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2015-2016高中数学人教A版必修2练习4.2.1直线与圆的位置关系.doc

时间:2017-05-22


4.2.1
基 础 梳 理

直线与圆的位置关系

直线 Ax+By+C=0 与圆(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系及判断如下表所示:

位置关系 公共点个数 判定方法 |Aa+Bb+C| 几何法:设圆心到直线的距离 d= A2+B2 代数法:由
?Ax+By+C=0 ? ? 2 2 2 ?

(x-a) +(y-b) =r ?

相交 2个

相切 1个

相离 0个

d< r

d=r

d> r

Δ >0

Δ =0

Δ <0

消元得到一元二次方程的判别式Δ 练习1:直线 x+y=0 与圆 x2+y2=1 的位置关系是相交. 练习2:(1)直线 x+y=0 与圆 x2+y2=2 联立求解知其解为(1,-1)或(-1,1),故直线 与圆的位置关系为相交. (2)直线 x+y=2 与圆 x2+y2=2 联立求解知其解为(1,1).故直线与圆的位置关系为相 切. ?思考应用 如何求直线被圆所截得的弦长? 解析:①应用圆中直角三角形:半径 r,圆心到直线的距离 d,弦长 l 具有的关系:r2 l ?2 =d2+? ?2? . ②利用弦长公式:设直线 l:y=kx+b,与圆两交点(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代 入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长 l= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]. 1+k2 |x1 - x2| =

自 测 自 评 1.直线 y=x+1 与圆 x2+y2=1 的位置关系是(B)

A.相切 C.直线过圆心

B.相交但直线不过圆心 D.相离 |1| 1 <1,且(0,0)不在直线 y=x+1 上,故 2 2= 2 1 +1

解析:圆心(0,0)到直线的距离为 选 B. 2.下列说法中正确的是(D)

A.若直线与圆有两个交点,则直线与圆相切 B.与半径垂直的直线与圆相切 C.过半径外端的直线与圆相切 D.过圆心且与切线垂直的直线过切点 解析:A 为相交,B、C 中的直线有无数条. 3.直线 y=x-1 上的点到圆 x2+y2+4x-2y+4=0 的最近距离为(C) A.2 2 B. 2-1 C.2 2-1 D.1 4.已知直线 x=a(a>0)和圆(x-1)2+y2=4 相切,那么 a 的值是(C) A.5 B.4 C.3 D.2 解析:∵|a-1|=2,又 a>0,∴a=3. 5.经过点 M(2,1)作圆 x2+y2=5 的切线,则切线方程为(C) A. 2x+y-5=0 B. 2x+y+5=0

C.2x+y-5=0 D.2x+y+5=0 解析:设过点 M 的圆的切线上任一点的坐标为(x,y), ∵点 M(2,1)在圆 x2+y2=5 上, ∴ y-1 1-0 · =-1,即 2x+y-5=0. x-2 2-0

题型一 判断直线与圆的位置关系 题型二 圆的切线方程 题型三 直线与圆相交的问题 题型四 直线与圆有关最值问题 基 础 达 标 1.若 PQ 是圆 x2+y2=9 的弦,PQ 的中点是(1,2),则直线 PQ 的方程是(B) A.x+2y-3=0 B.x+2y-5=0

C.2x-y+4=0 D.2x-y=0 解析:结合圆的几何性质知直线 PQ 过点 A(1,2),且和直线 OA 垂直,故其方程为:y 1 -2=- (x-1),整理得 x+2y-5=0. 2 2.已知点 A(-2,0),B(0,2),点 C 是圆 x2+y2-2x=0 上任意一点,则△ ABC 面积 的最大值是(D) A.6 B.8 C.3- 2 D.3+ 2 x y 解析:直线 AB 的方程是 + =1,∣AB∣=2 2,则当△ ABC 面积最大时,边 AB -2 2 上的高即点 C 到直线 AB 的距离 d 取最大值.又圆心 M(1,0),半径 r=1,点 M 到直线的 距离为 3 2 3 2 1 ,由圆的几何性质得 d 的最大值是 + 1 ,所以 △ ABC 面积的最大值是 × 2 2 2

2 2·?

3 2 ? =3+ 2. ? 2 +1?

