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北师大版精品全册教案 高中数学必修4教案(共158页)〖无忧资源〗

时间:2014-05-22


北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案
第一章 三角函数

§1 周期现象与周期函数(1 课时) 知识点 1、周期现象的概念,即什么叫周期现象; 2、周期现象的应用,即判断哪些属于周期现象; 3、周期函数的概念,即什么叫周期现象; 4、周期函数的应用,解题; 常考题型 1、举例判断下列哪些是周期现象(日出日落 ;潮汐;海啸;地震;钟表秒针 转动;地球自转;地球公转;抛硬币正面朝上或朝下;某路口在某时刻通过的车 辆数等) ; 2、推算时间;3、推算图形;4 周期函数的应用; 拓展 1、周期现象举例包括:单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等 2、F(X+T)=F(X) 周期为 ; F(X+T)=-F(X) 周期为 ; F(X+T)=1/F(X) 周期为 ; F(X+T)=-1/F(X) 周期为 ; 3、判断周期现象的特征:1、经过相同的时间;2、出现相同的现象。 (胡老师建 议理解:1、有规律;2、知道前面的某个时刻的现象,必然知道下一个时刻的现 象) 上课例题

课后练习

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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 §2 角的概念的推广(2 课时) 知识点 (1)角的概念,掌握正角、负角、零角以及锐角、钝角、平角、周角、直角等 的概念; (2)什么叫象限角、轴线角; (3)理解任意角的概念,掌握所有与 ? 角终边相同的角(包括 ? 角)的表示方 法; (4)能表示特殊位臵(或给定区域内)的角的集合; (5)能进行简单的角的集合之间运算。 拓展点 1、区间角、区域角的表示方法; 2、a/n 的现象确定方法(八卦图法和直接法) 3、角的终边的对称或者垂直问题 4、锐角,第一现象角,小于 90°的角,大于 0°小于 90°的角的区分

课堂例题

课后练习

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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 §3 弧度制(1 课时) 知识点 1. 弧度制的概念; 2. 角度与弧度的转化公式; 3. 常用特殊角的弧度数; 4. 弧长公式与扇形面积公式;

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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 §4.1 锐角的正弦函数§4.2 任意角的正弦函数§4.3 正弦函数 y=sinx 的图像 (2 课时) 教学目标: 知识与技能 (1)回忆锐角的正弦函数定义; (2)熟练运用锐角正弦函数的性质; (3)理解 通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义; (4)掌握任意角的正弦函数的定义; (5)理解有向线段的概念; (6)了解正弦函数图像的画法; (7)掌握五点作图 法,并会用此方法画出[0,2π]上的正弦曲线。 过程与方法 初中所学的正弦函数, 是通过直角三角形中给出定义的;由于我们已将角推广到 任意角的情况,而且一般都是把角放在平面直角坐标系中,这样一来,我们就在 直角坐标系中来找直角三角形,从而引出单位圆;利用单位圆的独特性,是高中 数学中的一种重要方法, 在第二节课的正弦函数图像,以及在后面的正弦函数的 性质中都有直接的应用;讲解例题,总结方法,巩固练习。 情感态度与价值观 通过本节的学习, 使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认识;在由锐角的正 弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中,体会特殊与一般的关系,形成一种辩 证统一的思想;通过单位圆的学习,建立数形结合的思想,激发学习的学习积极 性;培养学生分析问题、解决问题的能力。 二、教学重、难点 重点: 1.任意角的正弦函数定义,以及正弦函数值的几何表示。 2.正弦函数图像的画法。 难点: 1.正弦函数值的几何表示。 2.利用正弦线画出 y=sinx,x∈[0, 2π]的图像。 三、学法与教学用具 在初中, 我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个角的正弦,当把 锐角放在直角坐标系中时, 角的终边与单位圆交于一点,正弦函数对应于该点的 纵坐标,当是任意角时,通过函数定义的形式引出正弦函数的定义;作正弦函数 y=sinx 图像时,在正弦函数定义的基础上,通过平移正弦线得出其图像,再归 结为五点作图法。 教学用具:投影机、三角板 第一课时 §4.1 锐角的正弦函数 §4.2 任意角的正弦函数 一、教学思路 【创设情境,揭示课题】 我们学习角的概念的推广和弧度制,就是为了学习三角函数。请同学们回忆(1) 角的概念的推广及弧度制、象限角等概念; (2)初中所学的正弦函数是如何定义 的?并想一想它有哪些性质?学生思考回答以后,教师小结。 (板书课题) A 【探究新知】
对边 b 在初中,我们学习了锐角α的正弦函数值:sinα= 斜边 ,
c

C a B a 如图:sinA= c ,由于 a 是直角边,c 是斜边,所 sinA∈(0,1)。由于我们通常
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 都是 角放 将 到平面直角坐标系中,我们来看看会发生什么?
r O

y

? (如图所示) ,设角α(α∈(0, 2 ) ) M 在直角坐标系中,
x 终边与半经为 r 的圆交于点 P(a,b) ,则角α的正弦值是:

P(a,b)



b b sinα= r .根据相似三角形的知识可知,对于确定的角α, r 都不会随圆的半经
的改变而改变。为简单起见,令 r=1(即为单位圆),那么 sinα=b,也就是说, 若角α的终边与单位圆相交于 P,则点 P 的纵坐标 b 就是角α的正弦函数。 直角三角形显然不能包含所有的角,那么,我们可以仿照锐角正弦函数的定 义.你认为该如何定义任意角的正弦函数? 一般地,在直角坐标系中(如上图) ,对任意角α,它的终边与单位圆交于点 P (a,b) ,我们可以唯一确定点 P(a,b)的纵坐标 b,所以 P 点的纵坐标 b 是角 α的函数,称为正弦函数,记作 y=sinα(α∈R)。通常我们用 x,y 分别表示 自变量与因变量,将正弦函数表示为 y=sinx. 正弦函数值有时也叫正弦值.

? 7? 请同学们画图,并利用正弦函数的定义比较说明: 3 角与 3 角的终边与单

? 8? 位圆的交点的纵坐标有什么关系?它们的正弦值有什么关系? 3 角和 3 角
? 5? 2? 14? 呢?- 3 角和 3 角呢?- 3 角和- 3 角呢?
通过上述问题的讨论,容易得到:终边相同的角的正弦函数值相等,即 sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z),说明对于任意一个角α,每增加 2π的整数倍, 其正弦函数值不变。所以,正弦函数是随角的变化而周期性变化的,正弦函数是 周期函数,2kπ(k∈Z,k≠0)为正弦函数的周期。 2π是正弦函数的正周期中最小的一个,称为最小正周期。一般地,对于周期函 数 f(x),如果它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫 作 f(x)的最小正周期。 【巩固深化,发展思维】 课本 P17 的思考与交流。 课本 P18 的练习。

2 3.若点 P(—3,y)是α终边上一点,且 sinα=— 3 ,求 y 值.
4.若角α的顶点为坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边在函数 y=—3x (x ≤0) 的图像上,则 sinα= 。
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 二、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方 法有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、课后反思

第二课时 §4.3 正弦函数 y=sinx 的图像 一、教学思路 【创设情境,揭示课题】 三角函数是一种重要的函数, 从第一节我们就知道在实际生活中,有许多地方用 到三角函数。今天我们来学正弦函数 y=sinx 的图像的做法。在前一节,我们知 道正弦函数是一个周期函数,最小正周期是 2π,所以,关键就在于画出[0,2 π]上的正弦函数的图像。 请同学们回忆初中作函数图像的方法是怎样的? 作函数图像的三步骤:列表,描点,连线。 【探究新知】 正弦函数线 MP 下面我们来探讨正弦函数的一种几何表示.如右图所示, y α 的终边 角α的终边与单位圆交于点 P(x,y) ,提出问题 ①线段 MP 的长度可以用什么来表示? P ②能用这个长度表示正弦函数的值吗?如果不能,你能否设计 一种方法加以解决?引出有向线段的概念. 有向线段:当α的终边不在坐标轴上时,可以把 MP 看作是带方向的线段, M O x y>0 时,把 MP 看作与 y 轴同向(多媒体优势,利用计算机演示角α终边在 一、二象限时 MP 从 M 到 P 点的运动过程.让学生看清后定位,运动的方向表明 与 y 轴同向). y<0 时,把 MP 看作与 y 轴反向(演示角α终边在三、四象限时 MP 从 M 到 P 点的 运动过程.让学生看清后定位,运动的方向表明与 y 轴反向). 师生归纳: ①MP 是带有方向的线段, 这样的线段叫有向线段. MP 是从 M→P, 而 PM 则是从 P→M。②不论哪种情况,都有 MP=y.③依正弦定义,有 sinα= MP=y,我们把 MP 叫做α的正弦线.
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 (投影仪出示反馈练习) 当α为特殊角,即终边在坐标轴上时,找出其正弦线。 演示运动过程,让学生清楚认识到:当α终边在 x 轴上时,正弦线变为一个点, 即 sinα=0。 2.作图的步骤 边作边讲(几何画法)y=sinx x?[0,2?] 作单位圆,把⊙O 十二等分(当然分得越细,图像越精确)
? ? ? 6 十二等分后得对应于 0, , 3 , 2 ,…2?等角,并作出相应的正弦线,

将 x 轴上从 0 到 2?一段分成 12 等份(2?≈6.28),若变动比例,今后图像将相应 “变形” 取点,平移正弦线,使起点与轴上的点重合 描图(连接)得 y=sinx x?[0,2?] (6) 由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx x?[2k?, 2(k+1)?] (k?Z, k?0) 与函数 y=sinx x?[0,2?]图像相同,只是位臵不同——每次向左(右)平移 2? 单位长。 可以得到 y=sinx 在 R 上的图像

五点作图法: 由上图我们不难发现,在函数 y=sinx,x?[0,2?]的图像上,起着关键作用的有 以下五个关键点: (0,0) (?,0) (2?,0)。描出这五个点 后,函数 y=sinx,x?[0,2?]的图像的形状就基本上确定了。因此,在精确度要 ? 求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑曲线将它们连接起来, 就得到这个函数的简图。我们称这种画正弦曲线的方法为“五点法” 。 【巩固深化,发展思维】 1.例题讲评 例 1.用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]上的简图。 (1)y=-sinx (2)y=1+sinx
? ( 2 ,1)
3? ( 2 ,-1)

6

解: (1)列表 x 0

? 2

π

3? 2



y = - 0 1 0 -1 0 sinx 描点得 y=-sinx 的图像: (略,见教材 P22) 2.学生练习 教材 P22 二、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 法有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、布臵作业 作业:习题 1—4 第 1,2 题. 四、课后反思

§4.4 正弦函数的性质(2 课时) 教学目标: 知识与技能 (1)进一步熟悉单位圆中的正弦线; (2)理解正弦诱导公式的推导过程; (3) 掌握正弦诱导公式的运用; (4)能了解诱导公式之间的关系,能相互推导; (5) 理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大(小)值、单调性、奇偶性; (6)能熟练运用正弦函数的性质解题。 过程与方法 通过正弦线表示α,-α,π-α,π+α,2π-α,从而体会各正弦线之间的关 系;或从正弦函数的图像中找出α,-α,π-α,π+α,2π-α,让学生从中 发现正弦函数的诱导公式; 通过正弦函数在 R 上的图像,让学生探索出正弦函数 的性质;讲解例题,总结方法,巩固练习。 情感态度与价值观 通过本节的学习,培养学生创新能力、探索归纳能力;让学生体验自身探索成功 的喜悦感,培养学生的自信心;使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途 经;培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 二、教学重、难点 重点: 正弦函数的诱导公式,正弦函数的性质。 难点: 诱导公式的灵活运用,正弦函数的性质应用。 三、学法与教学用具 在上一节课的基础上, 运用单位圆中正弦线或正弦函数图像中角的关系,引发学 生探索出正弦函数的诱导公式;通过例题和练习掌握诱导公式在解题中的作用; 在正弦函数的图像中,直观判断出正弦函数的性质,并能上升到理性认识;理解 掌握正弦函数的性质;以学生的自主学习和合作探究式学习为主。 教学用具:投影机、三角板 第一课时 正弦函数诱导公式 一、教学思路 【创设情境,揭示课题】 在上一节课中, 我们已经学习了任意角的正弦函数定义,以及终边相同的角的正 弦函数值也相等,即 sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z),这一公式体现了求任意角 的正弦函数值转化为求 0°~360°的角的正弦函数值。如果还能把 0°~360° 间的角转化为锐角的正弦函数, 那么任意角的正弦函数就可以查表求出。这就是
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 我们这一节课要解决的问题。 【探究新知】 复习: (公式 1)sin(360?k+?) = sin? 对于任一 0?到 360?的角,有四种可能(其中?为不大于 90?的非负角)
? ? 当? ? 0 ? , 90? ) ? ? ? 180?) ?180 ? ? 当? ? 90 , ??? ? ? 270?) ?180 ? ? 当? ? 180 , ?360? ? ? 当? ? 270? , 360?) ?

? ? ?

?

