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上海市部分重点中学高三第二次联考


上海市部分重点中学高三第二次联考 理科数学试卷(嘉二中参与) 命题 上海市莘庄中学 填空题( 一. 填空题(每小题 4 分,共 56 分) 1. 函数
r
3 ( , 2) f ( x) = log 2 (4 x ? 3) ? log 2 (2 ? x) 的定义域是 的定义域是__ 4 ;

朱松德

2.设 2.设 a

= (2, 4), b = (1,1) ,若 b ⊥ (a + m ? b) ,则实数 m = 3. 设
AI B =

r

r

r

r

?3 ;

A = {x | x = 2α ? 3β , α , β ∈ Z 且α ≥ 0, β ≥ 0}



B = {x |1 ≤ x ≤ 5}

,则实数

.
i i ?1 x i +1

{1, 2,3, 4} ;
= 0 ( i 为虚数单位) 则 x = 为虚数单位) ,则 ,

4.若 4.若 x ∈ C ,且

1;

5.已知 是公差不为零的等差数列, 5.已知 {a n } 是公差不为零的等差数列,如果 S n 是 {a n } 的前 n 项 和,那么 lim na
n →+∞ n

Sn

=

.2
? 6? ? 3 ?

6.在极坐标系中, 为极点, 6.在极坐标系中,O 为极点,已知 A ? 3, ? π ? , B ? 5, 2π ? ,则 ?AOB 的 在极坐标系中 ? ? ? ? 面积为 解: 15 ;
4

7.已知复数 ,当此复数的模为 7.已知复数 z = ( x ? 2) + y ? i( x, y ∈ R ) 当此复数的模为 1 时,代 , 数式 y 的取值范围是
x
[? 3 3 , ]; 3 3

8.若三个数 8. 若三个数 a1 , a2 , a3 的方差为 1 , 则 3a1 + 2,3a2 + 2,3a3 + 2 的方差 为 .
9;

9.已知函数 9. 已知函数 f ( x) = ? 取值范围为

? x + 1 + a ( x ≤ 0) 有三个不同零点, 有三个不同零点 , 则实数 a 的 ? log 2 x ( x > 0)

[?1, 0) ;

10.已知 10.已知 (1 + x) + (1 + x)2 + (1 + x)3 + L + (1 + x)n = a0 + a1 x + a2 x 2 + L + an x n , 若 a1 + a2 + L + an ?1 = 29 ? n ,则自然数 n =
4;

解:令 x=0,得: a 0 = n ,令 x=1,得 2 + 2 2 + 23 + L + 2 n = a0 + a1 + a2 + L + an 令 得 令 得 即: 2(2
? 1) = 2 n +1 ? 2 = a 0 + a1 + a 2 + L a n ?1 + a n 2 ?1
n

29 ? n = 2 n +1 ? 2 ? n ? 1 ? 2 n +1 = 32, n = 4

为减函数, 11.已知奇函数 11. 已知奇函数 f ( x) 在 (?∞, 0) 为减函数 , 且 f (2) = 0 , 则不等式
( x ? 1) ? f ( x ? 1) < 0 的解集为

.

(?∞, ?1) U (3, +∞) ;

?2 0 1 1? 12.记矩阵 A= ? 0 3 1 6 ? 中的第 i 行第 j 列上的元素为 ai j .现对 . 现对 ? ? ?1 3 1 5 ? ? ?

中的元素按如下算法所示的方法作变动, 矩阵 A 中的元素按如下算法所示的方法作变动, 直到不能变 动为止: 动为止:若 ai j
> ai +1 j ,则 M ← ai j , ai j ← ai +1 j , ai +1 j ← M

,否则不改

这样得到矩阵 B.再对矩阵 B 中的元素按如下算法所示的 变, 再对矩阵 方法作变动:若 ai j 方法作变动:
> ai j +1 ,则 N ← ai j , ai j ← ai j +1 , ai j +1 ← N ,否则
?0 0 1 1? ? ? ?1 1 3 5 ? ; ?1 2 3 6 ? ? ?

