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物理竞赛-静电场(吴志坚)


高中物理竞赛辅导之

静电场
江西省萍乡中学 吴志坚

考点一、库仑定律与电场强度

1.电荷守恒定律
大量实验证明:电荷既不能创造,也不能被消灭,它们只能 从一个物体转移到另一个物体,或者从物体的一部分转移到另一 部分,正负电荷的代数和任何物理过程中始终保持不变。 我们熟知的摩擦起电就是电荷在不

同物体间的转移,静电感 应现象是电荷在同一物体上、不同部位间的转移。此外,液体和 气体的电离以及电中和等实验现象都遵循电荷守恒定律。

2.库仑定律
真空中,两个静止的点电荷 q1 和 q2 之间的相互作用力的大 小和两点电荷电量的乘积成正比, 和它们之间距离 r 的平方成 正比;作用力的方向沿它们的连线,同号相斥,异号相吸

q1 q 2 F ?k 2 r
式中 k 是比例常数,依赖于各量所用的单位,在国际单位
k 制 (SI) 中的数值为: ? 9 ?10 N ? m / C (常将 k 写成
9 2 2

k?

1 4?? 0

的形式, ? 0 是真空介电常数, ? 0

? 8.85 ?10 ?12 C 2 / N ? m 2 )

练.带电量为Q1和Q2的两正点电荷分别置于水平放置的、
半径为R的光滑绝缘圆环直径两端,固定不动。直径右

侧圆环上有一带电量q(q>0)的小球,小球可以在圆
环上无摩擦滑动。试求小球在半圆环上的平衡位置

(用θ表示)以及确定平衡位置的稳定性。
Q1

(电磁学篇P3)

Q2 tg ? 3 2 Q1

?

稳定平衡

o
θ Q2 q

练.三个相同的小球,由三根弹性系数同为k的轻质弹簧连 接在光滑水平桌面上,并使其成一等边三角形。弹簧松弛 时三角形边长为9cm。若令每个小球带同样的电量 q=1.8μC,三角形面积增大到原来的四倍时达到新的平衡。 设弹簧绝缘,试确定: (1)弹簧的劲度系数多大? (2)在三角形中心放上第四个小球,它带多少电荷能使 三角形面积与弹簧松弛时面积相等? (3)与(2)中相同的电荷系统,固定不动, 在沿过三角形中心的垂线与三角形平面距离 h=15cm处的一个单位正电荷(1C)受力多少?
(电磁学篇P4)

例.(1)电荷不能自由移动的半圆环,半径为R1,均
匀带电,带电量为Q1。圆心处有一点电荷,带电量为 q1。试计算半圆环受到圆心处电荷q1的作用力。 (2)电荷不能自由移动的半球面,半径为R2,均匀带 电,带电量为Q2。圆心处有一点电荷,带电量为q2。 试计算半球面受到球心处电荷q2的作用力。
(电磁学篇P5)

3.电场强度
1)电场强度是从力的角度描述电场的物理量,其定义式为

F E? q
式中 q 是引入电场中的检验电荷的电量,F 是 q 受到的电场力。 2)库仑定律,可以计算出在真空中点电荷所产生的电场中各点 的电场强度为
Qq F r2 ? k Q E? ?k q q r2

式中 r 为该点到场源电荷的距离,Q 为场源电荷的电量。

3)均匀带电球面内外的电场强度分布

例.设半径为R的均匀带电球面,带电量为Q。试求:
a.球面外距球心为r1处的场强大小;

b.球面内距球心为r2处的场强大小;
(电磁学篇P10)

? Q ? ?k 2 , r ? R ? E?? r ? ? 0 ,r ? R ? ? ?

4)均匀带电球体内外的电场强度分布

例.设半径为R的均匀带电球体,带电量为Q。试求:
a.球体外距球心为r1处的场强大小;

b.球体内距球心为r2处的场强大小;
(电磁学篇P10)

? Q ? ?k r2 ,r ? R ? E?? ? Q ?k 3 r , r ? R ? ? R ?

