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高考数学各地名校试题解析分类汇编(一)4 数列2 理


各地解析分类汇编:数列 2
1.【云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)理科】 (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且有 a1=2,3Sn= 5an ? 4an?1 ? 3Sn?1 (n ? 2) (I)求数列 an 的通项公式; (Ⅱ)若 bn=n·an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn。
a 【答案】解: (Ⅰ

) 3Sn ? 3Sn?1 ? 5an ? 4an?1 (n≥2) ,? an ? 2an ?1 , n ? 2 ,……………… an ?1

(3 分) 又? a1 ? 2 ,?{an }是以2为首项, 为公比的等比数列,……………………………(4 分) 2

? an ? 2 ? 2n?1 ? 2n . ……………………………………………………………………(5 分)
(Ⅱ) bn ? n ? 2n ,

Tn ? 1 ? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n, 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 .……………………………………………(8 分)
两式相减得: ?Tn ? 21 ? 22 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 ,

??Tn ?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 ? (1 ? n) ? 2n?1 ? 2 ,………………………………………(11 分) 1? 2

?Tn ? 2 ? (n ? 1) ? 2n?1 .…………………………………………………………………(12 分)
2.【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理】 (本题 12 分)在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , 其前 n 项和为 S n ,等比数列 ?bn ? 的各项均为正数, b1 ? 1 ,公比为 q ,且 b2 ? S 2 ? 12 ,

q?

S2 . b2
(1)求 an 与 b n ; (2)设数列 ?cn ? 满足 cn ?

1 ,求 ?c n ?的前 n 项和 T n . Sn

【答案】解:(1)设 ?an ? 的公差为 d .

?b2 ? S 2 ? 12, ?q ? 6 ? d ? 12, ? ? S2 6?d 因为 ? 所以 ? q? . q? , ? ? q b2 ? ?
解得 q ? 3 或 q ? ?4 (舍) d ? 3 . ,

故 an ? 3 ? 3? n ?1? ? 3n , bn ? 3n?1 . (2)由(1)可知, Sn ? 所以 cn ?

n ? 3 ? 3n ? , 2

1 2 2?1 1 ? ? ? ? ? ?. Sn n ? 3 ? 3n ? 3 ? n n ? 1 ?

故 Tn ?

2 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 2 ? 1 ? 2n ?1 ??1 ? 2 ? ? ? 2 ? 3 ? ? … ? ? n ? n ? 1 ?? ? 3 ?1 ? n ? 1 ? ? 3 n ? 1 3 ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?

3.【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理】 (本小题满分 12 分)已知单调递增的 等比数列 {an } 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? an log1 an , Sn ? b1 ? b2 ? ?? bn ,求 Sn ? n ? 2n?1 ? 50 成立的正整数 n 的最小
2

值。 【答案】解: (Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q, 依题意,有 (a3 ? 2) ? a2 ? a4 , 2 代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28, 得 a3 ? 8,? a2 ? a4 ? 20 …………………………2 分

1 ? ?a1q ? a1q 3 ? 20 ?q ? 2 ? ?q ? ?? 解之得 ? …………………………4 分 或? 2 ?a3 ? a1q 2 ? 8 ?a1 ? ?a1 ? 32 ? ?
又 ?an ? 单调递增,?q ? 2,?a1 ? 2,?an ? 2
n

………………………………6 分

(Ⅱ) bn ? 2 n ? log 1 2 n ? ? n ? 2 n ,………………………………7 分
2

??sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ?? n ? 2n

① ②

??2sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? ?? (n ?1) ? 2n ? n2n?1
? ① - ② 得 sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n?1 ?
10 分
n?1 n?1 ?sn ? n ? 2n?1 ? 50 ,? 2 ? 2 ? 50,? 2 ? 52

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? n ? 2n?1 ? 2 1? 2

又 当n ? 4时, 2

n?1

? 25 ? 32 ? 52 , …………………………11 分

当 n ? 5 时, 2

n?1

? 26 ? 64 ? 52 .故使 sn ? n ? 2n?1 ? 50,成立的正整数 n 的最小值为 5. …

4.【山东省泰安市 2013 届高三上学期期中考试数学理】已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若 S1 , 2S2 , 3S3 成等差数列,且 S 4 ? 【答案】

40 求数列 ?an ? 的通项公式. 27

5.【山东省潍坊市四县一区 2013 届高三 11 月联考(理)(本小题满分 12 分) 】 已知各项均为正数的数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,首项为 a1 ,且 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 an ? ( ) n ,设 cn ?
2 b

1 , an , S n 等差数列. 2

1 2

bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an
1 , an ? 0 2
………………1 分

【答案】解(1)由题意知 2an ? S n ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? a1 ?

