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2016年福建省厦门市槟榔中学中考数学一模试卷(解析版)

时间:2017-12-18


2016 年福建省厦门市槟榔中学中考数学一模试卷
一、选择题(本大题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.每小题都有四个选项, 其中有且只有一个选项正确) 1. (﹣3)2 可表示为( )

A. (﹣3)×2 B.﹣3×3 C. (﹣3)+(﹣3) D. (﹣3)×(﹣3) 2. “我 期中考试后, 班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩, 小明说: 们组成绩是 86 分的同学最多”,小英说:“我们组的 7 位同学成绩排在最中间的 恰好也是 86 分”,上面两位同学的话能反映出的统计量是( A.众数和平均数 B.平均数和中位数 )

C.众数和方差 D.众数和中位数 3.函数 y= 的图象是( ) D.线段 ) D.a12﹣a6 )

A.双曲线 B.抛物线 C.直线 4.下列运算结果是 a6 的式子是( A.a2?a3 B. (﹣a)6 C. (a3)3

5.如图,已知∠AOB=180°,则下列语句中,描述错误的是(

A.点 O 在直线 AB 上 C.点 P 在直线 AB 上

B.直线 AB 与直线 OP 相交于点 O D.∠AOP 与∠BOP 互为补角

6.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠B=50°,P 边 AB 上的一个动点(不与顶点 A 重 合) ,则∠BPC 的值可能是( )

A.135°B.85° C.50° D.40° 7.某商店举办促销活动,促销的方法是将原价 x 元的衣服以 (x﹣10)元出售,
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则下列说法中,能正确表达该商店促销方法的是(



A.原价减去 10 元后再打 6 折 B.原价打 6 折后再减去 10 元 C.原价减去 10 元后再打 4 折 D.原价打 4 折后再减去 10 元 8. OE 是∠AOD 的平分线, 如图, 已知 AC 与 BD 相交于点 O, 可以作为假命题“相 等的角是对顶角”的反例的是( )

A.∠AOB=∠DOC

B.∠EOC<∠DOC C.∠EOB=∠EOC

D.∠EOC>∠DOC

9.如图,四边形 ABCD 是正方形,点 E、F 分别在线段 BC、DC 上线段 AE 绕点 A 逆时针旋转后与线段 AF 重合.若∠BAE=40°,则旋转的角度是( )

A.10° B.15° C.40° D.50° 10.如图,△ABC 的顶点 A、B、C 均在⊙O 上,点 A 是 确的是( ) 中点,则下列结论正

A.AB=OC B.∠BAC+∠AOC=180° C.BC=2AC D.∠BAC+ ∠AOC=180°

二、填空题(本大题有 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.若使二次根式 有意义,则 x 的取值范围是 . . .

12.方程(x﹣2)2+4=0 的解是

13.如图,△ABC 中,DE∥BC,DE=1,AD=2,DB=3,则 BC 的长是
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14.如图,在直角三角形 ABC 中,∠C=90°,AC=5

,AB=10,则∠A=

度.

15.设 a=8582﹣1,b=8562+1713,c=14292﹣11422,则数 a,b,c 按从小到大的 顺序排列,结果是 < < .

16.10 个人围成一个圆圈做游戏,游戏的规则是:每个人心里都想好一个数, 并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人, 然后每个人将与他相邻的两个 人告诉他的数的平均数报出来, 若报出来的数如图所示,则报 2 的人心里想的数 是 .

三、解答题(本大题有 11 小题,共 86 分) 17.计算:10+2÷ (﹣2)

18.如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(2,2) ,B (1,﹣1) ,C(3,0) .请在 y 轴右侧,画出以点 O 为位似中心,放大△ABC 到 原来 2 倍的△A1B1C1,并写出△A1B1C1 三个顶点的坐标.

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19.先化简,再求值: (



)÷

,其中 x=1+

,y=

﹣2.

20.已知,如图,在△ABC 中,BD=DC,∠ADB=∠ADC.求证:∠ABC=∠ACB.