5)无限长均匀带电直线外的电场强度分布

例.MN是一条电荷线密度为λ的无限长带电直线,纸

面为所考察的平面。设P为MN外的任意一点,P到
MN的距离为a。求P点处的电场强度。
(电磁学篇P11)

A

P a θr
Δθ

B F D E

2k? E? a
N

M

C

练.一条无限长、电荷不能自由移动的直线,在A点折成
直角,直线上均匀带电,电荷线密度为λ (设λ>0)。

在折成直角的直线平面内有点P1,P2,P3和P4四个点,
它们与两半直线的垂直距离均为a,如图所示。求四点 处的电场强度。
P4
(电磁学篇P12)

C

P1

A
P3 P2

B

练.一半径为R的均匀带电细圆环,带有电荷q。在圆 环轴线上有一根很长的均匀带电细线,其一端与环 心重合,电荷线密度为λ。求圆环与细线间的相互 作用力。
(电磁学篇P21)

q

R O

6)无限大均匀带电平板两侧的电场强度分布

例.无限大均匀带电平板的电荷面密度为σ(单位 面积带电量)。设P为带电平板一侧空间任意一点,

P到板的垂直距离为a。求P点处的电场强度。
P13)

(电磁学篇

y P

E ? 2?k?
r
ΔS1 ΔS2 ΔS

a
D
σ

θ

与P点到平板的距离无关!

4.场强的叠加原理
在若干场源电荷所激发的电场中任一点的总场强,等于 每个场源电荷单独存在时在该点所激发的场强的矢量和。 原则上,有库仑定律和叠加原理就可解决静电学中的全 部问题。

例.两个带电量均为Q的正电荷,相距2r,求在其连线的
中垂线上场强的最大值及位置。
(奥赛急先锋P96)

例.电量为Q的电荷均匀分布在半径为a的圆环上,求在
圆环轴线上,距圆心O点为x处的P点的电场强度。
(奥赛急先锋P96)

例.三块厚度均匀,长、宽和厚相等的金属板,顺着厚 度方向依次排列,金属板的长、宽线度远大于板间间距。 如图,已知金属板带电量分别为Q1、Q2、Q3。在不考虑 边缘效应的条件下,求各金属板两侧的带电量q1、q2、 q3、q4、q5、q6。
(电磁学篇P14)

q1=(Q1+Q2+Q3)/2 q2=(Q1-Q2-Q3)/2 q3=(Q2+Q3-Q1)/2 q4=(Q1+Q2-Q3)/2 q5=(Q3-Q1-Q2)/2 q6=(Q1+Q2+Q3)/2

Q1

Q2

Q3

q1 q2 q3 q4 q5 q6

例.在厚度为d、长和宽均为无限大的空间中,分布有电
荷体密度为ρ的带电物质。求沿厚度方向的空间中电场

强度的分布。

(电磁学篇P15)

??

x
?d /2

o x 2

d/2

3

1

7)电偶极子激发的电场

电偶极子是一对电量相等(同为q)、符号相反、相隔距 离为l的两点电荷组成的系统。 通常,只有在考查远离 此系统中心位置处的电场时,才称这对电荷为电偶极子。

例.q 为点电荷的带电量,l 的大小为两点电荷间的距离,
方向为负电荷指向正电荷。设电偶极子中点为坐标原点 o ,l 方向为极轴方向(z 轴方向),r >> l.求: (1)在电偶极子中垂面上、离坐标原点距离等于 r 的P1 点的电场强度E1 。

(2)在极轴正向、离坐标原点距离等于 r 的P2 点的电
场强度E2 . (3)在极角等于θ的方向、离坐标原点距离等于 r 的P3 点的电场强度E3 。
(电磁学篇P15)