不改变, 不改变,这样得到矩阵 C,则 C= ,

13.平面上三条直线 13.平面上三条直线 x ? 2 y + 1 = 0, x ? 1 = 0, x + ky = 0 ,如果这三条直 线将平面划分为六部分,则实数 为 .
{0, ?1, ?2} ;
k

的取值集合

分情况讨论:三线共点 两线平行与另一线相交. 解:分情况讨论 三线共点 两线平行与另一线相交 分情况讨论 三线共点;两线平行与另一线相交 14.洛萨 科拉茨( Collatz,1910.7.6-1990.9.26) 14. 洛萨 ? 科拉茨 ( Lothar Collatz,1910.7.6-1990.9.26 ) 是德国数学家, 年提出了一个著名的猜想: 是德国数学家,他在 1937 年提出了一个著名的猜想:任给 是偶数,就将它减半( 一个正整数 n ,如果 n 是偶数,就将它减半(即 n ) 如果 n 是 ;
2

,不断重复这样的运算 奇数, ,不断重复这样的运算, 奇数,则将它乘 3 加 1(即 3n + 1 ) 不断重复这样的运算,经

过有限步后, 1.如初始正整数为 过有限步后,一定可以得到 1.如初始正整数为 6,按照上述 变换规则,我们得到一个数列: 变换规则,我们得到一个数列:6,3,10,5,16,8,4,2, 10, 16, 1.对科拉茨( Collatz)猜想,目前谁也不能证明, 1.对科拉茨(Lothar Collatz)猜想,目前谁也不能证明, 对科拉茨 更不能否定.现在请你研究: 首项) 更不能否定.现在请你研究:如果对正整数 n (首项)按照上 述规则施行变换( 可以多次出现) 述规则施行变换(注:1 可以多次出现)后的第八项为 1, 则 n 的所有可能的取值为 .
{2,3,16, 20, 21,128} ;

二.选择题(每小题 5 分,共 20 分) 选择题( 15.设 15.设 a , a , b , b 均不为 0, “ a , 则
1 2 1 2
1

a2

=

b1 b2

是 ” “关于 x 的不等式 a x + b
1

1

>0

与a x+b
2

2

的解集相同” ( > 0 的解集相同” 充要条件 D

C ) B 充分非必要条件 C 必要

A

非充分条件

非充分非必要条件

16.已知 的一个内角, 16.已知 θ 为 ?ABC 的一个内角,且 sin θ + cos θ = m ,若 m ∈ (0,1) ,则 的形状的判断,正确的是( 关于 ?ABC 的形状的判断,正确的是( B A.锐角三角形 三角形 17. 在 棱 长 为 ) C.直角

B.钝角三角形

D.三种形状都有可能 1 的 正 四 面 体
A1 A2 A3 A4

中 , 记 C )

uuuur uuuur ai j = A1 A2 ? Ai Aj (i, j = 1, 2,3, 4, i ≠ j ) , ai j 不同取值的个数为 则 (

A .6

B .5

C .3

D. 2

伙伴关系集合” 18. 若 x ∈ A ,且 1 ∈ A ,则称 A 是“伙伴关系集合”.在集合
x 1 1 M = {?1, 0, , ,1, 2,3, 4} 的所有非空子集中任选一个集合,则该集 的所有非空子集中任选一个集合, 3 2

合是“伙伴关系集合”的概率为( 合是“伙伴关系集合”的概率为( A.
1 17
8

A

) D.
4 255

B.

1 51

C.

