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高二理科数学下学期期中复习题


高二理科数学下学期期中复习题 一、选择题 5 1.复数 的共轭复数是 1 ? 2i 5 10 5 10 (A).- - i (B). - + i (C).1-2i 3 3 3 3

(D).1+2i

2.甲袋中装有3个白球和5个黑球,乙袋中装有4个白球和6个黑球, 现从甲袋中随机 取出一个球放入乙袋中 充分掺混后再从乙袋中随机取出一个球放

回甲袋, 则甲 , 袋中白球没有减少的概率为 ( A) 37 44 ( B) 35 44 (C ) 25 44 ( D) 9 44

1 3.设二项式 (33 x ? ) n 的展开式的各项系数的和为 P ,所有二项式系数的和为 x S ,若 P ? S ? 272 ,则 n ? ( )
( A) 4 ( B) 5 (C ) 6 ( D) 8

4.某班有 3 个小组,分别由 12 人、10 人和 9 人组成。现在要选派不属于同一 小组的 2 人参加班际活动,不同的选派方式共有 (A)318 种 (B)465 种 (C)636 种 (D)930 种 5.如果ξ 是离散型随机变量, 3? ? ? ? 2 ? 0 ,那么 (A)Eη =3Eξ +2,Dη =9Dξ (C)Eη =3Eξ +11. Dη =9Eξ +4 ( )

(B)Eη =3Eξ ,Dη =3Dξ +2 (D)Eη =3Eξ +4,Dη =3Dξ +2

6. 从数字0,2,4, 1, 3, 5这六个数字中任取三个组成没有重复数字的三位数, 则这个三位数是奇数的概率等于() ( A.) 3 12 ( B). 25 25 (C ). 16 25 ( D). 24 25

7.设随机变量?服从正态分布 N(0,1),记?(x)=P(?<x),则下列结论不正确的是 ( )
1 (B) .?(x)=1-?(-x) 2 (C) .P(|?|<a)=2?(a)-1 (D) .P(|?|>a)=1-?(a) 8.5 件不同礼品分送给 4 人,每人至少得一件,而且礼品全部送出,送出礼品

(A) .?(0)=

的不同方式数是 (A)960 二、填空题

(B)480

(C)240

(D) 120

9.在平面直角坐标系 xoy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点 构成的区域,E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随意投一点, 则落入 E 中的概率为 。

10.求 (1 ? 2 x ? 3x 2 ) 6 展开式里 x 5 的系数为



11、 某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正副班长,其中至少有 1名女生当选的概率是______ (用分数作答) 12.有 5 个大小相同的球,上面分别标有 1,2,3,4,5,现任取两个球, 以 ? 表示取两个球序号之和,则 ? 的数学期望是________。 13.设 a ?{ ,2,3}, b ?{ ,2,3,4}, r ?{5,6} ,那么方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 表示 1 1 的圆共有 个。

14 .设一次试验的成功率为P,进行100次独立重复试验,要使成功次数的标准差的 值最大,则.P值为 ________ 。

三、解答题 15. △ABC 中, 在 内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 ,C ? (Ⅰ)若 △ABC 的面积等于 3 ,求 a,b ; (Ⅱ)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ABC 的面积.
? . 3

16.一袋中装有 a 只黑球和 b 只白球,采用有放回地摸球,求: (1) 在已知第一次摸到黑球的条件下,第二次摸出黑球的概率; (2) 第二次摸出黑球的概率; (3) 判断第一次摸得黑球与第二次摸得黑球是否独立?并说明理由。

2 3 和 .假设两人射击是否 3 4 击中目标,相互之间没有影响;每次射击是否击中目标,相互之间没有影响. (Ⅰ)求甲射击 4 次,至少 1 次未击中目标的概率; (Ⅱ)求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率; (Ⅲ)假设某人连续 2 次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击 5 次后,被中止射击 ...

17.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是

的概率是多少?

