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数学(理)一轮复习之三角函数、解三角形、正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用)


第4讲 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

1.考查正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 2.结合三角恒等变换考查 y=Asin(ωx+φ)的性质及简单应用. 3.考查 y=sin x 到 y=A sin(ωx+φ)的图象的两种变换途径. 【复习指导】 本讲复习时,重点掌握正弦型函数 y = Asin(ωx + φ) 的图象的 “五

点”作图法,图象的三种变换方法,以及利用三角函数的 性质解决有关问题.

基础梳理 1.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个 特征点 如下表所示 x ωx+φ y=Asin(ωx+φ) π 3π 0-φ -φ π-φ -φ 2π-φ 2 2 ω ω ω ω ω 0 0 π 2 A π 0 3π 2 -A 2π 0

2.函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤

3.当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈[0,+∞))表示一 2π 1 个振动时,A 叫做振幅,T= 叫做周期,f= 叫做频率,ωx ω T +φ 叫做相位,φ 叫做初相. 4.图象的对称性 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象具有轴对称和中心对 称,具体如下: (1)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线 x=xk(其中 ωxk+φ=kπ π + ,k∈Z)成轴对称图形. 2 (2)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xk,0)(其中 ωxk+φ=kπ,k ∈Z)成中心对称图形.

一种方法 在由图象求三角函数解析式时,若最大值为 M,最小值为 m, M-m M+m 2π 则 A= ,k= ,ω 由周期 T 确定,即由 =T 求出, 2 2 ω φ 由特殊点确定.

一个区别 由 y=sin x 的图象变换到 y=Asin(ωx+φ)的图象,两种变换的 区别:先相位变换再周期变换 (伸缩变换),平移的量是|φ|个单 |φ| 位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是 (ω> ω 0)个单位. 原因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而言, 即x 本身加减多少值,而不是依赖于 ωx 加减多少值.

两个注意 作正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图象时应注意: (1)首先要确定函数的定义域; (2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出 一个周期的图象,就可根据周期性作出整个函数的图象.

双基自测 1.(人教 A 相分别为( 1 π A.2,π,-4 1 π C.2,π,-8
? π? 版教材习题改编)y=2sin?2x-4? ? ?

的振幅、频率和初

). 1 π B.2,2π,-4 1 π D.2,2π,-8

2.已知简谐运动

? π? f(x)=Asin(ωx+ φ)?|φ|<2?的部分图象如图所 ? ?

示,则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为(

).

π A.T=6π,φ=6 π C.T=6,φ=6

π B.T=6π,φ=3 π D.T=6,φ=3

π 3.函数 y=cos x(x∈R)的图象向左平移2个单位后,得到函数 y =g(x)的图象,则 g(x)的解析式应为( A.-sin x B.sin x C.-cos x ). D.cos x

4.设 ω>0,函数

? π? y=sin?ωx+3?+2 ? ?

4π 的图象向右平移 3 个单位 ). D.3

后与原图象重合,则 ω 的最小值是( 2 A.3 4 B.3 3 C.2

5. (2011· 重庆六校联考)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象 如图所示,则 ω=________.

考向一 作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 【例 1】?设函数 周期为 π,且
? ? π f(x)=cos(ωx+φ)?ω>0,-2<φ<0?的最小正 ? ?

?π ? f?4?= ? ?

3 2.

(1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象.

[审题视点] (1)由已知条件可求 ω,φ; (2)采用“五点法”作图,应注意定义域[0,π].



2π (1)周期 T= =π,∴ω=2, ω 3 φ= , 2

?π? ? ? ?π ? π ∵f?4?=cos?2×4+φ?=cos?2+φ?=-sin ? ? ? ? ? ?

π π ∵-2<φ<0,∴φ=-3.
? π? (2)∵f(x)=cos?2x-3?,列表如下: ? ?

π π 2x-3 -3 0 x f(x) 0 1 2

π 2

π 2 π 3 -1

3 2π 11 π 12 0

5 3π π 1 2

π 5 π 6 12 1 0

图象如图:

(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点,而后 列表、描点、连线即可. (2)变换法作图象的关键看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后 平移,对于后者可利用
? φ? ωx+φ=ω?x+ω?来确定平移单位. ? ?

【训练1】

?1 π? 已知函数f(x)=3sin?2x-4?,x∈R. ? ?