7 255

解: p =

15 15 1 = = . 2 ? 1 255 17

三.解答题(12 分+12 分+14 分+18 分+18 分=74 分) 解答题 19.( 19.(本题满分 12 分) 如图, 如图,已知圆锥的底面半径为 r = 10 ,点 的中点, 的中点. Q 为半圆弧 AB 的中点, P 为母线 SA 的中点. 点 若 PQ 与 SO 所成角为 π , 求此圆锥的全面积与
4
P S

体积. 体积.
B O Q A

19.取 OB 的中点 H,连 PH , QH ,则 PH // SO 且 .
PH = 1 SO , 2
? PH ⊥ 底面 AQB ,且 ∠QPH =

π
3 QH π = tan = 1 ? PH = 5 5 , PH 4

------------------4 ------------------4 分
Rt QOH

中 , QH = 5

5 , Rt PHQ 中 ,

? SO = 10 5
Rt SOA 中, ? SA = SO 2 + OA2 = 10 6

----------------8 ----------------8 分
S = π ? r 2 + π ? r ? SA = 100π + 10 6π

------------------10 ------------------10 分
1 1 1000 5 V = π ? r 2 ? S 0 = π ? 100 ? 10 5 = π 3 3 3

------------------12 分 ------------------12

(本题满分 小题, 20. (本题满分 12 分)本题共有 2 个 小题,第一个小题满分 6 分,第 2 个小题满分 6 分 如图, 如图,折线段 AP → PQ → QC 是长方形休闲区域 ABCD 内规 划的一条小路, 百米, 划的一条小路,已知 AB = 1 百米,
AD = a( a ≥ 1 )百米,点 P 在 百米,

为圆心, 为半径的圆弧上, PQ 以 A 为圆心, 为半径的圆弧上, ⊥ BC , D AB 为垂足. Q 为垂足. 在圆弧何处, (1)试问点 P 在圆弧何处,能使该小 路的路程最短?最短路程为多少? 路的路程最短?最短路程为多少? (2)当 a = 1 时,过点 P 作 PM
⊥ CD ,

C P Q

M.若将矩形 修建为观赏水池, 垂足为 M.若将矩形 PQCM 修建为观赏水池, 在圆弧何处, 试问点 P 在圆弧何处,能使水池的面积最 大? 20 . ( 1 ) 解 : 设 ------------------2 ------------------2 分 则 PQ = 1 ? cos α , QC = a ? sin α , 所以 AP + PQ + QC
4
∠PAB = α

A

B



a ≥1

? α ∈ [0, ] 2

π

当 α = π 时,折线段 ( AP + PQ + QC )min = a + 2 ?

= 1 + 1 ? cos α + a ? sin α = a + 2 ? 2 sin(α + ) 4
2 (百米) 百米)
2

π

弧的中点时,折线段最短. 即点 P 位于 AB 弧的中点时,折线段最短.最短路程为 a + 2 ? 百米-------------------------------6 百米----------------6 分 (2)当 a = 1 时,矩形 PQCM 的面积 S =
= 1 ? (sin α + cos α ) + sin α ? cos α

PQ ? QC = (1 ? cos α ) ? (1 ? sin α )

---------------8 ---------------8 分

设 sin α + cos α = t , α ∈ [0, π ] ? t =
2

2 sin(α + ) ∈ [1, 2] 4

π



S = 1? t +

t 2 ?1 2

1 1 1 = t 2 ? t + = (t ? 1)2 2 2 2



[1, 2]

递 增 ,

---------------10 ---------------10 分 当t = 即点
2 时,即 α =

π
4

时, Smax = 3 ?
2

2

P

位 于 AB 弧 的 中 点 时 , 能 使 水 池 的 面 积 最 大 .

---------------12 ---------------12 分

小题, (本题满分 21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个 小题,第一个小题满分 6 分,第 2 个小题满分 8 分 组成的集合: 已知集合 M 是满足下列性质的所有函数 f ( x) 组成的集合: 对于函数 f ( x) , 定义域内的任意两个不同自变量 x1 , x2 , 均有
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ x1 ? x2

成立. 成立.