?为第一象限角 ?为第二象限角 ?为第三象限角 ?为第四象限角

(以下设?为任意角)

公式 2: 设?的终边与单位圆交于点 P(x,y), 则 180?+?终边与单位圆交于点 P’ (-x,-y), 由正弦线可知: sin(180?+?) = ?sin?
y P (x,y) P(x,y) o


y

4 .公式 如图: 边, 同样

x P (-x,-y)

M 3: o x 在单位圆中作出α与-α角的终 P’(x,-y) 可得: sin(??) = ?sin?,

公式 4:由公式 2 和公式 3 可得: sin(180???) = sin[180?+(??)] = ?sin(??) = sin?, 同理可得: sin(180???) = sin?, 6.公式 5:sin(360???) = ?sin? 【巩固深化,发展思维】 例题讲评 求下列函数值

7 (1)sin(-1650?); (2)sin(-150?15’); (3)sin(- 4 π)
解: (1) sin(-1650?)=-sin1650?=-sin(4〓360?+210?)=-sin210? =

1 -sin(180?+30?)=sin30?= 2
(2) sin( - 150?15 ’ ) =- sin150?15 ’=- sin(180? - 29?45 ’ ) =- sin29?45’=-0.4962
2 7 ? ? (3) sin(- 4 π)=sin(-2π+ 4 )=sin 4 = 2 ?

sin ?2? ? ? ?sin ?3? ? ? ? 例 2.化简: sin ?? ? ? ? ?sin ?3? ? ? ?sin ?? ? ? ? ?
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 解: (略,见教材 P24) 学生练习 教材 P24 练习 1、2、3 二、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方 法有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、课后反思

第二课时 正弦函数的性质 教学思路 【创设情境,揭示课题】 同学们, 我们在数学一中已经学过函数, 并掌握了讨论一个函数性质的几个角度, 你还记得有哪些吗?在上一次课中,我们已经学习了正弦函数的 y=sinx 在 R 上图像,下面请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质? 【探究新知】 让学生一边看投影,一边仔细观察正弦曲线的图像,并思考以下几个问题: 正弦函数的定义域是什么? 正弦函数的值域是什么? 它的最值情况如何? 它的正负值区间如何分? ?(x)=0 的解集是多少? 师生一起归纳得出: 定义域:y=sinx 的定义域为 R 值域:引导回忆单位圆中的正弦函数线,结论:|sinx|≤1(有界性) 再看正弦函数线(图象)验证上述结论,所以 y=sinx 的值域为[-1,1]

x

? 3.最值:1?对于 y=sinx 当且仅当 x=2k?+ 2 ,k?Z 时 ymax=1 ? 当且仅当时 x=2k?- 2 , k?Z 时 ymin=-1
2?当 2k?<x<(2k+1)? (k?Z)时 y=sinx>0 当(2k-1)?<x<2k? (k?Z)时 y=sinx<0 4.周期性: (观察图象) 1?正弦函数的图象是有规律不断重复出现的; 2?规律是:每隔 2?重复出现一次(或者说每隔 2k?,k?Z 重复出现) 3?这个规律由诱导公式 sin(2k?+x)=sinx 也可以说明 结论:y=sinx 的最小正周期为 2? 5.奇偶性
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 sin(-x)=-sinx 6.单调性 x sinx (x∈R) y=sinx (x∈R)是奇函数

? -2
-1



0 0



? 2
1



π 0



3? 2
-1

? ? 增区间为[- 2 +2kπ, 2 +2kπ](k∈Z) ,其值从-1 增至 1; ? 3? 减区间为[ 2 +2kπ, 2 +2kπ](k∈Z) ,其值从 1 减至-1。
【巩固深化,发展思维】 例题讲评 例 1.利用五点法画出函数 y=sinx-1 的简图,根据函数图像和解析式讨论它 的性质。 解: (略,见教材 P26) 2.课堂练习 教材 P27 的练习 1、2、3 二、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主要数学思想方法 有哪些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、布臵作业:习题 1—4 第 3、4、5、6、7 题. 四、课后反思

§5 余弦函数(2 课时) 教学目标: 知识与技能 (1)了解任意角的余弦函数概念; (2)理解余弦函数的几何意义; (3)掌握余 弦函数的诱导公式; (4)能利用五点作图法作出余弦函数在[0,2π]上的图像; (5)熟练根据余弦函数的图像推导出余弦函数的性质; (6)能区别正、余弦函 数之间的关系; (7)掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。 过程与方法 类比正弦函数的概念,引入余弦函数的概念;在正、余弦函数定义的基础上,将
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 三角函数定义推广到更加一般的情况;让学生通过类比,联系正弦函数的诱导公 式,自主探究出余弦函数的诱导公式;能学以致用,尝试用五点作图法作出余弦 函数的图像,并能结合图像分析得到余弦函数的性质。 情感态度与价值观 使同学们对余弦函数的概念有更深的体会;会用联系的观点看问题,建立数形结 合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题、解决问题的能力;让学 生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心;使学生认识到转化“矛盾” 是解决问题的有效途经; 培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精 神。 二、教学重、难点 重点:余弦函数的概念和诱导公式,以及余弦函数的性质。 难点: 余弦函数的诱导公式运用和性质应用。 三、学法与教学用具 我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中,以函数定义的形式给出来的, 从而把锐角的正弦函数推广到任意角的情况; 现在我们就应该与正弦函数的概念 作比较,得出余弦函数的概念;同样地,可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦 函数的诱导公式。用五点作图的方法作出 y=cosx 在[0,2π]上的图像,并由图 像直观得到其性质。 教学用具:投影机、三角板

第一课时 余弦函数的概念和诱导公式 一、教学思路 【创设情境,揭示课题】
邻边 在初中, 我们不但学习了正弦函数, 也学习了余弦函数, sinα= 斜边 。 同样地,

当我们把角放在平面直角坐标系中以后,就可以得到余弦函数的定义。 下面请同学们类比正弦函数的定义,自主学习课本 P30—P31. 【探究新知】 1.余弦函数的定义 在直角坐标系中,设任意角α与单位圆交于点 P(a,b), y 那么点 P 的横坐标 a 叫做角α余弦函数,记作:a=cosα(α∈R). P(a,b) 通常我们用 x,y 分别表示自变量与因变量,将余弦函数表示
r
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 为 y=cosx(x∈R). 如图,有向线段 OM 称为角α的余弦线。 O 其实,由相似三角形的知识,我们知道,只要已知角α 的终边上任意一点 P 的坐标(a,b) ,求出|OP|,记为 r,则

M

x

b a 角α的正弦和余弦分别为:sinα= r ,cosα= r .

π -α

α

在今后的解题中,我们可以直接运用这种方法,简化运算过程。 2.余弦函数的诱导公式 从右图不难看出,角α和角 2π+α,2π-α, (-α)的终边 与单位圆的交点的横坐标是相同的,所以,它们的余弦函数值相等; π +α 角α和角π+α,π-α的终边与单位圆的交点的横坐标是相反数, -α 所以,它们的余弦函数值互为相反数。 由此归纳出公式: cos(2π+α)=cosα y cos(-α) = cosα cos(2π-α) =cosα P(x,y) cos(π+α) =-cosα M’ M o cos(π-α) =-cosα

x

? P’ 2 请同学们观察右图,角α与角 +α的正弦、余弦函数值有什么关
系?由图可知,Rt⊿OMP≌Rt⊿OM’P’,点 P 的横坐标 cosα与点 P’的纵坐标

? sin( 2 +α)
? 相等;点 P 的纵坐标 sinα与点 P’的横坐标 cos( 2 +α)互为相反数。我们可
以得到:

? sin( 2 +α)=cosα

? cos( 2 +α)=-sinα

? 问题与思考:验证公式 sin( 2 +α)=cosα ? cos( 2 +α)=-sinα
以上公式统称为诱导公式,其中α可以是任意角。利用诱导公式,可以将任意角 的正、余弦函数问题转化为锐角的正、余弦函数问题。 y 【巩固深化,发展思维】 2 x 例题讲评

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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 例 1.已知角α的终边经过点 P(2,-4)(如图),求角α的余弦 -4 函数值。 解:∵x=2,y=-4 , ∴ r=|OP|=2 5
5 x ∴cosα= r = 5

P

例 2.如果将例 1 中点 P 的坐标改为(2t,-4t)(t≠0),那么怎样求角α的余 弦函数值。 解:(提示:在 r=|OP|=2 5 |t|中,分 t<0 和 t>0 两种情况,见教材 P31) 例 3.求值:

11 ? (1)cos 6
(4)cos(-1650°)

9? (2)cos 8

3? (3)cos(- 4 )

(5)cos(-150°15’)

3 11 ? ? ? 解: (1)cos 6 =cos(2π- 6 )=cos 6 = 2

9? ? ? (2)cos 8 =cos(π+ 8 )=-cos 8 ≈-0.9239
(3)、 (4) 、 (5)略,见教材 P33
cos?2? ? ? ? cos?3? ? ? ? 例 4.化简: cos?? ? ? ? ? cos?3? ? ? ? cos?? ? ? ? ?

解: (略,见教材 P33) 学生练习 教材 P31 的练习 1、2、3 和 P34 的练习 1、2、3 二、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主要数学思想方法 有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、课后反思

第二课时

余弦函数的图像与性质
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 教学思路 【创设情境,揭示课题】 在上一次课中,我们知道正弦函数 y=sinx 的图像,是通过等分单位圆、平移正 弦线而得到的,在精确度要求不高时,可以采用五点作图法得到。那么,对于余 弦函数 y=cosx 的图像是不是也是这样得到的呢?有没有更好的方法呢? 【探究新知】 1.余弦函数 y=cosx 的图像 由诱导公式有:
? ? 与正弦函数关系 ∵y=cosx=cos(-x)=sin[ 2 -(-x)]=sin(x+ 2 ) ? 结论: (1)y=cosx, x?R 与函数 y=sin(x+ 2 ) x?R 的图象相同 ? (2)将 y=sinx 的图象向左平移 2 即得 y=cosx 的图象

( 3 )也同样可用五点法作图: y = cosx
? ( 2 ,0)

x?[0,2?] 的五个点关键是 (0,1)

(?,-1)
?

3? ( 2 ,0)

(2?,1)
?
2

y 1 1 o x -1 ( 4 )类似地,由于终边相同的三角函数性质
?
2

y

?

3 ? 2

2 ?

k?Z,k?0 的图像与 y=cosx 1 每次平移 2π个单位长度)

x?[0,2?]

y = cosx x?[2k?,2(k+1)?] 图像形状相同只是位臵不同(向左右

x

4

3

2

?

1 y o
y

?

2 ?

3 ?

4 ?

5 ?

6x ?
x

1

2.余弦函数 ? ? y=cosx ? 的性质 观察上图可以得到余弦函数 y=cosx 有以下性质: (1)定义域:y=cosx 的定义域为 R (2)值域: y=cosx 的值域为[-1,1],即有 |cosx|≤1(有界性) (3)最值:1?对于 y=cosx 当且仅当 x=2k?,k?Z 时 ymax=1 当且仅当时 x=2k?+π, k?Z 时 ymin=-1
? ? 2 2?当 2k?- <x<2k?+ 2 (k?Z)时 y=cosx>0 ? 3? 2 当 2k?+ <x<2k?+ 2 (k?Z)时 y=cosx<0

(4)周期性:y=cosx 的最小正周期为 2? (5)奇偶性 cos(-x)=cosx (x∈R) y=cosx (x∈R)是偶函数 (6)单调性 增区间为[(2k-1)π, 2kπ](k∈Z) ,其值从-1 增至 1; 减区间为[2kπ, (2k+1)π](k∈Z) ,其值从 1 减至-1。
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【巩固深化,发展思维】 例题讲评 例 1.请画出函数 y=cosx -1 的简图,并根据图像讨论函数的性质。 解: (略,见教材 P36) 2.课堂练习 教材 P37 的练习 1、2、3、4 二、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主要数学思想方法 有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、布臵作业:P38 的习题 8、9、10、11 四、课后反思

§6 正切函数(2 课时) 洋浦实验中学 吴永和 教学目标: 知识与技能 (1)了解任意角的正切函数概念; (2)理解正切函数中的自变量取值范围; (3) 掌握正切线的画法; (4)能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像; (5)熟练 根据正切函数的图像推导出正切函数的性质; (6)能熟练掌握正切函数的图像与 性质; (7)掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。 过程与方法 类比正、余弦函数的概念,引入正切函数的概念;在此基础上,比较三个三角函 数之间的关系;让学生通过类比,联系正弦函数图像的作法,通过单位圆中的有 向线段得到正切函数的图像; 能学以致用,结合图像分析得到正切函数的诱导公 式和正切函数的性质。 情感态度与价值观 使同学们对正切函数的概念有一定的体会;会用联系的观点看问题,建立数形结 合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题、解决问题的能力;让学 生体验自身探索成功的喜悦感, 培养学生的自信心;培养学生形成实事求是的科 学态度和锲而不舍的钻研精神。 二、教学重、难点 重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质 难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题 三、学法与教学用具 我们已经知道正、 余弦函数的概念是通过在单位圆中,以函数定义的形式给出来 的,从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况;现在我们就应该与正、余 弦函数的概念作比较,得出正切函数的概念;同样地,可以仿照正、余弦函数的 诱导公式推出正切函数的诱导公式;通过单位圆中的正切线画出正切函数的图 像,并从图像观察总结出正切函数的性质。 教学用具:投影机、三角板
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第一课时 正切函数的定义、图像及性质 一、教学思路 【创设情境,揭示课题】 常见的三角函数还有正切函数,在前两次课中,我们学习了任意角的正、余弦函 数,并借助于它们的图像研究了它们的性质。今天我们类比正弦、余弦函数的学 习方法, 在直角坐标系内学习任意角的正切函数, 请同学们先自主学习课本 P40。 【探究新知】 正切函数的定义

? 在直角坐标系中,如果角α满足:α∈R,α≠ 2 +kπ(k∈Z),那么,角α的终
b b 边与单位圆交于点 P(a,b) ,唯一确定比值 a .根据函数定义,比值 a 是角α的

? 函数,我们把它叫作角α的正切函数,记作 y=tanα,其中α∈R,α≠ 2 +k
π,k∈Z.

sin ? ? 比较正、余弦和正切的定义,不难看出:tanα= cos? (α∈R,α≠ 2 +kπ,
k∈Z). 由此可知,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以比值为函数值的函数,我们 统称为三角函数。 下面,我们给出正切函数值的一种几何表示. y 如右图,单位圆与 x 轴正半轴的交点为 A(1 ,0) ,任意角α 的终边与单位圆交于点 P,过点 A(1 ,0)作 x 轴的垂线,与角 30? T 的终边或终边的延长线相交于 T 点。从图中可以看出: 当角α位于第一和第三象限时,T 点位于 x 轴的上方; o x A 当角α位于第二和第四象限时,T 点位于 x 轴的下方。 P 分析可以得知,不论角α的终边在第几象限,都可以构造两 210? 个相似三角形,使得角α的正切值与有向线段 AT 的值相等。因此, 我们称有向线段 AT 为角α的正切线。 2.正切函数的图象 (1)首先考虑定义域:
x ? k? ?

