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高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.3知识点总结含同步练习及答案

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高中数学选修2-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用

一、学习任务 1. 了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;会求不超过三次的多项式 函数的单调区间. 2. 了解函数的极大(小)值、最大(小)值与导数的关系;会求不超过三次的多项式函数的极 大(小)值,以及在指定区间上

不超过三次的多项式函数的最大(小)值.

二、知识清单
利用导数研究函数的单调性 导数与函数的图象 利用导数求函数的极值 利用导数求函数的最值

三、知识讲解
1.利用导数研究函数的单调性 描述: 一般地,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间 (a, b) 内,如果 f ′ (x) > 0 ,那么函数 y = f (x) 在这个区间内单调递增;如果 f ′ (x) < 0 ,那么函数 y = f (x) 在这个区间内单调递减. 注:在 (a, b) 内可导的函数 f (x) 在 (a, b) 上递增(或递减)的充要条件是 f ′ (x) ? 0 (或 f ′ (x) ? 0 ),x ∈ (a, b) 恒成立,且 f ′ (x) 在 (a, b) 的任意子区间内都不恒等于 0 . 例题: 求下列函数的单调区间: (1)f (x) = x 3 ? 3x 2 ? 9x + 5 ;(2)f (x) = x ? ln x;

1 3 x ? x2 + 2x + 1 . 3 解:(1)函数的定义域为 R.
(3)f (x) =

f ′ (x) = 3x2 ? 6x ? 9 = 3(x ? 3)(x + 1),
令 f ′ (x) > 0 ,解得

x < ?1或x > 3,
令 f ′ (x) < 0 ,解得

?1 < x < 3.
所以 f (x) 的单增区间为 (?∞, ?1),(3, +∞);单减区间为 (?1, 3) .

f (x)

(0, +∞)

( ) (?∞, ?1) (3, +∞) (2)f (x) 的定义域为 (0, +∞). f ′ (x) = 1 ?
令 f ′ (x) > 0 ,解得

(?1, 3) 1 x?1 = , x x

x > 1;
令 f ′ (x) < 0 ,解得

0 < x < 1.
所以 f (x) 的单增区间为 (1, +∞),单减区间为 (0, 1). (3)f (x) 的定义域为 R.

f ′ (x) = x2 ? 2x + 2 = (x ? 1)2 + 1, f ′ (x) > 0 在 R 上恒成立,所以 f (x) 在 R 上恒增.
若函数 f (x) = x 3 ? 3ax 2 ? 2x + 5 在 (0, 1) 内单调递减,求实数 a 的取值范围. 解:求导,得

f ′ (x) = 3x2 ? 6ax ? 2,
因为 f (x) 在 (0, 1) 内单调递减,所以不等式 3x2 ? 6ax ? 2 ? 0 在 (0, 1) 内恒成立,即

a?
令 g(x) =

1 1 x? , 2 3x

1 1 ,则 x? 2 3x g ′ (x) = 1 1 + > 0, 2 3x2 1 1 1 ? = , 2 3 6

所以 g(x) 在 (0, 1) 内是增函数,且

g(x) < g(1) =
所以 a ?

1 . 6

设函数f (x) = xekx (k ≠ 0). (1)求曲线 y = f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)求函数 f (x) 的单调区间. 解:(1)因为 f ′ (x) = ekx (kx + 1),所以 f ′ (0) = 1,又 f (0) = 0 ,所以曲线 y = f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y = x. (2)令

f ′ (x) = (kx + 1)ekx = 0,


x≠?

1 (k ≠ 0). k

若 k > 0,则当 x ∈ (?∞, ?

1 , +∞) 时,f ′ (x) > 0 ,函数 f (x) 单调递增; k 1 1 若 k < 0 ,则当 x ∈ (?∞, ? ) 时,f ′ (x) > 0 ,函数 f (x) 单调递增;当 x ∈ (? , +∞) k k 时,f ′ (x) < 0 ,函数 f (x) 单调递减. x ∈ (?

