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2.2.1向量加法运算及其几何意义


引入:从运动的合成看向量运算
? 在大陆和台湾没有直航之前,台湾同胞要到上海 探亲,得乘飞机要先从台北到香港,再从香港到 上海,那么这两次位移之和是什么?

??? ? ??? ? ??? ? 位移 AB + BC = AC
C 上海 台北 香港 A B

从力的合成看向量运算
? 橡皮条在力F1与F2的作

用下,从E点伸长到了O点;同 时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点. ? 问:合力F与力F1、F2有怎样的关系? F1+F2=F
E
O

E
O

F

F

F是以F1与F2为邻边所形成的 平行四边形的对角线

向量的加法运算
??? ? ??? ? ??? ? ? 运动的合成 AB + BC = AC
? 力的合成 F1 + F2 = F
F2 A F1 B

C

F

数的加法启发我们,从运算的角度看, AC可以认为 是AB与BC的和,F可以认为是F1与F2的和,即位移、力的 合成可以看作向量的加法。

? 向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法 ? 向量的加法法则:三角形法则、平行四边形法则

? ? ? ? 已知向量a , b , 求作向量a ? b

向量加法法则
a

a

b

首尾相接,首尾连

作法: 1.在平面内任取一点A 2.作 AB ? a, BC ? b 则向量 AC ? a ? b
位移的合成可以看作向量 加法三角形法则的物理模型 B
b

同起点,对角线

a?b


b

a

A

a?b
C

C

作法: B 1.在平面内任取一点O 2.作OA ? a, OB ? b 则向量OC ? a ? b

力的合成可以看作向量加法的 平行四边形法则的物理模型

? ? ? ? 特例 当向量a ,b是共线向量时,a + b 又如何 作出来?

(1)同向
a

(2)反向
a

b
A
B C B

b
C A

???? ? ? AC = a + b ? ? ? 规定: a + 0 = 0 + a = a

??? ? ? ? AC = a + b

? ? ? ? 当向量a ,b不是共线向量时,a + b 又如何 作出来?
a b



?? a

A

? ? a+ b

? b
B

? ? ? ? | a+ b|< | a|+ |b| ? ? ? ? 一般地,有 | a + b | < | a | + | b |

数的加法满足交换律与结合律,即对任 意a,b∈R,有a+b=b+a

(a+b)+c=a+(b+a) ? ? 任意向量 a 、 b的加法是否也满足
交换律与结合律?

? ? ? ? a+ b = b+ a ? ? ? ? ? ? (a + b) + c = a + (b + c )

? ? ? ? ? ? (a ? b?) ?c ? a ? (b ? c )
? ? a ? b ?? c
D

向量加法的结合律:

? a ?b

? c
C

A

? a B ? ? ? (a ? b ) ? c ? AC ? CD ? AD ? ? ? a? (b ? c ) ? AB ? BD ? AD

? b

??? ? ??? ? ???? 1.???? AB ? BC ? ??? ? AC ? 2. AC ? CA ? 0 ??? ? ???? ??? ? ? 3. AB ? BC ? CA ? 0

练习:

??? ? ??? ? ??? ? 1) PB ? OP ? OB ??? ? ???? ???? ???? ? 2) .( AB ? MB) ? BO ? OM

4、化简下列各式:

??? ? 5.对于任一四边形ABCD,下列式子中不等于BC 的是( D)
??? ? ???? ???? A. BA ? AD ? DC

??? ? ??? ? ??? ? B. BD ? DA ? AC
??? ? ??? ? ???? C. AB ? BD ? DC ???? ??? ? ??? ? D. DC ? BA ? AD

? ? ? ? 已知 | a |? 8, | b |? 6, 则 | a ? b | 的最大值和 最小值各是什么

? ? ? ? a+ b = b+ a ? ? ? ? ? ? (a + b) + c = a + (b + c )

数学应用
例1:已知O为正六边形ABCDEF的中心,作出下列向量 ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? () 1 OA ? OC (2) BC ? FE (3) OA ? FE

解: 1) OA ? OC ? OB
(2) BC ? FE ? AD; (3) OA ? FE ? 0.

E

D

F A

O
B

C

例1、如图,已知向量a, b, 求作向量a ? b.
b a

一般地, 有 | a ? b |?| a | ? | b |: (1)当 ____时, | a ? b |?| a | ? | b |; (2)当 ____时, | a ? b |?| a | ? | b |; (3)当 ____时, | a ? b |?| a | ? | b | (或 | b | ? | a |).

例2:在长江某岸某处,江水以12 .5k m / h 的速度东流,渡船的速度为25 k m / h, 渡船 要垂直度过长江,请确 定船的航向。
解:如图,设 AB表示水流的
速度, AD表示渡船的速度, AC表示渡船实际垂 直过江的速度. 因为 AB ? AD ? AC ,所以 四边形 ABCD 为平行四边 形.在 Rt?ACD 中,
?ACD ? 90 | DC |?| AB |? 12.5
?

D
25

C

A
?CAD ? 30 ?

12 .5

B

所以

答:要垂直地度过长江,其航向应为北偏西

| AD |? 25

30 ?


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