?
2

?k ? z ?

(2)为了研究方便,再考虑一下它的周期:
? tan?x ? ? ? ? sin ?x ? ? ? ? sin x ? ? ? ? ? tan x? x ? R, 且x ? k? ? , k ? z ? cos?x ? ? ? ? cos x 2 ? ?

? ? ? y ? tan x? x ? R, 且x ? k? ? , k ? z ? 2 ? ? 的周期为 T ? ? (最小正周期) ∴
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? ? ?? ?? , ? (3)因此我们可选择 ? 2 2 ? 的区间作出它的图象。
y

?

? 2

O

? 2

x

根据正切函数的周期性,把上述图像向左、右扩展,得到正切函数
y ?t an x x ? R ,且
x?

?
2

? k? ?k ? z ?

的图像,称“正切曲线”

y

3 ? ? 2

?? ? ? 2

0

? 2

?

3 x ? 2

? 从上图可以看出,正切曲线是由被相互平行的直线 x= 2 +kπ(k∈Z)隔开的无
穷多支曲线组成的,这些直线叫作正切曲线各支的渐近线。 3.正切函数 y=tanx 的性质 引导学生观察,共同获得:

? ? ? ? x | x ? ? k? , k ? z ? 2 ?, (1)定义域: ?
(2)值域:R 观察:当 x 从小于
k? ?

?
2

?k ? z ?



x? ?? k? ?

? ?? ? 2 时, tan x ?
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?
当 x 从大于 2 (3)周期性: T ? ?

? k? ?k ? z ?



x? ??

?
2

? k?

?? ?? 。 时, tan x ?

(4)奇偶性: tan?? x ? ? ? tan x 奇函数。

? ? ? ? ? ? ? k? , ? k? ?k ? z 2 ? (5)单调性:在开区间 ? 2 内,函数单调递增。
二、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主要数学思想方法 有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、课后反思

第二课时 正切函数的诱导公式及例题讲评 一、教学思路 【创设情境,揭示课题】 同学们已经知道, 在正、 余弦函数中, 我们是先学诱导公式, 再学图像与性质的。 在学正切函数时,我们为什么要先学图像与性质,再学诱导公式呢? 【探究新知】 观察下图,角α与角 2π+α,2π-α,π+α,π-α,-α的正切函 y 数值有何关系?

3 ? ? 2

?? ? ? 2

0

? 2

?

3 x ? 2

我们可以归纳出以下公式:π-α, tan(2π+α)=tanα tan(-α)=-tanα tan(2π-α)=-tanα tan(π-α)=-tanα tan(π+α)=tanα 【巩固深化,发展思维】
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 例题讲评

2 例 1.若 tanα= 3 ,借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值。 2 解:∵tanα= 3 >0,∴α是第一象限或第三象限的角 2 (1)如果α是第一象限的角,则由 tanα= 3 可知,角α终边上必有一点 P(3,
2). 所以 x = 3 , y =2. ∵ r = |OP| = 13
3 13 13 . 2 13 y x (2) 如果α是第三象限角,同理可得:sinα= r =- 13 , cosα= r = 3 13 - 13 . 2 13 y x ∴ sin α= r = 13 , cos α= r =

tan?2? ? ? ? tan?3? ? ? ? 例 2.化简: tan?? ? ? ? ? tan?3? ? ? ? tan?? ? ? ? ?

?? tan? ? tan? ?? ? ? ? ?t an ?t an ?? ? ? ??t a n ?? ? ? ??? t a n ?? ? ? ?? = tan? ?? tan? ??? tan? ? = - 解 : 原 式 = ?? t a n
1 t an ?.
2.学生课堂练习 教材 P45 的练习 1、2、3、4 二、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主要数学思想方法 有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、布臵作业:P45 习题 A 组 1—11 四、课后反思

§7

函数 y=Asin(ωx+φ)的性质(1 课时)
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 洋浦实验中学 吴永和 教学目标: 知识与技能 (1)进一步理解表达式 y=Asin(ωx+φ),掌握 A、φ、ωx+φ的含义; (2) 熟练掌握由 y ? sin x 的图象得到函数 y ? A sin(?x ? ?) ? k ( x ? R) 的图象的方法; (3)会由函数 y=Asin(ωx+φ)的图像讨论其性质; (4)能解决一些综合性的 问题。 过程与方法 通过具体例题和学生练习,使学生能正确作出函数 y=Asin(ωx+φ)的图像; 并根据图像求解关系性质的问题;讲解例题,总结方法,巩固练习。 情感态度与价值观 通过本节的学习,渗透数形结合的思想;通过学生的亲身实践,引发学生学习兴 趣; 创设问题情景, 激发学生分析、 探求的学习态度; 让学生感受数学的严谨性, 培养学生逻辑思维的缜密性。 二、教学重、难点 重点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图像,函数 y=Asin(ωx+φ)的性质。 难点: 各种性质的应用。 三、学法与教学用具 在前面,我们讨论了正弦、余弦、正切函数的性质,如:定义域、值域、最值、 周期性、单调性和奇偶性,那么,对于函数 y=Asin(ωx+φ)的性质会是什么 样的呢?今天我们这一节课就研究这个问题。 教学用具:投影机、三角板 四、教学思路 【创设情境,揭示课题】 函数 y=Asin(ωx+φ)的性质问题,是三角函数中的重要问题,是高中数学的 重点内容,也是高考的热点,因为,函数 y=Asin(ωx+φ)在我们的实际生活 中可以找到很多模型,与我们的生活息息相关。 【探究新知】 复习提问: (1)如何由 y ? sin x 的图象得到函数 y ? A sin(?x ? ?) 的图象? (2)如何用五点法作 y ? A sin(?x ? ?) 的图象? (3) A、?、? 对函数 y ? A sin(?x ? ?) 图象的影响作用 函数 y ? A sin(?x ? ?), x ? ?0,??), (其中A ? 0, ? ? 0) 的物理意义: 函数表示一个振动量时: A:这个量振动时离开平衡位臵的最大距离,称为“振幅” T:
T ? 2? ? 往复振动一次所需的时间,称为“周期” 1 ? ? T 2? 单位时间内往返振动的次数,称为“频率”
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f:

f ?

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?x ? ? :称为相位

? :x = 0 时的相位,称为“初相”
? y ? A sin( ?x ? ?), ( A ? 0, ? ? 0, | ? |? ) 2 的最小值是?2,其图象最 例一.函数

高点与最低点横坐标差是 3?,又:图象过点(0,1),求函数解析式。

T ? 3? 解:易知:A = 2 半周期 2
1 y ? 2 sin( x ? ?) 3 设:

2? ? 6? ∴T = 6? 即 ?

从而:

??

1 3

令x = 0
? 6

有 2 sin ? ? 1

又:

| ? |?

? 2



??

1 ? y ? 2 sin( x ? ) 3 6 ∴所求函数解析式为

? 例二.函数 f (x)的横坐标伸长为原来的 2 倍,再向左平移 2 个单位所得的曲线
y? 1 sin x 2 的图像,试求 y ? f ( x) 的解析式。 y? 1 1 ? ? sin x y ? sin( x ? ) 2 2 2 的图像向右平移 2 个单位得:



解:将

1 1 1 y ? ? cos x y ? ? cos 2 x 2 2 即 的图像再将横坐标压缩到原来的 2 得: 1 y ? f ( x ) ? ? cos 2 x 2 ∴

例三.求下列函数的最大值、最小值,以及达到最大值、最小值时 x 的集合。 (1)y=sinx-2

4 1 (2)y= 3 sin 2 x

1 ? (3)y= 2 cos(3x+ 4 )

? 解: (1)当 x=2kπ+ 2 (k∈Z)时,sinx 取最大值 1,此时函数 y=sinx-2 取
最大值-1;

3? 当 x=2kπ+ 2 (k∈Z)时,sinx 取最小值-1,此时函数 y=sinx-2 取最小值
-3;
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 (2) 、 (3)略,见教材 P59

1 ? 例四. (1)求函数 y=2sin( 2 x- 3 )的递增区间;
1 5? (2)求函数 y= 3 cos(4x+ 6 )的递减区间。
解:略,见教材 P60 【巩固深化,发展思维】 学生课堂练习:教材 P60 练习 3 五、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到主要数学思想方法 有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 六、布臵作业: 习题 1-7 第 4,5,6 题. 七、课后反思

§7 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象(2 课时) 洋浦实验中学 吴永和 教学目标: 知识与技能 (1)熟练掌握五点作图法的实质; (2)理解表达式 y=Asin(ωx+φ),掌握 A、 φ、ωx+φ的含义; (3)理解振幅变换和周期变换的规律,会对函数 y=sinx 进行振幅和周期的变换; (4)会利用平移、伸缩变换方法,作函数 y=Asin(ωx +φ)的图像; (5)能利用相位变换画出函数的图像。 过程与方法 通过学生自己动手画图像,使他们知道列表、描点、连线是作图的基本要求;通 过在同一个坐标平面内对比相关的几个函数图像,发现规律,总结提练,加以应 用;要求学生能利用五点作图法,正确作出函数 y=Asin(ωx+φ)的图像;讲 解例题,总结方法,巩固练习。 情感态度与价值观 通过本节的学习,渗透数形结合的思想;树立运动变化观点,学会运用运动变化 的观点认识事物;通过学生的亲身实践,引发学生学习兴趣;创设问题情景,激 发学生分析、探求的学习态度;让学生感受图形的对称美、运动美,培养学生对 美的追求。 二、教学重、难点 重点: 相位变换的有关概念,五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图像 难点: 相位变换画函数图像,用图像变换的方法画 y=Asin(ωx+φ)的图像 三、学法与教学用具 在前面,我们知道精确度要求不高时,可以用五点作图法,是哪五个关键点;首 先请同学们回忆, 然后通过物理学中的几个情境引入课题; 主要让学生动手实践, 两节课尽可能多地让他们画图,教师只是加以点拨;可以从几个具体的、简单的
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 例子开始,在适当的时候加以推广;先分解各个小知识点,再综合在一起,上升 更高一层。 教学用具:投影机、三角板

第一课时 y=sinx 和 y=Asinx 的图像, y=sinx 和 y=sin(x+φ)的图 像 一、教学思路 【创设情境,揭示课题】 在物理和工程技术的许多问题中,经常会遇到形如 y=Asin(ωx+φ)的函数, 例如:在简谐振动中位移与时间表的函数关系就是形如 y=Asin(ωx+φ)的函 数。正因为此,我们要研究它的图像与性质,今天先来学习它的图像。 【探究新知】 例一.画出函数 y=2sinx 解:由于周期 T=2? x sinx 2sinx
1 2 sinx 1 x?R;y= 2 sinx

x?R 的图象(简图) 。 ∴不妨在[0,2?]上作图,列表: ? 1 2 0 0 0
1 -2

0 0 0 0
y=2sinx

? 2

3? 2

2? -1 -2 0 0 0

作图:

1 2

y 2 1 -1 O -21 ? ?2
2 1

y=sinx

y= 1 sinx
2

?

?

2? 2 ?

x

2 配套练习:函数 y= 3 sinx 的图像与函数 y=sinx 的图像有什么关系?
引导,观察,启发:与 y=sinx 的图象作比较,结论: 1.y=Asinx,x?R(A>0 且 A?1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标 伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍得到的。 2.若 A<0 可先作 y=-Asinx 的图象 ,再以 x 轴为对称轴翻折。 性质讨论:不变的有定义域、奇偶性、单调区间与单调性、周期性 变化的有值域、最值、 由上例和练习可以看出:在函数 y=Asinx(A>0)中,A 决定了函数的值域以及 函数的最大值和最小值,通常称 A 为振幅。

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? ? 例二.画出函数 y=sin(x+ 3 ) (x?R)和 y=sin(x? 4 ) (x?R)的图像(简图) 。
解:由于周期 T=2?
? x+ 3
? 2

∴不妨在[0,2?]上作图,列表:
3? 2

0
? ?3

?
2? 3

2?
5? 3

x
? sin(x+ 3

? 6

7? 6

0

1

0

-1

0

y=sinx

)

1 ? O ? ? ?1 3 ) y=sin(x+

2?

3?
y=sin(x-

4?
? ) 4

x

? 配套练习:函数 y=sin(x- 15 )的图像与函数 y=sinx 的图像有什么关系?
引导,观察,启发:与 y=sinx 的图象作比较,结论: y=sin(x+φ) ,x?R(φ?0)的图象可以看作把正数曲线上的所有点向左平移φ (φ>0)个单位或向右平移-φ个单位(φ<0=得到的。 性质讨论:不变的有定义域、值域、最值、周期 变化的有奇偶性、单调区间与单调性 由上例和练习可以看出:在函数 y=sin(x+φ) ,x?R(φ?0)中,φ决定了 x=0 时的函数,通常称φ为初相,x+φ为相位。 【巩固深化,发展思维】 课堂练习:P52 练习第 3 题 二、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到主要数学思想方法 有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、课后反思

第二课时 y=sinx 和 y=sinωx 的图像, y=sinx 和 y=Asin(ωx+φ)的 图像 一、教学思路 【创设情境,揭示课题】 上一节课,我们已过 y=sinx 和 y=Asinx 的图像,y=sinx 和 y=sin(x+φ)
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 的图像间的关系, 请与 y=Asin(ωx+φ)比较一下, 还有什么样的我们没作过? 【探究新知】 例一.画出函数 y=sin2x 解:∵函数 y=sin2x 周期 T=?
1 x?R;y=sin 2 x

x?R 的图象(简图) 。 ∴在[0, ?]上作图

t 令 t=2x 则 x= 2
列表: t=2x x sin2x 作图:

从而 sint=sin2x
? 2 ? 4
3? 2 3? 4

0 0 0

?
? 2

2? ? 0

1

0

-1
y=sin 1 x

1y O ? 1 y=sin2x
x 2 函数 y=sin

?