21.解不等式组



22.在一个口袋中有 3 个完全相同的小球,把它们分别标号为 1,2,3,随机地 摸取一个小球然后放回,再随机地摸出一个小球.记事件 A 为“两次取的小球的 标号的和是 2 的整数倍”, 记事件 B 为“两次取的小球的标号的和是 2 或 3 的整数 倍”,请你判断等式 P(B)= +P(A)是否成立,并说明理由. 23.如图,在矩形 ABCD 中,点 O 是对角线 AC 上一点,以 OC 为半径的⊙O 与 CD 交于点 M,且∠BAC=∠DAM,请判断 AM 与⊙O 的位置关系,并说明理由.

24.在平面直角坐标系 xOy 中,O 为原点,点 A(2,0) ,点 P(1,m) (m>0) 和点 Q 关于 x 轴对称.过点 P 作 PB∥x 轴,与直线 AQ 交于点 B,如果 AP⊥BO,
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求点 P 的坐标. 25.已知实数 a,c 满足 + =1,2a+c﹣ac+2>0,二次函数 y=ax2+bx+9a 经过点 B(4,n) 、A(2,n) ,且当 1≤x≤2 时,y=ax2+bx+9a 的最大值与最小值之差是 9,求 a 的值. 26.已知,矩形 ABCD 中,AB=6,BC=4. (1)如图 1,点 O 在线段 AB 上,P 在线段 CD 上,OP∥BC,tan∠AOD=2,求证: 四边形 OBCP 是正方形; (2)如图 2,点 M 在线段 BC 上,连接 AM,作∠AMN=∠AMB,点 N 在射线 AD 上,MN 交 CD 于点 E,请问:BM?AN 的值能否等于 27?请说明理由.

27.当 m>1,n>﹣2,且满足 mn+2m﹣n=6 时,就称点(m﹣1,n+2)为“友好 点”. (1)已知(1,y2)是友好点,求 y 的值. (2)已知点 A 和点 B 是两个不同的“友好点”,它们的横坐标分别是 a 和 b,且 OA2=OB2,若 ≤a≤2,求 b 的取值范围.

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2016 年福建省厦门市槟榔中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.每小题都有四个选项, 其中有且只有一个选项正确) 1. (﹣3)2 可表示为( )

A. (﹣3)×2 B.﹣3×3 C. (﹣3)+(﹣3) D. (﹣3)×(﹣3) 【考点】有理数的乘法. 【分析】有理数乘方的定义:求 n 个相同因数积的运算,叫做乘方,依此即可求 解. 【解答】解: (﹣3)2 可表示为(﹣3)×(﹣3) . 故选:D.

2. “我 期中考试后, 班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩, 小明说: 们组成绩是 86 分的同学最多”,小英说:“我们组的 7 位同学成绩排在最中间的 恰好也是 86 分”,上面两位同学的话能反映出的统计量是( A.众数和平均数 B.平均数和中位数 )

C.众数和方差 D.众数和中位数 【考点】统计量的选择. 【分析】根据中位数和众数的定义回答即可. 【解答】解:在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数,排在中间位置 的数是中位数, 故选:D.

3.函数 y= 的图象是(

) D.线段

A.双曲线 B.抛物线 C.直线 【考点】正比例函数的图象.

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【分析】根据函数 y= 的图象是直线解答即可. 【解答】解:函数 y= 的图象是直线, 故选 C

4.下列运算结果是 a6 的式子是( A.a2?a3 B. (﹣a)6 C. (a3)3

) D.a12﹣a6

【考点】幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的乘法. 【分析】 先将选项中的式子进行化简算出正确的结果,然后进行对照即可解答本 题. 【解答】解:∵a2?a3=a5, (﹣a)6=a6, (a3)3=a9,a12﹣a6 无法合并, 故选 B.

5.如图,已知∠AOB=180°,则下列语句中,描述错误的是(



A.点 O 在直线 AB 上 C.点 P 在直线 AB 上 【考点】余角和补角.

B.直线 AB 与直线 OP 相交于点 O D.∠AOP 与∠BOP 互为补角

【分析】根据点与直线的位置关系、两直线的位置关系、余角和补角的概念进行 判断即可. 【解答】解:点 O 在直线 AB 上,描述正确,A 错误; 直线 AB 与直线 OP 相交于点 O,描述正确,B 错误; 点 P 不在直线 AB 上,描述错误,C 正确; ∠AOP 与∠BOP 互为补角描述正确,D 错误, 故选:C.

