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河南省许昌平顶山新乡2013-2014学年高三上学期第一次调研文科数学试卷(带word解析)


河南省许昌平顶山新乡 2013-2014 学年高三上学期第一次调研文科数学试卷(带 word 解析)

第 I 卷(选择题)

1.已知集合 A? x | x ? N ,| x |? 3? , B ? ? x | x ? N , x ? 1? ,则 A ? B ? ( A. ??3, ?2, ?1, 0,1? 【答案】C 【解析】 B. ?

0,1, 2,3? C. ?0,1? D. [?3,1]



试题分析: A ? ?0,1, 2,3? , B ? ?0,1? , A ? B ? ?0,1, 2,3? ? ?0,1? ? ?0,1? . 考点:集合的基本运算、绝对值不等式的解法. 2.若 i( x ? yi) ? 3 ? 4i, x, y ? R ,则复数 x ? yi 的模是( A.5 B.4 【答案】A 【解析】 C.3 D.2 )

试题分析: i( x ? yi) ? 3 ? 4i, x, y ? R , ? y ? xi ? 3 ? 4i ,由复数相等的定义可得,

x ? 4, y ? ?3 ,则复数 x ? yi 的模为 x ? yi ? x 2 ? y 2 ? 5 .
另解: i ( x ? yi ) ? 3 ? 4i ,即 x ? yi ? 3 ? 4i ? 5 . 考点:复数相等的概念. 3.垂直于直线 y ? x ? 1 与圆 x ? y ? 1相切于第一象限的直线方程是(
2 2



A . x? y? 2 ?0 D. x ? y ? 2 ? 0 【答案】A 【解析】

B . x ? y ?1 ? 0

C . x ? y ?1 ? 0

试题分析: 设所求的直线为 l , ∵直线 l 垂直于直线 y ? x ? 1 , 可得直线的斜率为 k ? ?1 , ∴设直线 l 方程为 y ? ? x ? b ,即 x ? y ? b ? 0 ,∵直线 l 与圆 x ? y ? 1相切,∴圆
2 2

心到直线 l 的距离 d ?

b 2

? 1 ,解之得 b ? ? 2 ,当 b ? 2 时,可得切点坐标

? 2 2? ? , ? ? ? ,切点在第三象限; ? 2 2 ? ? ?
当 b ? ? 2 时,可得切点坐标 ?

? 2 2? 2 2 ? 2 , 2 ? ? ,切点在第一象限;∵直线 l 与圆 x ? y ? 1 ? ?

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的切点在第一象限, ∴ b ? 2 不符合题意, 可得 b ? ? 2 , 直线方程为 x ? y ? 2 ? 0 . 考点:圆的切线方程、直线的一般式方程、直线与圆的位置关系. 4. 一个几何体的三视图如图所示, 其中府视图为正三角形, 则侧视图的面积为 (



A.8

B. 4 3

C. 4 2

D.4

【答案】B 【解析】 试题分析:由三视图可知:该几何体是一个正三棱柱,高为 4,底面是一个边长为 2 的 正三角形.因此,侧视图是一个长为4,宽为 3 的矩形, S ? 3 ? 4 ? 4 3 . 考点:三视图与几何体的关系、几何体的侧面积的求法能力. 5.某医院今年 1 月份至 6 月份中,每个月为感冒来就诊的人数如下表所示: ( )

上图是统计该院这 6 个月因感冒来就诊人数总数的程序框图,则图中判断框、执行框依 次应填( ) A. i ? 6; s ? s ? ai C. i ? 6; s ? s ? ai B. i ? 6; s ? ai D. i ? 6; s ? a1 ? a2 ? ? ? ai

【答案】C 【解析】 试题分析:因为要计算 1 月份至 6 月份的 6 个月的因感冒来就诊的人数,所以该程序框
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图要算出 s ? a1 ? a2 ? ? ? a6 所得到的和,①当 i ? 1 时, s ? a1 ,没有算出 6 个月的人 数之和,需要继续计算,因此 i 变成 2,进入下一步;②当 i ? 2 时,用前一个 s 加上 a2 , 得 s ? a1 ? a2 ,仍然没有算出 6 个月的人数之和而需要继续计算,因此 i 变成 3,进入 下一步;③当 i ? 3 时,用前一个 s 加上 a3 ,得 s ? a1 ? a2 ? a3 ,仍然没有算出 6 个月 的人数之和而需要继续计算,因此 i 变成 4,进入下一步;④当 i ? 4 时,用前一个 s 加 上 a4 ,得 s ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ,仍然没有算出 6 个月的人数之和而需要继续计算,因此

i 变成 5,进入下一步;⑤当 i ? 5 时,用前一个 s 加上 a5 ,得 s ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 ,
仍然没有算出 6 个月的人数之和而需要继续计算, 因此 i 变成 6, 进入下一步; ⑥当 i ? 6 时, 用前一个 s 加上 a6 , 得 s ?a 1?a 2?a 3?a 4?a 5?a 6 , 刚好算出 6 个月的人数之和,