3.圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程是(D) A.x+ 3y-2=0 B.x+ 3y-4=0 C.x- 3y+4=0 D.x- 3y+2=0 解析:圆心为 C(2,0),则直线 CP 的斜率为 故切线斜率为 3-0 =- 3,又切线与直线 CP 垂直, 1-2

3 3 ,由点斜式得切线方程:y- 3= (x-1)即 x- 3y+2=0. 3 3

4.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为 (A) A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0 5.已知圆 C 的方程为:x2+y2=4. (1)求过点 P(1,2)且与圆 C 相切的直线 l 的方程; (2)直线 l 过点 P(1,2),且与圆 C 交于 A、B 两点,若|AB|=2 3,求直线 l 的方程. 解析:(1)显然直线 l 的斜率存在, 设切线方程为 y-2=k(x-1), 则由 |2-k|
2

4 =2 得 k1=0,k2=- , 3 k +1

故所求的切线方程为 y=2 或 4x+3y-10=0.

(2)当直线 l 垂直于 x 轴时, 此时直线方程为 x=1, l 与圆的两个交点坐标为(1, 3)和(1, - 3),这两点的距离为 2 3,满足题意; 当直线 l 不垂直于 x 轴时,设其方程为 y-2=k(x-1),即 kx-y-k+2=0,设圆心到此 直线的距离为 d,则 2 3=2 4-d2,∴d=1, |-k+2| 3 ∴1= 2 ,∴k= , 4 k +1 此时直线方程为 3x-4y+5=0, 综上所述,所求直线方程为 3x-4y+5=0 或 x=1. 巩 固 提 升 6. 圆(x-1)2+(y-2)2=1 关于直线 y=x 对称的圆的方程为(A) A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y-2)2=1 C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-1)2+(y+2)2=1 y 7.若实数 x,y 满足(x-2)2+y2=3,那么 的最大值为(D) x 1 A. 2 B. 3 3 C. D. 3 3 2

解析:方程(x-2)2+y2=3 的曲线是以 A(2,0)为圆心,以 3为半径的圆,实数 x,y 是 y 圆上的点 P(x,y)的坐标,而 是直线 OP 的斜率,由下图可知当点 P 在第一象限且 OP 为圆 x 的切线时,k 最大.

(x-2) +y =3, ? ? 由?y 得(1+k2)x2+1-4x=0, ?x=k, ? Δ =12-4k2=0,有 k=± 3.

2

2

y ∴k 最大即 最大为 3.故选 D. x 8.直线 y=x+b 与曲线 y= 1-x2有两个公共点,则 b 的取值范围是________. 解析:曲线为 x2+y2=1(y≥0),表示单位圆的上半圆,由数形结合法,知 1≤b< 2.

答案:1≤b< 2 9.已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线 l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)求证:直线 l 恒过定点; (2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系; (3)当 m=0 时,求直线 l 被圆 C 截得的弦长. 解析:(1)直线 l 的方程可化为 (2x+y-7)m+x+y-4=0. ∵m∈R,
? ? ?2x+y-7=0, ?x=3, ∴? 解得? ?x+y-4=0, ?y=1. ? ?

∴直线 l 恒过定点 A(3,1). (2)圆心 C(1,2),|AC|= (3-1)2+(1-2)2= 5<5, ∴点 A 在圆 C 内. 从而直线 l 与圆 C 相交(无论 m 为何实数).

(3)当 m=0 时,直线 l 的方程为 x+y-4=0, |1+2-4| 1 圆心 C(1,2)到它的距离为 d= = . 2 12+12 ∴此时直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 r2-d2=2 1 25- =7 2. 2

1.判断直线与圆的位置关系主要有以下两种方法. (1)判断直线 l 与圆 C 的方程组成的方程组的解.有两解时,相交;有一解时,相切; 无解时,相离; (2)判断圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系:当 d<r 时,相交;当 d=r 时, 相切;当 d>r 时,相离. 2.设切线方程时,若设点斜式一定要注意斜率不存在的情况. 3.直线与特殊圆相切,切线的求法. (1)当点(x0,y0)在圆 x2+y2=r2 上时,切线方程为 x0x+y0y=r2; (2)若点(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上,则切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b) =r2; (3)斜率为 k 且与圆 x2+y2=r2 相切的切线方程为:y=kx±r 1+k2;斜率为 k 且与圆(x -a)2+(y-b)2=r2 相切的切线方程的求法,可以设切线为 y=kx+m,然后变成一般式 kx-y +m=0,利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求 m.


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