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2018版高中数学第二章统计2.3变量的相关性学案

时间:2018-01-13


2.3

变量的相关性

1.理解两个变量的相关关系的概念.(重点) 2.会作散点图,并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.(重点) 3.能根据给出的线性回归方程系数公式求回归直线方程.(重点) 4.对最小二乘法原理的理解及应用.(难点)

[基础·初探] 教材整理 1 变量间的相关关系 阅读教材 P73,完成下列问题. 1.两个变量的关系 分类 特征 2.散点图 将样本中 n 个数据点(xi,yi)(i=1,2,?,n)描在平面直角坐标系中得到的图形. 3.正相关与负相关 (1)正相关:如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也由小变大,这种相关称 为正相关. (2)负相关:如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值由大变小,这种相关称为 负相关. 函数关系 两变量关系 确定 相关关系 两变量关系 带有随机性

如图 2?3?1 所示的两个变量不具有相关关系的有________.

图 2?3?1 【解析】 ①是确定的函数关系;②中的点大都分布在一条曲线周围;③中的点大都分

1

布在一条直线周围;④中点的分布没有任何规律可言,x,y 不具有相关关系. 【答案】 ①④ 教材整理 2 两个变量的线性相关 阅读教材 P74~P76,完成下列问题. 1.最小二乘法 ^ 设 x、Y 的一组观察值为(xi,yi),i=1,2,?,n,且回归直线方程为y=a+bx.当 x ^ 取值 xi(i=1,2,?,n)时,Y 的观察值为 yi,差 yi-yi(i=1,2,?,n)刻画了实际观察值

yi 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度,通常是用离差的平方和,即 Q= ? (yi-a
i=1

n

-bxi) 作为总离差, 并使之达到最小.这样, 回归直线就是所有直线中 Q 取最小值的那一条. 由于平方又叫二乘方,所以这种使“离差平方和最小”的方法,叫做最小二乘法. 2.回归直线方程的系数计算公式 回归直线方程
n

2

回归系数

^ 系数a的计算公式

方程或 公式

?xiyi-n x y
^ y=a+bx ^ b=
i=1 i-n x ?x2 i= 1 n

^ - ^ a= y -bx
2

上方加 记号“^ ” 的意义

^ 区分 y 的估计值y 与实际值 y

a、b 上方加“^ ”表示由观察值按最小二乘法
求得的估计值

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)回归直线方程中,由 x 的值得出的 y 值是准确值.( (2)回归直线方程一定过样本点的中心.( (3)回归直线方程一定过样本中的某一个点.( ) ) )

(4)选取一组数据中的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程是同一个方 程.( ) (1)× (2)√ (3)× (4) × )

【答案】

2.过(3,10),(7,20),(11,24)三点的回归直线方程是( ^ A. y=1.75+5.75x ^ C. y=5.75+1.75x

^ B. y=-1.75+5.75x ^ D. y=5.75-1.75x

2

【解析】 求过三点的回归直线方程,目的在于训练求解回归系数的方法,这样既可以 ^ ^ 训练计算,又可以体会解题思路,关键是能套用公式.代入系数公式得b=1.75,a=5.75. ^ 代入直线方程,求得y=5.75+1.75x.故选 C. 【答案】 C

[小组合作型] 相关关系的判断 (1)下列两个变量之间的关系,哪个不是函数关系( A.正方体的棱长和体积 B.圆半径和圆的面积 C.正 n 边形的边数和内角度数之和 D.人的年龄和身高 (2)对变量 x,y 有观测数据(xi,yi)(i=1,2,?,10),得散点图①;对变量 u,v 有观 测数据(ui,vi)(i=1,2,?,10),得散点图②.由这两个散点图可以判断( ) )

图 2?3?2 A.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 B.变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 C.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 D.变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关 【精彩点拨】 结合相关关系, 函数关系的定义及正负相关的定义分别对四个选项作出 判断. 【尝试解答】 (1)A、B、C 都是函数关系,对于 A,V=a ;对于 B,S=π r ;对于 C,
3 2

g(n)=(n-2)π .而对于年龄确定的不同的人可以有不同的身高,∴选 D.
(2)由图象知,变量 x 与 y 呈负相关关系;u 与 v 呈正相关关系. 【答案】 (1)D (2)C

3

判断两个变量 x 和 y 间是否具有线性相关关系, 常用的简便方法就是绘制散点图, 如果 发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近, 那么这两个变量就是线性相关的, 注意不要 受个别点的位置的影响.