6.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠B=50°,P 边 AB 上的一个动点(不与顶点 A 重 合) ,则∠BPC 的值可能是( )
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A.135°B.85° C.50° D.40° 【考点】等腰三角形的性质. 【分析】根据等边对等角可得∠B=∠ACB=50°,再根据三角形内角和计算出∠A 的度数,然后根据三角形内角与外角的关系可得∠BPC>∠A,进而可得答案. 【解答】解:∵AB=AC, ∴∠B=∠ACB=50°, ∴∠A=180°﹣50°×2=80°, ∵∠BPC=∠A+∠ACP, ∴∠BPC>∠A, ∴∠BPC>80°, 故选:B.

7.某商店举办促销活动,促销的方法是将原价 x 元的衣服以 (x﹣10)元出售, 则下列说法中,能正确表达该商店促销方法的是( )

A.原价减去 10 元后再打 6 折 B.原价打 6 折后再减去 10 元 C.原价减去 10 元后再打 4 折 D.原价打 4 折后再减去 10 元 【考点】代数式. 【分析】首先根据 x﹣10 得到原价减去 10 元,再根据“折”的含义,可得(x﹣10) 变成 (x﹣10) ,是把原价减去 10 元后再打 6 折,据此判断即可. 【解答】解:根据分析,可得 将原价 x 元的衣服以 (x﹣10)元出售,是把原价减去 10 元后再打 6 折. 故选:A.

8. OE 是∠AOD 的平分线, 如图, 已知 AC 与 BD 相交于点 O, 可以作为假命题“相
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等的角是对顶角”的反例的是(



A.∠AOB=∠DOC

B.∠EOC<∠DOC C.∠EOB=∠EOC

D.∠EOC>∠DOC

【考点】命题与定理. 【分析】根据角平分线定义得到∠AOE=∠DOE,由于反例要满足角相等且不是对 顶角,所以∠BOE=∠COE 可作为反例. 【解答】解:∵OE 是∠AOD 的平分线, ∴∠AOE=∠DOE, ∴∠AOE+∠AOB=∠DOE+∠COD, 即∠EOB=∠EOC 可作为说明命题“相等的角是对顶角”为假命题的反例. 故选 C.

9.如图,四边形 ABCD 是正方形,点 E、F 分别在线段 BC、DC 上线段 AE 绕点 A 逆时针旋转后与线段 AF 重合.若∠BAE=40°,则旋转的角度是( )

A.10° B.15° C.40° D.50° 【考点】旋转的性质;正方形的性质. 【分析】根据正方形的性质可得 AB=AD,∠B=∠D=90°,再根据旋转的性质可得 AE=AF,然后利用“HL”证明 Rt△ABE 和 Rt△ADF 全等,根据全等三角形对应角相 等可得∠DAF=∠BAE, 然后求出∠EAF=30°, 再根据旋转的定义可得旋转角的度数. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=AD,∠B=∠D=90°, ∵线段 AE 绕点 A 逆时针旋转后与线段 AF 重合, ∴AE=AF,
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在 Rt△ABE 和 Rt△ADF 中, ∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL) , ∴∠DAF=∠BAE, ∵∠BAE=40°, ∴∠DAF=40°,



∴∠EAF=90°﹣∠BAE﹣∠DAF=90°﹣40°﹣40°=10°, ∴旋转角为 10°. 故选 A.

10.如图,△ABC 的顶点 A、B、C 均在⊙O 上,点 A 是 确的是( )

中点,则下列结论正

A.AB=OC B.∠BAC+∠AOC=180° C.BC=2AC D.∠BAC+ ∠AOC=180° 【考点】圆周角定理;圆心角、弧、弦的关系. 【分析】直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系进而得出答案. 【解答】解:A、∵点 A 是 ∴ = , 中点,

∴AB=AC, 无法得出 AB=OC,故选项 A 错误; B、连接 BO, ∵ = ,

∴∠BOA=∠AOC, ∵BO=AO=AO=CO, ∴∠AOC=∠BAO=∠ACO, ∴∠OAC+∠ACO+∠AOC=∠BAC+∠AOC=180°,故此选项正确;
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C、∵AB=AC,AB+AC>BC, ∴BC≠2AC,故选项 C 错误; D、无法得出∠BAC+ ∠AOC=180°,故选项 D 错误; 故选:B.

二、填空题(本大题有 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.若使二次根式 有意义,则 x 的取值范围是 x≥2 .