(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数y=sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象? 解 (1)列表取值: x π 3 5 2 2π 2π π 2 3 π 0 7 2π 3 π 2 -3 9 2π 2π 0

1 π x- 0 2 4 f(x) 0

描出五个关键点并用光滑曲线连接,得到一个周期的简图.

π (2)先把y=sin x的图象向右平移4个单位,然后把所有的点的横 坐标扩大为原来的2倍,再把所有点的纵坐标扩大为原来的3 倍,得到f(x)的图象.

考向二 求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式 【例 2】函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,A>0,ω> 0)的部分图象如图所示,则 f(0)的值是________. [审题视点] 由最高、最低点确定 A,由周期确定 ω,然后由图 象过的特殊点确定 φ.

解析

T 7π π π 由图可知:A= 2,4=12-3=4,所以 T=2kπ+π,∴

?π ? π 2π φ=2kπ+3,令 k=0,ω= T =2,又函数图象经过点?3,0?,所 ? ? ? π? π π 以 2×3+φ=π, 则 φ=3, 故函数的解析式为 f(x)= 2sin?2x+3?, ? ?

π 6 所以 f(0)= 2sin = . 3 2 答案 6 2

解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最 低点确定A,h的值,函数的周期确定ω的值,再根据函数图象 上的一个特殊点确定φ值.

π 【训练2】 已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|<2,ω>0)的图 象的一部分如图所示.

(1)求f(x)的表达式; (2)试写出f(x)的对称轴方程.



(1)观察图象可知:A=2且点(0,1)在图象上,∴1=

2sin(ω· 0+φ), 1 即sin φ=2. π π 11 ∵|φ|< 2 ,∴φ= 6 .又∵ 12 π是函数的一个零点,且是图象递增 穿过x轴形成的零点, 11π π ∴ 12 ω+6=2π,∴ω=2.
? π? ∴f(x)=2sin?2x+6?. ? ?

π (2)设2x+6=B,则函数y=2sin B的对称轴方程为 π B=2+kπ,k∈Z, π π 即2x+6=2+kπ(k∈Z), kπ π 解上式得x= + (k∈Z), 2 6
? π? kπ π ? ? ∴f(x)=2sin 2x+6 的对称轴方程为x= + (k∈Z). 2 6 ? ?

考向三 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用 【例 3】?(2012· 西安模拟)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其 π 中 A>0,ω>0,0<φ<2)的图象与 x 轴的交点中,相邻两个交
?2π ? π 点之间的距离为 ,且图象上的一个最低点为 M? 3 ,-2?. 2 ? ?

(1)求 f(x)的解析式; (2)当
?π π? x∈?12,2?时,求 ? ?

f(x)的值域.

[审题视点] 先由图象上的一个最低点确定A的值,再由相邻两 个交点之间的距离确定ω的值,最后由点M在图象上求得φ的 π 值,进而得到函数的解析式;先由x的范围,求得2x+ 6 的范 围,再求得f(x)的值域.



?2π ? (1)由最低点为M? 3 ,-2?,得A=2. ? ?

π T π 由x轴上相邻的两个交点之间的距离为2,得 2 =2,即T=π,所
?2π ? ? ? 2π 2π 2π 以ω= T = π =2.由点M ? 3 ,-2? 在图象上,得2sin ?2× 3 +φ? ? ? ? ? ?4π ? =-2,即sin? 3 +φ?=-1. ? ?

4π π 11π 故 3 +φ=2kπ-2,k∈Z,所以φ=2kπ- 6 (k∈Z).
? π? π ? ? 又φ∈ 0,2 ,所以φ=6. ? ? ? π? 故f(x)的解析式为f(x)=2sin?2x+6?. ? ?

?π π? π ?π 7π? (2)因为x∈?12,2?,所以2x+6∈?3, 6 ?. ? ? ? ?

π π π 当2x+ = ,即x= 时,f(x)取得最大值2; 6 2 6 π 7π π 当2x+6= 6 ,即x=2时,f(x)取得最小值-1. 故函数f(x)的值域为[-1,2].

利用三角函数图象与x轴的相邻两个交点之间的距离 1 为三角函数的 个最小正周期,去求解参数ω的值,利用图象 2 的最低点为三角函数最值点,去求解参数A的值等.在求函数 值域时,由定义域转化成ωx+φ的范围,即把ωx+φ看作一个 整体.