1 1 ? a1 ? 2 2 1 1 当 n ? 2 时, S n ? 2an ? , S n ?1 ? 2an ?1 ? 2 2
两式相减得 an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 ………………3 分 整理得:

an ?2 an ?1

……………………4 分

∴数列 ?an ? 是以

1 为首项,2 为公比的等比数列. 2 1 an ? a1 ? 2 n ?1 ? ? 2 n ?1 ? 2 n ?2 ……………………5 分 2
2 ?bn

(2) an ? 2

? 22n?4

∴ bn ? 4 ? 2n ,……………………6 分

Cn ?
Tn ?

bn 4 ? 2n 16 ? 8n ? n?2 ? an 2 2n

8 0 ?8 24 ? 8n 16 ? 8n ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? ① 2 2 2 2 2n 1 8 0 24 ? 8n 16 ? 8n Tn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?1 ② 2 2 2 2n 2 1 1 1 1 16 ? 8n ①-②得 Tn ? 4 ? 8( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ………………9 分 2 2 2 2 2 n?1 1 1 (1 ? n ?1 ) 2 16 ? 8n 2 ? 4 ?8? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 1 16 ? 8n ? 4 ? (1 ? n ?1 ) ? n ?1 4 2 2 4n ? n .………………………………………………………11 分 2 8n ? Tn ? n . …………………………………………………………………12 分 2
6.【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理】(本题满分 12 分)数列 {an } 的前 n 项的和为 Sn ,对于任意的自然数 an ? 0 , 4 S n ? ? an ? 1? (Ⅰ)求证:数列 {an } 是等差数列,并求通项公式 (Ⅱ)设 bn ?
2

an ,求和 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn 3n
------------------1 分

【答案】解 :(1)令

(2)-(1) --------------------------3 分 是等差数列 ------------------------5 分 ----------------------------6 分

(2)

---①---------------------8 分

---②

①-②

----------10 分

所以

-------------------------------12 分

7.【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理】 (本小题满分 12 分)已知 {an } 是 等比数列,公比 q ? 1 ,前 n 项和为 Sn , 且

S3 7 ? , a4 ? 4, a2 2

数列{bn }满足 : bn ?

1 , n ? log 2 an?1

(Ⅰ)求数列 {an },{bn } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {bn bn?1} 的前 n 项和为 Tn ,求证

1 1 ? Tn ? (n ? N *). 3 2

【答案】解 :

----------------4 分

-----------------------------------------5 分

-----------------------6 分

(2)设

------8 分

=

----------------------------10 分

因为

,所以

----------12 分

8.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】 (本小题满分 12 分) 设 {an } 是公差大于零的等差数列,已知 a1 ? 2 , a3 ? a22 ? 10 . (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 {bn } 是以函数 y ? 4sin (? x ? ) ? 1 的最小正周期为首项,以 3 为公比的等比数列,
2

1 2

求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn . 【答案】

9.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】 (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x 的图象是曲线 C ,点 An (an , f (a n))( n ? ) 是曲线 C 上的一系列点,曲 N * 线 C 在点 An (an , f (an )) 处的切线与 y 轴交于点 Bn (0, bn ) . 若数列 ?bn ? 是公差为 2 的等差数 列,且 f (a1 ) ? 3 . (Ⅰ)分别求出数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式;

(Ⅱ)设 O 为坐标原点, Sn 表示 ?OAn Bn 的面积,求数列 ?an Sn ? 的前 n 项和 Tn . 【答案】解: (Ⅰ)? f ? ? x ? ?

1 , x

? 曲线 C 在点 An ? an , f ? an ? ? 处的切线方程: y ? ln an ?
令 x ? 0 ? y ? ln an ?1 ,

1 ? x ? an ? an

? 该切线与 y 轴交于点 Bn ? 0, bn ? ,?bn ? ln an ? 1………………………………………3 分

10. 【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 (理)(本小题满分 12 分) 】 已知 ?an ? 是公差为 2 的等差数列,且 a3 ? 1是a1 ? 1与a7 ? 1 的等比中项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? 【答案】

an ? 1 ? n ? N ? ? ,求数列 ?bn? 的前 n 项和 Tn. n 2

11.【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理】设数列{a n }的前 n 项和为 S n , 且满足 S n =2-a n ,n=1,2,3,… (1)求数列{a n }的通项公式; 分) (4 (2)若数列{b n }满足 b 1 =1,且 b n?1 =b n +a n ,求数列{b n }的通项公式; 分) (6 (3)设 C n =n(3- b n ) ,求数列{ C n }的前 n 项和 T 【答案】 (1)a 1 =S 1 =1 a n =a n +a n?1 (2)b n?1 -b n =( 2a n = a n?1 n≥2 时,S n =2-a n ∵a 1 =1 1分
n

