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【天津市2013-2014学年高二寒假作业(3)数学 ]

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【KS5U 首发】天津市 2013-2014 学年高二寒假作业(3)数学 Word 版含答案第 I 卷(选择 题) 一.选择题 1.直线 2 x ? y ? m ? 0 与圆 x ? y ? 2 y ? 2 ? 0 相切,则实数 m 等于
2 2





A. ?3 3 或 3

B. ?3 3 或 3 3

C.4 或-2

D.-4 或 2

2.抛物线 y ? 2x2 的焦点到准线的距离为(

)

A.

1 2

B.

1 4

C.2

D.4

2 3.已知命题 p : 5 ? 3 ; q : 若 x ? 4 则 x ? 2 ,则下列判断正确的是(

)

A. p ? q 为真, p ? q 为真, ? p 为假 C. p ? q 为假, p ? q 为假, ? p 为假

B. p ? q 为真, p ? q 为假, ? p 为真 D. p ? q 为真, p ? q 为假, ? p 为假

4.等比数列前 n 项和为 54,前 2 n 项和为 60,则前 3n 项和为( A. 66 B. 64 C. 66



2 3

D. 60

2 3


5.数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? ( A. 2 ? 3
n

B.

2n ? 1

C. 3 ? 2

n

D. 2

n ?1

6.在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? ( A. 2 ? ln n B. 2 ? (n ? 1) ln n C. 2 ? n ln n

1 n

) D. 1 ? n ? ln n

7.设变量 x,y 满足约束条件 A.2 B.3 C.5

,则目标函数 z=2x+y 的最小值为( D.7

)

8.如果实数 x,y 满足等式(x-2)2+y2=3,那么

y 的最大值是( x

)

A.

1 2

B.

3 3

C.

3 2

D. 3

第 II 卷(非选择题) 二.填空题

x2 ? y2 ? 1 9.过点 P(2,1)的双曲线与椭圆 4 共焦点,则其渐近线方程是
10.已知函数 集合为

f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 在 x ? 1 处取得极值 10, 则 a ? b 取值的

11.如图,F1,F2 分别为椭圆

x2 y 2 ? =1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,△POF2 是面积为 3 a 2 b2

的正三角形,则 b2 的值是________.

12.不等式 2

x2 ? 2 x ? 4



1 的解集为 2

.

13.已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2,

,且 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) ,则当 n ? 1 时 ( ) D. (n ? 1)
2

log2 a1 ? log2 a3 ?
A. n(2n ? 1)

? log2 a2n?1 ?
B. (n ? 1)
2

2 C. n

0 14. ?ABC 中,若 A ? 60 , AC ? 4 , S?ABC ? 3 3 ,则 BC ? _______

三.解答题 15.(12 分)在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB= 3b . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.

16.(本小题满分 13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 (0, 2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭



x2 2 +y =1 有两个不同的交点 P 和 Q. 2

(1)求 k 的取值范围; (2)设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A, B, 是否存在常数 m, 使得向量 OP ? OQ 与 AB 共线?如果存在,求 m 值;如果不存在,请说明理由.

17.(12 分) 如图,已知三棱锥 O ? ABC 的侧棱 OA, OB, OC 两两垂直,且

OA ? 1 , OB ? OC ? 2 , E 是 OC 的中点.
(1)求 O 点到面 ABC 的距离; (2)求二面角 E ? AB ? C 的余弦值. A

O A B A

E A

C A

18.(13 分)设 S n 为数列{ a n }的前项和,已知 a1 ? 0 ,2 a n ? a1 (Ⅰ)求数列{ a n }的通项公式; (Ⅱ)求数列{ na n }的前 n 项和 Tn .

? S1 ? S n , n ? N ?

x2 y 2 19. (13 分) 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的两个焦点 F1 , F2 和上下两个顶点 B1 , B2 是 a b
一个边长为 2 且∠F1B1F2 为 60 的菱形的四个顶点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过右焦点 F2 ,斜率为 k ( k ? 0 )的直线 l 与椭圆 C 相交于 E , F 两点,A 为椭圆的右顶点,直 线 AE , AF 分别交直线 x ? 3 于点 M , N ,线段 MN 的中点为 P ,记直线 PF2 的斜率为 k ? . 求证:

k ? k ? 为定值.

20.等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16,

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 a3 , a5 分别为等差数列 ?bn ? 的第 3 项和第 5 项,试求数列 ?bn ? 的通项公式及前 n 项 和 Sn .

试卷答案
1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 6.A 7.B 8.D 9.

x ? 2y ? 0

10. ??7? 11. 2 3 12.[-3, 1] 13.C 14. 13 15. (Ⅰ)由已知得到: 2sin Asin B ?

3sin B ,且

? ? ? 3 ,且 A ? (0, ) ? A ? ; B ? (0, ) ?sin B ? 0 ?sin A ? 2 3 2 2
(Ⅱ)由(1)知 cos A ?

1 ,由已知得到: 2

1 28 , 36 ? b2 ? c2 ? 2bc ? ? (b ? c)2 ? 3bc ? 36 ? 64 ? 3bc ? 36 ? bc ? 2 3
所以 S ABC

?

1 28 3 7 ? ? ? 3; 2 3 2 3

16.

17. (1)以 O 为原点, OB 、 OC 、 OA 分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系.

则有 A(0, 0,1) 、 B(2, 0, 0) 、 C (0, 2, 0) 、 E (0,1, 0). 设平面 ABC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z), 则由 n1 ? AB知: n1 ? AB ? 2x ? z ? 0; 由 n1 ? AC知: n1 ? AC ? 2 y ? z ? 0.取 n1 ? (1,1, 2) , 则点 O 到面 ABC 的距离为 d ?

n1 ? OA n1

?

2 6 ? . 3 1?1? 4

(2) EB ? (2,0,0) ? (0,1,0) ? (2, ?1,0), AB ? (2,0,0) ? (0,0,1) ? (2,0, ?1) 设平面 EAB 的法向量为 n ? ( x, y, z), 则由 n ? AB 知: n ? AB ? 2x ? z ? 0; 由 n ? EB 知: n ? EB ? 2x ? y ? 0. 取 n ? (1, 2, 2). 由(1)知平面 ABC 的法向量为 n1 ? (1,1,2). 则 cos < n, n1 > ?

n ? n1 n n1

?

1? 2 ? 4 7 7 6 ? ? 18 9? 6 3 6

18.

2a1 ? a1 ? S1 ? S1 ? a1 ? 0, a1 ? 1. (Ⅰ) ? S1 ? a1 . ? 当n ? 1时,
当n ? 1时,a n ? s n ? s n ?1 ? 2a n ? a1 2a n ?1 ? a1 ? ? 2a n ? 2a n ?1 ? a n ? 2a n ?1 S1 S1

? {a n }时首项为a1 ? 1公比为q ? 2的等比数列,a n ? 2 n ?1 , n ? N * .
(Ⅱ)

设Tn ? 1 ? a1 ? 2 ? a 2 ? 3 ? a3 ? ? ? n ? a n ? qTn ? 1 ? qa1 ? 2 ? qa 2 ? 3 ? qa3 ? ? ? n ? qa n

? qTn ? 1 ? a 2 ? 2 ? a3 ? 3 ? a 4 ? ? ? n ? a n ?1
上式左右错位相减:

(1 ? q )Tn ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? na n ?1 ? a1
? Tn ? (n ? 1) ? 2 n ? 1, n ? N * .

1? qn ? na n ?1 ? 2 n ? 1 ? n ? 2 n 1? q

19.

20.


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