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高中数学 2.3幂函数精讲精析 新人教A版必修1


课题:2.3

幂函数

精讲部分
学习目标展示 (1)了解幂函数的概念 (2)结合函数 衔接性知识 1. 请画出 y ? x 、 y ? x2 、 y ? 2. 请画出 y ? 2x 的图象 3. 比较函数 f ( x ) ? 2x 与 g ( x) ? x2 在解析式形式上的不同,并说明哪个是指数函数 基础知识工具箱 要点 定

义 符号 的图像,了解它们的变化情况。

1 的图象 x

幂函数

一般地,函数

y ? x?

f ( x) ? x? (? 是常数 )
的函数叫幂函 注:幂函数的特征是以幂的底为自变 量,指数为常数,其定义域随着常数 ? 取值的不同而不同

数,其中 x 是自变量, ? 是常数

? ?1
幂函数

0?? ?1

? ?0

y ? x ? (? ? 0,1)
在第一象限的图 象

几个常用幂函数 的图象

1

(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (2)? ? 0 时, 幂函数的图象通过原点, 并且函数在区间 [0,??) 上是增函数; (3) ? ? 0 时,幂函数的图象不过原点,幂函数在区间 (0,??) 上是减函数. 当 ? ? 0 时, x 轴与 y 轴是幂图象的渐近线; (4)当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (5)幂函数在第四象限无图象. 典例精讲剖析 例 1. 比较下面大小: ( 1 ) 3.14
2.4

幂函数性质归纳

、?

2.4

与 3.14

2.1

2.6 ?3.8 ?3.8 ( 2) ( ) 、 ( ) 与 ( )

4 5

2 3

3 4

2.4 2.4 【解析】 (1)? y ? x2.4 在 (0 , ? ?) 上是增函数,且 ? ? 3.14 ,?? ? 3.14

又 ? y ? 3.14x 在 (?? , ? ?) 上是增函数,且 2.4 ? 2.1 ,?3.14 从而 ? 2.4 ? 3.142.4? 3.142.1

2.4

? 3.142.1

2 2 4 3 3 5 2 3 2 3 ?3.8 ? ( ) ?3.8 又 ? y ? x?3.8 在 (0 , ? ?) 上减函数,且 ? ,? ( ) 3 4 3 4 2 ?3 . 8 3 ? 3 . 8 4 2 . 6 ?( ) ?( ) 从而有 ( ) 3 4 5

2.6 0 ?3.8 ? ( ) 0 ? 1 ,( ) ?3.8 ? ( ) 0 ? 1 ( 2) 由指数函数的性质, 得 0 ? ( ) ? ( ) ? 1, ( )

4 5

3 4

3 4

例 2. 幂函数 f ( x) ? (m2 ? 3m ? 3) xm

2

?m?1

的图像不经过原点,求实数 m 的值。

2 2 【解析】 因为函数是幂函数,所以 m ? 3m ? 3 ? 1 ,? m ? 3m ? 2 ? 0 ,? m ? 1或m ? 2

?1 当 m ? 1 时, f ( x) ? x ?

1 ,数的图像都不经过原点;当 m ? 2 时, f ( x) ? x ,数的图像 x

都经过原点,所以 m ? 1 例 3. 已知幂函数 f ( x ) 的图象过 (8 ,

1 ) 点, 4

试求: (1) f ( x ) 的定义域(2) f ( x ) 的奇偶性(3) f ( x ) 的单调区间. [解析]设 f ( x) ? x ,则 ∵ f ( x) ? x 的图象过 (8 ,
?
?

1 1 ) 点,∴ 8? ? , 4 4

2

即 2 =2 ,∴ ? ? ?
-2

3?

? 2 1 ,∴ f ( x) ? x 3 ,即 f ( x) ? . 3 2 3 x

2

(1)欲使 f ( x ) 有意义,须 x2 ? 0 ,∴ x ? 0 ,∴ f ( x ) 的定义域为 {x ? R | x ? 0} .
3

(2)对任意 x ? R 且 x ? 0 ,有 f (? x) ?

