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《应用举例:测量距离问题》参考课件

时间:2017-07-06


1.2 应用举例 测量距离问题 第一课时

问题:某人要测河岸A点和对岸C点间的距离, 问题:某人要测河岸A点和对岸C点间的距离, 你能利用所学的解三角形的知识为他设计一 个测量方案吗? 个测量方案吗?

.C

.B .A

为了测定河岸A点到对岸C 为了测定河岸 点到对岸C点 点到对岸 的距离

,在岸边选定c 的距离,在岸边选定c公里长 AB,并测得∠ =α, 的AB,并测得∠ABC=α, =α =β, ∠BAC=β,如何求A、C两点 =β 如何求 、 的距离? 的距离?

.C .B

.A

要解三角形必须要学习解三角形的预备知识: 要解三角形必须要学习解三角形的预备知识: 正弦定理和余弦定理 正弦定理:在一个三角形中, 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正

a b c 弦的比相等, 弦的比相等,即: = = sin A sin B sin C
余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其他两边 余弦定理: 的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦值的积 的两倍, 的两倍,即: a = b + c ? 2bc cos A
2 2 2

b = a + c ? 2ac cos B
2 2 2

c = a + b ? 2abcos C
2 2 2

例1、设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测,在所在的河岸边选定一点C 测出AC 测量者在A的同测,在所在的河岸边选定一点C,测出AC 的距离是55cm, BAC= ACB= 的距离是55cm,∠BAC=51o, ∠ACB=75o,求A、B两点 55cm 间的距离(精确到0.1m) 间的距离(精确到0.1m) 0.1m

分析:已知两角一边, 分析:已知两角一边,可以用正弦定理解三角形

AB AC = sin C sin B

解:根据正弦定理,得 根据正弦定理,

AB AC = sin ∠ACB sin ∠ABC
ACsin ∠ACB 55sin ∠ACB AB = = sin ∠ABC sin ∠ABC 55sin75 55sin75 = = ≈ 65.7(m) sin(180 ?51 ? 75 ) sin54

两点间的距离为65.7米。 答:A,B两点间的距离为 两点间的距离为 米

两点都在河的对岸( 例2、如图 、B两点都在河的对岸(不可到达), 、如图A、 两点都在河的对岸 不可到达) 设计一种测量A 设计一种测量A、B两点间距离的方法。 两点间距离的方法。

测得CD=a, ∠BCA = α, ∠ACD = β,
B C A D

∠CDB = γ, ∠BDA = δ.

例2、如图,A、B两点都在河的对岸(不可到达), 如图, 两点都在河的对岸(不可到达), 设计一种测量A 设计一种测量A、B两点间距离的方法。 两点间距离的方法。

测量者可以在河岸边选定两点C 测得CD=a, 解:测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD=a, 并且在C 两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, 并且在C、D两点分别测得∠BCA= , ∠ACD= , ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在⊿ADC和⊿BDC中,应用正弦 ∠CDB= , ∠BDA= . ADC和 BDC中 定理得 asin(γ +δ ) asin(γ +δ ) = AC = sin ?180 ? (β + γ +δ )? sin(β + γ +δ ) ? ? asin γ a sinγ BC = = sin ?180 ? (α + β + γ )? sin(α + β + γ ) ? ? 计算出AC和BC后 再在⊿ABC中 计算出AC和BC后,再在⊿ABC中,应用余弦定理计 AC 算出AB AB两点间的距离 算出AB两点间的距离

AB = AC + BC ? 2AC× BC cosα
2 2

变式训练:若在河岸选取相距40米的C 变式训练:若在河岸选取相距40米的C、D两点,测 40米的 两点, 30° 45° 得∠BCA=60°,∠ACD= 30°,∠CDB= 45°, BCA=60° ∠BDA=60° 求A、B两点间距离 . BDA=60° 、 两点间距离

