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【导与练】(新课标)2016届高三数学一轮复习 第2篇 导数的定义与计算学案 理

时间:2015-10-16


第二十二课时

导数的定义与计算

课前预习案
考纲要求 1.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道 瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵。 2.通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 基础知识梳

理 1.瞬时速度的定义:一般地,我们计算运动物体位移 S (t ) 的平均变化率 S (t0 ? ?t ) ? S (t0 ) ,如果当 ?t 无限
?t

趋近于 0 时, S (t0 ? ?t ) ? S (t0 ) 无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在 t ? t0 时的瞬时速度。 ?t 2.导数的定义:设函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 上有定义, x0 ? (a, b) ,若 ?x 无限趋近于 0 时,比值无限 趋近于一个常数 A, 则称 f ( x ) 在 x ? x0 处可导, 并称该常数 A 为函数 f ( x ) 在 x ? x0 处的导数, 记作 f '( x0 ) 或y
/ x ? x0

, f '( x0 ) =
0

3.导数的几何意义:函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数的几何意义是曲线 y ? f ( x) 在 P(x0 , f ( x 率. 即 k =

)) 处切线的斜

f ?( x0 ) ,其切线方程为
/

4.导数的物理意义:函数 s=s(t)在 t0 处的导数 s (t0),就是物体在时刻 t0 时的瞬时速度 v,即: 5.常用的求导公式:(1)常函数:y=c(c 为常数) y'= (2)幂函数:y=x , y'= (3)指数函数: y=a , y'= (4)对数函数: y=loga x , y'= (5)正弦函数:y=sinx,y'= 6.导数的四则运算:
x n

, ; y?

, 熟记 y=

1 ,y'= x
x

x , y'=

,熟记 y=e ,y'= ,熟记 y=lnx, y'= ; (6)余弦函数:y=cosx,y'=

[ f ( x) ? g ( x)]? =

; [ f ( x) ? g ( x)]? =

? ? f ( x) ? [ f ( x) g ( x)]? ? ;? ; ? = ? g ( x) ? ? 1 ?? ? ;? ?cf ( x)? = ? = ? f ( x) ? 7. 复合函数求导法则:复合函数 y ? f ? g ( x) ? 的导数和函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 的导数间的关系为
y x? ? yu? ? u x?,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
-1-

? 若y? f ? ? g ? x ?? ? ,则 y? ? ? ? f ? g ( x) ?? ? ? f ? ? g ( x) ? ? g ?( x) .
预习自测 1、下列求导运算正确的是( )

1 1 1 2 / A. ( x ? ) / ? 1 ? 2 B. (log 2 x) / ? C. (3x ) / ? 3x log3 e D. ( x cos x) ? ?2 x sin x x x ln 2 x
2、如果某物体的运动方程是 s ? 2(1 ? t )2 ,则在 t ? 1.2 秒时的瞬时速度是( A.4 B. ?4 C. 4.8 ) D. 18x ? 8x ? 9
2



D. 0.8

3、已知函数 y ? (2x3 ? 3)(3x ? 2) ,则 y / |x ?1 ? ( A. 19 B. 5 C. 21

4、与直线 2 x ? y ? 4 ? 0 平行的抛物线 y ? x 2 的切线方程为( A. 2 x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 1 ? 0

) D. 2 x ? y ? 1 ? 0

课堂探究案 典型例题 考点 1 求函数的导数 【典例 1】求下列函数的导数: (1) y ? x 2e x ; (2) y ? 2x sin x ;

x2 (3) y ? ln x

【变式 1】求下列函数的导数: (1) y ?

sin x ; x

(2) y ? x ln x ; (3) y ? sin( πx ? ? )

考点 2 求函数的切线方程
-2-

【典例 2】曲线 y ?

x 在点(-1,-1)处的切线方程为 x?2

【变式 2】 (1)曲线 y ? x 2 ? 2 x ? 1 在点(1,0)处的切线方程为 (2)曲线 y ? e 2 在点 (4,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
1 x

当堂检测

1.曲线 f(x)=x +x-2 在 P 0 点处的切线平行于直线 y=4x-1,则 P0 点的坐标为(
3

)

A.(1,0)或(-1,-4)

B.(0,1)

C.(1,0)

D.(-1,-4) )

2.已知函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) ,且满足 f ( x) ? 2 xf ?(1) ? ln x ,则 f ?(1) ? ( A. -e B. ?1
x

C. 1

D. e

3、 (2011 江西文 4)曲线 y ? e 在点 A(0,1)处的切线斜率为 4、 (2011 山东文 4)曲线 y ? x ? 11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( )
3

A .-9

B .-3

C. 9

D .15

课后拓展案 A 组全员必做题 1.曲线 A . 2.若曲线 y ? x A .64
? 1 2

在点 B . 在点 ? a , a

,

处的切线方程为( C.

) D . )

? ?

?

1 2

? ? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18,则 a ? ( ?
C .16 D .8

B .32
x

3.已知点 P 在曲线 y ? A .[0,

4 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围是( e ?1



? ) 4
4

B .[
2

? ?

, ) 4 2

C .(

? 3?
2 , 4

]

D .[

3? ,? ) 4
) D.4

4.若 f ( x) ? ax ? bx ? c 满足 f ?(1) ? 2 ,则 f ?(?1) ? ( A. ?4 B. ?2 C.2

-3-

5.设函数 f ( x) ? ax ? 解析式为

1 (a,b ? Z) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程为 y=3.则 f ( x) 的 x?b

6、 (2013 年广东理)若曲线 y ? kx ? ln x 在点

?1, k ? 处的切线平行于 x 轴,则 k ? ______.

7、 ( 2013 年高考江西卷(文 11 ) )若曲线 y ? x? ? 1 (α ∈R)在点 (1,2) 处的切线经过坐标原点 , 则 α =_________

B 组提高选做题 1. 已知函数 f ( x ) 在 R 上满足 f ? x ? ? e x ? x 2 ? x ? sin x ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程是 ( ) B. y ? x ? 1 C. y ? 3x ? 2 D. y ? ?2 x ? 3

A. y ? 2 x ? 1

y?
2.(2011 湖南文 7)曲线

sin x 1 ? ? M ( , 0) sin x ? cos x 2 在点 4 处的切线的斜率为(



1 A. 2 ?

1 B. 2
4

?
C.
2

2 2

2 D. 2


3.已知曲线 y ? x ? ax ?1在点? ?1 ,a ? 2? 处切线的斜率为8,a= ( A. 9 B. 6 C. -9 D. -6

4.(2012 高考新课标文 13)曲线 y=x(3lnx+1)在点 (1,1) 处的切线方程为________ 5.(2013 广东卷文)若曲线 y ? ax2 ? ln x 在点 (1, a ) 处的切线平行于 x 轴,则 a ? ______.

参考答案 预习自测 1.B 2.D 3.C 4.D 典型例题 【典例 1】 (1) ( x ? 2 x)e ; (2)
2 x

2 x ln x ? x 2x (3) . sin x ? 2 x cos x ; (ln x) 2 2x
-4-

【变式 1】 (1)

x cos x ? sin x ; (2) ln x ? 1 ; (3) π cos( πx ? ? ) . x2

【典例 2】 2 x ? y ? 1 ? 0 【变式 2】 (1) y ? 0 ; (2) e 2 . 当堂检测 1.A 2.B 3.C 4.1 A 组全员必做题 1.A 2.A 3.D 4.B 5. f ? x ? ? x ? 6.-1 7.2 B 组提高选做题 1.B 2.B 3.D 4. 4 x ? y ? 3 ? 0 ; 5.

1 x ?1

1 2

-5-


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