【训练3】 (2011· 南京模拟)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω >0)的图象过点P
?π ? Q?3,5?. ? ? ?π ? ? ,0? ?12 ?

,图象上与点P最近的一个最高点是

(1)求函数的解析式; (2)求函数f(x)的递增区间.



?π π? (1)依题意得:A=5,周期T=4?3-12?=π, ? ?

?π ? 2π ∴ω= =2.故y=5sin(2x+φ),又图象过点P?12,0?, π ? ? ?π ? ∴5sin?6+φ?=0, ? ?

π π 由已知可得6+φ=0,∴φ=-6,
? π? ∴y=5sin?2x-6?. ? ?

π π π (2)由- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z, 2 6 2 π π 得:- +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 6 3
? π π? 故函数f(x)的递增区间为:?kπ-6,kπ+3?(k∈Z). ? ?

规范解答8——怎样求解三角函数的最值问题
【问题研究】 (1)求三角函数的最值是高考的一个热点.在求 解中,一定要注意其定义域,否则容易产生错误. (2)主要题型:①求已知三角函数的值域(或最值);②根据三角 函数的值域(或最值)求相关的参数;③三角函数的值域(或最值) 作为工具解决其他与范围相关的问题.

【解决方案】 ①形如y=asin x+bcos x+c的三角函数,可通
? 过引入辅助角φ? ?cos ?

a b ? ? φ= 2 , sin φ = ,将原式化为 a +b2 a2+b2? ?

y= a2+b2· sin(x+φ)+c的形式后,再求值域(或最值);②形如 y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设t=sin x,将原式化为 二次函数y=at2+bt+c的形式,进而在t∈[-1,1]上求值域(或 最值);③形如y=asin xcos x+b(sin x± cos x)+c的三角函数, 1 2 可先设t=sin x± cos x,将原式化为二次函数y=±2 a(t -1)+bt +c的形式,进而在闭区间t∈[- 2, 2]上求最值.

【示例】?(本题满分12分)(2011· 北京)已知函数f(x)=4cos
? π? ?x+ ?-1. 6? ?

xsin

(1)求f(x)的最小正周期;
? π π? (2)求f(x)在区间?-6,4?上的最大值和最小值. ? ?

2π 首先化为形如y=Asin(ωx+φ)的形式,由T= ω 求
? π π? 得:由x∈?-6,4?,求得ωx+φ的范围,从而求得最值. ? ?

[解答示范] (1)因为f(x)=4cos =4cos
? x? ? ? ? 3 1 ? sin x+ cos x?-1 2 2 ?

? π? xsin?x+6?-1 ? ?

= 3sin 2x+2cos2x-1= 3 sin 2x+cos 2x
? π? =2sin?2x+6?, ? ?

(4分) (6分)

所以f(x)的最小正周期为π.

π π π π 2π (2)因为-6≤x≤4,所以-6≤2x+6≤ 3 . π π π 于是,当2x+6=2,即x=6时, f(x)取得最大值2; π π π 当2x+ =- ,即x=- 时,f(x)取得最小值-1. 6 6 6

(8分)

(10分) (12分)

解决这类问题常常借助三角函数的有界性或转化为 我们所熟悉的函数,如二次函数等来解决.

5 【试一试】 是否存在实数a,使得函数y=sin x+acos x+8a-
2

? π? 3 在闭区间 ?0,2? 上的最大值是1?若存在,求出对应的a值? 2 ? ?

若不存在,试说明理由. [尝试解答]
? y=-?cos ?

1 ?2 a2 5 1 x-2a? + + a- , 4 8 2 ?

π 当0≤x≤2时,0≤cos x≤1,令t=cos x,则0≤t≤1,
? 1 ?2 a2 5 1 ∴y=-?t-2a? + 4 +8a-2,0≤t≤1. ? ?

a a a 当0≤2≤1,即0≤a≤2时,则当t=2,即cos x=2时.

a2 5 1 3 ymax= 4 +8a-2=1,解得 a=2或 a=-4(舍去). a 当2<0,即 a<0 时,则当 t=0,即 cos x=0 时, 5 1 12 ymax=8a-2=1,解得 a= 5 (舍去). a 当2>1,即 a>2 时,则当 t=1,即 cos x=1 时, 5 3 20 ymax=a+8a-2=1,解得 a=13(舍去). 3 综上知,存在 a=2符合题意.


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