因此结束循环体,并输出最后的 s 值,由以上的分析,可得图中判断框应填“ i ? 6 ” , 执行框应填“ s ? s ? ai ” .本题给出程序框图,求判断框、执行框应该填入的条件,属 于基础题.解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能,构造出相应的数学模型再求 解,从而使问题得以解决. 考点:算法框图.

x2 y2 6.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2
2



A. ?2 【答案】D 【解析】

B.2

C. ?4

D.4

试题分析:椭圆 则 p ?4,

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 (2, 0) ,所以抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点为 (2, 0) , 6 2

考点:椭圆的简单性质、抛物线的标准方程. 7.设 a ? 30.5 , b ? log 3 2, c ? cos 2 ,则( A. c ? b ? a 【答案】A 【解析】 B. c ? a ? b ) D. b ? c ? a

C. a ? b ? c

试题分析:因为 a ? 3

0.5

? 1, 0 ? b ? log3 2 ? 1, c ? cos 2 ? 0 ,故 c ? b ? a .

考点:比较数的大小. 8.将函数 f ( x) ? 3sin(4 x ?

?
6

) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移


? 个单位长度,得到函数 y ? g ( x) 的图象,则 y ? g ( x) 图象的一条对称轴是( 6 ? ? ? 2? A. x ? B. x ? C. x ? D. x ? 12 6 3 3
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【答案】C 【解析】 试题分析:将函数 f ( x) ? 3sin(4 x ? 得 函 数 f ( x)? 3 s i n x ? (2

?
6

) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,可

?

6

的图 ) 象,再向右平移

? 个单位长度,可得 6

? ?? ? ? ? f ( x) ? 3sin ? 2( x ? ) ? ? ? 3sin(2 x ? ) 的 图 象 , 故 g ( x) ? 3sin(2 x ? ) 令 6 6? 6 6 ?
2x ?

?
6

? k? ?

?

是 x?

?
3

k ? , k ? Z 得 到 x ? ? ? , k ? Z 则 得 y ? g ( x) 图 象 的 一 条 对 称 轴 2 2 3



考点:函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的图象变换规律、函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的图象 的对称轴. 9.设 p : f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6mx ? 1在 (0, ??) 内单调递增, q : m ? ?5 ,则 p 是 q 的
2

( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】A 【解析】

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

试 题 分 析 : 设 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6mx ? 1 在 (0, ??) 内 单 调 递 增 ,
2

1 1 ? 4 x ? 6m ? 0, x ? (0, ??) 恒成立,即 ? 4 x ? ?6m 在 (0, ??) 内恒成立, x x 1 1 2 而 ? 4 x 在 (0, ??) 内的最小值为 ? 4 x ? 4 ,即 4 ? ?6m ,可得 m ? ? ,从而 x x 3 f ' ( x) ?

m ? ?5 ,故 p 是 q 的充分不必要条件.
考点:充要条件的判断. 10.设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 l / /? , l / / ? ,则 ? / / ? C.若 l / /? , ? / / ? ,则 l / / ? 【答案】B 【解析】 试题分析:A.若 l / /? , l / / ? ,则 ? / / ? 或 ? , ? 相交;C.若 l / /? , ? / / ? ,则 l / / ? , 或 l ? ? ; D . 若 ? ? ? , l ? ? , 则 l // ? 或 l ? ? , 而 l ? ? 显 然 错 误 , B.若 B.若 l ? ? , l / / ? ,则 ? ? ? D.若 ? ? ? , l ? ? ,则 l ? ? )

l ? ? , l / / ? ,则 ? ? ? 由面面垂直判定方法是正确的,故选B.
考点: 空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系.