?

2?

2?

4?? 3? 4

2

x

y=sinx

周期 T=4?
x t= 2

∴在[0, 4?]上作图
? 2

列表 0 0 0 ? 2? 0
3? 2

2? 4? 0

x
x sin 2

? 1

3? -1

2 配套练习:函数 y=sin 3 x 的图像与函数 y=sinx 的图像有什么关系?
引导, 观察启发 与 y=sinx 的图象作比较,结论: 1.函数 y=sinωx, x?R (ω>0 且ω?1)的图象,可看作把正弦曲线上所有点的
1 ? 横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的 倍(纵坐标不变)

2.若ω<0 则可用诱导公式将符号“提出”再作图。 由上例和练习可以看出:在函数 y=sinωx, x?R (ω>0 且ω?1)中,ω决定了函

2? 1 ? 数的周期 T= ? ,通常称周期的倒数 f= T = 2? 为频率。

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? 例二.画出函数 y=3sin(2x+ 3 )

x?R 的图象。
? 2x+ 3
? 2
3? 2 7? 12

解:周期 T=?(五点法) ,设
? t=2x+ 3 则 x=

t?

3 ? t ?? 2 2 6

?

0
? ?6

?
? 3

2?
5? 6

x 3sin(2x+
? 3)

?
12

0

3

0

-3

0

y 1 ? ? ? ? 3 6O ?1
小结平移法过程(步骤)

y=sin(2x+ ? )
3

y=sin(x+ ? )
3

?

5? ? 6

3?

4?

x

作 y=sinx(长度为 2?的某闭区间) 沿 x 轴平 移|φ |个单位 得 y=sin(x+φ ) 横坐标伸 长或缩短 得 y=sin(ω x+φ ) 纵坐标伸 长或缩短 横坐标 伸长或缩短 得 y=sinω x 沿 x 轴平 移|

? |个单位 ?

得 y=sin(ω x+φ ) 纵坐标伸 长或缩短

得 y=Asin(ω x+φ )的图象,先在一 个周期闭区间上再扩充到 R 上。

两种方法殊途同归 【巩固深化,发展思维】 教材 P58 练习 1、2、3 二、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到主要数学思想方法 有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、布臵作业:教材 P62 习题 2、3、4
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 四、课后反思 §8 同角三角函数的关系(1 课时) 教学目标: 知识与技能 (1)能根据三角函数的定义,导出同角三角函数的基本关系; (2)能正确运用 进行三角函数式的求值运算; (3)能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函 数(式)的值,并从中了解一些三角运算的基本技巧; (4)运用同角三角函数的 基本关系式进行三角函数恒等式的证明。 过程与方法 回忆初中所学的几个三角函数之间的关系, 用高中所学的同角三角函数之间的关 系试着进行证明; 掌握几种同角三角函数关系的应用;掌握在具体应用中的一定 技巧和方法;理解并掌握同角三角关系的简单变形;提高学生恒等变形的能力, 提高分析问题和解决问题的能力。 情感态度与价值观 通过本节的学习, 使同学们加深理解基本关系在本章中的地位;认识事物间存在 的内在联系,使学生面对问题养成勤于思考的习惯;培养学生良好的学习方法, 进一步树立化归的数学思想方法。 二、教学重、难点 重点: 同角三角函数之间的基本关系,化简与证明。 难点: 化简与证明中的符号,同角三角函数关系的灵活运用。 三、学法与教学用具 在初中, 学生已经见过同角三角函数之间的关系,在高中就要求学生能对这些关 系进行证明,最主要的还是在于运用。主要有三方面的应用,即计算、化简、证 明。正因为这样,本节课通过例题讲评和学生练习的形式开展教学。 教学用具:投影机、三角板 四、教学思路 【创设情境,揭示课题】 同角三角函数之间的关系我们在初中就已经学过,只不过当时应用不是很多,那 么到底有哪些?它们成立的条件是什么?学习实践中, 你还发现了哪些关系?今 天这节课,我们就来讨论这些问题。 【探究新知】 在初中我们已经知道,对于同一个锐角α,存在关系式: sin ? ? tan ? 2 2 sin ? ? cos ? ? 1 cos ? 理论证明: (采用定义)
1? ? x 2 ? y 2 ? r 2 y x , cos? ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 r r ? sin ? y x y r y 2 ? 当? ? k? ? (k ? Z )时, ? ? ? ? ? ? tan? 2 cos? r r r x x 且 sin ? ?

注意:1?“同角”的概念与角的表达形式无关,

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? 2 ? tan ? ? 2 cos 2 sin

2 2 如: sin 3? ? cos 3? ? 1

2?上述关系(公式 2)都必须在定义域允许的范围内成立。 3?据此,由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角函数值,且因 为利用 “平方关系” 公式, 最终需求平方根, 会出现两解, 因此应尽可能少用 (实 际上,至多只要用一次) 。 【巩固深化,发展思维】 1.例题讲评

3 例 1.已知 sinα=- 5 ,且α在第三象限,求 cosα和 tanα.
解:∵ sin ? ? cos ? ? 1
2 2

3 16 ∴cos2α=1-sin2α=1-(- 5 )2= 25

又∵α在第三象限,cosα<0

4 sin ? 3 ∴cosα=- 5 ,tanα= cos? = 4

例 2.已知 cos? ? m (m ? 0, m ? ?1), 求?的其他三角函数值。 解:若?在第一、二象限,则

sin ? ? 1 ? m 2
若?在第三、四象限,则

tan? ?

1 ? m2 m

sin ? ? ? 1 ? m 2
2 ? 例 3.化简: 1 ? sin 440

tan? ? ?

1 ? m2 m

解:原式

? 1 ? sin 2 (360 ? ? 80 ? ) ? 1 ? sin 2 80 ? ? cos 2 80 ? ? cos 80 ?

cos ? 1 ? sin ? ? cos ? 例 4.求证: 1 ? sin ?

左边 ?

证一:
?

cos?(1 ? sin ?) cos?(1 ? sin ?) cos?(1 ? sin ?) ? ? (1 ? sin ?)(1 ? sin ?) 1 ? sin 2 ? cos2 ?

1 ? sin ? ? 右边 cos ?

? 等式成立

(利用平方关系)

2 2 证二:? (1 ? sin ?)(1 ? sin ?) ? 1 ? sin ? ? cos ?

且 1 ? sin ? ? 0, cos? ? 0
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? cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

(利用比例关系)

cos? 1 ? sin ? cos2 ? ? (1 ? sin ?)(1 ? sin ?) cos2 ? ? (1 ? sin 2 ?) ? ? ? ? cos? (1 ? sin ?) cos? (1 ? sin ?) cos? 证三: 1 ? sin ?
? cos2 ? ? cos2 ? ?0 (1 ? sin ?) cos?
? cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

(作差)

2.学生课堂练习 教材 P66 练习 1 和 P67 练习 2 五、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到主要数学思想方法 有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 六、布臵作业 教材 P68 习题中 1—6 七、课后反思

本章复习与小结(1 课时) 洋浦实验中学 吴永和 教学目标: 知识与技能 (1)了解本章的知识结构体系,在整体上有一个初步的认识; (2)加深对任意 角、弧度及三角函数的理解; (3)掌握三角函数的图像与性质,能利用性质进行 解题; (4)掌握一定的解题方法,形成较好的能力。 过程与方法 三角函数是一种重要的函数, 通过整理本章的各知识点以及它们之间的联系,帮 助学生系统地认识本章内容, 从而对本章内容有全面的认识,上升到更高一个水 平;启发学生将本章内容与数学 1、数学 2 的横向联系,形成知识的网络化。 情感态度与价值观 通过本节的复习, 使同学们对三角函数有一个全面的认识;以辩证唯物主义的观 点看待任何事,养成一种科学的态度;帮助学生树立正确的世界观和人生观,树 立远大理想,立志为国争光,为洋浦的开发建设贡献力量。 二、教学重、难点 重点: 三角函数定义,以及三角函数的图像与性质 难点: 本章内容的系统掌握与灵活运用 三、学法与教学用具 师生共同整理本章的知识结构体系,从角到角的度量,从三角函数的定义到它们 之间的关系,再到三角函数的图像与性质;整理本章出现的各种题目,从中理顺 它们的关系, 将它们适当归类, 提炼其中的方法, 争取做到举一反三、 触类旁通。 教学用具:投影仪、三角板
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 四、教学思路 【知识的初步整合】
同 角 三角 函 数的关系 诱导公式

任意角 的概念

角度制与 弧度制

任意角的三 角函数定义

三 角 函数 的 图像与性质

弧长与扇形 面积公式

【知识的概括与引申】 1.角是由射线的旋转所产生的,那么就有旋转量与旋转方向的问题,所以必须 推广到任意正角、负角和零角。为了使弧长公式在形式上变得简单,引进了弧度 制,这一度量单位不仅使弧长公式、扇形面积公式得以简化,也为定义任意角的 三角函数作好了准备。 2.同角三角函数的基本关系的作用是:已知某任意角的一种三角函数值,就能 求出另一种三角函数值。 3.诱导公式的作用是:把求任意角的三角函数值转化为求锐角三角函数值。 4.三角函数的图像和性质是本章的重要内容,是三角函数应用的基础。 【例题选讲】 例 1.求图中公路弯道处弧 AB 的长 l (精确到 1m) 图中长度单位为:m
R=45 60

解: ∵
l ? ? ?R ?

60 ? ?

?
3

?
3



? 45 ? 3.14 ? 15 ? 47 (m)

已知?是第三象限角且

cos

?
2

?0

? ,问 2 是第几象限角?
?
2

解:∵

(2k ? 1)? ? ? ? (2k ? 1)? ?

(k ? Z )



k? ?

?
2

?

?
2

? k? ?

3? 4

(k ? Z )

? 则 2 是第二或第四象限角

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又∵

cos

?
2

?0

? 则 2 是第二或第三象限角

? ∴ 2 必为第二象限角
sin ? ? 4 cos ? 及 sin 2 ? ? 2 sin ? cos ?的值。 sin ? ? 2 cos ? 5 sin ? ? 2 cos ? 例 3.已知 ,求

解:? sin ? ? 2 cos?
?

? tan? ? 2

sin ? ? 4 cos ? tan ? ? 4 ?2 1 ? ? ?? 5 sin ? ? 2 cos ? 5 tan ? ? 2 12 6

sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ?

sin 2 ? ? 2 sin ? cos? tan2 ? ? 2 tan? 4 ? 2 6 ? ? ? 4 ?1 5 sin 2 ? ? cos2 ? tan2 ? ? 1

?? ? y ? tan? 3x ? ? 3 ? 的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调 ? 例 4.函数
性。 解:由
3x ?

?
3

? k? ?

?
2得

x?

k? 5? ? 3 18 ,

k? 5? ? ? ? , k ? z? ? x | x ? R, 且x ? 3 18 ? ? 所求定义域为 ?

值域为 R,周期

T?

?
3 ,是非奇非偶函数。

? k? ? k? 5? ? ? , ? ? ??k ? z ? 在区间 ? 3 18 3 18 ? 上是增函数。

【随堂练习】 教材 P77 复习题一 A 组 1—11 【教学小结】 本章涉及到的主要数学思想方法有那些?你在这节课中的表现怎样?你的体会 是什么?【布臵作业】 教材 P77 复习题一 A 组 12—15 【课后反思】

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第二章 平面向量 2.1 从位移、速度、力到向量(1 课时) 一、教学目标: 1.知识与技能 (1)理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别; (2)理解向量的实际背景与基本概念,理解向量的几何表示,并体会学科之间 的联系. (3)通过教师指导发现知识结论,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力 2.过程与方法 通过力与力的分析等实例, 引导学生了解向量的实际背景,帮助学生理解平面向 量与向量相等的含义以及向量的几何表示;最后通过讲解例题,指导学生能够发 现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题. 3.情感态度价值观 通过本节的学习,使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识; 激发学生学习数学的兴趣和积极性, 陶冶学生的情操, 培养学生坚忍不拔的意志, 实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神. 二.教学重、难点 重点: 向量及向量的有关概念、表示方法. 难点: 向量及向量的有关概念、表示方法. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主性学习+探究式学习法: (2)反馈练习法: 以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的 差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情境】 实例:老鼠由 A 向西北逃窜,猫在 B 处向东追去, 问:猫能否追到老鼠?(画图) 结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了. 【探究新知】 A B 1.学生阅读教材思考如下问题 [展示投影](学生先讲,教师提示或适当补充) 1. 举例说明什么是向量?向量与数量有何区别? 既有大小又有方向的量叫向量。例:力、速度、加速度、冲量等 注意:①数量与向量的区别: 数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向, 大小,双重性,不能比较大小。 ②从 19 世纪末到 20 世纪初, 向量就成为一套优良通性的数学体系,用以研究空 间性质。 2.向量的表示方法有哪些? a B ①几何表示法:有向线段 (终点)
A(起点)
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段。记作: AB 注意:起点一定写在终点的前面。
? ?? ? ??

