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《应用举例:测量高度问题》参考课件

时间:2011-06-02


1.2 应用举例 测量高度问题 第二课时

仰角:目标视线在水平线上方的叫仰角 仰角:目标视线在水平线上方的叫仰角; 水平线上方的叫仰角 俯角:目标视线在水平线下方的叫俯角; 俯角:目标视线在水平线下方的叫俯角; 水平线下方的叫俯角 方位角:北方向线顺时针方向到目标方向线的夹角。 方位角:北方向线顺时针方向到目标方向线的夹角。
视线
仰角

俯角
水平线

N

方位角60度 方位角 度 目标方向线 视线

例3:如图,要测底部不能到达的烟囱的高AB,从与烟囱底部在 3:如图,要测底部不能到达的烟囱的高AB, 如图 AB 同一水平直线上的C 同一水平直线上的C,D两处,测得烟囱的仰角分别是 两处, α=35°12′和β=49°28′,CD间的距离是11.12m. α=35°12′和β=49°28′,CD间的距离是11.12m.已知测角 间的距离是11.12m 仪器高1.52m,求烟囱的高. 仪器高1.52m,求烟囱的高. 1.52m

490 28′
35012′

1.52m 11.12m

B
49 0 2 8 ′

35 01 2 ′
C1

求 A1 B

α

D1

β

A1

C 11 . 12 m D

A

1 . 52 m

解 : 在?BC1 D1中, 已知∠BC1 D1 = 35012′,

∠C1 BD1 = β ? α = 14 016′ ∠C1 D1 B = 180 ? β = 130 32′,
0 0

C1 D1 BC 1 根据正弦定理得 = sin ∠C1 BD1 sin ∠C1 D1 B

11.12 sin 130 0 32′ BC1 = = 34.30, 0 sin 14 16′

在Rt?A1 BC 1中, ?

A1 B = BC1 sin 35012′ = 19.77, 故烟囱的高度为 21 .29 m .

在山顶铁塔上B处测得地面上一点 处测得地面上一点A 例4 在山顶铁塔上 处测得地面上一点 的俯角α= ° ,在塔底C处测得 处测得A处 的俯角 =54°40′,在塔底 处测得 处 的俯角β= ° 已知铁塔 已知铁塔BC部分的高为 的俯角 =50°1′已知铁塔 部分的高为 27.3m,求出山高CD(精确到 ,求出山高 精确到1m) 精确到 分析:根据已知条件, 分析:根据已知条件,应该设法计算 出AB或AC的长 或 的

解:在⊿ABC中,∠BCA=90°+β, 中 ° ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α. °

BC AB 根据正弦定理, 根据正弦定理, = o sin(α ? β ) sin(90 + β )

BC sin(90o + β ) BC cos β 所以,AB = = sin(α ? β ) sin(α ? β )

解Rt?ABD, 得 BC cos β sin α BD = AB sin ∠BAD = sin(α ? β ) 27.3 cos 50o1' sin 54o 40' = sin(54o 40' ? 50o1' ) ≈ 177(m)

CD=BD-BC≈177-27.3=150(m) - = 答:山的高度约为150米。 山的高度约为 米

一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶, 例5:一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶 处时测得 公路南侧远处一山顶D在东偏南 在东偏南15°的方向上,行驶5km后到 公路南侧远处一山顶 在东偏南 °的方向上,行驶 后到 达B处,测得此山顶在东偏南 °的方向上,仰角 °,求此 处 测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角8° 山的高度CD. 山的高度

分析:要测出高 分析:要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条 只要测出高所在的直角三角形的另一条 直角边或斜边的长。根据已知条件,可以计算出 的长 的长。 直角边或斜边的长。根据已知条件,可以计算出BC的长。

D

C

8° ° 25° °
B

15 ° 5km

A

解:在⊿ABC中,∠C=25°-15°=10°. 中 = ° ° ° BC AB 根据正弦定理, 根据正弦定理, = sin A sin C

AB sin A 5 sin 15o BC = = ≈ 7.4524(km). o sin C sin 10
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m) × ∠ × ° 山的高度约为1047米。 答:山的高度约为 米

我海军舰艇在A处获悉某渔船发出的求救信号后, 我海军舰艇在 处获悉某渔船发出的求救信号后,立即测出 处获悉某渔船发出的求救信号后 该渔船在方位角( 该渔船在方位角(指由正北方向顺时针旋转到目标方向的水平 海里的C处 角)为 45°,距离 为10海里的 处,并测得渔船正沿方位角 ° 距离A为 海里的 105° 的方向以9海里 时速度向某岛P靠拢,我海军舰艇立即以 ° 的方向以 海里/时速度向某岛 靠拢, 海里 时速度向某岛 靠拢 21海里 时的速度前去营救,试问舰艇应按照怎样的航向前进? 海里/时的速度前去营救 试问舰艇应按照怎样的航向前进? 海里 时的速度前去营救, 并求出靠近渔船所用时间。 并求出靠近渔船所用时间。

解: 设舰艇从 A 处靠近渔船所用的时间

x 小时,

则 AB = 21 x , BC = 9 x , AC = 10。 ∠ ACB = α + β = 45 0 + (180 0 ? 105 0 ) = 120 0 由余弦定理可得


0 C 105


450

α β

9X

10

B
21X

AB = AC + BC ? 2 AC ? BC ? cos 120
2 2 2

0

2 则( 21 x) = 10 2 + (9 x ) 2 ? 2 ? 10 ? 9 x ? cos 120 0

A

即36 x 2 ? 9 x ? 10 = 0 2 5 解得 x1 = , x 2 = ? (舍去 ) 3 12 ∴ AB = 21 x = 14 , BC = 9 x = 6
再由余弦定理可得 AB 2 + AC 2 ? BC 2 14 2 + 10 2 ? 6 2 = cos ∠ BAC = 2 AB ? AC 2 ? 14 ? 10 = 0 .9286 ∴ ∠ BAC = 21 .78 0 ∴ 45 0 + 21 .78 0 = 66 .78 0

2 答:舰艇应以66.780的方位角方向航行,靠 近渔船需要 小时。 3

课堂小结 本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。 在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意 分析题意, 2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意,分清已知 与所求,根据题意画出示意图 画出示意图, 与所求,根据题意画出示意图,并正确运用正弦定理和余 弦定理解题。 弦定理解题。 在解实际问题的过程中,贯穿了数学建模的思想, 数学建模的思想 3、在解实际问题的过程中,贯穿了数学建模的思想,其流程 图可表示为: 图可表示为: 实际问题
画图形

数学模型
解 三 角 形

实际问题的解

数学模型的解