1
3

( ? x) 2

?

1
3

x2

? f ( x) ,∴ f ( x) 为偶函数.

(3)?? ? 0 ,∴ f ( x ) 在 (0,+?) 上是减函数,又 f ( x ) 为偶函数,∴ f ( x ) 在 (-? , 0) 上 为增函数,故单调增区间为 (-? , 0) ,单调减区间为 (0,+?) . 例 4. 已知函数 f ( x) ? (m2 ? m) x m
2

?2 m?2

, 当 m 取什么值时, (1) f ( x) 是正比例函数; (2)

(3) f ( x) 在第一象限它的图像是上升的曲线。 f ( x) 是反比例函数;

?m2 ? m ? 0 ?m ? 0且m ? ?1 ? 【解析】 (1)由题意,得 ? 2 ,? ? ,? m ? 3 ? ?m ? ?1或m ? 3 ? m ? 2m ? 2 ? 1
2 ? ? ?m ? m ? 0 ?m ? 0且m ? ?1 ? m ? 1 ? 2或1 ? 2 ?? (2) 由题意, 得? 2 , , ? ? ?m ? 1 ? 2或m ? 1 ? 2 ?m ? 2m ? 2 ? ?1

2 ? ? ?m ? m ? 0 ?m ? 0或m ? ?1 (3)由题意,得 ? 2 ,? ? ,?m ? ?1或m ? 1 ? 3 ? ? ? m ? 2m ? 2 ? 0 ?m ? 1 ? 3或m ? 1 ? 3

精练部分 A 类试题(普通班用) 1.设 a 、 b 满足 0 ? a ? b ? 1 ,则下列不等式中正确的是( A. a ? a
a b

)
b b D. b ? a

B. b ? b
a

b

C. a ? b
a

a

[答案] C
a b x [解析] ∵ y ? a 单调减, a ? b ,∴ a ? a ,排除 A.

x a b ∵ y ? b 单调减, a ? b ,∴ b ? b ,排除 B.
a a b b x x ∵ y ? a 与 y ? b 在(0,1)上都是增函数, a ? b , a ? b , a ? b ,∴C 对 D 错.

a 2.在同一坐标系内,函数 y ? x (a ? 0) 和 y ? ax ?

1 的图象应是( a

)

3

[答案] B [解析] 首先若 a ? 0 , y ? ax ?
?2

1 1 ,应为增函数,只能是 A 或 C,应有纵截距 >0 因而排 a a

除 A、C;故 a ? 0 ,幂函数的图象应不过原点,排除 D,故选 B

3. 函数 f ? x ? ? ( x+3) 的定义域为__________,单调增区间是__________,单调减区间为 __________. [答案] [解析]

{x | x ? R且x ? -3} ; (?? , ? 3) ; (?3 ,+?)
∵ f ? x ? ? ( x+3)
?2

?

1 , ∴ x+3 ? 0 , 即 x ? ?3 , 定 义 域 为 ( x ? 3)2

{x | x ? R且x ? ?3} ,
y ? x ?2 ? 1 的单调增区间为 (?? , 0) ,单调减区间为 (0 , ? ?) , f ? x ? ? ( x+3)?2 是 x2

由 y ? x ?2 向左平移 3 个单位得到的. ∴ f ? x ? ? ( x+3) 的单调增区间为 (?? , ? 3) ,单调减区间为 (?3 , ? ?) .
?2

4.比较下列各组中两个数的大小 (1) 1.5 与 1.7
3 5 3 5

(2) (?1.2)
2

?

2 3

与 (?1.25)

?

2 3
3 3

【解析】 (1)? y ? x 3 在 (0 , ? ?) 单调递增,且 1.5 ? 1.7 (2)? (?1.2)
2 3
? 2 3

?1.5 5 ? 1.7 5
1
3

?

1
3

(?1.2) 2

?

1
3

1.22

? 1.2 3 , (?1.25)

?