练.有两个部分重叠的球体,半径分别为R1和R2,两球 球心距离o1o2=d,d<R1+R2,两球重叠部分不带电,不重

叠部分均匀带电,电荷体密度分别为+ρ和-ρ。求两球
重叠部分(即不带电部分)中的电场强度分布。
+ρ + + + + + + + + o 1 + + + + + + + +
(电磁学篇P16)

若 d < R 1- R 2 若d≠0
,R 1= R 2

+ + R1 + +

-ρ - - - - o2 - - - - R2

练.半径为R的非导电细圆环,所带电荷的线密度为 λ= λ0cosθ

式中λ0为常量,θ为方位角。如图所示。求:
(1)环心o处的电场强度。 (2)在过环心垂直于环面的轴线上,离环心距离为 h的点的电场强度。
(电磁学篇P19)

y

o

θ

x

考点二、电场线与高斯定理

1.电场线
1)电场线:又称电力线,是对电场的一种形象的描述。 2)电场线密度:在电场中分布有无限多电场线,为了表示 电场空间中各点的电场强度的大小,引入电场线密度的概念。 过某点取单位面元Δ S,与该点场强方向垂直。设穿过Δ S 的电场线又Δ N 条,则Δ N/Δ S 称为该点电场线密度,即通过改 点与电场垂直的单位截面内的电场线条数。 可以规定, 作图时使电场中任一点的电场线的密度与该点场 强大小相等,即 E ?
?N 。 ?S

例.质量为m、带电量为+q的小球在均匀引力场中(竖 直向下)和非均匀静电场中,静电场相对绕竖直轴OZ

转动处对称。 如图表示其中一个平面上电场线。在
开始时刻小球静止在A点。当小球电量变化时它下降 到B点。利用这张图,试估算小球电量变化了多少倍?
(备考手册P253)

Z A

g

B O

3) 电通量: 穿过电场中某一截面 ΔS 的电通量 ΔΦe 被定义为: ΔΦe=EΔScosθ 通常预先规定好正方向。则当 θ<90°时,电场 线穿向 ΔS 的正向一侧, ΔΦe>0; 90°<θ<180°时, 当 电场线穿向 ΔS 的负向一侧,ΔΦe<0。 电通量还可形象地解释为:穿过截面 ΔS 的电力 线条数。

2.静电场基本原理之一——高斯定理:
静电场中通过任意闭合曲面(称高斯面)S 的电通量等 于该闭合面内全部电荷的代数和除以 ε0, 与面外的电荷无关。 高斯定理的数学表达式为:

闭合面S

?

E ? ?S ?

1

? 0 S面内

?q

i

例.试证明只有一个点电荷产生的静电场条件下的高斯定理。
E 当高斯面取点电荷 q 位于球心、 为半径的球面时, ? R kq 1 q ? ? 2 R 2 4?? 0 R

因此,球形高斯面上的总电通量为 ? e ?

1 4?? 0

?

q q ? 4?R 2 ? R2 ?0

这个结论与所取球形高斯面的半径无关。也说明由点电荷 q 发出的 电力线条数(即电通量)为 q/ε0(严格地讲,是在国际单位制下的电力 线条数) 。 因此,若把点电荷在球形高斯面内的球心上,改成点电荷在任意闭 合面内,电通量的值均为 q/ε0。由此可得到结论: 一个点电荷 q 位于高斯面时,高斯定理成立。 大家可思考下,一个点电荷 q 位于高斯面外时,高斯定理成立吗?

