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递推数列的特征方程法探究——兼谈数列求通项公式

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黧潮冒强  第 4 期   学科教学  蕊  Te a c h i n g   Res e ar c h   f or   P dma w  a n d   Mi d d l e   Sc h oo l s   递推数列 的特征 方程法探究  兼谈 数列求通项公式  蔡 军军  ( 苏州市高新区第一 中学 ,江苏 数列问题在高考 中有着非常重要的地位 , 其 中数  列 求 通 项 公 式 ,通 常作 为 各 省 市 的高 考 压 轴题 出现 。   而递 推数 列 的通 项公 式 求 解 ,往往 令 师 生 最 为 头疼 。   苏州 2 1 5 0 1   1 )   若 a l = ) 【 o =  L , 则 a l = a 2 = a 3 = … …= a n - _  L , 即 数  l—p   l—D  列{ a n } 为 常数 列 ;   an +l -  那 么, 什么是递推数列 , 包含哪些类型. 一般 而言 , 数列  求通项公式 , 都有哪些方法策略?下面 , 我对这几方面  做些研究 、 探索不足之处 , 敬请 同行批评指正 。   一 L   L 若a 。 #X o , 则鱼  n   o   = ——  a  一   = p ( 非零常数 ) , 即  ‘   l — p   、 递推 数 列 的分 类  数Y O { a   一 x 。 } 是 以 P为 公 比的等 比数 列 , 证毕。   ( 二) 二 阶 线性 递推 数 列  递 推数 列 , 顾 名思 义 是 指 可 以通 过 递 推 找 出其 规  律的数列 。用通俗 的一句话来解释“ 递推 ” 就是 : 知道  他 的过去 , 就知道他的现在. 知 道他 的过 去 和现 在 , 就  知道 他 的将来 。   根据 递 推 式不 同 ,一 般 可 将递 推 数 列分 为 以下 4   类:   递推数列名称  一 引理 2 . 已知 数  ̄ J r { a   J 满足 a n + 2 = p a   + 。 + q a   ( p ≠1 , p , q   是常数 ) , a l = a , a 2 = b , 称方程 x 2 = p x + q为数列{ a   } 的特征  方程 , 设特征方程的根为 X 。 , x : 。则① 当 X 。 ≠x   时, 数列  { a   } 的通项 为 a n = C 1 X l n + C 2 X 2 n , 其中 C 1 , C 2 由初始值决定 ;   ②当X I = x : 时, 数列{ a   ) 的通 项 为 a n = ( e l + C 2 n ) X 。 “ , 其中   递推式满足条件  l = p a   + q ( p ≠0 且p ≠1 , p , q 是 常数 )   C   , C   由初 始值 决 定 。   简证 : 设 特 征 方程 x 2 = p x + q有 两个 根 为 x , , X 2则  = ¨ , 阶线性递推数列  二阶线性递推数列  a  一 岛 什 2 = p  l + q a   ( p ≠1 , p , q 是常数 )   次分式递推数列  等 ( p , q ' r ' h ∈ R ’ _  ̄ 1 p h # q r ,   r ≠0 , a l ≠一 旦)   r   故由 a n + 2 = p a . < + q a n 得,   : ( X l + X 2 ) a n +   一  

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