判断函数 f ( x) = x 2 + x + 1 是否属于集合 M ?说明理由; 说明理由; (1 ) (2)若 g ( x) = a( x + 1 ) 在 (1, +∞) 上属于 M ,求实数 a 的取值范
x

围.

解: 21. 1) f ( x) = x 2 + x + 1 ? M 21. (1 ( ---------------2 ---------------2 分 反例: x x 反例: 1 = 1 , 2 不成立. 不成立.
= 2 , f ( x1 ) = 3 ,f ( x2 ) = 7 ,f ( x1 ) ? f ( x2 ) = 4 ≤ 1 = x1 ? x2 则

---------------6 ---------------6 分

对任意两个自变量 (2)对任意两个自变量 x1 , x2 ∈ (1, +∞) , g ( x) = a( x + 1 )
x
g ( x1 ) ? g ( x2 ) = a ( x1 +

x ?x 1 1 ) ? a ( x2 + ) = a ? ( x1 ? x2 ) + ( 2 1 ) x1 x2 x1 x2

--------8 --------8 分
= a ? x1 ? x2 ? 1 ? 1 ≤ x1 ? x2 x1 ? x2

恒 成 立

--------11 --------11 分
? a 1? 1 ≤1? a ≤ x1 ? x2

1 1? 1 x1 ? x2 1 ∈ (0,1) ? a ≤ 1 x1 ? x2

又, x1 > 1, x2 > 1 ? x1 ? x2 > 1 ? 1 ?

---------------13 ---------------13 分 所 以 存 在 实 数
a ∈ [?1,1]









.

---------------14 ---------------14 分

22.(本题满分 18 分)本题共有 3 个 小题,第一个小题满分 4 . 小题, 分,第 2 个小题满分 6 分, 第 3 个小题满分 8 分. 定义: 定义: F ( x, y) = y x
( x > 0, y > 0)

(1)解关于 x 的不等式 F (1, x 2 ) + F (2, x) ≤ 3x ? 1 ; (2)记 f ( x) = 3 ? F (1, x) ,设 Sn
a n a n +1 式 < S n S n +1

1 2 3 n = f ( ) + f ( ) + f ( ) + L + f ( ) ,若不等 n n n n

恒成立, 的取值范围; 对 n ∈ N * 恒成立,求实数 a 的取值范围;

(3)记 g ( x) = F ( x, 2) ,正项数列 {an } 满足: a1 = 3, g (an+1 ) = 8a ,求数
n

的通项公式,并求所有可能的乘 可能的乘积 列 {an } 的通项公式,并求所有可能的乘积 ai ? a j (1 ≤ i ≤ 22. (1 22. 1) F (1, x 2 ) + F (2, x) ≤ 3x ? 1 ? x 2 + x 2 ≤ 3x ? 1 (
? 2 x 2 ? 3x + 1 ≤ 0
? 1 ≤ x ≤1 2

j ≤ n) 的和. 的和.

-----------4 -----------4 分 ( 2 )
f ( x) = 3 x

---------------5 ---------------5 分 所以, 所以, Sn
1 2 3 n 1 2 3 n 3 = f ( ) + f ( ) + f ( ) + L + f ( ) = 3( + + + L + ) = (1 + n) n n n n n n n n 2

---------------7 ---------------7 分
a n a n +1 an a n +1 2 1 a Q ? = ? = an ( ? ) < 0 对任意 n ∈ N * 恒成立 S n S n +1 3 (n + 1) 3 (n + 2) 3 n +1 n + 2 2 2

不成立; 显然 a ≤ 0 不成立; ---------------8 ---------------8 分 当 a > 0 时, a n > 0 ,所以
1 a ? < 0 对任意 n ∈ N * 恒成立 n +1 n + 2 n+2 1 ?a> = 1+ 恒成立, 对任意 n ∈ N * 恒成立,易知 ( n + 2 )max = 3 n +1 n +1 n +1 2

所 ---------------10 ---------------10 分



a>

3 2

(3) g ( x) = 2 x , a1 = 3, g (an+1 ) = 8a
? an +1 = 3an

n

? g (an+1 ) = 2an +1 = 23an ? an = 3n

---------------12 ---------------12 分
? ai ? a j = 3i + j (1 ≤ i ≤ j ≤ n)

? 31+1 ? ? 将所得的积排成如下矩阵 A = ? ? ? ? ?