练.一个半径为R的均匀带电球体,电荷体密度为ρ。设
想有一平面与球体相截,球心在此平面的垂直距离为

R/2.求球体与平面相截的圆面上的电通量为多少?
(电磁学篇P23)

考点三、电势能 电势

1.若干带电系统产生的静电场的电势
1)点电荷激发产生的静电场的电势分布

例.在由带电量为Q的静止不动的点电荷激发产生的静 电场中,另有一带电量为q0的试验电荷。求q0从静电 场中a点移动到b点过程中,静电力做了多少功?a,b

与Q的距离分别为ra,rb。如图所示。
推导可知: Wa ? b
?1 1? ? kq0Q? ? ? ?r r ? b ? ? a

(电磁学篇P24)

Q

a

b

由公式可知: Wa ? b ? q0U ab ? q0 ?? a ? ? b ?
kQ kQ 可得: ? a ? , ?b ? rb ra

2)均匀带电球壳内外的电势分布

均匀带电球壳外任一点 的电势,等价于把全部 电荷集中在球心时的结 论: Q ? r ? R) ? k ; ( r 若r ? R,由等势体概念可知 Q ? ? ?R ? k 。 R
(电磁学篇32 )

3)均匀带电球体球心处电势

练.半径为r的均匀带电球体,总带电量为Q,求:
1)距球心为R(R>r)处的电势; 2)球心处的电势。
(电磁学篇P32)

4)均匀带电圆盘盘心处的电势

练.半径为r的均匀带电圆盘,总带电量为Q,求盘心处
的电势。
(电磁学篇P32)

2.电势的叠加原理
在若干场源电荷所激发的电场中任一点的电势,等于

每个场源电荷单独存在时在改点所激发的场强的代数和。

例.三个带电量均为q的点电荷相距无穷远且处于静止状

态。现要把它们分别移到边长为a的正三角形的顶点上,
为此需要做多少功?
(备考手册P255)

练.半径为r两个小导体球相距为R(R>>r),每个球
开始带电量q。两球依次接地依次。求此后第一个接 地的球的电势。
(备考手册P256)

练.用质量m=1g的带电小球悬挂在不可伸长的绝缘线
上。先将另一个带电小球从远处缓慢地向它靠近,放 在它开始所在位置。同时使它偏离且上升高h=1cm, 为此需要做多少功?
(备考手册P256)

3.静电场基本定理之二——环路定理
静电场中单位正电荷沿任意封闭曲线绕行一圈, 静电力做的 总功恒为零。 说明: (1)静电场的基本规律是库仑定律,从库仑定律出发导出 高斯定理和环路定理。 (2)高斯定理反映静电场是一个有缘场; 环路定理反映静电场是一个保守力场。

考点四、静电场中的导体和电介质

1.处于静电平衡状态的导体有特性:
⑴导体内部场强为零,导体内部无电力线; ⑵导体外表面上的电场强度可以不为零, 但场强方向一定处处垂直于导体表 面,场强的大小为 E ?
?e ?0
(式中? e 是所考察点处导体表面 的电荷面密度) ;

⑶导体是一个等势体,导体表面为等势面; ⑷导体内部电荷密度处处为零,净电荷仅分布在导体表面上,且导体表面曲 率大处(曲率半径小) ,电荷密度 ? e 大,但无确定函数关系; ⑸带空腔导体,若腔内无自由电荷,则空腔内壁无电荷; ⑹若带空腔导体不接地,则腔内电场不受导体外电场的影响,导体外电场可 以受腔内电场的影响; 若带空腔导体接地,则腔内电场与导体外电场将互不影响。

例.一带电导体,导体表面电荷面密度为σe。求导体
表面的电场强度E的大小。
(电磁学篇P36)

例.导体上电荷面密度与曲率半径间关系的一个特例。
半径分别为R1和R2的两个导体小球,设两小球放置在

相距很远的两处,中间用导线相连。再设法使两导体
球带电,带电量分别为q1和q2。求两球电荷面密度之 比σ1 / σ2 。
(电磁学篇P37)

例.两块不带电的导体板具有宽大的平面的平行段,
其面积分别为S1和S2,两板分别相距d1和d2。弯曲部分

的宽度比板的尺寸小得多。垂直平面且相对板对称,
加上电场强度为E的均匀外电场。求两平行部分之间 空间的电场强度E1和E2 。
(备考手册P258)

S2

S1
d1 E1=? d2 E2=?

