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第六章 第一节 不等关系与不等式


第六章 不 等 式 第一节 不等关系与不等式

考向 1 用不等式(组)表示不等关系 例1.将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边 都缩短x,构成一个钝角三角形,试用不等式(组)表示x 应满足的不等关系.
?5 ? x ? 0, ? ? ?? 5 ? x ? ? ?12 ? x ? ? 13 ? x, ? 2 2 2 5 ? x ? 12

? x ? 13 ? x ? ? ? ? ?. ? ??

【提醒】在不等式的应用题中,用不等式表示不等关系时,不 可忽略自变量的限制条件.

考向 2 比较大小
【例2】(1) 3 ? 2 与 7 ? 6 的大小关系是______.
3? 2 ? 7? 6

(2)若a<0,-1<b<0,那么下列不等式中正确的是(
(A)a<ab2<ab (C)a<ab<ab2 (B)ab2<a<ab (D)ab2<ab<a

A

)

考向 2 比较大小
3 【例2】(3)若实数a≠1,比较a+2与 的大小. 1? a
(4)已知 ? ? (0, ? ), 且a=cos 2θ ,b=cos θ -sin θ , 4 试比较a与b的大小.

【规律方法】1.作差法比较大小的方法步骤 ①作差:有的可直接作差,有的需转化后才可作差;②变形: 目的是判断差的符号,通常进行通分、因式分解、配方、分子 (分母)有理化等变形,有时还要根据字母取值范围进行讨论以 判断差的符号;③定号:若a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a<b 等;④得结论. 2.作商法比较大小的注意事项 利用作商法比较大小要注意分清所研究变量的正负,然后根据: 若
a a ?1 ,b ? 0, 则a>b;若 ? 1 ,b ? 0, 则a<b的原则进行判断. b b

考向 3 不等式的性质及其应用
【例3 】(1)若a>b>0,则下列不等式中一定成立的是(

A)

1 1 ? A ? a ? >b ? b a 1 1 ? C ? a ? >b ? b a

b b ?1 ? B? > a a ?1 2a ? b a > ? D? a ? 2b b

1 1 < 【例3】(2)若 a b

<0,则下列不等式:

1 1 1 1 ① < ; ②|a|+b>0;③ a ? >b ? ; a b a ? b ab ④ln a2>ln b2中,正确的不等式是( )

C

(A)①④

(B)②③

(C)①③

(D)②④

(3)若非零实数a,b满足a>b,则( (A)
1 1 ? a b

D

)

(B)

1 1 ? a 2 b2

(C)a2>b2

(D)a3>b3

考向 3 不等式的性质及其应用 【例3】(4)(2013·合肥模拟)已知a,b,c,d为实数,且c>d,则

“a>b”是“a-c>b-d”的(
(A)充分不必要条件

B)

(B)必要不充分条件
(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

巩固练习 x+y<2m的一个充分不必要条件是(
(A)x<m或y<m (C)x<m且y>m (B)x<m且y<m (D)x<m或y>m

B)

1 1 (5)设a,b为正实数,则a<b是a- <bb a
恒成立的(

C

)

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

不等式的倒数性质 < (1)a>b,ab>0? 1 ___ a 1 < 1 (2)a<0<b? ___ . a b (3)a>b>0,0<c<d?
1 . b

a > b ___ . d c 1 < 1 < 1 (4)0<a<x<b或a<x<b<0? ___ ___ . a x b

例4.(1)已知-2<a<-1,-3<b<-2,则a-b的取值范围

是______,a2+b2的取值范围是______.
答案:(0,2) (5,13)

(2)已知-3<2x-1<1,则

2 ?1 x

的取值范围是_______.

答案:(-∞,-3)∪(1,+∞)

(3)若1<α <3,-4<β <2,则α -|β |的取值范围是________.

答案:(-3,3)

例5.已知 ? 1 ? x ? y ? 4且2 ? x ? y ? 3, 则 2 x ? 3 y的取值范围是 __________ _.

答案:(3,8)
巩固练习:设 f(x)=ax2+bx,且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, 求 f(-2)的取值范围.


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