【考点】二次根式有意义的条件. 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于 x 的不等式,求出 x 的取值范围 即可. 【解答】解:∵二次根式 ∴2x﹣4≥0, 解得 x≥2. 故答案为:x≥2. 有意义,

12.方程(x﹣2)2+4=0 的解是

无解



【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法. 【分析】把方程左边 4 移项得到(x﹣2)2=﹣4,可得方程无解. 【解答】解:移项得, (x﹣2)2=﹣4, ∵﹣4<0, ∴方程(x﹣2)2+4=0 无解, 故答案为无解.

13.如图,△ABC 中,DE∥BC,DE=1,AD=2,DB=3,则 BC 的长是



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【考点】相似三角形的判定与性质. 【分析】首先由 DE∥BC,得出△ADE∽△ABC,得出 案即可. 【解答】解:∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴ 即 = = , = ,进一步代入求得答

解得:BC= . 故答案为: .

14.如图,在直角三角形 ABC 中,∠C=90°,AC=5

,AB=10,则∠A=

30

度.

【考点】特殊角的三角函数值;锐角三角函数的定义. 【分析】根据条件求出 求出∠A 的度数. 【解答】解:∵∠C=90°,AC=5 ∴cosA= = = , ,AB=10, ,即可得到 cos∠A 的值,再根据特殊角的三角函数值

∴∠A=30°, 故答案为:30°.
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15.设 a=8582﹣1,b=8562+1713,c=14292﹣11422,则数 a,b,c 按从小到大的 顺序排列,结果是 b < a < c .

【考点】因式分解的应用. 【分析】运用平方差公式和完全平方公式进行变形,把其中一个因数化为 857, 再比较另一个因数,另一个因数大的这个数就大. 【解答】解:∵a=8582﹣1==857×859, b=8562+1713=8562+856×2+1=2=8572, c=14292﹣11422==2571×287=857×3×287=857×861, ∴b<a<c, 故答案为:b、a、c.

16.10 个人围成一个圆圈做游戏,游戏的规则是:每个人心里都想好一个数, 并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人, 然后每个人将与他相邻的两个 人告诉他的数的平均数报出来, 若报出来的数如图所示,则报 2 的人心里想的数 是 ﹣3 .

【考点】规律型:数字的变化类. 【分析】 先设报 2 的人心里想的数, 利用平均数的定义表示报 4 的人心里想的数; 报 6 的人心里想的数;抱 8 的人心里想的数;报 10 的人心里想的数,最后建立 方程,解方程即可. 【解答】解:设报 2 的人心里想的数是 x, 则报 4 的人心里想的数应该是 6﹣x, 于是报 6 的人心里想的数是 10﹣(6﹣x)=4+x, 报 8 的人心里想的数是 14﹣(4+x)=10﹣x, 报 10 的人心里想的数是 18﹣(10﹣x)=8+x, 报 2 的人心里想的数是 2﹣(8+x)=﹣6﹣x,
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∴x=﹣6﹣x, 解得 x=﹣3. 故答案:﹣3.

三、解答题(本大题有 11 小题,共 86 分) 17.计算:10+2÷ (﹣2)

【考点】有理数的混合运算. 【分析】原式先计算乘除运算,再计算加减运算即可得到结果. 【解答】解:原式=10+2×3×(﹣2)=10﹣12=﹣2.

18.如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(2,2) ,B (1,﹣1) ,C(3,0) .请在 y 轴右侧,画出以点 O 为位似中心,放大△ABC 到 原来 2 倍的△A1B1C1,并写出△A1B1C1 三个顶点的坐标.

【考点】作图﹣位似变换. 【分析】连接 OA,延长 OA 到 A1 使得 OA1=2OA,同法得到 B1、C1,△A1B1C1 即 为所求,再写出三个顶点坐标即可. 【解答】解:△A1B1C1 如图所示,

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A1 坐标(4,4) ,B1(2,﹣2) ,C1(6,0) .

19.先化简,再求值: ( 【考点】分式的化简求值.



)÷

,其中 x=1+

,y=

﹣2.

【分析】可先把分式化简,再把 x,y 的值代入计算求值. 【解答】解:原式= =x﹣y 把 x=1+ ,y= ﹣2 代入 x﹣y= .