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11.已知 f ( x) 为定义在 (??, ??) 上的可导函数, f ( x) ? f ?( x) 对于 x ? R 恒成立,且

e 为自然对数的底数,则(
A. e B. e C. e D. e
2013



? f (2014) ? e2014 ? f (2013) ? f (2014) ? e2014 ? f (2013) ? f (2014) ? e2014 ? f (2013)

2013

2013

2013

? f (2014) 与 e2014 ? f (2013) 的大小不能确定

【答案】A 【解析】 试题分析:函数 f ( x) 为定义在 (??, ??) 上的可导函数,满足 f ( x) ? f ?( x) ,则函数为 指 数 函 数 , 可 设 函 数

g ( x) ?

f ( x) ex











g ' ( x) ?

f ' ( x)e x ? f ( x)e x ( f ' ( x) ? f ( x))e x ' ,因为 f ( x) ? f ?( x) ,所以 g ( x) ? 0 , ? e2 x e2 x
f (2013) f (2014) ,从而 ? e2013 e2014

g ( x) 在 (??, ??) 上为减函数, g (2013) ? g (2014) ,即
得e
2013

? f (2014) ? e2014 ? f (2013) .

考点:函数与导数运算法则、利用导数研究函数的单调性. 12.有下列四个命题: ①函数 y ? x ?

1 ( x ? 0) 的值域是 [1, ??) ; 4x

②平面内的动点 P 到点 F (?2,3) 和到直线 l : 2 x ? y ? 1 ? 0 的距离相等,则 P 的轨迹是 抛物线; ③直线 AB 与平面 ? 相交于点 B,且 AB 与 ? 内相交于点 C 的三条互不重合的直线 CD、CE、CF 所成的角相等,则 AB ? ? ; ④若 f ( x) ? x ? bx ? c(b, c ? R) ,则 f (
2

x1 ? x2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 2 2
D.③④

其中正确的命题的编号是( ) A.①③ B.②④ C.②③ 【答案】D 【解析】

试 题 分 析 : ① 当 x?0 时 , y ? x?

1 1 ? 2 x? ?1 , 当 x ? 0 时 , 4x 4x

1 y ? x? 4x

?( ? x?

1 ? ) 4x

1 2? ( ? x ) ?( ? ? ), 所 1? 以 ?函 数 的 值 域 是 4x

? ??, ?1? ? ?1, ?? ? ,所以①错误;②因为点 F (?2,3) 在直线 l : 2x ? y ? 1 ? 0 上,所以
点 P 的轨迹不是抛物线,是过点 F 且垂直于直线 l 的直线.所以②错误;③若 AB 不垂
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直 ? ,当 AB 与直线 CD、CE、CF 所成的角相等,则必有 CD ? CE ? CF ,与直线

CD、CE、CF 互不重合,矛盾,所以假设不成立,所以必有 AB ? ? ;所以③正确; x ? x2 1 ④因为满足 f ( 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] 的函数为凹函数,所以二次函数是凹函数, 2 2
所以④正确.故正确的命题的编号是③④. 考点:命题的真假判断、点到直线的距离公式.

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第 II 卷(非选择题)

13.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们 研究过 1,3,6,10,?,可以用如图的三角形点阵表示,那么第 10 个点阵表示的数 是 .

【答案】55 【解析】 试题分析: a1 ? 1 , a2 ? 3 ? 1 ? 2 , a3 ? 6 ? 1 ? 2 ? 3 , a4 ? 10 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 , ? ,

a10 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 10 ? 55 , 解题的关键是由题设得出相邻两个三角形数的递推关
系,由此列举出三角形数,本题综合性强,有一定的探究性,是高考的重点题型,解答 时要注意总结其中的规律. 考点:数列的递推关系、数列的表示.

?x ? y ?1 ? 0 ? 14.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( a 为常数)所表示的平面区域 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
的面积等于 2,则 a 的值为 【答案】3 【解析】 .

?x ? y ?1 ? 0 ? 试题分析: 不等式组 ? x ? 1 ? 0 所围成的区域如图所示, ∵其面积为 2, ∴ AC ? 4 , ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
∴C 的坐标为 ?1, 4 ? ,代入 ax ? y ? 1 ? 0 ,得 a ? 3 .

考点:线性规划、基本不等式.
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x?0 ?2 x3 ? 15.已知函数 f ( x ) ? ? ? ,则 f ( f ( )) ? 4 ? ? tan x 0 ? x ? 2
【答案】 ?2 【解析】 试题分析: f ( ) ? ? tan

.

?

?

4

? ?1, f ( f ( )) ? f (?1) ? 2 ? ?1? ? ?2 . 4 4
3

?

考点:分段函数求值. 16.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的一个动点,点 P 在线 25 9
.

段 OA 的延长线上,且 OA ? OP ? 72 ,则点 P 横坐标的最大值为 【答案】15 【解析】

??? ? ??? ?

试 题 分 析 : 设 OP ? ? OA(? ? 1) , 由 OA ? OP ? ? OA ? 72 , 得 ? ? ??? ?2 ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?2

72

OA

xP ? ? x A ?