1 ) 时,f ′ (x) < 0 ,函数 f (x) 单调递减;当 k

2.利用导数求函数的极值 描述: 函数的极值定义 已知函数 y = f (x) ,设 x 0 是定义域 (a, b) 内任一点,如果对 x0 附近的所有点 x,都有 f (x) < f (x0 ) 成立,则称函数 f (x) 在点 x0 处取得极大值,记作

y 极大 = f (x0 ).
并把 x 0 称为函数 f (x) 的一个极大值点. 如果在 x 0 附近都有 f (x) > f (x0 ) 成立,则称函数 f (x) 在点 x0 处取得极小值,记作

y 极小 = f (x0 ).
并把 x 0 称为函数 f (x) 的一个极小值点. 极大值与极小值统称为极值(extreme value).极大值点与极小值点统称为极值点. 注:可导函数 f (x) 在点 x 0 取得极值的充分必要条件是 f ′ (x0 ) = 0,且在 x0 左侧与右侧, f ′ (x) 的符号不同. 函数极值的判定 设函数 f (x) 在 x 0 处连续,判别 f (x0 ) 是极大(小)值的方法是: (1)如果在 x 0 两侧 f ′ (x) 符号相同,则 x0 不是 f (x) 的极值点. (2)如果在 x 0 附近的左侧 f ′ (x) > 0 ,右侧 f ′ (x) < 0 ,那么,f (x 0 ) 是极大值. (3)如果在 x 0 附近左侧 f ′ (x) < 0 ,右侧 f ′ (x) > 0 ,那么,f ′ (x0 ) 是极小值. 求可导函数极值的步骤 (1)求导数 f ′ (x); (2)求方程 f ′ (x) = 0 的根; (3)检查 f ′ (x) 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f (x) 在这个根处取得极大 值;如果左负右正,那么 f (x) 在这个根处取得极小值. 例题: 函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) ,其导函数 f ′ (x) 则函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内有______个极大值点. 在 (a, b) 内的图象如图所示,

解:1 极大值点 x 0 ,首先满足 f ′ (x 0 ) = 0,其次,当 x < x0 时,f ′ (x) > 0 ,当 x > x0 时, f ′ (x) < 0 .

y=

3

?3

2

? 9x + 5

求函数 y = x 3 ? 3x 2 ? 9x + 5 的极值. 解:y ′ = 3x 2 ? 6x ? 9 ,令 y ′ = 0 ,即 3x2 ? 6x ? 9 = 0,解得 x1 = ?1 ,x2 = 3. 当 x 变化时,y ′ ,y 的变化情况如下表:

x y y



(?∞, ?1) ?1 + 0 ↗ 极大值

(?1, 3) ? ↘

3 0
极小值

(3, +∞) + ↗

所以,当 x = ?1 时,函数 y = f (x) 有极大值,且 f (?1) = 10 ;当 x = 3 时,函数 y = f (x) 有极小值,且 f (3) = ?22 . 已知函数 f (x) = x 3 ? 3ax 2 + 2bx 在点 x = 1 处有极小值 ?1,试确定 a ,b 的值. 解:由已知得 f (1) = ?1,f ′ (1) = 0. 求导得

f ′ (x) = 3x2 ? 6ax + 2b,
所以

{
解得 a =

f (1) = 1 ? 3a + 2b = ?1, f ′ (1) = 3 ? 6a + 2b = 0.

1 1 ,b = ? .代入检验,符合题意. 3 2

已知 f (x) = ax 3 + 3x 2 ? x + 1 在 R 上无极值点,求 a 的取值范围. 解:

f ′ (x) = 3ax2 + 6x ? 1,
若 f (x) 在 R 上无极值点,则 f (x) 在 R 上恒增或恒减,所以 f ′ (x) ? 0 或 f ′ (x) ? 0 在 R 上恒成立. 当 a = 0 时,f ′ (x) = 6x ? 1,在 R 上 f ′ (x) 有正有负,不符题意; 当 a ≠ 0 时,f ′ (x) 为二次函数,令f ′ (x) 中

Δ = 36 + 12a ? 0,
解得 a ? ?3 ,所以 a 的取值范围为 (?∞, ?3]. 已知函数 f (x) = x ? a ln x(a ∈ R). (1)当 a = 2 时,求曲线 y = f (x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f (x) 的极值. 解:函数 f (x) 定义域为 (0, +∞),f ′ (x) = 1 ? (1)当 a = 2 时,

a . x

f (x) = x ? 2 ln x, f ′ (x) = 1 ?