有向线段的长度:线段 AB 的长度也叫做有向线段 AB 的长度 有向线段的三要素:起点、方向、长度 ②字母表示法:也可用字母 a、b、c(黑体字)来表示,即 AB 可表示为 a (印 刷时用黑体字) 3. 向量的模的概念是如何定义的? 向量 AB 的大小——长度称为向量的模。 记作:| AB | 模是可以比较大小的 4.两个特殊的向量: ①零向量——长度(模)为 0 的向量,记作 0 。 0 的方向是任意的. 注意 0 与 0 的区别 ②单位向量——长度(模)为 1 个单位长度的向量叫做单位向量。 思考:①温度有零上零下之分, “温度”是否向量? 答:不是。因为零上零下也只是大小之分。 ② AB 与 BA 是否同一向量? 答:不是同一向量。 ③有几个单位向量?单位向量的大小是否相等?单位向量是否都相等? 答:有无数个单位向量,单位向量大小相等,单位向量不一定相等。 5.向量间的关系: 平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作: a ∥ b ∥ c 规定: 0 与任一向量平行 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作: a = b 规定: 0 = 0 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示,与起点无关。 共线向量:任一组平行向量都可移到同一条直线上 , 所以平行向量也叫共线向量。
a b c
? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??

C

O

B

A

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? ??

OA = a

? ??

OB = b

OC = c
? ??

? ??

[展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 例题:如图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,①分别写出图中与向量 OA 、
? ??

OB 、 OC 相等的向量;②分别写出图中与向量 OD 、 OE 、 OE 共线的向量.
B O C F A

? ??

? ??

? ??

? ??

D

E

[学习小结](学生总结,其它学生补充) ①向量及其表示方法. ②向量的模. ③零向量与单位向量(零向量的方向任意;单位向量不一定相等) ④相等向量与平行向量. 五.作业:P86 习题 2—1 六. 课后反思

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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 2.2 从位移的合成到向量的加法(2 课时) 一、教学目标: 1.知识与技能 (1)掌握向量加法的概念;能熟练运用三角形法则和平行四边形法则做几个向 量的和向量; 能准确表述向量加法的交换律和结合律,并能熟练运用它们进行向 量计算. (2)了解相反向量的概念;掌握向量的减法,会作两个向量的减向量 (3)通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义. (4)初步体会数形结合在向量解题中的应用. 2.过程与方法 教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法, 一方面启发我们利用位移的合 成去探索两个向量的和, 另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法. 然 后用“相反向量”定义向量的减法;最后通过讲解例题,指导发现知识结论,培 养学生抽象概括能力和逻辑思维能力. 3.情感态度价值观 通过本节内容的学习, 使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了 一定的认识, 进一步让学生理解和领悟数形结合的思想;同时以较熟悉的物理背 景去理解向量的加法, 这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性,实事求是 的科学学习态度和勇于创新的精神. 二.教学重、难点 重点: 向量加法的概念和向量加法的法则及运算律. 难点: 向量的减法转化为加法的运算. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主性学习+探究式学习法: (2)反馈练习法: 以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的 差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情境】 提出课题:向量是否能进行运算? 某人从 A 到 B,再从 B 按原方向到 C, 则两次的位移和: AB + BC = AC 若上题改为从 A 到 B,再从 B 按反方向到 C, 则两次的位移和: AB + BC = AC 某车从 A 到 B,再从 B 改变方向到 C, 则两次的位移和: AB + BC = AC 船速为 AB ,水速为 BC , 则两速度和: AB + BC = AC
? ?? ? ?? ? ?? ? ??

? ??

? ??

A

B

C

? ??

? ??

C A

B C

? ??

? ??

A

B C

? ??

? ??

A
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B
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 提出课题:向量的加法 【探究新知】 1.定义:求两个向量的和的运算,叫做向量的加法。 注意:两个向量的和仍旧是向量(简称和向量) 2.三角形法则:
a a C a+b A b a A B

a b

b

a+b C C

a+b A B

强调: B ① “向量平移” (自由向量) :使前一个向量的终点为后一个向量的起点 ②可以推广到 n 个向量连加 ③a?0 ? 0?a ? a ④不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 [展示投影]例题讲评(学生讲,学生评,教师提示或适当补充) 例 1、已知向量 a 、 b ,求作向量 a + b 作法:在平面内取一点, 作 OA ? a
? ?? ? ?? ? ? ?? ?

O b a b

a

A b a

AB ? b

则 OB ? a ? b

?

?

【探究新知】 3.加法的交换律和平行四边形法则 思考:上题中 b + a 的结果与 a + b 是否相同 从而得到:1?向量加法的平行四边形法则 2?向量加法的交换律: a + b = b + a 验证结果相同

B

4.向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c )(可请学生先上来做,不足之处 学生更正) 证:如图:使 AB ? a , BC ? b , CD ? c 则( a + b ) + c = AC ? CD ? AD
a + ( b + c ) = AB ? BD ? AD
? ?? ? ?? ? ??

D
? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?

? ??

? ??

? ??

a+b+c

b+c a+b

c C b

A a

∴( a + b ) + c = a + ( b + c )

B

从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 [展示投影]例题讲评(学生讲,学生评,教师提示或适当补充) 例 2.如图,一艘船从 A 点出发以 2 3km / h 的速度向垂直于对 岸的方向行驶,同时水的流速为 2km / h ,求船实际航行的速度 的大小与方向。 解:设 AD 表示船垂直于对岸的速度, AB 表示水流的速度, 以 AD,AB 为邻边作平行四边形 ABCD,则 AC 就是船实际航行的 速度 在 Rt ?ABC 中, | AB |? 2 , | BC |? 2 3
2 2 所以 | AC |? | AB | ? | BC | ? 4 ? ?? ? ?? ? ??
? ?? ? ??
? ??
? ?? ? ??

因为

tan?CAB ?

2 3 ? 3 ? ?CBA ? 60? 2

【探究新知】 ? ? ? ? 思考:已知 a , b ,怎样求作 a ? b ? 这个问题涉及到两个向量相减,到底如何运算呢?首先引入“相反向量”这个概 念. 5.用“相反向量”定义向量的减法 ①“相反向量”的定义:与 a 长度相同、方向相反的向量;记作 ?a ②规定:零向量的相反向量仍是零向量。?(?a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (?a) = 0 如果 a、b 互为相反向量,则 a = ?b, b = ?a, a + b = 0 ③向量减法的定义:向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差。 即:a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 6.用加法的逆运算定义向量的减法: 向量的减法是向量加法的逆运算: 若 b + x = a,则 x 叫做 a 与 b 的差,记作 a ? b 7.请同学们自己解决思考题: ? ? a ? b 的作法: ? ? 方法一、已知向量 a 、 b ,在平面内任 取 一 点 O , 作 OA ? a, OB ? b , 则 ? ? ? ?? ? ? BA ? a ? b 。即 a ? b 可以表示为从向量 ? ? b 的终点指向向量 a 的终点的向量
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? ?? ? ? ?? ?

北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 方法二、在平面内任取一点 O,作 OA ? a, OB ? b 则 AB ? a ? b 。即 a ? b 也可以 ? ? a b 表示为从向量 的起点指向向量 的起点的向量. 方法三、在平面内任取一点 O,作 OA ? a , OB ? ? b ,则由向量加法的平行四边 形法则可得 OC ? a ? (? b ) ? a ? b . [展示投影]思考与讨论: ? ? ? ? 思考:从向量 a 的终点指向向量 b 的终点的向量是什么?( b ? a ) ? ? ? ? 讨论:如右图, a ∥ b 时,怎样作出 a ? b 呢?
? ??

? ??

? ? ??

?

? ??

?

?

?

?

? ??

? ? ??

?

?

?

?

?

[展示投影]例题讲评(学生讲,学生评,教师提示或适当补充) 例 3.已知向量 a、b、c、d,求作向量 a?b、c?d。 解:在平面上取一点 O,作 OA = a, OB = b, OC = c, OD = d, 作 BA , DC , 则 BA = a?b,
? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

DC = c?d
A a b d c O C B D

? ??

? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? a AC b a b AB AD DB 例 4.平行四边形中, = , = ,用 、 表示向量 , . D 解:由平行四边形法则得:
? ??

C

? ??

AC = a + b, DB = AB - AD = a?b

? ??

? ??

? ??

A

B

变式一:当 a, b 满足什么条件时,a+b 与 a?b 垂直?(|a| = |b|) 变式二:当 a, b 满足什么条件时,|a+b| = |a?b|?(a, b 互相垂直) 变式三:a+b 与 a?b 可能是相当向量吗?(不可能,∵ 对角线方向不同) 例 5.试用向量方法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形。
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 证:由向量加法法则:
? ??

D
? ?? ? ??

C O

AB = AO + OB ,
? ?? ? ??

? ??

? ??

DC = DO + OC
? ??

? ??

由已知: AO = OC ,
? ??

OB = DO

? ??

A

B

∴ AB = DC 即 AB 与 CD 平行且相等 ∴ABCD 为平行四边形 [学习小结](学生总结,其它学生补充) ①向量加法的三角形法则与平行四边形法则. ②向量加法运算律. ③相反向量及向量减法的运算法则. 五、评价设计 1.作业:习题 2.2 A 组第 1、2、3、4、5、6 题. 2. (备选题) : ①证明:对于任意给定的向量 a.b 都有 ②证明:
a ? b ? a?b ? a ? b

? ??

a?b ? a ? b

并说明什么时候取等号?

? ? 提示:可用例 5 的图当 a 、 b 不共线时,由三角形两边之和大于第三边,而两边

之差小于第三边得

a ? b ? AC ? AB ? BC ? a ? b
a ? b ? a?b ? a ? b



a ? b ? AC ? AB ? BC ? a ? b



六、课后反思:

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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 2.3 从速度的倍数到数乘向量(2 课时) 一、教学目标: 1.知识与技能 (1)要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义. (2)了解数乘运算的运算律,理解向量共线的充要条件。 (3)要求学生掌握平面向量的基本定理,能用两个不共线向量表示一个向量; 或一个向量分解为两个向量。 (4)通过练习使学生对实数与积,两个向量共线的充要条件,平面向量的基本 定理有更深刻的理解,并能用来解决一些简单的几何问题。 2.过程与方法: 教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积(强调:1. “模”与“方向” 两点) 2.三个运算定律(结合律,第一分配律,第二分配律) ) ,在此基础上得 到数乘运算的几何意义; 通过正交分解得到平面向量基本定理(定理的本身及其 实质) 。为了帮助学生消化和巩固相应的知识,教材设臵了几个例题;通过讲解 例题,指导发现知识结论,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力. 3.情感态度价值观 通过本节内容的学习, 使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深 的认识, 让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了,这样有助于激发学 生学习数学的兴趣和积极性,有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神. 二.教学重、难点 重点: 1. 实数与向量积的定义及几何意义. 2.平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示 难点: 1. 实数与向量积的几何意义的理解. 2. 平面向量基本定理的理解. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主性学习+探究式学习法: (2)反馈练习法: 以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的 差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】 ? ? ? ? ? ? ? 1. 思考: (引入新课) 已知非零向量 a 作出 a + a + a 和(? a )+(? a )+(? a )

? a

? a
O N
? ??

? a
M Q

? a

? ?a
? ??

A B ? ? ? ?a ?a ?a

C P

? ? ? ? OC = OA ? AB ? BC = a + a + a =3 a
? ??

? ??

? ??

? ? ? ? PN = PQ? QM ? MN =(? a )+(? a )+(? a )=?3 a
? ? ? ? 讨论:① 3 a 与 a 方向相同且|3 a |=3| a | ? ? ? ? ② ?3 a 与 a 方向相反且|?3 a |=3| a |
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案
? ? 2.从而提出课题:实数与向量的积;实数λ与向量 a 的积,记作:λ a ? ? 定义:实数λ与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a ? ? ①|λ a |=|λ|| a | ? ? ? ? ? ②λ>0 时λ a 与 a 方向相同;λ<0 时λ a 与 a 方向相反;λ=0 时λ a = 0 (请学

生自己解释其几何意义) [展示投影]例题讲评(学生先做,学生评,教师提示或适当补充) 例 1.(见 P96 例 1)略 [展示投影] 思考: 根据几何意义,你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律 (证明的过程可根据学生的实际水平决定) ? ? 结合律:λ(μ a )=(λμ) a ①
? ? ? 第一分配律:(λ+μ) a =λ a +μ a

② ③

? ? ? ? 第二分配律:λ( a + b )=λ a +λ b
结合律证明:

? 如果λ=0,μ=0, a = 0 至少有一个成立,则①式成立 ? ? ? ? 如果λ?0,μ?0, a ? 0 有:|λ(μ a )|=|λ||μ a |=|λ||μ|| a | ? ? ? |(λμ) a |=|λμ|| a |=|λ||μ|| a |
? ? ∴|λ(μ a )|=|(λμ) a | ? 如果λ、μ同号,则①式两端向量的方向都与 a 同向; ? 如果λ、μ异号,则①式两端向量的方向都与 a 反向。 ? ? 从而λ(μ a )=(λμ) a

第一分配律证明:
? 如果λ=0,μ=0, a = 0 至少有一个成立,则②式显然成立 ? 如果λ?0,μ?0, a ? 0 ? ? 当λ、μ同号时,则λ a 和μ a 同向, ? ? ? ∴|(λ+μ) a |=|λ+μ|| a |=(|λ|+|μ|)| a |

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? ? ? ? ? ? ? |λ a +μ a |=|λ a |+|μ a |=|λ|| a |+|μ|| a |=(|λ|+|μ|)| a | ? ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与 a 同向 ? ? ? 即:|(λ+μ) a |=|λ a +μ a | ? 当λ、μ异号,当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λ a 同向 ? 当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μ a 同向 ? ? ? 还可证:|(λ+μ) a |=|λ a +μ a |

∴②式成立 第二分配律证明: ? ? a b 0 如果 = , = 0 中至少有一个成立,或λ=0,λ=1 则③式显然成立 ? ? a b 0 当 ? , ? 0 且λ?0,λ?1 时 1?当λ>0 且λ?1 时在平面内任取一点 O, ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? OA A a a AB = b 1 =λ 1 B1 =λ b 作 OA = ? ?? ? ?? ? ? ? ? OB a OB b 1 ? λ a +λ b 则 = + 由作法知: AB ∥ A1 B1 有?OAB=?OA1B1
| OA1 |
? ?? ? ??
? ??