20.已知,如图,在△ABC 中,BD=DC,∠ADB=∠ADC.求证:∠ABC=∠ACB.

【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】 易证∠BDE=∠CDE, ∠DBE=∠DCE, 即可证明△BDE≌△CDE, 可得 BE=CE, ∠BED=∠CED,即可判定△ABC 为等腰三角形,即可解题. 【解答】证明:∵∠ADB=∠ADC, ∴∠BDE=∠CDE, ∵BD=DC, ∴∠DBE=∠DCE,
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在△BDE 和△CDE 中, , ∴△BDE≌△CDE(AAS) , ∴BE=CE,∠BED=∠CED, ∵∠BED+∠CED=180°, ∴∠BED=∠CED=90°, ∴△ABC 为等腰三角形, ∴∠ABC=∠ACB.

21.解不等式组



【考点】解一元一次不等式组. 【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:大小小大中间找可得不等式 组的解集. 【解答】解:解不等式组 解不等式①,得:x≤2, 解不等式②,得:x>﹣1, ∴不等式组的解集为:﹣1<x≤2. ,

22.在一个口袋中有 3 个完全相同的小球,把它们分别标号为 1,2,3,随机地 摸取一个小球然后放回,再随机地摸出一个小球.记事件 A 为“两次取的小球的 标号的和是 2 的整数倍”, 记事件 B 为“两次取的小球的标号的和是 2 或 3 的整数 倍”,请你判断等式 P(B)= +P(A)是否成立,并说明理由. 【考点】概率公式;随机事件. 【分析】分别求得时间 A 和事件 B 的概率后即可确定 P(B)= +P(A)是否成 立. 【解答】解:等式 P(B)= +P(A)不成立, 理由:列表得:
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1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 共 9 种等可能的结果, 其中为 2 的倍数的有 5 种,为 2 或 3 的倍数的有 7 种, 故 P(A)= ,P(B)= , 故 P(B)= +P(A)不成立.

23.如图,在矩形 ABCD 中,点 O 是对角线 AC 上一点,以 OC 为半径的⊙O 与 CD 交于点 M,且∠BAC=∠DAM,请判断 AM 与⊙O 的位置关系,并说明理由.

【考点】直线与圆的位置关系;矩形的性质. 【分析】首先连接 OE,由四边形 ABCD 是矩形,∠BAC=∠DAM,可证得∠OMC+ ∠DMA=90°,即可得∠AMO=90°,则可证得 AM 与⊙O 相切; 【解答】证明:连接 OM. 在矩形 ABCD 中,AB∥DC,∠D=90° ∴∠BAC=∠DCA, ∵OM=OC, ∴∠OMC=∠OCM. ∵∠BAC=∠DAM, ∴∠DAM=∠OMC. ∴∠OMC+∠DMA=∠DAM+∠DMA. 在△DAM 中,∠D=90°,
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∴∠DAM+∠DMA=180°﹣90°=90°. ∴∠OMC+∠DMA=90°. ∴∠AMO=90°, ∴AM⊥MO. 点 M 在⊙O 上,OM 是⊙O 的半径, ∴AM 与⊙O 相切.

24.在平面直角坐标系 xOy 中,O 为原点,点 A(2,0) ,点 P(1,m) (m>0) 和点 Q 关于 x 轴对称.过点 P 作 PB∥x 轴,与直线 AQ 交于点 B,如果 AP⊥BO, 求点 P 的坐标. 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标. 【分析】如图,连接 OP,根据已知条件得到 PQ 与 OA 互相垂直平分,推出四边 形 POQA 是菱形,根据菱形的性质得到 OP∥QA,推出?POAB 是菱形,然后根据 勾股定理即可得到结论. 【解答】解:如图,连接 OP, ∵点 A(2,0) ,点 P(1,m) ,点 P 和点 Q 关于 x 轴对称, ∴PQ 与 OA 互相垂直平分, ∴四边形 POQA 是菱形, ∴OP∥QA, ∵PB∥OA, ∴四边形 POAB 是平行四边形, ∵AP⊥BO, ∴?POAB 是菱形, ∴OP=OA=2,
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∴m=

=

, ) .