2

?

2 3

?
2 3

(?1.25) 2
? 2 3

?

1
3

1.252

? 1.25

?

2 3

又? y ? x

?

在 (0 , ? ?) 单调递减,且 1.2 ? 1.25 , 1.2
)? 2 3

?

? 1.25

从而有 (?1.2

? (?1.25)

?

2 3
2

2 m 5.已知函数 f ? x ?=(m +2m) ? x

? m ?1

, m 为何值时, f ? x ? 是(1)正比例函数;(2)反比

例函数;(3)二次函数;(4)幂函数. [解析] (1)若 f ? x ? 为正比例函数,则 ?

?m2 ? m ?1 ? 1 ? m ?1; 2 m ? 2 m ? 0 ?

?m2 ? m ? 1 ? ?1 ? m ? ?1 ; (2)若 f ? x ? 为反比例函数,则 ? 2 ? m ? 2m ? 0
(3)若 f ? x ? 为二次函数,则 ?

? m2 ? m ? 1 ? 2 ?m ? 2m ? 0
2

?m?

?1 ? 13 ; 2
4

(4)若 f ? x ? 为幂函数,则 m2 ? 2m ? 1 ,∴ m ? ?1 ? 2 . B 类试题(3+3+4) (尖子班用) 1.设 a 、 b 满足 0 ? a ? b ? 1 ,则下列不等式中正确的是( A. a ? a
a b

) D. bb ? a b

B. b ? b
a

b

C. a ? b
a

a

[答案] C [解析] ∵ y ? a x 单调减, a ? b ,∴ a a ? a b ,排除 A. ∵ y ? b x 单调减, a ? b ,∴ b a ? bb ,排除 B.
a a b b ∵ y ? a x 与 y ? b x 在(0,1)上都是增函数, a ? b , a ? b , a ? b ,∴C 对 D 错.

2. 幂函数 y ? (m ? m ? 5) x
2

3 1 m2 ? m ? 2 3

的图象分布在第一、二象限,则实数 m 的值为( C.-3 D.0

)

A.2 或-3 [答案] B [解析]

B.2

由 m2 ? m ? 5 ? 1 得 m ? 2 或 ?3 ,

∵函数图象分布在一、二象限,∴函数为偶函数,? m ? 2 .
a 3. 在同一坐标系内,函数 y ? x (a ? 0) 和 y ? ax ?

1 的图象应是( a

)

[答案] B [解析] 首先若 a ? 0 , y ? ax ?

1 1 ,应为增函数,只能是 A 或 C,应有纵截距 >0 因而排 a a

除 A、C;故 a ? 0 ,幂函数的图象应不过原点,排除 D,故选 B.

4. 已知幂函数 y ? f ? x ? 的图象经过点 (2 , 2) ,那么这个幂函数的解析式为________. [答案]

y ? x2
?

1

? [解析] 设 f ( x) ? x ,则 2 ?
1 1

2 ,?? ?

1 ,? y ? x 2 2

1

5.若 (a ? 1) 3 ? (2a ? 2) 3 ,则实数 a 的取值范围是________.

5

[答案]

(3 , ? ?)
1 3

[解析] ∵ y ? x 在 R 上为增函数, (a ? 1) ? (2a ? 2) .∴ a ? 1 ? 2a ? 2 ,∴ a ? 3 6.函数 f ? x ? ? ( x+3) 的定义域为__________,单调增区间是__________,单调减区间为
?2

1 3

1 3

__________. [答案] [解析]

{x | x ? R且x ? -3} ; (?? , ? 3) ; (?3 ,+?)
∵ f ? x ? ? ( x+3)
?2

?