31+ 2 32 + 2

31+3 32 +3 33+3

L 31+ n ? ? L 32 + n ? L 33+ n ? 设该矩阵 ? L L ? ? 3n + n ?

的各项和为 S
? 31+1 ? 2+1 ?3 在矩阵空格处补上相应的数可得: 在矩阵空格处补上相应的数可得: B = ? 33+1 ? ?L ? 3n +1 ? 31+ 2 32 + 2 33+ 2 L 3
n+2

31+3 32 + 3 33+3

L
3n +3

L 31+ n ? ? L 32 + n ? L 33+ n ? ? L L ? ? L 3n + n ?

矩阵 B 中第一行的各数和为 S1 = 32 + 33 + L 3n+1 = 1 (3n+ 2 ? 9) 矩阵 B 中第二行的各数和为 S2 = 33 + 34 + L 3n+ 2
LL

2 3 = (3n + 2 ? 9) 2
3n ?1 n + 2 = (3 ? 9) 2

矩阵 B 中第 n 行的各数和为 Sn

=3

n +1

+3

n+2

+ L3

n+ n

所以, 所以,矩阵 B 中的所有数和为 S1 + S2 + L Sn 矩 阵 A 中 的

=

9 n (3 ? 1)2 4







1 9 1 1 9 S = [ (3n ? 1) 2 + 31+1 + 32+ 2 + L + 3n+ n ] = ? 32 n +3 ? ? 3n + 2 + 2 4 16 4 16

----------18 ----------18 分

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个 小题,第一个小题满分 4 . 小题, 分,第 2 个小题满分 6 分, 第 3 个小题满分 8 分.
y2 为坐标原点. 已知曲线 C : x + = 1 ,直线 l : kx ? y ? k = 0 , O 为坐标原点. a
2

所表示的轨迹形状; (1)讨论曲线 C 所表示的轨迹形状; 试问在曲 (2)当 a = ?1 时,直线 l 与曲线 C 相交于两点 M , N ,试问在曲

若存在, 线 C 上是否存在点 Q ,使得 OM + ON = λ OQ ?若存在,求实数 λ 的 取值范围;若不存在,请说明理由; 取值范围;若不存在,请说明理由; (3)若直线 l 与 x 轴的交点为 P ,当 a > 0 时,是否存在这样 的等腰直角三角形? 的以 P 为直角顶点的内接于曲线 C 的等腰直角三角形?若存 在,求出共有几个?若不存在,请说明理由. 求出共有几个?若不存在,请说明理由.

uuuu uuur r

uuur

23: 解 23:(1) C : x 2 + y

2

a

=1

轴上的双曲线; 当 a < 0 时,曲线表示焦点在 x 轴上的双曲线; 曲线表示单位圆; 当 a = 1 时,曲线表示单位圆; 轴上的椭圆; 当 0 < a < 1 时,曲线表示焦点在 x 轴上的椭圆; 当
a >1

时,曲线表示焦点在

y 轴上的椭圆;

---------------4 ---------------4 分 都恒过定点(1,0) ,不妨记点 , (2)直线 l 与曲线 C 都恒过定点(1,0) 不妨记点 M (1, 0) 由? ?
y = k ( x ? 1) ? (k 2 ? 1) x 2 ? 2k 2 x + k 2 + 1 = 0 可得另一交点为 N ( xN , yN ) 2 2 ? x ? y =1

k 2 +1 ? xN = 2 , y N = 2k k ?1 k 2 ?1

则 假设存在满足条件的 Q , OM + ON = λ OQ ? ? C 可得
1

uuuu uuur r

uuur

?1 + xN = λ xQ 代入曲线 ? y N = λ yQ

λ2

( xQ

2

4 2k 2 2 2k 2 4k 2 ? yQ ) = 1 ? λ = ( 2 ) ? ( 2 ) = 2 = 4+ 2 >4 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1
2
2