[再练一题] 1.某公司 2009~2014 年的年利润 x(单位: 百万元)与年广告支出 y(单位: 百万元)的统 计资料如下表所示: 年份 利润 x 支出 y 2009 12.2 0.62 2010 14.6 0.74 2011 16 0.81 2012 18 0.89 2013 20.4 1 2014 22.3 1.11

A.利润中位数是 16,x 与 y 有正线性相关关系 B.利润中位数是 18,x 与 y 有负线性相关关系 C.利润中位数是 17,x 与 y 有正线性相关关系 D.利润中位数是 17,x 与 y 有负线性相关关系 1 【解析】 由表知,利润中位数是 (16+18)=17,且 y 随 x 的增大而增大,故选 C. 2 【答案】 C 求回归直线方程

一个车间为了规定工时定额, 需要确定加工零件所花费的时间, 为此 进行了 10 次试验,收集数据如下: 零件数 x(个) 加工时间 y(分) 10 62 20 68 30 75 40 81 50 89 60 95 70 102 80 108 90 115 100 122

(1)y 与 x 是否具有线性相关关系? (2)如果 y 与 x 具有线性相关关系,求 y 关于 x 的回归直线方程. 【精彩点拨】 画散点图 → 确定相关关系 → 求回归直线系数

→ 写回归直线方程 【尝试解答】 (1)画散点图如下:

4

由上图可知 y 与 x 具有线性相关关系. (2)列表、计算:

i xi yi xiyi

1 10 62 620

2 20 68 1 360

3 30 75 2 250

4 40 81 3 240

5 50 89 4 450

6 60 95 5 700

7 70 102 7 140

8 80 108 8 640

9 90 115 10 350

10 100 122 12 200

x =55, y =91.7,

?=xi=38 500, ?yi=87 777, ?xiyi=55 950
2 2

10

10

10

i=1

i=1

i=1

?xiyi-10 x y
^ b=
i=1 i-10 x ?x2 i=1
10

10

2

55 950-10×55×91.7 = ≈0.668, 2 38 500-10×55

^ ^ a= y -b x =91.7-0.668×55=54.96. ^ 即所求的回归直线方程为:y=0.668x+54.96.

用公式求回归直线方程的一般步骤: ?1?列表 xi,yi,xiyi;
n
2

n i=1

?2?计算 x , y ,∑xi,∑xiyi;
i=1

^ ^ ??3?代入公式计算b、a的值; ?4?写出回归直线方程.

[再练一题] 2.已知变量 x,y 有如下对应数据:

5

x y
(1)作出散点图;

1 1

2 3

3 4

4 5

(2)用最小二乘法求关于 x,y 的回归直线方程. 【解】 (1)散点图如图所示:

(2) x =

1+2+3+4 5 = , 4 2

y=
4

1+3+4+5 13 = , 4 4

?xiyi=1+6+12+20=39.
i=1 i=1+4+9+16=30, ?x2 i=1
4

5 13 39-4× × 2 4 13 ^ b= = , ?5?2 10 30-4×? ? ?2? ^ 13 13 5 a= - × =0, 4 10 2 ^ 13 所以y= x 为所求回归直线方程. 10 利用回归方程对总体进行估计 下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相 应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据:

x y

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图; ^ ^ ^ (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出回归直线方程y=bx+a; (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归

6

方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? 【导学号:00732062】 【精彩点拨】 (1)以产量为横坐标,以生产能耗对应的测量值为纵坐标,在平面直角 ^ ^ 坐标系内画散点图;(2)应用计算公式求得线性相关系数b,a的值;(3)实际上就是求当 x= 100 时,对应的 v 的值. 【尝试解答】 (1)散点图,如图所示:

(2)由题意,得 ?xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5,
i=1

4

x= y=
4

3+4+5+6 =4.5, 4 2.5+3+4+4.5 =3.5, 4

2 2 2 2 i=3 +4 +5 +6 =86, ?x2

i=1

^ 66.5-4×4.5×3.5 66.5-63 ∴b= = =0.7, 2 86-4×4.5 86-81 ^ ^ a= y -b x =3.5-0.7×4.5=0.35, ^ 故线性回归直线方程为y=0.7x+0.35. (3)根据回归直线方程的预测,现在生产 100 吨产品消耗的标准煤为 0.7×100+0.35= 70.35(吨), 故耗能减少了 90-70.35=19.65(吨)标准煤.

回归分析的三个步骤: ?1?判断两个变量是否线性相关:可以利用经验,也可以画散点图; ?2?求线性回归直线方程,注意运算的正确性; ?3?根据回归直线进行预测估计:估计值不是实际值,两者会有一定的误差.

7

[再练一题] 3.某种产品的广告费支出 y(百万元)与销售额 x(百万元)之间的关系如下表所示.

x y

8 5

12 8

14 9

16 11

(1)假定 y 与 x 之间存在线性相关关系,求其回归直线方程. (2)若广告费支出不少于 60 百万元,则实际销售额应不少于多少?
^

【解】 (1)设回归直线方程为y=bx+a, 8+12+14+16 5+8+9+11 ?8×5+12×8+14×9+16×11?-4× × 4 4 则b= ?8+12+14+16?2 2 2 2 2 ?8 +12 +14 +16 ?-4×? ? 4 ? ?
^


^

438-412.5 25.5 51 = = , 660-625 35 70
^

a= y -b x =

5+8+9+11 51 8+12+14+16 33 51 25 6 - × = - × =- , 4 70 4 4 70 2 7

^ 51 6 则所求回归直线方程为y= x- . 70 7 ^ 51 6 4 260 (2)由y= x- ≥60,得 x≥ ≈84,所以实际销售额不少于 84 百万元. 70 7 51

[探究共研型] 散点图的特征 探究 1 关系? 【提示】 任意两个统计数据均可以作出散点图,对于作出的散点图,如果所有的样本 点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系. 特别地,若所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就具有线性相关关系;如果所有的 样本点都落在某一函数曲线附近, 变量之间就有相关关系; 如果散点图中的点的分布几乎没 有什么规则,则这两个变量之间不具有相关关系. 回归直线的特征 探究 2 如何画回归直线? 【提示】 (1)建立直角坐标系,两轴的长度单位可以不一致. (2)将 n 个数据点描在平面直角坐标系中. (3)画回归直线时,一定要画在多数点经过的区域,可以先观察有哪两个点在直线上. 任意两个统计数据是否均可以作出散点图?怎么根据散点图判断变量之间的

8

^ 探究 3 回归系数b的含义是什么? ^ 【提示】 (1)b代表 x 每增加一个单位,y 的平均增加单位数,而不是增加单位数. ^ ^ (2)当b>0 时,两个变量呈正相关关系,含义为:x 每增加一个单位,y 平均增加b个单 位数; ^ ^ 当b<0 时,两个变量呈负相关关系,含义为:x 每增加一个单位,y 平均减少b个单位 数. 探究 4 回归直线方程与直线方程的区别是什么? 【提示】 线性回归直线方程中 y 的上方加记号“^”是与实际值 y 相区别,因为线性 ^ 回归方程中的“y”的值是通过统计大量数据所得到的一个预测值,它具有随机性,因而对 ^ ^ 于每一个具体的实际值而言,y的值只是比较接近,但存在一定的误差,即 y=y+e(其中 e ^ 为随机变量),预测值y与实际值 y 的接近程度由随机变量 e 的标准差决定. 已知 x 与 y 之间的几组数据如下表:

x y

1 0

2 2

3 1

4 3

5 3

6 4

^ 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y=bx+a.若某同学根据上表中的前两组数 据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为 y=b′x+a′,则以下结论正确的是( ^ ^ A.b>b′,a>a′ ^ ^ C. b<b′,a>a′ ^ ^ B. b>b′,a<a′ ^ ^ D. b<b′,a<a′ )