18.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训。现分别从他们在培训期间参加的若干次 预赛成绩中随机抽取 8 次,记录如下: 甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 (Ⅰ)用茎叶图表示这两组数据; (Ⅱ)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位 学生参加合适?请说明理由; (Ⅲ)若将频率视为概率,对甲同学在今后的 3 次数学竞赛成绩进行预测,记这 3 次成绩中高于 80 分的次数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望 E? 。

19.数列 ?a n ?满足 a1 ? a , a 2 ? ?a ( a ? 0 ) ,且 ?a n ?从第二项起是公差为 6 的 等差数列, S n 是 ?a n ?的前 n 项和. (1)当 n ? 2 时,用 a 与 n 表示 a n 与 S n ; (2)若在 S 6 与 S 7 两项中至少有一项是 S n 的最小值,试求 a 的取值范围; (3)若 a 为正整数,在(2)的条件下,设 S n 取 S 6 为最小值的概率是 p1 , S n 取 S 7 为最小值的概率是 p 2 ,比较 p1 与 p 2 的大小.

20. 箱中装有大小相同的黄、 白两种颜色的乒乓球, 黄、 白乒乓球的数量比为s: t.现从箱中每次任意取出一个球,若取出的是黄球则结束,若取出的是白球, 则将其放回箱中,并继续从箱中任意取出一个球,但取球的次数最多不超过 n 次.以 ? 表示取球结束时已取到白球的次数. (Ⅰ)求 ? 的分布列; (Ⅱ)求 ? 的数学期望.

DBAA ABDC 5 ? , -168, 7 16

6

24

1 2

15、解: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a 2 ? b2 ? ab ? 4 ,
1 又因为 △ABC 的面积等于 3 ,所以 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . 2
? a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 联立方程组 ? 解得 a ? 2 , b ? 2 . ab ? 4, ?

(Ⅱ)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A , 当 cos A ? 0 时, A ?
4 3 2 3 ? ? ,B ? ,a ? ,b ? , 3 3 2 6

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a ,
? a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 2 3 4 3 联立方程组 ? 解得 a ? ,b ? . 3 3 b ? 2a, ?

所以 △ABC 的面积 S ?

1 2 3 ab sin C ? . 2 3

16、解: (1)以事件 A 表示第一次摸得黑球,以事件 B 表示第二次摸得黑球。则
P( A) ?
a2 P( AB) a2 a?b a a ? ? ? ; P ( AB ) ? ; P( B A) ? 2 2 ( a ? b) P( A) (a ? b) a a ?b a?b

a2 b a a ? ? ? (2) P( B) ? P( AB) ? P( AB) ? 2 ( a ? b) a ? b a ? b a ? b

(3)由(1)和(2)可知:P(AB)=P(A)P(B),故 A、B 互相独立。 17、 (1)设“甲射击 4 次,至少 1 次未击中目标”为事件 A,则其对立事件 A 为
65 ?2? “4 次均击中目标” ,则 P ? A ? ? 1 ? P A ? 1 ? ? ? ? 81 ?3?

? ?

4

(2)设“甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次”为事件 B,则
2 ?2? P ? B ? ? C4 ? ? ? ?3? 2

1 1 ?1? 3 ?3? ? ? ? ? C4 ? ? ? ? ? ? 3? ?4? 4 8

2

3

(3)设“乙恰好射击 5 次后,被中止射击”为事件 C,由于乙恰好射击 5 次后被 中止射击,故必然是最后两次未击中目标,第三次击中目标,第一次及第二次至 多有一次未击中目标。
?? 3 ? 2 ? 3 ? 1 ?2 45 1 3 1 故 P ? C ? ? ? ? ? ? C2 ? ? ? ? ? ? ? ? 4 4 ? 4 ? 4 ? 1024 ?? 4 ? ? ?

18、解: (Ⅰ) 作出茎叶图如下:

9 8 8 4 2 1 5 3 7 8 9 5 0 0 3 5 0 2 5



(Ⅱ) 派甲参赛比较合适。理由如下:
x甲 ? x乙 ? 1 ? 70 ? 2 ? 80 ? 4 ? 90 ? 2 ? 8 ? 9 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 3 ? 5? ? 85 , 8 1 ? 70 ?1 ? 80 ? 4 ? 90 ? 3 ? 5 ? 0 ? 0 ? 3 ? 5 ? 0 ? 2 ? 5? ? 85 , 8

1 2 2 2 2 2 s甲2 ? ?? 78 ? 85? ? ? 79 ? 85? ? ?81 ? 85? ? ?82 ? 85? ? ?84 ? 85? ? 8?

?88 ? 85?

2

2 2 ? ? 93 ? 85 ? ? ? 95 ? 85 ? ? ? 35.5 , ?