所 以 , 当

λ < ?2



λ>2

时 , 存 在 满 足 条 件 的

Q

---------------10 ---------------10 分

( 3 ) 由 ( 2 ) 知 : 点 M (1, 0) 即点 P(1, 0) , 设过点 P(1, 0) 的直线
l1 : y = k ( x ? 1)

与 曲 线

C

交 于 另 一 点

A( x A , y A )

, 由

? y = k ( x ? 1) ? ( a + k 2 ) x 2 ? 2k 2 x + k 2 ? a = 0 ? 2 2 ?ax + y = a ? xA = k2 ? a , y A = ?22ak ; 2 k +a k +a

同理可求过点 P(1, 0) 的直线 l2 : y = ? 1 ( x ? 1) 与曲线 C 交于另一点
k
B ( xB , yB ) ? xB = 1 ? k 2a , yB = 2ak2 2 1+ k a 1+ k a

由 PA 2 =

PB ? k 2 (k 2 + a ) 2 = (1 + k 2 a )2 ? k (k 2 + a ) = ± (1 + k 2 a )

2

? (k ? 1)[k 2 + (1 ? a )k + 1] = 0 或 (k + 1)[k 2 + (a ? 1)k + 1] = 0

存在一个满足条件的等腰直角三角形; 所以, 所以,当 0 < a ≤ 3 时,存在一个满足条件的等腰直角三角形; 当
a>3

时,存在三个满足条件的等腰直角三角形;

---------------18 ---------------18 分 155. 155.以椭圆 x 2
a
2

+ y 2 = 1(a > 1) 的短轴的一个端点

B(0,1)为直角 B(0,1)为直角

顶点, 顶点,作椭圆的内接等腰直角 ?ABC ,问:这样的三角形是否 存在?如果存在,请说明理由, 存在?如果存在,请说明理由,并判断最多能作几个这样的 三角形;如果不存在,请说明理由。 (当 三角形;如果不存在,请说明理由。 当 a > ( 个三角形; 出 3 个三角形;当 1 < a ≤
3 时最多只能作出 3 时,最多能作

个三角形。 1 个三角形。 )

设直线 AB: y = kx + 1(k > 0), 则直线BC : y = ? 1 x + 1 ,把这两个方程 解:
k

分别与椭圆的方程联立得: 分别与椭圆的方程联立得:
(1 + a 2 k 2 ) x 2 + 2a 2 kx = 0



(a 2 + k 2 ) x 2 ? 2a 2 kx = 0
2


= 2a 2 k , a2 + k 2

由①得 x A = ? 2a 2 k ,由 ②得 xC
1+ a k | AB |= 1 + k 2 |

2a 2 k 1 2a 2 k |, | BC |= 1 + ( ) 2 | 2 |. k 1 + a2k 2 a + k2 由 | AB |=| BC | 得(k ? 1)[k 2 + (1 ? a 2 )k + 1] = 0

于是问题转化为方程解的个数问题, 于是问题转化为方程解的个数问题,对方程 k 2 ? (1 ? a 2 )k + 1 = 0 ,
? = (a 2 ? 1) 2 ? 4 ,因此有, 因此有,

(1) ? < 0,即1 < a < (2)当 (2)当 ? = 0,即a = 解; (3)当 ? > 0,即a > 故……

3时,方程(4)无解,而(3) 有唯一解

K=1;

3时,方程(4)有两相等实根k1 = k 2 = 1, 从而 3) ( 有一

3时,方程(4)有两不等实根,( ) 3 有三解。 有三解。


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