B1

B

O
? ??

A

A1

? ??

| AB |=λ| A1 B1 |

? ??

?

| A1 B1 | | AB |
? ??

? ??

?

∴ | OA |

λ

∴△OAB∽△OA1B1

| OB1 |

? ?? ? ??

?

∴ | OB |

λ ?AOB=? A1OB1
? ??
? ??

因此,O,B,B1 在同一直线上,| OB1 |=|λ OB | ? ? ? ? a a b b λ( + )=λ +λ ? ? ? ? 当λ<0 时 可类似证明:λ( a + b )=λ a +λ b ∴ ③式成立

OB1 与λ OB 方向也相同
B A1 O B1 A

? ??

? ??

【探究新知】 (师生共同分析向量共线的充要条件) ? ? ? ? ? ? 若有向量 a ( a ? 0 )、b , 实数λ, 使 b =λ a 则由实数与向量积的定义知:a 与
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? b 为共线向量

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 若 a 与 b 共线( a ? 0 )且| b |:| a |=μ,则当 a 与 b 同向时 b =μ a ;当 a 与 b 反向 ? ? b 时 =?μ a ? ? 从而得:向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使 ? ? b =λ a .

[展示投影]例题讲评(师生共同分析,学生动手做) 例 2. (见 P97 例 2)略 例 3.(P97 例 3 改编)如图: OA , OB 不共线,P 点在 AB 上,求证:存在实数
? ?? ? ??

?.?且? ? ? ? 1
使 OP ? ? OA ? ? OB
? ?? ? ?? ? ??

P B A

O (证明过程与 P97 例 3 完全类似;略) 思考:由本例你想到了什么?(用向量证明三点共线) 【巩固深化,加强基础】 1.见 P98 练习 1、2、3、4 题.
? ?? ? ??
? ?? ? ??

2.如例 3 图, OA , OB 不共线, AP =t AB (t?R)用 OA , OB 表示 OP . 【探究新知、展示投影】 1.思考: ①.是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量?且分解是唯一? ②.对于平面上两个不共线向量 e1 , e2 是不是平面上的所有向量都可以用它们 来表示? 2.教师引导学生分析
? 设 e1 , e2 是不共线向量, a 是平面内任一向量
M M

? ??

? ??

? ??

e1
OA = e1 OB = e2

a

e2

C M

OM =λ1 e1
ON =λ2 e2

?O N B OC = a = OM + ON = λ1 e1 +λ2 e2

得平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于
? ? 这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数λ1,λ2 使 a =λ1 e1 +λ2 e2 .

[注意几个问题]:
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 ① e1 、 e2 必须不共线,且它是这一平面内所有向量的一组基底. ② 这个定理也叫共面向量定理. ? ③λ1,λ2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量. ④同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合. [展示投影]例题讲评(教师可从中选择几个例题让学生先做,学生评讲,教师提 示或适当补充; ) 例 4.1kg 的重物在两根细绳的支持下,处于平衡状态(如图) ,已知两细绳与水 平线分别成 30?, 60?角,问两细绳各受到多大的力? 解:将重力在两根细绳方向上分解,两细绳间夹角为 90?
| OP | =1 (kg)
? ??

?P1OP=60?

?P2OP=30? (kg)
30? 60? P1

1 ? ?? ? ?? | OP | | OP | 1 = ∴ cos60?=1? 2 =0.5
3 ? ?? ? ?? | OP2 | = | OP | cos30?=1? 2 =0.87

(kg)
P2 P
? ??

即两根细绳上承受的拉力分别为 0.5 kg 和 0.87 kg 例 5.如图 ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? a MC b MB MA MD 用 , 表示 , , 和 解:在 ABCD 中 ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ∵ AC = AB + AD = a + b
? ?? ? ?? ? ?? ? ? DB = AB ? AD = a ? b

? ?? ? ? a b AB AD ABCD 的两条对角线交于点 M,且 = , = ,

D b A M B M

C M

a

1 ? 1 1 1 ? ?? ? ? ? ∴ MA =? 2 AC =? 2 ( a + b )=? 2 a ? 2 b
? ??

1 1 1 1 ? ? ? ? MB = 2 DB = 2 ( a ? b )= 2 a ? 2 b
? ??

1 1 1 ? ? MC = 2 AC = 2 a + 2 b
? ??

1 1 1 ? ? ?? ? MD =? MB =? 2 DB =? 2 a + 2 b
? ?? ? ??

?? ? ? ?? ? ? 例 6. 如图,在△ABC 中, AB = a , BC = b ,AD 为边 BC 的中线,G 为△ABC 的重

心,求向量 AG
A a B M b D C M
?? ? ? ? a BC b AB 解法 1:∵ = , =
? ??

1 ? 1 ? ?? 则 BD = 2 BC = 2 b
? ??

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1 ? ? 2 ?? ? ?? ? a AG b AD AB BD AD 2 3 ∴ = + = + 而 =
? ?? ? ?? ? ??

1 ? 2 ? 3b ∴ AG = 3 a +A
? ??

B M
? ??

a E G M b M D

F M C M

解法 2:过 G 作 BC 的平行线,交 AB、AC 于 E、F
? ??

∵△AEF∽△ABC
? ??


? ??

2 2 ? ?? ? AE = 3 AB = 3 a
? ??

2 ? 2 ? ?? EF = 3 BC = 3 b

1 ? 1 ? ?? EG = 2 EF = 3 b

1 ? 2 ? ∴ AG = AE + EG = 3 a + 3 b
? ?? ? ??

例 7 . 设 e1 , e2 是 两 个 不 共 线 向 量 , 已 知 AB =2 e1 +k e2 ,
CD =2 e1 ? e2 , 若三点 A, B, D 共线,求 k 的值.
? ??

? ??

CB = e1 +3 e2 ,

解: BD = CD ? CB =(2 e1 ? e2 )?( e1 +3 e2 )= e1 ?4 e2 ∵A, B, D 共线 ∴ AB , BD 共线
? ?? ? ??

? ??

? ??

? ??

∴存在λ使 AB =λ BD

? ??

? ??

即 2 e1 +k e2 =λ( e1 ?4 e2 ) 【巩固深化,发展思维】 1.在 2.已知

? 2?? ? ∴ ?k ? ?4?

∴k=?8

? ?? ? ? ?? ? ? ? ABCD 中,设对角线 AC = a , BD = b 试用 a , b 表示 AB , BC ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E,O 是任意一点, ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??

求证: OA + OB + OC + OD =4 OE . 3.见 P100 练习 1、2 题. [学习小结](学生总结,其它学生补充) ①数乘向量的几何意义理解. ? ? ? ? a b b ②向量 与非零向量 共线的条件是:有且只有一个非零实数λ,使 =λ a . ③平面向量基本定理的理解及注意的问题. 五、评价设计 1.作业:习题 2.3 A 组第 4、5、6、7 题. 2.(备选题)如图,已知梯形 ABCD 中,AB∥CD 且 AB=2CD,M, N 分别是 DC, AB ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ? ? 中点,设 AD = a , AB = b ,试以 a , b 为基底表示 DC , BC , MN

1 1 ? ? ?? 解: DC = 2 AB = 2 b
? ??

连 ND 则 DC╩ND

D

N M O M M

C M
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A

B M

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1 ? ? ∴ BC = ND = AD ? AN = a ? 2 b
? ?? ? ??
? ??

? ??

1 ? 1 ? ?? 又∵ DM = 2 DC = 4 b
? ??

∴ MN = DN ? DM = CB ? DM =? BC ? DM

? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

1 ? 1 ? 1 ? ? ? =(? a + 2 b )? 4 b = 4 b ? a
3.体会向量在平面几何中的应用. 六、课后反思:

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2.4 平面向量的坐标(2 课时) 一、教学目标: 1.知识与技能 (1)掌握平面向量正交分解及其坐标表示. (2)会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算. (3)理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 2.过程与方法 教材利用正交分解引出向量的坐标, 在此基础上得到平面向量线性运算的坐标表 示及向量平行的坐标表示;最后通过讲解例题,巩固知识结论,培养学生应用能 力. 3.情感态度价值观 通过本节内容的学习, 使同学们对认识到在全体有序实数对与坐标平面内的所有 向量之间可以建立一一对应关系(即点或向量都可以看作有序实数对的直观形 象) ;让学生领悟到数形结合的思想;培养学生勇于创新的精神. 二.教学重、难点 重点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示. 难点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主性学习+探究式学习法: (2)反馈练习法: 以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的 差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情境】 ? a =λ1 e1 +λ2 e2 (回忆)平面向量的基本定理(基底) 其实质:同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合. 【探究新知】 (一) 、平面向量的坐标表示 1.在坐标系下,平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示 思考:在坐标系下,向量是否可以用坐标来表示呢? 取 x 轴、 y 轴上两个单位向量 i , j 作基底,则平面内作一向量 a ? xi ? y j ? ? 记作: a =(x, y) 称作向量 a 的坐标
y A c
? ?? O ?? ?? ? ? ? ? ? 2i ? 2 j =(2, 2) b = OB = 2i ? j =(2, ?1) a 如: a OA = = b

? 5 j =(1, ?5) i =(1, 0) j =(0, 1) 0 =(0, 0) c = OC = iB
C
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x

北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 由以上例子让学生讨论: ①向量的坐标与什么点的坐标有关? ②每一平面向量的坐标表示是否唯一的? ③两个向量相等的条件是?(两个向量坐标相等) [展示投影]思考与交流: 直接由学生讨论回答: ? ? ? ? ? ? b (x2, y2) 思考 1. (1)已知 a (x1, y1) 求 a + b , a ? b 的坐标
? (2)已知 a (x, y)和实数λ, ? 求λ a 的坐标

? ? 解: a + b =(x1 i +y1 j )+(x2 i +y2 j )=(x1+ x2) i + (y1+y2) j ? ? a 即: + b =(x1+ x2,y1+y2) ? ? a 同理: ? b =(x1?x2, y1?y2) ? λ a =λ(x i +y j )=λx i +λy j ? ∴λ a =(λx, λy)

结论:①.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. ②.实数与向量的积的坐标,等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。 思考 2.已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 你觉得 AB 的坐标与 A、B 点的坐标有什么关系?
y A(x1, y1) ∵ AB = OB ? OA =( x2, y2) ? (x1,y1) = (x2? x1, y2? y1) 结论:③.一个向量的坐标等于表示此向量的有向 O 线段终点的坐标减去始点的坐标。 [展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 例 1.(教材 P104 例 2) 例 2. (教材 P104 例 3)
? ??
? ??

? ??

? ??

B(x2, y2) x

例 3.已知三个力 F1 (3, 4), 求 F3 的坐标. 解:由题设 F1 + F2 + F3 = 0

F2 (2, ?5), F3 (x, y)的合力 F1 + F2 + F3 = 0

得:(3, 4)+ (2, ?5)+(x, y)=(0, 0) ∴ F3 (?5,1)

?3 ? 2 ? x ? 0 ? 即: ?4 ? 5 ? y ? 0

? x ? ?5 ? ∴? y ?1

例 4.已知平面上三点的坐标分别为 A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4),求点 D 的坐 标使这四点构成平行四边形四个顶点。 y 解:当平行四边形为 ABCD 时, D2
C
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B D1 A

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D

O

x

北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 仿例 2 得:D1=(2, 2) 当平行四边形为 ACDB 时, 仿例 2 得:D2=(4, 6) 当平行四边形为 DACB 时, 仿例 2 得:D3=(?6, 0) 【巩固深化,发展思维】 1.若 M(3, -2) N(-5, -1) 且
MP ?
? ??

1 ? ?? 2 MN ,

求 P 点的坐标;

1 1 解:设 P(x, y) 则(x-3, y+2)= 2 (-8, 1)=(-4, 2 )
4 ? ?x ? 3 ? ? 1 ?y?2? ? 2 ? ? ? x ? ?1 ?y ? ? 3 ? 2 ∴?

3 ∴P 点坐标为(-1, - 2 )
? ??

2.若 A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则 AB ?2 BC =(-3,-3) 3.已知:四点 A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求证:四边形 ABCD 是梯形。 解:∵ AB =(-2, 3)
? ?? ? ??

? ??

DC =(-4, 6)
? ??

? ??

∴ AB =2 DC

? ??

? ??

∴ AB ∥ DC 且 | AB |?| DC | 【探究新知】 [展示投影]思考与交流:

? ??

? ??

∴四边形 ABCD 是梯形

? ? 思考:共线向量的条件是有且只有一个实数λ使得 b =λ a ,那么这个条件如何

用坐标来表示呢? 设 a ? ( x1 , y1 ),b ? ( x2 , y2 ) 其中 b ? 0

? x ? ?x2 ?? 1 ? y1 ? ?y2 由 a ? ? b 得 ( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 )
消去λ: x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 ∵ b ? 0 ∴ x 2 , y 2 中至少有一个不为 0 ? ? a b 结论: ∥ ( b ? 0 )用坐标表示为 x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 注意: ①消去λ时不能两式相除
y1 y 2 ? x x2 1 ②这个条件不能写成

∵y1, y2 有可能为 0.

∵ x1 , x 2 有可能为 0.
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? ? ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 a b b ? 0 ③向量共线的两种判定方法: ∥ ( )
[展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 例 5.如果向量 AB ? i ? 2 j, BC ? i ? mj, 其中i, j分别是x轴, y轴正方向上的单位 向量,试确定实数 m 的值使 A、B、C 三点共线

a ? ?b

? ? ?1 ? 解法 1.利用 AB ? ? BC 可得 i ? 2 j ? ? (i ? m j ) 于是 ??m ? ?2 得 m ? ?2
? ?? ? ??