2.电像法

例.设道题平板与点电荷相距为a,点电荷带电量为+q,
导体平板接地。由于+q的存在,接地导体平板上将产生

感应面电荷分布。空间有一点P,与平板及+q的距离均
为a。试求点P处的场强大小 。
(电磁学篇P39)

P

+q

1.某电荷-q能替代平板而保持原来的电场分布和电势高低,

则该电荷可称为像电荷;
2.对于复杂的平面带电或球体带电等问题,为了简单化, 通常找出其对应的像电荷,利用像电荷替代复杂的平面 或球体带点; 3.像电荷的特点就是保持原电场的场强分布和电势分布; 4.像电荷的确定具有唯一性。

例.设有一对电荷,带电量分别为-q1和+q2,相隔一段
距离。其中q1、q2为正值,且q1≠q2 ,不失一般性,

可以认为q2>q1 。试找出电势为零的等势面。

(电磁学篇P39)

练.设接地导体球半径为R,求外点电荷q离球心距离
为d,如图所示。求图中A点处的场强大小及该处球面

上感应电荷的面密度。

(电磁学篇P40)

o R

A

q

练.设不带电,不接地的导体球半径为R,求外点电荷
q离球心距离为d,如图所示。求图中A点处的场强大

小及该处球面上感应电荷的面密度。

(电磁学篇P40)

o R

A

q

练.设带电量为Q,但不接地的导体球半径为R,求外
点电荷q离球心距离为d,如图所示。求图中A点处的

场强大小及该处球面上感应电荷的面密度。

(电磁学篇P40)

o R

A

q

练.设一有不变的电势φ的 导体球半径为R,求外点电
荷q离球心距离为d,如图所示。求图中A点处的场强

大小及该处球面上感应电荷的面密度。

(电磁学篇P40)

o R

A

q

考点五、电容和电容器

1.几种典型的电容器及其电容:
1)平行板电容器

设两平行金属板的面积为S,两板间距为d,且d<<板线度。 令两板均匀带电,带电量分别为+Q和-Q,电荷面密度大 小为δ e=Q/S。

因此板间电场强度为

?e E? ?0

两板间电势差为

?e Qd U ? Ed ? d? ?0 ?0S
C?

所以平行板电容器的电容(真空中)为

?0S
d

2)孤立导体球

已知导体球板间为R,带电量为Q。

则导体球的电势为

1 Q U? 4?? 0 R

得半径为R的孤立导体球的电容

C ? 4?? 0 R

3)球形电容器

设两同心导体薄球壳半径为RA和RB,RA< RB。令两薄球壳 分别带电+Q和-Q。 根据对称性,电荷将均匀分布于各自的球面上,则球面 A、B上的电势分别为

Q 1 Q UA ? ? 4?? 0 RA 4?? 0 RB
两球壳间电势差为

1

Q 1 Q , UB ? ? 4?? 0 RB 4?? 0 RB

1

Q ? 1 1 ? ? U ? UA ? UB ? ?R ?R ? ? 4?? 0 ? A B ?

所以球形电容器的电容为

RA RB C ? 4?? 0 RB ? RA

4)柱形电容器

设两同心导体薄球壳半径为RA和RB,RA< RB。令两薄球壳 分别带电+Q和-Q。 根据对称性,电荷将均匀分布于各自的球面上,则球面 A、B上的电势分别为

Q 1 Q UA ? ? 4?? 0 RA 4?? 0 RB
两球壳间电势差为

1

Q 1 Q , UB ? ? 4?? 0 RB 4?? 0 RB

1

Q ? 1 1 ? ? U ? UA ? UB ? ?R ?R ? ? 4?? 0 ? A B ?

所以球形电容器的电容为

RA RB C ? 4?? 0 RB ? RA


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