72 72 72 72 ,研究点 P xA ? xA ? xA ? 2 9 2 16 2 16 9 x ? yA 2 xA ? 9 ? xA xA ? 9 xA ? 25 25 25 xA
2 A

横坐标的最大值, 仅考虑 0 ? xA ? 5 ,xP ?

72 16 9 xA ? 25 xA

?

15 72 ? 15(当且仅当 x A ? 12 4 2 5

时取“=”) . 考点:向量的数量积的运算及基本不等式的运用. 17.已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 3 sin 2 x ? 3 ? 1 . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? [?

? ?

, ] 时,求 f ( x) 的值域. 6 6

【答案】 (Ⅰ)函数 f ( x) 的最小正周期 T ? ? ; (Ⅱ)所以 f ( x) 的值域为[1,3]. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期,像这一类题,求 f ? x ? 的周期问题,常常采用 把它化成一个角的一个三角函数, 即化成 y ? A sin(? x ? ? ) ? B , 利用它的图象与性质, 求 出 周 期 , 本 题 首 先 对

sin 2 x















y ? a sin ? ? b cos ? ? a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) 化为一个角的一个三角函数即可; (Ⅱ)当

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x ? [?

? ?

求 f ( x) 的值域, 可由 x ? [? , ] , 求出 2 x ? 的范围, 从而得 f ( x) , ] 时, 6 6 6 6 3 题 解 析 :

? ?

?

的值域. 试

? f ( x) ? sin 2 x ? 3 (1 ? 2 sin2 x) ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 . 3 2? (Ⅰ)函数 f ( x) 的最小正周期 T ? ?? . 2 ? ? ? 2? ? (Ⅱ)因为 x ? [? , ] ,所以 2 x ? ?[0, ] ,所以 sin(2 x ? ) ? [0,1] , 3 6 6 3 3 ? 所以 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ? 1? [1,3] ,所以 f ( x) 的值域为[1,3]. 3
考点:两角和正弦公式、正弦函数的周期性与值域. 18.为了加强中学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进教育教学改革,市教育局 举办了全市中学生创新知识竞赛,某中学举行了选拔赛,共有 150 名学生参加,为了了 解成绩情况,从中抽取了 50 名学生的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计. 请你根据尚未完成的频率分布表,解答下列问题:

(Ⅰ)完成频率分布表(直接写出结果) ,并作出频率分布直方图; (Ⅱ)若成绩在 95.5 分以上的学生为一等奖,试估计全校获一等奖的人数,现在从全 校所有一等奖的同学中随机抽取 2 名同学代表学校参加决赛, 某班共有 2 名同学荣获一 等奖,求该班同学参加决赛的人数恰为 1 人的概率. 【答案】 (Ⅰ) 分组 第1组 第2组 第3组 第4组 合计 60.5—70.5 70.5—80.5 80.5—90.5 90.5—100.5 频数 13 15 18 4 50 频率 0.26 0.30 0.36 0.08 1

频率 组距

0.040 0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008
0

60.5 70.5 80.5 90.5 100 .5 分数

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(Ⅱ)该班同学参加决赛的人数恰好为 1 人的概率为 P ?

8 . 15

【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据频数除以样本总数得频率,样本总数乘以频率得频数,以及各个 频率之和等于1,可完成频率分布表,利用组高等于频率除以组距,可完成频率分布直 方图; (Ⅱ)本题首先计算出一等奖的人数,有表可知在 90.5—100.5 的频率为 0.08, 而 95.5 分正好在组的中间,故获一等奖的概率为 0.04,所以获一等奖的人数估计为 ,某班共有 2 名同学荣获一等奖,求该班同学参加决赛的人数恰 150 ? 0.04 ? 6 (人) 为 1 人的概率,首先计算出从6人中抽出2人的总的方法数,然后计算出该班同学参加 决赛的人数恰为 1 人的方法数,由古典概率可求出,利用统计图获取信息时,必须认真 观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题. 试题解析: (Ⅰ) 分组 第1组 第2组 第3组 第4组 合计
频率 组距

频数 60.5—70.5 70.5—80.5 80.5—90.5 90.5—100.5 13 15 18 4 50

频率 0.26 0.30 0.36 0.08 1

0.040 0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008
0

60.5 70.5 80.5 90.5 100 .5 分数

(Ⅱ)获一等奖的概率为 0.04,所以获一等奖的人数估计为 150 ? 0.04 ? 6 (人) ,记 这 6 人为 A1 , A2 , B, C , D, E , 其中 A1 , A2 为该班获一等奖的同学, 从全校所有一等奖的 同学中随机抽取 2 名同学代表学校参加决赛共有 15 种情况如下: ? A1 , A2 ? , ? A1 , B ? ,