解法 2.易得 AB ? (1,?2).BC ? (1, m),由AB、BC共线得m ? 2 ? 0得m ? ?2 故当 m ? ?2 时,三点共线
? ? a b 例 6.若向量 =(-1,x)与 =(-x, 2)共线且方向相同,求 x ? ? 解:∵ a =(-1,x)与 b =(-x, 2) 共线 ? ? ∴x=〒 2 ∵ a 与 b 方向相同

∴(-1)〓2-x(-x)=0 ∴x= 2

[学习小结](学生总结,其它学生补充) 【巩固深化,发展思维】 1.教材 P105 练习 1--5

),b ? ( x,2), c ? (?3, y),且a // b // c, 求x, y的值 2.已知 a ? (2,?1
3.已知点 A(0,1) B(1,0) C(1,2) D(2,1) 求证:AB∥CD 4.证明下列各组点共线:① A (1,2),B(-3,4), C(2,3.5) ② P (-1,2), Q(0.5,0), R(5,-6) ? ? ? ? 5.已知向量 a =(-1,3) b =(x,-1)且 a ∥ b 求 x . [学习小结] (学生总结,其它学生补充) ①向量加法运算的坐标表示. ②向量减法运算的坐标表示. ③实数与向量的积的坐标表示. ④向量共线的条件. 五、评价设计 1.作业:习题 2--4 A 组第 1,2,3,7,8 题. 2. (备选题) :已知 A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 向量 AB 与 CD 平行吗? 直线 AB 与平行于直线 CD 吗? 解:∵ AB =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) 又∵2〓2-4-1=0 ∴ AB ∥ CD
? ?? ? ?? ? ??

? ??

CD =(2-1,7-5)=(1,2)

? ??

? ??

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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 又∵ AC =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) 2〓4-2〓6?0 ∴ AC 与 AB 不平行 ∴A,B,C 不共线 ∴AB 与 CD 不重合 六、课后反思:
? ??
? ??
? ??

AB =(2, 4)

∴AB∥CD

2.5 从力做的功到向量的数量积(2 课时) 一、教学目标: 1.知识与技能
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 (1)通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几 何意义. (2)体会平面向量的数量积与向量投影的关系. (3)掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用. (4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系. 2.过程与方法 教材利用同学们熟悉的物理知识 ( “做功” )得到向量的数量积的含义及其物理意 义、几何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识,教材设臵了 4 个例题;通 过讲解例题,培养学生逻辑思维能力. 3.情感态度价值观 通过本节内容的学习, 使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧 密的联系; 让学生进一步领悟数形结合的思想;同时以较熟悉的物理背景去理解 向量的数量积,有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神. 二.教学重、难点 重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义;运算律. 难点: 运算律的理解 三.学法与教学用具 学法:(1)自主性学习+探究式学习法: (2)反馈练习法: 以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的 差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】 (学生阅读教材 P107—108,师生共同讨论) 思考:请同学们回忆物理学中做功的含义,问对 F 一般的向量 a 和 b,如何定义这种运算? ? 1.力做的功:W = |F|?|s|cos? s ?是 F 与 s 的夹角 2.定义:平面向量数量积(内积)的定义,a?b = |a||b|cos?, 并规定 0 与任何向量的数量积为 0。? C 3.向量夹角的概念:范围 0?≤?≤180?
? = 0? A B ? = 180? O B O A O ? B A A O ? B O C A ? B O A B

?

[展示投影] 由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别;因此强调注意的几个问题: ①两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos?的符号所决定。 ②两个向量的数量积称为内积, 写成 a?b; 今后要学到两个向量的外积 a〓b, 而 ab 是两个数量的积,书写时要严格区分。 ③在实数中,若 a?0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中,若 a?0,且 a? b=0,不能推出 b=0。因为其中 cos?有可能为 0.这就得性质 2. ④已知实数 a、b、c(b?0),则 ab=bc ? a=c.但是 a?b = b?c ? a = c
a
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O

??

c b A

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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 如右图:a?b = |a||b|cos? = |b||OA| b?c = |b||c|cos? = |b||OA| ?a?b=b?c 但 a ? c ⑤在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c) 显然, 这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是与 a 共线的向量, 而一般 a 与 c 不共线. [展示投影]思考与交流: 思考与交流 1.射影的概念是如何定义的,举例(或画图)说明;并指出应注意 哪些问题.
B O b O O ? B O b ? a A B O b ? O (B ) 1 OO a A

A B1 O a B1 O O O 定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的射影。

注意:①射影也是一个数量,不是向量。 ②当?为锐角时射影为正值; 当?为钝角时射影为负值; 当?为直角时射影为 0; 当? = 0?时射影为 |b|; 当? = 180?时射影为 ?|b|. 思考与交流 2.如何定义向量数量积的几何意义?由向量数量积的几何意义你能 得到两个向量的数量积哪些的性质(学生讨论完成,教师作必要的补充). 几何意义:数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积。 性质:设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量。 ①e?a = a?e =|a|cos? ②a?b ? a?b = 0 ③当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a?b = ?|a||b|。 特别的 a?a = |a|2 或 | a |? a ? a
a?b ④cos? = | a || b | (|a||b|≠0)

⑤ |a?b|≤|a||b| 【巩固深化,发展思维】 判断下列各题正确与否: ①若 a = 0,则对任一向量 b,有 a?b = 0. ②若 a ? 0,则对任一非零向量 b,有 a?b ? 0. ③若 a ? 0,a?b = 0,则 b = 0. ④若 a?b = 0,则 a 、b 至少有一个为零. ⑤ 若 a ? 0,a?b = a?c,则 b = c. ⑥若 a?b = a?c,则 b = c 当且仅当 a ? 0 时成立. ⑦对任意向量 a、b、c,有(a?b) ?c ? a? (b?c).
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( √ ) ( 〓 ) ( 〓 ) ( 〓 ) ( 〓 ) ( 〓 ) ( 〓 )
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 ⑧对任意向量 a,有 a2 = |a|2. ( √ ) [展示投影]思考与交流: 思考:根据向量数量积的定义、物理意义及几何意义,你能否验证下列向量的数 量积是否满足下列运算定律(证明的过程可根据学生的实际水平决定) 1.交换律:a?b = b?a 证:设 a,b 夹角为?,则 a?b = |a||b|cos?,b?a = |b||a|cos? ∴a?b = b?a 2.数乘结合律:( ? a) ?b = ? (a?b) = a? ( ? b) 证:若 ? = 0, 此式显然成立. 若 ? > 0, ( ? a) ?b = ? |a||b|cos?,
? (a?b) = ? |a||b|cos?,

a? ( ? b) = ? |a||b|cos?, 所以( ? a) ?b = ? (a?b) = a? ( ? b). 若 ? < 0, ( ? a) ?b =| ? a||b|cos(???) = ? ? |a||b|(?cos?) = ? |a||b|cos?,
? (a?b) = ? |a||b|cos?,

a ? = ? |a||b|cos?。

( ? b) =|a|| ? b|cos(???) = ? ? |a||b|(?cos?)

所以( ? a) ?b = ? (a?b) = a? ( ? b). 综上可知( ? a) ?b = ? (a?b) = a? ( ? b)成立. 3.分配律:(a + b) ?c = a?c + b?c
? ??
? ??

证:在平面内取一点 O,作 OA = a, AB = b, OC = c,
? ??

? ??

A a

?2 b

B

∵a + b (即 OB )在 c 方向上的投影 ?1 ? O 等于 a、b 在 c 方向上的投影和, A c 即:|a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2 1 ∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2 ∴c? (a + b) = c?a + c?b 即:(a + b) ?c = a?c + b?c. [展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 例 1.已知:

B
1

C

a ? 2, b ? 3, a与b的夹角为 1200 , 求(1)a ? b .(2) a ? b .

2

2

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a ? b ? a ? b ? 4 ? 9 ? ?5
2 2 2 2

解: (1)

(2)

a ? b ? (a ? b) 2 ? a ? 2ab ? b ?

2

2

a ? 2 a b cos? ? b ? 7

2

2

b 都是非零向量,且 a ? 3b与7a ? 5b 垂直, 例 2.已知 a、

a ? 4b与7a ? 2b 垂直,求 a、 b 的夹角。
解:由(a + 3b)(7a ? 5b) = 0 ? 7a2 + 16a?b ?15b2 = 0 ① (a ? 4b)(7a ? 2b) = 0 ? 7a2 ? 30a?b + 8b2 = 0 ② 两式相减:2a?b = b2 代入①或②得:a2 = b2 设 a、b 的夹角为?,

a?b b2 1 ? ? 2 2 则 cos? = | a || b | 2 | b |
? ??

∴? = 60
? ??

D

例 3.用向量方法证明:菱形对角线互相垂直。 证:设 AB = DC = a , AD = BC = b ∵ABCD 为菱形 ∴|a| = |b|
? ??
? ??

? ??

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A a b

C

∴ AC ? BD = (b + a)(b ? a) = b2 ? a2 = |b|2 ? |a|2 = 0 ∴ AC ? BD
? ??
? ??

B

即菱形对角线互相垂直。 【巩固深化,发展思维】 1.教材 P109 练习 1、2 题 2. 教材 P111 练习 1、2、3、4、5 题 [学习小结] (学生总结,其它学生补充) ①有关概念:向量的夹角、射影、向量的数量积. ②向量数量积的几何意义和物理意义. ③向量数量积的五条性质. ④向量数量积的运算律. 五、评价设计 1.作业:习题 2.5 A 组第 3、4、5、6、7 题. 2. (备选题) : ①在ΔABC 中,设边 BC,CA,AB 的长度分别为 a,b,c,用向量方法证明:
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

②求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。 解:如图: ABCD 中: AB ? DC , AD ? BC , AC = AB + AD ∴| AC |2=| AB + AD |2= AB 2+ AD 2+2 AB ? AD
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? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??

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D

C

本册教案由毕优教育胡睿雅核心团队编著

A

B

56

北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 而 BD = AB - AD
? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??

∴| BD |2=| AB - AD |2= AB 2+ AD 2-2 AB ? AD
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∴| AC |2 + | BD |2 = 2 AB 2+2 AD 2= | AB |2+| AD |2+| BC |2+| DC |2 六、课后反思: 2.6 平面向量数量积的坐标表示(1 课时) 一.教学目标: 1.知识与技能 (1)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. (2)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直 关系. (3)揭示知识背景,创设问题情景,强化学生的参与意识. 2.过程与方法 通过本节课的学习,让学生体会应用向量知识处理解析几何问题是一种有效手 段,通过应用帮助学生掌握几个公式的等价形式,然后和同学一起总结方法,最 后巩固强化. 3.情感态度价值观 通过本节的学习,使同学们对用坐标来研究向量的数量积有了一个崭新的认识; 提高学生迁移知识的能力. 二.教学重、难点 重点: 平面向量数量积的坐标表示以及推得的长度、 角度、 垂直关系的坐标表示. 难点: 用坐标法处理长度、角度、垂直问题. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法: 以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其 存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情境】 [展示投影]引入: 请同学们回忆一下实数与向量的乘积的坐标表示以及两向量共线的坐标表示: 【探究新知】 平面两向量数量积的坐标又如何表示呢? 1. 推导坐标公式:设 a = (x1, y1),b = (x2, y2),x 轴上单位向量 i,y 轴上 单位向量 j,则:i?i = 1,j?j = 1,i?j = j?i = 0. ∵a = x1i + y1j, b = x2i + y2j ∴a?b = (x1i + y1j )(x2i + y2j) = x1x2i2 + x1y1i?j + x2y1i?j + y1y2j2 = x1x2 + y1y2 从而获得公式:a?b = x1x2 + y1y2 2.长度、角度、垂直的坐标表示
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? ??

? ??

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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 ? |a|2 = x2 + y2 ?
x2 ? y2

①a = (x, y)

|a| =
? ??

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ②若 A = (x1, y1),B = (x2, y2),则 AB =

x1 x 2 ? y1 y 2 a?b ? 2 2 2 2 x1 ? y1 x 2 ? y 2 ③cos? = | a | ? | b | ④∵a?b ? a?b = 0 即 x1x2 + y1y2 = 0(注意与向量共线的坐标表示) 【巩固深化,发展思维】 1.设 a = (5, ?7),b = (?6, ?4),求 a?b 2.已知 A(1, 2),B(2, 3),C(?2, 5),求证:△ABC 是直角三角形. 3.教材 P114 练习 1、2 题. 4.已知 a = (3, ?1),b = (1, 2),求满足 x?a = 9 与 x?b = ?4 的向量 x. [展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 例 1. 教材 P113 例 1. 例 2. 教材 P113 例 2. [展示投影]思考: 1.什么是方向向量? 2.怎样把一个已知向量转化为单位向量? [展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 例 3. 教材 P114 例 3. 【巩固深化,发展思维】 教材 P115 习题 A 第 1、2、3、4、5、6 题. [学习小结]

①a = (x, y)

? |a|2 = x2 + y2

? |a| =
? ??

x2 ? y2

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ②若 A = (x1, y1),B = (x2, y2),则| AB |=

x1 x 2 ? y1 y 2 a?b ? 2 2 2 2 x1 ? y1 x 2 ? y 2 ③cos? = | a | ? | b | ④∵a?b ? a?b = 0 即 x1x2 + y1y2 = 0 五、评价设计 1.作业:习题 2.6 B 组第 1,2,3,4 题. 2. (备选题) : ① 如图,以原点和 A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB,使?B = 90?,

求点 B 和向量 AB 的坐标。 解:设 B 点坐标(x, y),则 OB = (x, y), AB = (x?5, y?2) O ∵ OB ? AB
? ?? ? ??
? ??

B A
? ??
? ??

∴x(x?5) + y(y?2) = 0 即:x2 + y2 ?5x ? 2y = 0
? ??

