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椭圆的简单几何性质(三)教案

时间:2017-09-12


高中数学教案

第 8 章圆锥曲线方程(第 6 课时)



题:8.2

椭圆的简单几何性质(三)

教学目的: 1. 能推导,掌握椭圆的焦半径公式,并能利用焦半径公式解决有关与焦点 距离有关的问题; 2.能利用椭圆的有关知识解决实际问题,及综合问题; 3.体会数学形式的简洁美

,增强爱国主义观念 教学重点:焦半径公式的的推导及应用 教学难点:焦半径公式的的推导,应用问题中坐标系的建立 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.椭圆定义:在平面内,到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距 离)的动点的轨迹
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2.标准方程:

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ?1 (a ? b ? 0) , a2 b2 a2 b2 x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) a2 b2

3.椭圆的性质:由椭圆方程

(1)范围: ? a ? x ? a , ? b ? y ? b ,椭圆落在 x ? ?a, y ? ?b 组成的矩形中. (2)对称性:图象关于 y 轴对称.图象关于 x 轴对称.图象关于原点对称 原 点叫椭圆的对称中心,简称中心. x 轴、 y 轴叫椭圆的对称轴.从椭圆的
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方程中直接可以看出它的范围,对称的截距 (3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
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椭圆共有四个顶点: A (?a,0), A2 (a,0) , B (0,?b), B2 (0, b) 加两
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焦点 F1 (?c,0), F2 (c,0) 共有六个特殊点. A1 A2 叫椭圆的长轴,B1 B2 叫椭圆 的短轴.长分别为 2a,2b
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a , b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的
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顶点即为椭圆与对称轴的交点

(4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比 e ?
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c b ? e ? 1 ? ( )2 a a

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0 ? e ?1

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第 8 章圆锥曲线方程(第 6 课时)

椭圆形状与 e 的关系: e ? 0, c ? 0 ,椭圆变圆,直至成为极限位置圆,此时 也可认为圆为椭圆在 e ? 0 时的特例 e ? 1, c ? a, 椭圆变扁,直至成为极限
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位置线段 F1 F2 ,此时也可认为圆为椭圆在 e ? 1 时的特例
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4.椭圆的第二定义 :一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个

(0,1) 内常数 e ,那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点,定直线叫做
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准线,常数 e 就是离心率 椭圆的第二定义与第一定义是等价的,它是椭圆两种不同的定义方式 5.椭圆的准线方程:椭圆的准线方程有两条,这两条准线在椭圆外部,与 短轴平行,且关于短轴对称
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对于

x2 y2 a2 a2 l : x ? ? ? 1 l : x ? ? ,左准线 ;右准线 2 1 c c a2 b2 y2 x2 a2 a2 l : y ? ? ? 1 l : y ? ? ,下准线 ;上准线 2 1 c c a2 b2

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对于

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a2 a2 ? c2 b2 ?c ? ? 焦点到准线的距离 p ? (焦参数) c c c
二、讲解新课: 椭圆的焦半径公式:设 M ( x0 , y0 ) 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的一 a2 b2

点 , r1 和 r2 分别是点 M 与点 F1 (?c,0) , F2 (c,0) 的距离 . 那么(左焦半径)

r1 ? a ? ex0 ,(右焦半径) r2 ? a ? ex0 ,其中 e 是离心率
推导方法一: MF1
2

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? ( x0 ? c) 2 ? y 0 , MF 2

2

2

? ( x0 ? c) 2 ? y 0

2

? MF1 ? MF 2

2

2

? 4cx 0 , 又? MF1 ? MF2 ? 2a

2c ? x0 ? MF1 ? MF2 ? ?? a ? ? MF1 ? MF2 ? 2a

c ? MF ? a ? x0 ? a ? ex0 1 ? a ?? c ? MF2 ? a ? x0 ? a ? ex0 a ?
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第 8 章圆锥曲线方程(第 6 课时)