1.如图,自动卸货汽车采用液压机构,设计时需要计算油 .如图,自动卸货汽车采用液压机构, 泵顶杆BC的长度(如图).已知车厢的最大仰角为 ° 泵顶杆 的长度(如图).已知车厢的最大仰角为60°, 的长度 ).已知车厢的最大仰角为 油泵顶点B与车厢支点 之间的距离为 油泵顶点 与车厢支点A之间的距离为 与车厢支点 之间的距离为1.95m,AB与水平线 , 与水平线 之间的夹角为60 20′ AC长为 , 长为1.40m,计算BC的长(保留三 ,计算 的长( 长为 的长 个有效字). 个有效字). 什么是最大仰角? (1)什么是最大仰角? (2)例题中涉及一个怎样的三角 中已知什么, 中已知什么 要求什么? 形? 在△ABC中已知什么,要求什么?

最大角度

已知△ 的两边AB= 已知 △ ABC的两边 = 1.95m, AC= 1.40m, 夹角 的两边 , = , C A=66°20′,求BC. = ° , .

解:由余弦定理,得 由余弦定理,

A B

BC2 = AB2 + AC2 ? 2? AB? AC ? cos A =1.952 +1.402 ? 2×1.95×1.40×cos66 20′ = 3.751

∴ BC ≈1.89(m)

答:BC约长 BC约长1.89m。 约长 。

我舰在敌岛A南偏西 °相距12海里的 海里的B处 我舰在敌岛 南偏西50°相距 海里的 处,发现敌舰 南偏西 正由岛沿北偏西10°的方向以10海里 小时的速度航行. 海里/小时的速度航行 正由岛沿北偏西 °的方向以 海里 小时的速度航行.问 我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰 小时追上敌舰? 我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用 小时追上敌舰? C 中由余弦定理得: 解:如图,在△ABC中由余弦定理得: 如图, 中由余弦定理得
BC2 = AC2 + AB2 ? 2? AB? AC ? cos ∠BAC 1 2 2 = 20 +12 ? 2×12×20×(? ) 2 = 784

10 A 50

 ∴ BC = 28  
B

40

又在△ 中由正弦定理得: 又在△ABC中由正弦定理得: 中由正弦定理得

AC BC = sin B sin A

AC sin A 5 3 故sin B = = BC 14



故我舰行的方向为北偏东 ( -arcsin 5 3) 50 .
14

5 3 B = arcsin 14

练习1 一艘船以32.2n hr的速 练习1、一艘船以32.2n mile / hr的速 度向正北航行。 度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东 处看灯塔S 的方向,30min后航行到 后航行到B 20o的方向,30min后航行到B处,在B处看灯 塔在船的北偏东65 的方向, 塔在船的北偏东65o的方向,已知距离此灯塔 以外的海区为航行安全区域, 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域,这 艘船可以继续沿正北方向航行吗? 艘船可以继续沿正北方向航行吗? 解 在 ASB , SBA 115° : ? 中 ∠ = ,
∠ = 45° 由 弦 理 S , 正 定 得 ABsin20° 16.1sin20° SB = = ≈ 7.787(n mile) sin45° sin45° 设 S到 线 的 离 h, 则 点 直 AB 距 为 h = SBsin65° ≈ 7.06(n mile) ∵h > 6.5n mile∴此 可 继 沿 北 向 行 船 以 续 正 方 航 答 此 可 继 沿 北 向 行 : 船 以 续 正 方 航

小 结
解三角形应用题的一般步骤是: 解三角形应用题的一般步骤是: 1、分析:理解题意,画出示意图 、分析:理解题意, 2、建模:把已知量与求解量集中在一个三角形中 、建模: 3、求解 : 运用正弦定理和余弦定理 , 有顺序地解 、 求解:运用正弦定理和余弦定理, 这些三角形,求得数学模型的解。 这些三角形,求得数学模型的解。 4、检验:检验所求的解是否符合实际意义,从而得 、检验:检验所求的解是否符合实际意义, 出实际问题的解。 出实际问题的解。

实际问题

抽象概括 示意图

数学模型 推 理 演 算

实际问题

数学模型