1 , ∴ x+3 ? 0 , 即 x ? ?3 , 定 义 域 为 ( x ? 3)2

{x | x ? R且x ? ?3} ,
y ? x ?2 ? 1 的单调增区间为 (?? , 0) ,单调减区间为 (0 , ? ?) , f ? x ? ? ( x+3)?2 是 x2

由 y ? x ?2 向左平移 3 个单位得到的. ∴ f ? x ? ? ( x+3) 的单调增区间为 (?? , ? 3) ,单调减区间为 (?3 , ? ?) .
?2

7. 比较下列各组中两个数的大小 (1) 1.5 与 1.7
3 5 3 5

(2) (?1.2)
2

?

2 3

与 (?1.25)

?

2 3
3 3

【解析】 (1)? y ? x 3 在 (0 , ? ?) 单调递增,且 1.5 ? 1.7 (2)? (?1.2)
2 3
? 2 3

?1.5 5 ? 1.7 5
1
3

?

1
3

(?1.2) 2

?

1
3

1.22

? 1.2 , (?1.25)

?

2 3

?

2 3

?
2 3

(?1.25) 2
? 2 3

?

1
3

1.252

? 1.25

?

2 3

又? y ? x

?

在 (0 , ? ?) 单调递减,且 1.2 ? 1.25 , 1.2
)? 2 3

?

? 1.25

从而有 (?1.2

? (?1.25)

?

2 3
2

2 m 8. 已知函数 f ? x ?=(m +2m) ? x

? m ?1

, m 为何值时, f ? x ? 是(1)正比例函数;(2)反比

例函数;(3)二次函数;(4)幂函数. [解析] (1)若 f ? x ? 为正比例函数,则 ?

?m2 ? m ?1 ? 1 ? m ?1; 2 m ? 2 m ? 0 ?

?m2 ? m ? 1 ? ?1 ? m ? ?1 ; (2)若 f ? x ? 为反比例函数,则 ? 2 ? m ? 2m ? 0
(3)若 f ? x ? 为二次函数,则 ?

? m2 ? m ? 1 ? 2 ?m ? 2m ? 0
2

?m?

?1 ? 13 ; 2

6

(4)若 f ? x ? 为幂函数,则 m2 ? 2m ? 1 ,∴ m ? ?1 ? 2 . 9. 运用学过的幂函数或指数函数知识, 求使不等式 (2 x ? 1) 围. [解析] 解法一:在同一坐标系中作出函数 y ? x 观察图象可见, 当 0 ? x ? 1 时, x
? 1 2

?

1 2

? (2 x ? 1)2 成立的 x 的取值范

?

1 2

与 y ? x2 的图象,

? x2
1 ? x ? 1. 2

∴ 0 ? 2 x ? 1 ? 1 ,∴

解法二:由于底数相同,可看作指数函数运用单调性.
x ∵ 2x ?1 ? 0 且 2 x ? 1 ? 1 , 又 y ? a 当 a ? 1 时 为 增 函 数 , 当 0 ? a ? 1 时 为 减 函 数 ,

(2 x ? 1)

?

1 2

1 ? (2 x ? 1)2 ,∴ 0 ? 2 x ? 1 ? 1 ∴ <x <1 . 2

10. (1)作出函数 f ( x ) ?

x ?1 的大致图象,并指出单调区间, x ?1

(2)求当 x ?[?1,1) ? (1, 2] 时,函数 f ( x ) 的值域. [解析] (1) f ( x) ?

2 x ? 1 ( x ? 1) ? 2 2 ? ? 1? ,先作 y ? 的图象,再把图象先向右平 x x ?1 x ?1 x ?1

移 1 个单位,再向上平移 1 个单位,可得 f ( x ) 的图象如下

7

由此可知, f ( x ) 的单调减区间为 (?? ,1) 和 (1, ? ?) (2)? f ( x) 在 [?1, 1) 上是减函数,当 x ? [?1,1) 时, f ( x) ? f (?1) ? 0 又? f ( x) 在 (1 , 2] 上是减函数,当 x ? (1, 2] 时, f ( x) ? f (2) ? 3 所以,当 x ?[?1,1) ? (1, 2] 时,函数 f ( x ) 的值域为 (?? , 0] ? [3 , ? ?)

8


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