2 (x > 0), x

因而 f (1) = 1 ,f ′ (1) = ?1 ,所以曲线 y = f (x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程为

y ? 1 = ?(x ? 1),



x + y ? 2 = 0. a x?a = , x > 0 知: x x ①当 a ? 0 时,f ′ (x) > 0 ,函数 f (x) 为 (0, +∞) 上增函数,函数 f (x) 无极值; ②当 a > 0 时,由 f ′ (x) = 0 ,解得 x = a.又当x ∈ (0, a)时,f ′ (x) < 0 ;当 x ∈ (a, +∞) 时,f ′ (x) > 0 ,从而函数 f (x) 在 x = a 处取得极小值,且极小值为 f (a) = a ? a ln a,无极
(2)由 f ′ (x) = 1 ? 大值. 综上,当 a ? 0 时,函数 f (x) 无极值;当 a > 0 时,函数 f (x) 在 x = a 处取得极小值 a ? ln a,无极大值.

3.利用导数求函数的最值 描述: 一般地,求函数 y = f (x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求函数 y = f (x) 在 (a, b) 内的极值; (2)将函数 y = f (x) 在各极值与端点处的函数值 f (a),f (b) 比较,其中最大一个是最大值, 最小的一个是最小值. 例题: 下列结论正确的是( ) A.在区间 [a, b] 上,函数的极大值就是最大值 B.在区间 [a, b] 上,函数的极小值就是最小值 C.在区间 [a, b] 上,函数在 x = a 和 x = b 处取得最大值和最小值 D.在区间 [a, b] 上连续的函数 f (x) 在 [a, b] 上必有最大值和最小值 解:D 由于连续函数在给定的闭区间上不一定有极值,但必有最值,且最值有可能在端点处取得,也有 可能在极值点处取得,因此前三个选项都不正确.故选 D. 已知 f (x) = x 3 ? 3x 2 ? 9x + 1. (1)求 f (x) 在区间 [?2, 4] 上的最大值与最小值; (2)求 f (x) 在区间 (0, 4) 上的最小值. 解:(1)

f ′ (x) = 3x2 ? 6x ? 9 = 3(x ? 3)(x + 1).
令 f ′ (x) = 0 得 x 1 = ?1 ,x 2 = 3,求得

f (?2) = ?1, f (?1) = 6, f (3) = ?26, f (4) = ?19.
所以函数 f (x) 在 [?2, 4] 上的最大值为 6 ,最小值为 ?26 . (2)(1)中 f (x) 导函数已求,令 f ′ (x) > 0 可得 x < ?1 或 x > 3. 令 f ′ (x) < 0 可得 ?1 < x < 3 . 则 f (x) 在 (0, 4) 内的单调性为:在 (0, 3) 单调递减,在 (3, 4) 单调递增,所以 f (x) 在 (0, 4) 上的最小值为 f (3) = ?26 . 已知函数 f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c 在 x = ? (1)求 a ,b 的值及函数 f (x) 的单调区间;

2 与 x = 1 时都取得极值. 3

f (x) ?

2

(2)若对 x ∈ [?1, 2],不等式 f (x) ? c 2 恒成立,求 c 的取值范围. 解:(1)f (x) = x 3 + ax 2 + bx + c,f ′ (x) = 3x2 + 2ax + b,由

f (x)

f ′ (?


2 12 2 )= ? a + b = 0 , f ′ (1) = 3 + 2a + b = 0, 3 9 4

a=?
令 f ′ (x) = 0 ,得

1 , b = ?2 , f ′ (x) = 3x2 ? x ? 2 = (3x + 2)(x ? 1). 2 2 , x2 = 1. 3

x1 = ?
当 x 变化时,

f ′ (x) 与 f (x) 的变化情况如下表: x f ′ (x) f (x) (?∞, ? + ↗ 2 ) 3 ? 2 3 0 (? 2 , 1) 1 3 ? 0 ↘ 极小值 (1, +∞) + ↗

极大值

2 2 ) 和 (1, +∞);递减区间为 (? , 1) . 3 3 1 2 3 (2)f (x) = x ? x ? 2x + c ,x ∈ [?1, 2]. 2 2 2 22 当 x=? 时,f (x) 取得极大值,且 f (? ) = + c ,而 f (2) = 2 + c,则 3 3 27 f (2) = 2 + c 为最大值. 要使 f (x) < c 2 (x ∈ [?1, 2]) 恒成立,只需
所以函数 f (x) 的递增区间为 (?∞,

c 2 > f (2) = 2 + c,
解得 c < ?1 或 c > 2.

