 又由面积关系及相似三角形 , 可得

图2

S△ADE DQ S△ABD AD·B D AD · = = = = S△ACE C Q S△ABC A C A C C·B S△PDE · B D PD · P B PD S△PDE = = = = B C P A P C P C S△PCE S△ACE S△ACE S△PDE · AM S△PDE ( = = . 由 △P AD ∽ S△PCE S△ACE DM S△ACE 及 △P C A, B D∽△P C B) △P
则  S△ADE =S△PDE . 故  D E∥P A.
2] , 题 2  [ 如图 2 在A 已知 ∠B B C 中, A C

, , 若 D、 = 4 0 ° B C= 6 0 ° E 分别为边 A C、 A B上 ∠A , , 的点, 且使∠ C B D= 4 0 ° C E= 7 0 ° F 是B D与 ∠B

檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 ( 上接第 2 7 页) 张益唐的 故 事 之 所 以 特 别 轰 动 在 于 他 作 出巨大数学贡献时只是一个默默无闻的 讲 师 . 为了潜心研 究 数 学 , 他 几 乎 把 自 己 与 世 隔 绝, 在美国的偏远省份 “ 潜伏 ” 下来 . 科学研究只 有 集中注意力 , 坚 持 下 去, 长期积累才能由量变 到质变 . 编后语   为便于编委审稿和 读 者 阅 读 , 请 数学史话类文稿的作者注明史料来源 , 列出必 要的参考资料名称 . ( 责审   王敬庚 )

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