? A1 , C ? ,? A1 , D? ,? A1 , E ? ,? A2 , B? ,? A2 , C ? ,? A2 , D ? ,? A2 , E ? , ?B, C ? ,?B, D? , ?B, E ? , ?C, D? , ?C, E ? , ?D, E ? , 该班同学参加决赛的人数恰好为 1 人共有 8 种情
况如下: ? A1 , B ? ,? A1 , C ? ,? A1 , D ? ,? A1 , E ? ,? A2 , B ? ,? A2 , C ? ,? A2 , D ? ,? A2 , E ? , 所以该班同学参加决赛的人数恰好为 1 人的概率为 P ?

8 . 15

考点:频率分布表、频数分布直方图、和利用统计图获取信息的能力、古典概率. 19.将棱长为 a 的正方体截去一半(如图甲所示)得到如图乙所示的几何体,点 E , F 分 别是 BC , DC 的中点.

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(Ⅰ)证明: AF ? ED1 ; (Ⅱ)求三棱锥 E ? AFD1 的体积. 【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) VE ? AFD1 【解析】 试题分析: (Ⅰ)证明: AF ? ED1 ,证明两线垂直,只需证一线垂直另一线所在的平 面, 因此本题的关键是找平面, 注意到过 D1 的线中 D1 D ? AF , 可考虑连接 DE , 看 AF 是否垂直平面 D1 DE ,因此本题转化为只要证明 AF ? DE 即可, 由平面几何知识易证; (Ⅱ)求棱锥 E ? AFD1 的体积,直接求,底面面积及高都不好求,但注意到棱锥

a3 . ? 8

E ? AFD1 与棱锥 D1 ? AEF 是一个几何体,而这个棱锥的高为 D1 D ,而 ? AEF 的面积
S?AEF ? S正方形ABCD ? S?ADF ? S?FCE ? S?ABE ,故体积容易求,值得注意的是,当一个几
何体的体积不好求是,可进行转化成其它几何体来求. 试题解析: (Ⅰ)证:连接 DE ,交 AF 于点 O ,∵ D1 D ? 平面 ABCD , AF ? 平面 D1 A1

D

F O

C E B

ABCD ,∴ D1 D ? AF ,

A

∵ 点 E , F 分 别 是 BC ,

D1C 的 中 点 ,

∴ DF ? CE ,

又 ∵ AD ? DC ,

, C又 ∵ ?ADF ? ?DCE ? 90? , ∴ ?A D F≌ ?DCE , ∴ ?A F D? ? D E

?CDE ? ?DEC ? 90? ,∴ ?CDE ? ?AFD ? 90? ,
∴ ?DOF ? 180 ? ? ?CDE ? ?AFD ? ? 90 ,即 AF ? DE ,又∵ D1 D ? DE ? D ,
? ?

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∴ AF ? 平面 D1 DE , 又∵ ED1 ? 平面 D1 DE ,∴ AF ? ED1 ; (Ⅱ)解:∵ D1 D ? 平面 ABCD ,∴ D1 D 是三棱锥 D1 ? AEF 的高,且 D1 D ? a , ∵ 点 E , F 分 别 是 BC , D1C 的 中 点 , ∴ DF ? CF ? CE ? BE ?

a ,∴ 2

S?A E F? S ? S ? 正方形A B C D

A D F

? S ?

F C E ?

? S

A B E

1 1 ? a ? ?A D ? D F ? 2 2
2

1 ? C F ? C E? 2

a2 a2 a2 3 a2 , ∴ ? ? ? ? A B? ? Ba E ? 4 8 4 8
2

1 3a 2 a3 1 VE ? AFD1 ? VD1 ? AEF ? ? S?AEF ? D1D ? ? ?a ? 3 8 8 3
考点:线线垂直的判定、线面垂直的判定、以及棱锥的体积公式. 20.已知函数 f ( x) ? x3 ?