。 分) (6 S n?1 =2-a n?1 ∴a n =(

an 1 = a n ?1 2

1 n ?1 ) 2

1 n ?1 ) 2

1 ? b2 ? b1 ? ( ) 0 ? 2 ? 1 1 ? b3 ? b2 ? ( ) ? 2 ? 1 n?2 ? bn ? bn ?1 ? ( ) ? 2 ?
∴b n =3-

1 1 n?2 ∴b n -b 1 =( )+……+( ) = 2 2

1?

1

2 n ?1 =2- 1 1 2 n?2 1? 2
1 n?2 ) 2

1 2
n?2

∵b 1 =1 成立

∴b n =3-(

(3)C n =n( T n =1×(

1 n?2 ) 2

1分

1 ?1 1 0 1 n?2 ) +2( ) +……+n( ) 2 2 2

1 1 0 1 n?2 1 n ?1 T n =1×( ) +……+(n-1) ( ) +n( ) =2+ 2 2 2 2


1?

1

2 n ?1 -n( 1 ) n ?1 =2+21 2 1? 2

1 n?2 1 n ?1 ) -n( ) 2 2 1 n n?2 ∴T n =8- n ? 3 - n ? 2 =8- n ? 2 2 2 2
已知:数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? 2an ? n , (n ? N ) .
*

12.【北京市东城区普通校 2013 届高三 12 月联考数学(理)(本小题满分 13 分) 】

(Ⅰ)求: a1 , a2 的值; (Ⅱ)求:数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)若数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,且满足 bn ? nan (n ? N ) ,求数列 ?bn ? 的
*

前 n 项和 Tn . 【答案】 解: (Ⅰ)

S n ? 2an ? n
……………2 分

令 n ? 1 ,解得 a1 ? 1 ;令 n ? 2 ,解得 a2 ? 3 (Ⅱ)

S n ? 2an ? n
*

所以 S n?1 ? 2an?1 ? (n ? 1) , n ? 2, n ? N ) ( 两式相减得 an ? 2an?1 ? 1 所以 an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) , n ? 2, n ? N ) (
*

……………4 分 ……………5 分

又因为 a1 ? 1 ? 2 所以数列 ?a n ? 1?是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列 ……………6 分 所以 an ? 1 ? 2 n ,即通项公式 an ? 2 n ? 1 ( n ? N * ) (Ⅲ) bn ? nan ,所以 bn ? n(2n ? 1) ? n ? 2n ? n 所以 Tn ? (1? 21 ? 1) ? (2 ? 22 ? 2) ? (3 ? 23 ? 3) ? ? ? (n ? 2n ? n) ……………7 分

Tn ? (1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n ) ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ……9 分
令 S n ? 1? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n ① ②

2S n ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1
①-②得

? S n ? 21 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 2 n ? n ? 2 n?1
2(1 ? 2 n ) ? Sn ? ? n ? 2 n ?1 1? 2
……………11 分

S n ? 2(1 ? 2n ) ? n ? 2 n?1 ? 2 ? (n ? 1) ? 2n?1
n ?1 所以 Tn ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ?

……………12 分

n(n ? 1) 2

……13 分

13.【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)(本小题满分 13 分) 】 设等差数列 (1)若 (2)若 【答案】 (Ⅰ)由 又 故解得 因此, 的通项公式是 1,2,3,…, 的首项 及公差 d 都为整数,前 n 项和为 Sn. ,求数列 的通项公式; 求所有可能的数列 的通项公式.

(Ⅱ)由





由①+②得-7d<11,即

由①+③得

, 即

,

于是 将 4 代入①②得 又 ,故



,故

.

所以,所有可能的数列

的通项公式是 1,2,3,….

14.【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)(本小题满分 14 分) 】 已知函数 (1)求 的最小值; ( 为自然对数的底数) .