^ ^ ^ 【精彩点拨】 先由已知条件分别求出 b′,a′的值,再由b,a的计算公式分别求解b, ^ a的值,即可作出比较. 【尝试解答】 根据所给数据求出直线方程 y=b′x+a′和回归直线方程的系数,并 比较大小. 由(1,0),(2,2)求 b′,a′.

b′=

2-0 =2, 2-1

a′=0-2×1=-2.
^ ^ 求b,a时,

?xiyi=0+4+3+12+15+24=58,
i=1

6

9

x =3.5, y = ,
i=1+4+9+16+25+36=91, ?x2 i=1
6

13 6

13 58-6×3.5× 6 5 ^ ∴b= = , 2 91-6×3.5 7 13 5 1 ^ 13 5 a= - ×3.5= - =- , 6 7 6 2 3 ^ ^ ∴b<b′,a>a′. 【答案】 C

求回归直线方程时应注意的问题: (1)知道 x 与 y 呈线性相关关系,无需进行相关性检验,否则应首先进行相关性检验, 如果两个变量之间本身不具有相关关系,即使求出回归方程也是毫无意义的. ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ (2)用公式计算a、b的值时,要先算出b,然后才能算出a,由a=y-b x 知回归直线必 经过点( x , y ). ^ (3)利用回归直线方程,我们可以进行估计和预测.若回归直线方程为y=bx+a,则 x=

x0 处的估计值为y=bx0+a.

^

[再练一题] 4.设某大学的女生体重 y(单位: kg)与身高 x(单位: cm)具有线性相关关系.根据一组样 ^ 本数据(xi,yi)(i=1,2,?,n),用最小二乘法建立的回归直线方程为y=0.85x-85.71, 则下列结论中不正确的是( )

A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg ^ 【解析】 b为正数,所以两变量具有正的线性相关关系,故 A 正确;B,C 显然正确; 若该大学某女生身高为 170 cm,则可估计其体重为 58.79 kg. 【答案】 D

10

^ 1.设一个回归方程y=3+1.2x,则变量 x 增加一个单位时( A.y 平均增加 1.2 个单位 B.y 平均增加 3 个单位 C.y 平均减少 1.2 个单位 D.y 平均减少 3 个单位 【解析】 由 b=1.2>0,故选 A. 【答案】 A 2.下列有关线性回归的说法,不正确的是( )

)

A.变量取值一定时, 因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系 B.在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的 图形叫做散点图 C.回归直线方程最能代表观测值 x、y 之间的线性关系 D.任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线 【解析】 只有数据点整体上分布在一条直线附近时, 才能得到具有代表意义的回归直 线. 【答案】 D 3.已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 x =3, y =3.5,则由该观 测数据算得的线性回归方程可能是( ^ A. y=0.4x+2.3 ^ C. y=-2x+9.5 ) ^ B. y=2x-2.4 ^ D. y=-0.3x+4.4

【解析】 因为变量 x 和 y 正相关,则回归直线的斜率为正,故可以排除选项 C 和 D. 因为样本点的中心在回归直线上,把点(3,3.5)的坐标分别代入选项 A 和 B 中的直线方程进 行检验,可以排除 B,故选 A. 【答案】 A 4.对具有线性相关关系的变量 x 和 y,测得一组数据如下表所示.

x y

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

若已求得它们的回归直线的斜率为 6.5,则这条回归直线的方程为________. 【导学号:00732063】 【解析】 由题意可知 x = 2+4+5+6+8 =5, 5
11

y=

30+40+60+50+70 =50. 5

即样本中心为(5,50), ^ 设回归直线方程为y=6.5x+b, ∵回归直线过样本中心(5,50), ^ ^ ∴50=6.5×5+b,即b=17.5, ^ ∴回归直线方程为y=6.5x+17.5. ^ 【答案】 y=6.5x+17.5

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