3 (a ? 1) x 2 ? 3ax ? 1, x ? R . 2

(Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 3 时,若函数 f ( x) 在区间 [m, 2] 上的最大值为 28,求 m 的取值范围. 【答案】 (Ⅰ)当 a ? ?1 时, f (x) 在 ? ??,1? 和 ? ?a,? ? ? 内单调递增, f (x) 在 ?1, ?a ? 内 单 调 递 减 ; 当 a ? ?1 时 , f (x) 在 ? ??, ?? ? 单 调 递 增 ; 当 a ? ?1 时 , f (x) 在 (Ⅱ)即 m 的取值范围 ? ??, ?a ? 和 ?1,? ? ? 内单调递增, f (x) 在 ? ?a,1? 内单调递减; 是 (? ?, ? 3] . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调区间,它的解题方法有两种:一是利用定义,二 是导数法,本题由于是三次函数,可用导数法求单调区间,只需求出 f ( x) 的导函数, 判断 f ( x) 的导函数的符号,从而求出 f ( x) 的单调区间;但本题求导后令 f ?( x) ? 0 , 得 x1 ? 1, x2 ? ?a ,由于不知 1, ? a 的大小,因此需要对 a 进行分类讨论,从而确定在各 种情况下的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 3 时,若函数 f ( x) 在区间 [m, 2] 上的最大值为 28, 求 m 的取值范围,这是函数在闭区间上的最值问题,像这一类问题的处理方法为,先 求出 f ( x) 的极值点,然后分别求出极值点与区间端点处的函数值,比较谁大谁为最大 值,比较谁小谁为最小值,但本题是给出最大值,确定区间端点的取值范围,只需找出 包含最大值 28 的 m 的取值范围, f ( x)极大 ? f (?3) ? 28 ,故故区间 [m, 2] 内必须含有
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?3 ,即 m 的取值范围是 (? ?, ? 3] .
试题解析: (Ⅰ)

f ?(x)=3x 2 +3 ? a ? 1? x ? ?a ? 3 ? x ? 1?? x ? a ?
2

,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,

f ?(x)=3 ? x ? 1? ? 0 f (x) ? ??, ?? ? (ⅰ)当 ?a ? 1 ,即 a ? ?1 时, , 在 单调递增,

? (ⅱ) 当 ?a ? 1 , 即 a ? ?1 时, 当 x ? ?a , 或 x ? 1 时, f (x) ? 0 , f (x) 在 ? ??, ? a ? 、

?1,? ? ? 内单调递增,当 ?a ? x ? 1 时 f ?(x) ? 0 , f (x) 在 ? ?a,1? 内单调递减,
? ( ⅲ ) 当 ?a ? 1 , 即 a ? ?1 时 , 当 x ? 1, 或x ? ?a 时 f (x) ? 0 , f (x) 在

? ??,1? 和 ? ?a,? ? ? 内单调递增
? 当 1 ? x ? ?a 时 f (x) ? 0 , f (x) 在 ?1, ?a ? 内单调递减 ,
综上,当 a ? ?1 时, f (x) 在 ? ??,1? 和 ? ?a,? ? ? 内单调递增, f (x) 在 ?1, ?a ? 内单调

? ??, ?? ? 单 调 递 增 ; 当 a ? ?1 时 , f (x) 在 递 减 ; 当 a ? ?1 时 , f (x) 在

? ??, ?a ? 和 ?1,? ? ? 内单调递增, f (x) 在 ? ?a,1? 内单调递减;
( Ⅱ ) 当

a?3





f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 9 x ? 1, x ? [m, 2]



f ?( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 9 ? 3( x ? 3)( x ? 1) ,令 f ?( x) ? 0 得 x1 ? 1, x2 ? ?3 ,将 x , f ?( x) ,
f ( x) 变化情况列表如下:

x
f ?( x)

(??,?3)

?3
0 极大

(?3,1)

1 0 极小

(1,2]

?


?
↘ ,

?
↗ ,

f ( x)

由此表可得:

f ( x)极大 ? f (?3) ? 28

f ( x)极小 ? f (1) ? ?4

又 f (2) ? 3 ? 28 ,故区间 [m, 2] 内必须含有 ?3 ,即 m 的取值范围是 (? ?, ? 3] . 考点:函数与导数、导数与函数的单调性、导数与函数的极值与最值. 21. 已知 F1 , F2 分别是椭圆 E :

x2 ? y 2 ? 1 的左、 右焦点 F1 , F2 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 5

的对称点是圆 C 的一条直径的两个端点. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 F2 的直线 l 被椭圆 E 和圆 C 所截得的弦长分别为 a , b .当 ab 最大时,求直 线 l 的方程.