(2)设不等式 数 的取值范围 (3)已知 0 的等比 ,且

的解集为

,若

,且

,求实

,是否存在等差数列

和首项为

公比大于

数列

,使得

?若存在,请求出数列

的通项公式.若不存在,

请说明理由. 【答案】 (1)





;当

(2)



有解





上有解





上减,在[1,2]上增



,且

(3)设存在公差为

的等差数列

和公比

首项为

的等比数列

,使

……10 分



时,

故 ②-①×2 得, 解得 (舍)



,此时

满足 存在满足条件的数列 …… 14 分

15.【 北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)(本小题满分 14 分) 】

已知 A(

,

),B(

,

)是函数

的图象上的任意两点(可以重

合) ,点 M 在 直线 上,且 + 的值及 ,当 . + 的值 时, = , + 为数列{ + + ,求 ; ,

(1)求 (2)已知

(3)在(2)的条件下,设

}的前 项和,若存在正整数 、

使得不等式

成立,求 和

的值.

【答案】 (Ⅰ)∵点 M 在直线 x= 又 ∴ + = =1. = 时, 时, = , ,即

上,设 M

. , ,

① 当 ② 当

+ ,

=



+

=

+

=

=

=

综合①②得, (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 ∴ n≥2 时,

+ +

. =1 时, ,k= + + + , + . , ② ①

①+②得,2 当 n=1 时, (Ⅲ) = =

=-2(n-1),则 =0 满足 , =1+

=1-n. =1-n. = .

=1-n. ∴ +

.

=2∴



=

-2+

=2-



, 、m 为正整数,∴c=1,

当 c=1 时,



∴1< <3, ∴m=1. 16. 山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检数学理】本题满分 12 分) 【 ( 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 3 , an ? an?1 ? 2an?1 ? 1 (1)求 a2 , a3 , a4 ; (2)求证:数列 ?

? 1 ? ? 是等差数列,并求出 ?an ? 的通项公式。 ? an ? 1 ?

【答案】 (1)? an ? an?1 ? 2an?1 ? 1, 又a1 ? 3 ∴ a2 ?

5 7 9 , a3 ? , a 4 ? ___________________________3 分 3 5 7

(2)证明:易知 an?1 ? 0 ,所以 a n ? 2 ?

1 _____________________4 分 a n?1

当 n ? 2时,

1 1 ? ? a n ? 1 a n ?1 ? 1

1 1 ? 1 a n ?1 ? 1 (2 ? ) ?1 a n ?1 1 ? 1 a n ?1 ? 1

? 1?

1 a n ?1

=

a n ?1 1 ? a n?1 ? 1 a n?1 ? 1

=1 所以 ?

? 1 ? 1 为首项以 为公差的等差数列__________8 分 1 ?是以 a1 ? 1 ? a n ? 1?
1 1 1 ? ? (n ? 1) ? 1 ? n ? __________________10 分 an ? 1 2 2
2 2n ? 1 ?1 ? __________________________12 分 2n ? 1 2n ? 1

(3)由(2)知

所以 a n ?

17.【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 理科】 (本小题满分 12 分)在数列

?an ?中,已知 a1 ? 1 , an?1 ? 1 , bn ? 2 ? 3 log1 an (n ? N * ) .
4 an 4
4

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求证:数列 ?bn ?是等差数列; (Ⅲ)设数列 ?cn ?满足 cn ? an ? bn ,求 ?cn ?的前 n 项和 Sn . 【答案】解: (Ⅰ)∵
an ?1 1 ? an 4
1 1 ,公比为 的等比数列, 4 4

∴数列{ a n }是首项为

1 ∴ an ? ( ) n (n ? N * ) .…………………………………………………………………………3 分 4

(Ⅱ)∵ bn ? 3 log1 an ? 2 ………………………………………………………………… 4 分
4

∴ bn ? 3 log1 ( ) n ? 2 ? 3n ? 2 .…………………………………………………………… 5 分
2

1 4

∴ b1 ? 1 ,公差 d=3 ∴数列 {bn } 是首项 b1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列.…………………………………………7 分
1 (Ⅲ)由(Ⅰ)知, an ? ( ) n , bn ? 3n ? 2 (n ? N * ) 4 1 ∴ cn ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? N * ) .………………………………………………………………8 分 4

1 1 1 1 1 ∴ S n ? 1? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( )3 ? ?? (3n ? 5) ? ( ) n?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4



1 1 1 1 1 1 于是 S n ? 1? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? 7 ? ( ) 4 ? ?? (3n ? 5) ? ( ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 ② 4 4 4 4 4 4 …………………………………………………………………………………………… 9 分 3 1 1 1 1 1 两式①-②相减得 S n ? ? 3[( ) 2 ? ( )3 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 4 4 4 4 4 4
1 1 = ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 .………………………………………………………………………11 分 2 4

∴ Sn ?

2 12n ? 8 1 n?1 ? ? ( ) (n ? N * ) .………………………………………………………12 分 3 3 4


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