1 2 2 2 2 2 s乙2 ? ?? 75 ? 85? ? ?80 ? 85? ? ?80 ? 85? ? ?83 ? 85? ? ?85 ? 85? ? ? 8

? 90 ? 85 ?

2

2 2 ? ? 92 ? 85 ? ? ? 95 ? 85 ? ? ? 41 ?

∵ x甲 ? x乙 , s甲2 ? s乙2 , ∴甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适。 注:本小题的结论及理由均不唯一,如果考生能从统计学的角度分析,给出其他 合理回答,同样给分。如 派乙参赛比较合适。理由如下: 从统计的角度看,甲获得 85 分以上(含 85 分)的概率 P1 ? , 乙获得 85 分以上(含 85 分)的概率 P2 ? ? 。 ∵ P2 ? P1 ,∴派乙参赛比较合适。 (Ⅲ) 记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于 80 分”为事件 A,
P ? A? ? 6 3 ? 。 8 4
? 4?

3 8

4 8

1 2

3 随机变量 ? 的可能取值为 0、1、2、3,且 ? ? ? 3 , ? 。 ? ?
3 1 ∴ P ?? ? k ? ? C ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4? ? 4?
k 3 k 3? k

, k ? 0 ,1, 2 , 3 。

所以变量 ? 的分布列为:
?

0
1 64

1
9 64

2
27 64

3
27 64

P

E? ? 0 ?

1 9 27 27 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 。 64 64 64 64 4 3 4 9 4

(或 E? ? nP ? 3 ? ? ) 19、解: (1)由已知,当 n ? 2 时, a n ? ?a ? 6(n ? 2) ,即 a n ? 6n ? (a ? 12) . (n ? 1)( n ? 2) S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? a ? (n ? 1)( ?a) ? ?6 2 ? 3n 2 ? (a ? 9)n ? 2a ? 6 . (2)解法一:由已知,当 n ? 2 时, ?a n ?是等差数列,公差为 6 ,数列递增.
?a 6 若 S 6 是 S n 的最小值,则 ? ?a 7 ?a 7 若 S 7 是 S n 的最小值,则 ? ?a 8 ?0
?24 ? a ? 0 ,即 ? ,得 24 ? a ? 30 . ?0 ?30 ? a ? 0 ?0 ?30 ? a ? 0 ,即 ? ,得 30 ? a ? 36 . ?0 ?36 ? a ? 0

∴ 当 S 6 与 S 7 两项中至少有一项是 S n 的最小值时, 的取值范围是 [24 , 36] . a (2) 解法二: (1) 当 n ? 2 时 S n ? 3n 2 ? (a ? 9)n ? 2a ? 6 且 S1 ? a 也满足此式, 由 , a?9 ∵ 在 S 6 与 S 7 两项中至少有一项是 S n 的最小值, ? 5.5 ? ? 7.5 , 6 解得 24 ? a ? 36 ,从而 a 的取值范围是 [24 , 36] . (3)由(2)知 a ? {24 , 25 ,26,…, 36 } a?9 若 S 6 是 S n 的最小值,则 5.5 ? ? 6.5 ,即 a ? 24,25,26,?,30 6 a?9 若 S 7 是 S n 的最小值, 6.5 ? ? 7.5 ,即 a ? 30,31,32,?,36 6 7 ∴ p1 ? p2 ? . 13 20、解:(I)ξ 的可能取值为:0,1,2,…,n ξ 的分布列为 ξ p 0
s s?t

1
st (s ? t ) 2

2

st 2 (s ? t ) 3

… n-1 …

n
tn (s ? t ) n

st n ?1 ( s ? t )n

(II) ? 的数学希望为
E? ? 0 ? s st st 2 st n ?1 tn ? 1? ? 2? ? ... ? ( n ? 1) ? ?n? …(1) s?t ( s ? t )2 ( s ? t )3 ( s ? t )n ( s ? t )n

t st 2 2 st 3 (n ? 2) st n ?1 (n ? 1) st n nt n ?1 E? ? ? ? ... ? ? ? …(2) s?t ( s ? t )3 ( s ? t ) 4 ( s ? t )n ( s ? t ) n ?1 ( s ? t ) n ?1

(1) -(2)得

E? ?

t ( n ? 1)t n ( n ? 1)t n nt n ?1 ? ? ? s s( s ? t ) n ?1 ( s ? t ) n s( s ? t ) n


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