试卷第 13 页,总 17 页

【答案】 (Ⅰ) 圆 C 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4 ; (Ⅱ) 直线的方程是 x ? ? 3 y ? 2.
2 2

【解析】 试题分析: (Ⅰ)求圆 C 的方程,圆 C 的直径为 F 1F 2 ,它的圆心为 F 1F 2 的中点关于直线

x ? y ? 2 ? 0 的对称点,故本题先求出 F1F2 的长,从而得半径 r ? c ? a 2 ? b 2 ? 2 ,

F1F2 的中点 (0, 0) ,只需求出它关于直线 x ? y ? 2 ? 0 的对称点,求点关于线对称的方
法为:两点连线垂直对称轴,两点的中点在对称轴上,这样求出圆心 C (2, 2) ,从而可 以写出圆的方程; (Ⅱ)设过点 F2 的直线 l 被椭圆 E 和圆 C 所截得的弦长分别为 a , b . 当 ab 最大时,求直线 l 的方程,这是直线与二次曲线的位置关系问题,可采用设而不求 的 方 法 来 解 , 设 直 线 l 方 程 为 : x ? my ? 2, m ? R , 设 直 线 与 椭 圆 相 交 与 点

E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ), 利用弦长公式求出 a 的值,根据圆的性质求出 b 的值,从而得
ab ? 2 5 ? m2 ? 1 4 m2 ? 1 ? ? 8 5 ? ,可用基本不等式确定最大值时的 m 的 m2 ? 5 1 ? m2 m2 ? 5

值,就得直线方程. 试题解析: ( Ⅰ ) 设圆 C 和圆 D 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称 , 由题意知圆 D 的直径为

F1F2 ,

所以圆心

D ? 0, 0?

,半径 r ? c ?

a 2 ? b2 ? 2 , 圆 心 D 与 圆 心 C 关 于 直 线

x ? y ? 2 ? 0 对称?C (2, 2) ,故圆 C 的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 ;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 F2 (2,0), 设直线 l 方程为: x ? my ? 2, m ? R , ?圆心 C 到直线 l 的距离

d=

| 2m ? 2 - 2 | 1? m2

?

| 2m | 1? m2

, 由垂径定理和勾股定理得:b = 4(4 -

2

4 m2 42 ) = . 1+ m 2 1+ m 2

设 直 线 与 椭 圆 相 交 与 点 E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ),

? x ? my ? 2, m ? R ? 由 ? x2 ? y2 ? 1 ? 5 ?

得:

(m 2 ? 5)y 2 ? 4my ? 1 ? 0, 由韦达定理可得:y1 ? y2 ?
可知: a ?

?4m ?1 , y1 y2 ? 2 , 依题意 2 m ?5 m ?5

y ?y ? ?1 ? m ? ? ??
2 1 2

2

m2 ? 1 ? 4 y1 y2 ? ? 2 5 ? 2 ? m ?5
, 令

? ab ? 2 5 ?

m2 ? 1 4 m2 ?1 ? ? 8 5 ? m2 ? 5 1 ? m2 m2 ? 5

f ( x)?

x ?1 在 , x? 0? y ? f ( x ) [0,3] x?5

单 调 递 增 , 在 [3, ??) 单 调 递 减 ,

试卷第 14 页,总 17 页

f ( x) ? f (3) ? 当 m2 ? 3 时, ab 取得最大值,此时直线的方程是 x ? ? 3 y ? 2 ,所
以当 ab 取得最大值时,直线的方程是 x ? ? 3 y ? 2. 考点:椭圆的方程、圆的方程、直线与椭圆的位置关系、直线的方程. 22 .切线 AB 与圆切于点 B , 圆内有一点 C 满足 AB ? AC , ?CAB 的平分线 AE 交圆于 D , E ,延长 EC 交圆于 F ,延长 DC 交圆于 G ,连接 FG .

(Ⅰ)证明: AC // FG ; (Ⅱ)求证: EC ? EG . 【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析: (Ⅰ)证明: AC // FG ,只需证明 ?ACD ? ?DGF ,而 ?AEC ? ?DGF ,即 证 ?ACD ? ?AEC ,只需证△ ACD ∽△ AEC ,即可,由已知切线 AB 与圆切于点 B , 圆 内 有 一点 C 满 足 AB ? AC, ?CAB 的 平 分线 AE 交 圆 于 D , E , 由 切 割线 定理 知 (Ⅱ)连接 AB2 ? AD ? AE ,从而得 AC 2 ? AD ? AE ,故△ ACD ∽△ AEC ,从而得证; BD, BE, EG ,求证 : EC ? EG ,注意到△ ABE ? △ ACE ,可得 BE ? CE ,只需证

BE ? EG,即证 ?BDE ? ?CDE ,即证△ DBE ? △ DCE ,这容易证出.
试题解析: ( Ⅰ ) 证 明 : ∵ AB 切 圆 于 B , ∴ AB2 ? AD , 又 ∵ AB ? AC , ∴ ? AE ,∴△ ACD ∽△ AEC ,∴ ?ACD ? ?AEC ,又∵ ?AEC ? ?DGF ,∴ AC2 ? AD? AE ?ACD ? ?DGF ,∴ AC // FG ;