4.导数与函数的图象 描述: (1)导数 f ′ (x 0 ) 表示函数 y = f (x) 在点 (x0 , f (x0 ) 处的切线斜率.当切线斜率为正值时, 切线的倾斜角小于 90? ,函数曲线呈上升状态;当切线的斜率为负值时,切线的倾斜角大于 90? 且小于 180 ? ,函数曲线呈下降状态. (2)如果在区间 (a, b) 内恒有 f ′ (x) = 0 ,那么函数 y = f (x) 在区间 (a, b) 内是常函数. 例题: f ′ (x) 是函数 f (x) 的导函数, y = f ′ (x) 的图象如图所示,则 f (x) 的图象最有可能是下列选 项中的( )

解:C 导函数的图象在 x 轴的上方,表示导函数大于零,原函数的图象呈上升趋势;导函数的图象在 x 轴的下方,表示导函数小于零,原函数的图象呈下降趋势.由 x ∈ (?∞, 0) 时导函数图象在 x 轴的上方,表示在此区间上,原函数图象呈上升趋势,可排除 B、D 选项;由 x ∈ (0, 1) 时导 函数图象在 x 轴的下方,表示在此区间上,原函数的图象呈下降趋势,可排除 A 选项. 已知函数 y = f (x) 的图象如图所示,则导函数 y = f ′ (x) 的图象可能是( )

解:D 由 y = f (x) 的图象知,y = f (x) 从左到右依次为减、增、减、增.对应区间上的导函数 y = f ′ (x) 的符号依次应该是负、正、负、正,符合此规律的只有 D.

四、课后作业

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1. 设 f ′ (x) 是函数 f (x) 的导函数,将 y = f (x) 和 y = f ′ (x) 的图象画在同一个直角坐标系中,不可 能正确的是 (

)

A.

B.

C.

D.
答案: D 解析: 选项A中的直线为导函数图象;B中递减的曲线为导函数图象;C中上面的曲线为导函数图象,都没有

矛盾.D中不论哪条曲线是导函数的图象,原函数都为单调的函数,故不可能. 2. 设函数 f (x) = xex ,则 ( A.x = 1 为 f (x) 的极大值点
答案: D

)
B.x = 1 为 f (x) 的极小值点 D.x = ?1 为 f (x) 的极小值点

C.x = ?1 为 f (x) 的极大值点
解析: 依题意,f ′ (x)

= xex + ex = (x + 1) ex ,当 x < ?1 时,f ′ (x) < 0 ;当 x > ?1 时, f ′ (x) > 0 ,因此函数 f (x) 在 x = ?1 处取得极小值.

3. 已知 f (x) = 2x 3 ? 6x 2 + a(a 是常数)在 [?2, 2] 上有最大值 3 ,那么在 [?2, 2] 上的最小值是

(

)
B.?11 C.?29 D.?37

A.?5
答案: D 解析:

f ′ (x) = 6x2 ? 12x = 6x (x ? 2),令 f ′ (x) > 0 ,解得 x > 2 或 x < 0;当 0 < x < 2 时, f ′ (x) < 0 ;于是 f (x) 在 (?2, 0) 上单调增,在 (0, 2) 上单调减;于是 f (x) 在 [?2, 2] 上的最 大值为 f (0) = a = 3. f (?2) = 2 × (?2)3 ? 6 × (?2)2 + 3 = ?37,f (2) = 2 × 2 3 ? 6 × 2 2 + 3 = ?5,故 f (x) 在 [?2, 2] 的最小值为 ?37 .

f (x) 在 [?2, 2] 的最小值为 ?37 .
4. 若函数 f (x) = x 3 ? 12x 在区间 (k ? 1, k + 1) 上不是单调函数,则实数 k 的取值范围是 ( A.k ? ?3 或 ?1 ? k ? 1 或 k ? 3 B.?3 < k < ?1 或 1 < k < 3 C.?2 < k < 2
答案: B 解析: 由已知得

)

D.不存在这样的实数

f ′ (x) = 3x2 ? 12 = 3 (x + 2) (x ? 2) ,
令 f ′ (x) = 0 ,得

x = 2 或 x = ?2.
若函数f (x) 在 (k ? 1, k + 1) 上不单调,则函数f (x) 在 (k ? 1, k + 1) 上至少有一个极值点, 于是

k ? 1 < 2 < k + 1 或 k ? 1 < ?2 < k + 1,
解得

?3 < k < ?1 或 1 < k < 3.

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