即(左焦半径) r1 ? a ? ex0 ,(右焦半径) r2 ? a ? ex0 推导方法二:

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r1 r2 ? e, ?e | MF1 | | MF2 |
2

y
N1 K1 M

B2
O F2

a ? r1 ? e | MF1 |? e( ? x0 ) ? a ? ex0 , c a2 r2 ? e | MF2 |? e( ? x0 ) ? a ? ex0 c
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N2

A1

F1

A2

K2

x

B1

同理有焦点在 y 轴上的椭圆的焦半径公式: ? ( 其中 F1 F2 分别是椭圆的下上焦点)

? MF1 ? a ? ey0 ? MF2 ? a ? ey0
y

注意:焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有 关,而与点在左在右无关 可以记为:左加右减,上减下 a+c B 加 F1 O 三、讲解范例 例 1 如图所示,我国发射的第一颗人造地球卫星运行 轨道是以地心(地球的中心) F2 为一个焦点的椭圆,已知它 的近地点 A(离地面最近的点)距地面 439km,远地点 B(离地面最远的点)距 地面 2384km,并且 F2 、A、B 在同一直线上,设地球半径约为 6371km,求 卫星运行的轨道方程 (精确到 1km). 解:建立如图所示直角坐标系,使点 A、B、 F2 在 x 轴上,
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a-c
F2 A

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x

a ? c =|OA|-|O F2 |=| F2 A|=6371+439=6810 a ? c =|OB|+|O F2 |=| F2 B|=6371+2384=8755 解得 a =7782.5, c =972.5


b ? a 2 ? c 2 ? (a ? c)( a ? c) ? 6810 ? 8755 ? 7722 .
卫星运行的轨道方程为

x2 y2 ? ?1 77832 77222

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例 2 椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , 其上一点 P(3, y )到两焦点的距离分 a2 b2
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别是 6.5 和 3.5,求椭圆方程 解:由椭圆的焦半径公式,得

?a ? 3e ? 6.5 1 5 2 75 2 2 ,解得 a ? 5, e ? ,从而有 c ? , b ? a ? c ? ? 2 2 4 ?a ? 3e ? 3.5

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第 8 章圆锥曲线方程(第 6 课时)

所求椭圆方程为 四、课堂练习:

x2 4y2 ? ?1 25 75

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x2 y2 ? ? 1 上的点,且 P 与 F1 , F2 的连线互相垂直,求 P 1.P 为椭圆 25 9
解:由题意,得 (5 ?

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4 4 7 ? 25 81 2 2 x0 ) 2 ? (5 ? x 0 ) 2 =64 ? x 0 ? ,y ? 5 5 16 16
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?P 的坐标为 (

5 7 9 5 7 9 5 7 9 5 7 9 , ) , (? , ) , (? ,? ) , ( ,? ) 4 4 4 4 4 4 4 4

2.椭圆

9 x2 y2 ? ? 1 上不同三点 A( x1 , y1 ), B(4, ), C ( x 2 , y 2 ) 与焦点 F(4,0) 5 25 9
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的距离成等差数列,求证 x1 ? x2 ? 8 证明:由题意,得 (5 ?

4 4 4 x1 ) ? (5 ? x 2 ) =2 (5 ? ? 4) ? x1 ? x2 ? 8 5 5 5

3.设 P 是以 0 为中心的椭圆上任意一点, F2 为右焦点,求证:以线段 F2 P 为 直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切
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y
P

x2 y2 证明:设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,( a ? b ? 0 ), a b
焦半径 F2 P 是圆 O1 的直径,

O1 A1
F1 O F2

A2

x

则由 a ?

PF2 2

?

2a ? PF2 2

?

PF1 2

? OO1 知, 两圆半径之差等于圆心距,

所以,以线段 F2 P 为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切

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五、小结 :焦半径公式的推导方法及形式;实际问题中坐标系的建立应使问题 易求解 六、课后作业:
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七、板书设计(略) 八、课后记:
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