∴点 P 的坐标是(1,

25.已知实数 a,c 满足 + =1,2a+c﹣ac+2>0,二次函数 y=ax2+bx+9a 经过点 B(4,n) 、A(2,n) ,且当 1≤x≤2 时,y=ax2+bx+9a 的最大值与最小值之差是 9,求 a 的值. 【考点】二次函数图象上点的坐标特征;二次函数的最值. 【分析】根据题意求得 a>﹣2,b=﹣6a,得出 y=a(x﹣3)2,然后根据当 1≤x ≤2 时,y=ax2+bx+9a 的最大值与最小值之差是 9,列出方程,解方程即可求得. 【解答】解:∵实数 a,c 满足 + =1, ∴c﹣ac=﹣a, ∵2a+c﹣ac+2>0, ∴2a﹣a+2>0, ∴a>﹣2, ∵二次函数 y=ax2+bx+9a 经过点 B(4,n) 、A(2,n) , ∴﹣ = =3,

∴b=﹣6a, ∴y=ax2+bx+9a=a(x2﹣6x+9)=a(x﹣3)2, ∵当 1≤x≤2 时,y=ax2+bx+9a 的最大值与最小值之差是 9, ∴|4a﹣a|=9, ∴a=3.

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26.已知,矩形 ABCD 中,AB=6,BC=4. (1)如图 1,点 O 在线段 AB 上,P 在线段 CD 上,OP∥BC,tan∠AOD=2,求证: 四边形 OBCP 是正方形; (2)如图 2,点 M 在线段 BC 上,连接 AM,作∠AMN=∠AMB,点 N 在射线 AD 上,MN 交 CD 于点 E,请问:BM?AN 的值能否等于 27?请说明理由.

【考点】正方形的判定;矩形的性质. 【分析】 (1)直接利用锐角三角函数关系得出 AO 的长,再利用正方形的判定方 法进而得出答案; (2)直接得出△NAH∽△AMB,则 得出答案. 【解答】 (1)证明:如图 1,∵tan∠AOD=2, ∴tan∠AOD= ∵BC=4, ∴AO=2, ∴BO=4, ∴BO=BC=PC=OP=4, 又∵∠B=90°, ∴四边形 OBCP 是正方形; =2, = ,得出 AM2=AB2+BM2=36+BM2,即可

(2)解:如图 2,作 NH⊥AM 于 H, ∵AN=MN,NH⊥AM, ∴AH= AM, ∵∠NHA=∠ABM=90°,∠AMN=∠AMB,
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∴△NAH∽△AMB, ∴ = ,

∴AN?BM=AH?AM= AM2, 在 Rt△AMB 中,AM2=AB2+BM2=36+BM2, ∵BM≤4, ∴36+BM2≤52, ∴AN?BM≤26,故 BM?AN 的值不等于 27.

27.当 m>1,n>﹣2,且满足 mn+2m﹣n=6 时,就称点(m﹣1,n+2)为“友好 点”. (1)已知(1,y2)是友好点,求 y 的值. (2)已知点 A 和点 B 是两个不同的“友好点”,它们的横坐标分别是 a 和 b,且 OA2=OB2,若 ≤a≤2,求 b 的取值范围. 【考点】二次函数综合题. 【分析】 (1)首先将 mn+2m﹣n=6 变形为(m﹣1) (n+2)=4,从而推出“友好点” 都在反比例函数 y= 图象上,由此列出方程即可解决问题. (2)首先判断点 A、B 在第一象限,且关于直线 y=x 对称,由此可知 A(a,b) ,
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B(b,a) ,利用待定系数法即可解决问题. 【解答】解: (1)由 mn+2m﹣n=6 得:mn+2m﹣n﹣2=4, ∴(m﹣1) (n+2)=4, ∵点(m﹣1,n+2)为“友好点”, 所以“友好点”都在反比例函数 y= 图象上, ∵(1,y2)是“友好点”, ∴1?y2=4, ∴y=±2, 经检验,y=±2 时, (1,y2)是“友好点”.

(2)∵点 A 和点 B 是两个不同的“友好点”,它们的横坐标分别是 a 和 b,且 OA2=OB2, ∴根据“友好点”的定义可知 A、B 在第一象限,且关于直线 y=x 对称. ∴A(a,b) ,B(b,a) , ∵ ≤a≤2,A、B 在反比例函数 y= 上, ∴当 a= 时,b=8,当 a=2 时,b=2, ∴2≤b≤8.

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2017 年 3 月 11 日

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