(Ⅱ) 证明: 连接 BD, BE, EG , 由A 知△ ABD ? B ? A C ,?BAD ? ?CAD 及 AD ? AD , △ ACD ,同理有△ ABE ? △ ACE ,∴ ?BDE ? ?CDE ,故 BE ? EG ,又 BE ? CE , ∴ EC ? EG . 考点:割线定理、相似三角形、等角对等弦. 23.在直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 的参数方程 ? 极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l ? (sin ? ? 3 cos ? ) ? 3 3 ,射线 OM : ? ? 直线 l 的交点为 Q ,求线段 PQ 的长. 【答案】 (Ⅰ)圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos ? ; (Ⅱ)线段 PQ 的长为 2.
试卷第 15 页,总 17 页

? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数) ,以 O 为 ? y ? sin ?

?
3

与圆 C 的交点为 O, P ,与

【解析】 试题分析: ( Ⅰ ) 将 圆 的 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程 ( x ? 1) ? y ? 1 , 利 用
2 2

x ? ?c o? s y, ? ?

C 的极坐标方程 ? ? 2 cos? ; (Ⅱ)求线段 PQ 的长, s?i 即得圆 n

只要求出 P, Q 点的坐标即可,因为射线 OM : ? ?

?
3

与圆 C 的交点为 O, P ,故有

? ?1 ? 2 cos ?1 ? ?1 ? 1 ? ? ? ,解得 ? ? ? ? ,又因为射线 OM : ? ? 与直线 l 的交点为 Q ,则 3 ?1 ? ?1 ? ? ? 3 ? 3 ?

? ? 2 (sin? 2 ? ? ? ? ??2 ? 3 ?

3 cos ?2 ? ) 3 3

? ?2 ? 3 ? , 解得 ? ? ,从而可求出线段 PQ 的长. ? ? 2 ? 3 ?
2 2

试题解析::(Ⅰ)圆 C 的普通方程是 ( x ? 1) ? y ? 1 ,又 x ? ? cos ?, y ? ?sin ? , 所 以圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos ? ;

? ?1 ? 2 cos ?1 ? (Ⅱ)设 ( ?1 , ?1 ) 为点 P 的极坐标, 则有 ? ? ?1 ? ? 3 ?

? ?1 ? 1 ? 解得 ? 设 ( ? 2 , ? 2 ) 为点 Q ? , ? ? 1 ? 3 ?

? ? 2 (sin ? 2 ? 3 cos ? 2 ) ? 3 3 ? 的极坐标,则有 ? ? ??2 ? 3 ?
以 PQ ? ?1 ? ? 2 ? 2 ,所以线段 PQ 的长为 2.

? ?2 ? 3 ? , 解得 ? ? ,由于 ?1 ? ? 2 ,所 ?2 ? ? 3 ?

考点:参数方程、极坐标方程、一般方程的应用以及相互转化、利用极坐标求两点间距 离. 24.设正有理数 x 是 3 的一个近似值,令 y ? 1 ? (Ⅰ)若 x ? 3 ,求证: y ? 3 ; (Ⅱ)比较 y 与 x 哪一个更接近 3 ,请说明理由. 【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) y 比 x 更接近 3 . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)若 x? 3 ,求证: y? 3 ,只需证 y? 3 ?0 即可,即

2 . 1? x

y? 3 ?

( x ? 3)(1 ? 3) (Ⅱ)比较 y 与 x 哪一个更接近 3 ,只需比较它们与 ? 0; 1? x

3 差的绝对值的大小,像这一类题,可采用作差比较法.

试卷第 16 页,总 17 页

试题解析:(Ⅰ) y ? 3 ? 1 ?

2 x ? 3 ? 3 ? 3x ( x ? 3)(1 ? 3) ? 3? ? 1? x 1? x 1? x

? x ? 3 ,? y ? 3 ? 0 ,? y ? 3 .
( Ⅱ )

y? 3 ? x? 3 ?

? 3 ?1 ? ( x ? 3)(1 ? 3) ? x? 3 ? x? 3 ? ? 1 ? x ? 1? ?? x? 3 1? x ? ?


3?2? x 1? x




? 3 ? 2 ? 0, x ? 0

?

3 ?2? x ?0 1? x





x? 3 ?0

? y ? 3 ? x ? 3 ? 0,? y ? 3 ? x ? 3 ,所以 y 比 x 更接近 3 .
考点:作差法证明不等式.

试卷第 17 页,总 17 页


河南省许昌平顶山新乡2013-2014学年高三上学期第一次调研文科数学试卷(带word解析)

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