又∵| OB | = | AB |

∴x2 + y2 = (x?5)2 + (y?2)2 即:10x + 4y = 29
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案
? 7 3 ? x1 ? x2 ? ?x 2 ? y 2 ? 5x ? 2 y ? 0 ? ? ? 2 或? 2 ?? ? 3 7 10 x ? 4 y ? 29 ? ? y1 ? ? ? y2 ? ? 2 ? 2 ? 由
7 3 7 3 3 7 3 7 ?? ( ? ( ,? ) ( , ) ? ,? ) ( ? , ) ∴B 点坐标 2 2 或 2 2 ; AB = 2 2 或 2 2

②在△ABC 中, AB =(2, 3), AC =(1, k),且△ABC 的一个内角为直角, 求 k 值。

? ??

? ??

3 解:当 A = 90?时, AB ? AC = 0,∴2〓1 +3〓k = 0 ∴k = 2
? ??

? ??

?

当 B = 90?时, AB ? BC = 0, BC = AC ? AB = (1?2, k?3) = (?1, k?3) ∴2〓(?1) +3〓(k?3) = 0
? ?? ? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

11 ∴k = 3
3 ? 13 ∴k = 2

当 C = 90?时, AC ? BC = 0,∴?1 + k(k?3) = 0 六、课后反思: 2.7 平面向量应用举例(2 课时)

一.教学目标: 1.知识与技能 (1)经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实 际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具. (2)揭示知识背景,创设问题情景,强化学生的参与意识;发展运算能力和解 决实际问题的能力. 2.过程与方法 通过本节课的学习, 让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其 它一些实际问题是一种行之有效的工具;和同学一起总结方法,巩固强化. 3.情感态度价值观 通过本节的学习,使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认 识;提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力. 二.教学重、难点 重点: (体现向量的工具作用) ,用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、 力学问题与其它一些实际问题,体会向量在几何、物理中的应用. 难点: (体现向量的工具作用) ,用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、 力学问题与其它一些实际问题,体会向量在几何、物理中的应用. 三.学法与教学用具
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 学法:(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法: 以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其 存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】 [展示投影] 同学们阅读教材 P116---118 的相关内容思考: 1.直线的向量方程是怎么来的? 2.什么是直线的法向量? 【巩固深化,发展思维】 教材 P118 练习 1、2、3 题 [展示投影]例题讲评(教师引导学生去做) 例 1.如图,AD、BE、CF 是△ABC 的三条高,求证:AD、BE、CF 相交于一点。 证:设 BE、CF 交于一点 H, A
? ??

AB = a, AC = b, AH = h,
? ??

? ??

? ??

E
? ??

则 BH = h ? a , CH = h ? b , BC = b ? a ∵ BH ? AC ,
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? ??

F

H C

? ??

CH ? AB

? ??

? ??

B

D

( h ? a) ? b ? 0 ? ? ? (h ? a) ? b ? (h ? b) ? a ? h ? (b ? a) ? 0 ∴ (h ? a) ? a ? 0?
∴ AH ? BC 又∵点 D 在 AH 的延长线上,∴AD、BE、CF 相交于一点 [展示投影]预备知识: 1.设 P1, P2 是直线 l 上的两点,P 是 l 上不同于 P1, P2 的任一点,存在实数λ, 使 P1 P =λ PP2 ,λ叫做点 P 分 P1 P2 所成的比, 有三种情况:
P1 P P2 P1 P2 P P P1 P2
? ?? ? ?? ? ??
? ??

? ??

λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 注意几个问题: ①λ是关键,λ>0 内分 λ<0 外分 λ?-1 若 P 与 P1 重合,λ=0 P 与 P2 重合 λ不存在

(-1<λ<0)

1 ②始点终点很重要,如 P 分 P1 P2 的定比λ= 2
? ??

则 P 分 P2 P1 的定比λ=2

? ??

2.线段定比分点坐标公式的获得: 设 P1 P =λ PP2
? ?? ? ??

点 P1, P, P2 坐标为(x1,y1) (x,y) (x2,y2)
P1
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P2

P
60

O

北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 由向量的坐标运算
P1 P =(x-x1,y-y1)
? ?? ? ?? ? ??

PP2 =( x2-x1, y2-y1)

? ??

∵ P1 P =λ PP2 即(x-x1,y-y1) =λ( x2-x1, y2-y1)

? x ? x1 ? ? ( x2 ? x) ? y ? y1 ? ? ( y 2 ? y) ∴?

? ?x ? ?? ?y ? ?

x1 ? ?x 2 1? ? y1 ? ?y 2 1 ? ? 定比分点坐标公式
x1 ? x 2 2 y1 ? y 2 y? 2 x?

3.中点坐标公式:若 P 是 P1 P2 中点时,λ=1 中点公式是定比分点公式的特例。 [展示投影]例题讲评(教师引导学生去做)

? ??

,?5).P2 (2,4).① 求点P分 P1 P2 的比?1及x的值 1 (?1 例 2.已知点 P( x,1).P
②求点 P1分 P2 P 的比?2的值。
? ??

? ??

y?
解:①由

x ? ?1 x2 y1 ? ?1 y 2 ? 5 ? 4?1 ?1 得1 ? 解得?1 ? 2 ? x ? 1 1 ? ?1 1 ? ?1 1 ? ?1

y?
②由

x1 ? ?2 x2 2 ? ?2 3 得 ?1 ? 解得?2 ? ? 1 ? ?2 1 ? ?2 2

A(x1 , y).B( x. y).C( x, y), D是边AB的中点,G是CD 例 3. ?ABC的三个顶点分别为
CG ?2 上的一点,且 GD 求点 G 的坐标。

x1 ? x 2 y1 ? y 2 , ), 又CG ? 2GD 2 2 解:由 D 是 AB 的中点,所以 D 的坐标为 (

?x ?

x3 ? 2 ?

x1 ? x2 y ? y2 y3 ? 2 ? 1 x ? x 2 ? x3 y ? y 2 ? y3 2 2 ? 1 ?y ? ? 1 1? 2 3 1? 2 3
(

x1 ? x 2 ? x3 y1 ? y 2 ? y3 , ) 3 3 即 G 的坐标为 ————.重心坐标公式

例 4.过点 P1(2, 3), P2(6, -1)的直线上有一点 P,使| P1P|:| PP2|=3, 求 P 点坐标
P1
?

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O

?

P
? P2 ? P’

61

北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 解:当 P 内分 P1 P2 时 ? ? 3 当 P 外分 P1 P2 时 ? ? ?3 当 ? ? 3 得 P(5,0) 当 ? ? ?3 得 P(8,-3) 例 5.如图,在平面内任取一点 O,设
? ?? ? ? ?? ?
? ?? ? ??

OP 1 ? a , OP 2 ? b ,? P 1 P ? OP ? a , PP 2 ? b ? OP , P 1 P ? ? PP 2
? ( OP ? a ) ? ? ( b ? OP ),? OP ?
? ?? ? ? ? ?? ? ??

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?

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? ??

P2 P1 P

1 ? ? ? a? b 1? ? 1? ?
O
? ??

这就是线段的定比分点向量公式。 特别当,当 P 为线段 P1P2 的中点时,有
OP ? 1 ? ? (a ? b) 2

例 6.教材 P119 例 2. 例 7.教材 P119 例 3. 例 8.某人骑车以每小时 a 公里的速度向东行驶,感到风从正东方向吹来,而当 速度为 2a 时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速和方向。 P 解:设 a 表示此人以每小时 a 公里的速度向东行驶的向量, 无风时此人感到风速为?a,设实际风速为 v, v v?2a 那么此时人感到的风速为 v ? a, 设 OA = ?a, OB = ?2a
? ?? ? ??
? ?? ? ??

? ??

? ??

B

A

O

∵ PO + OA = PA ∴ PA = v ? a,这就是感到由正北方向吹来的风速, ∵ PO + OB = PB ∴ PB = v ?2a,于是当此人的速度是原来的 2 倍时所感受到由 东北方向吹来的风速就是 PB , 由题意:?PBO = 45?, PA?BO, BA = AO 从而,△POB 为等腰直角三角形,∴PO = PB = 2 a ∴实际风速是 2 a 的西北风 【巩固深化,发展思维】 1.教材 P119 练习 1、2、3 题.
9 A(? ,?7), B(2,6), 对 角 线 的 交 2 2. 已 知 平 行 四 边 形 ABCD 的 两 个 顶 点 为 点为
3 M(3, ), 2 则另外两个顶点的坐标为 21 , 10),(4, ? 3) ( 2
? ??

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? ??

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即:|v | = 2 a

.

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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 3.△ABC 顶点 A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7) 求 D 点坐标 . [学习小结]:略 五、评价设计 1.作业:习题 2.7 A 组第 1、2、3、4 题. ?BAC 平分线交 BC 边于 D,
41 (1, 5 )

2. (备选题) : ①若直线 l : mx ? y ? 2 ? 0 与线段 AB 有交点, 其中 A (-2, 3) , B(3,2), 求 m 的取值范围.
AP ? ? (? ? 0,当 ? ? 0时直线过 A点) 解:设 l 交有向线段 AB 于点 P(x,y)且 PB

? 2 ? 3? ? ?x ? 1 ? ? 2m ? 5 5 4 因P点在l上,故可得? ? ? 0, 得m ? 或m ? ? ? 3 ? 2? 3m ? 4 2 3 ? y? 1 ? ? 则可得 ?
由于设 ? 时,无形中排除了 P,B 重合的情形,要将 B 点坐标代入直线方程得
4 5 4 m ? ? , 故m ? 或m ? ? 3 2 3

②已知 O 为△ABC 所在平面内一点,且满足| OA |2 + | BC |2 = | OB |2 + | CA |2 = | OC |2 + | AB |2,求证: AB ? OC . 证:设 OA = a, OB = b, OC = c, 则 BC = c ? b, CA = a ? c, AB = b ? a 由题设: OA 2 + BC 2 = OB 2 + CA 2 = OC 2 + AB 2, 化简:a2 + (c ? b)2 = b2 + (a ? c)2 = c2 + (b ? a)2 得: c?b = a?c = b?a 从而 AB ? OC = (b ? a)?c = b?c ? a?c = 0 ∴ AB ? OC 同理: BC ? OA , CA ? OB 六、课后反思:
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A

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O B
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C

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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案

第二章 平面向量复习课(2 课时) [第一部分:知识归纳] 1.知识结构

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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案

向量的加法、减法 平面向量 向量地运算 数乘向量 向量的内积

用坐标表示向量的运算 两向量平行与垂直的条件 向量长度公式 基本公式 夹角公式 距离公式

向量在平面几 何中的应用 向量在解析几 何中的应用

向量在几何 中的应用

向量的应用 力向量 向量在物理 中的应用

速度向量

2.重要公式、定理 ①.平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于
? ? 这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数λ1,λ2 使 a =λ1 e1 +λ2 e2 .

? ? ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 a b b ? 0 ②. 向量共线的两种判定方法: ∥ ( )
③. a = (x, y) ? |a|2 = x2 + y2 ? |a| =
x2 ? y2

a ? ?b

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ④.若 A = (x1, y1),B = (x2, y2),则 AB =

? ??

x1 x 2 ? y1 y 2 a?b ? 2 2 2 2 x1 ? y1 x 2 ? y 2 ⑤.cos? = | a | ? | b | ⑥.a?b ? a?b = 0 即 x1x2 + y1y2 = 0(注意与向量共线的坐标表示) 3.学习本章应注意的问题及高考展望 ①.在平面向量的应用中, 用平面向量解决平面几何问题时,首先将几何问题中 的几何元素和几何关系用向量表示,然后选择适当的基底向量,将相关向量表示 为基向量的线性组合, 把问题转化为基向量的运算问题,最后将运算的结果再还 原为几何关系,注意用向量的语言和方法来表述和解决物理问题。
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 ②.向量是数形结合的载体,在本章的学习中,一方面通过数形结合来研究向量 的概念和运算;另一方面,我们又以向量为工具,运用数形结合的思想解决数学 问题和物理的相关问题.同时向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提 供了可能,丰富了我们研究问题的范围和手段。 ③.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质,这类题一般难度不大,用以 解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。 ④.以解答题出现的题目,一般结合其它数学知识,综合性较强,难度大,以解 决几何问题为主.在学习本章时应立足于课本,掌握双基,精读课本是关键. [第二部分:基础测试](供选用) 教材 P125—126 第 1、2、3 题 [第三部分:应用举例](供选用) 例 1.如图△ABC 中, AB = c, BC = a, CA = b,则下列推导 b 不正确的是……………( ) a A.若 a?b < 0,则△ABC 为钝角三角形。 B.若 a?b = 0,则△ABC 为直角三角形。 c A C.若 a?b = b?c,则△ABC 为等腰三角形。 a D.若 c? (a + b + c) = 0,则△ABC 为正三角形。 解:A.a?b = |a||b|cos? < 0,则 cos? < 0,?为钝角 B.显然成立 C.由题设:|a|cosC = |c|cosA,即 a、c 在 b 上的投影相等 D.∵a + b + c = 0, ∴上式必为 0,∴不能说明△ABC 为正三角形 例 2.设非零向量 a、b、c、d,满足 d = (a?c) b ? (a?b)c,求证:a?d 证:内积 a?c 与 a?b 均为实数, ∴a?d = a? [(a?c) b ? (a?b)c] = a? [(a?c) b] ? a? [(a?b)c] = (a?b)(a?c) ? (a?c)(a?b) = 0 ∴a?d 例 3.已知|a| = 3,b = (1,2),且 a∥b,求 a 的坐标。 解:设 a = (x,y) 又:∵a∥b
? x? ? ? ? ?y ? ? 解之: ? 3 5 5 6 5 5
? ??

? ??

? ??

C

B

∵|a| = 3
? 3 5 x?? ? ? 5 ? ?y ? ? 6 5 ? 5 或?



x2 ? y2 ? 3

…①

∴1?y ? 2?x = 0 …②

3 5 6 5 3 5 6 5 , ? ,? 5 ) 或a = ( 5 5 ) 即:a = ( 5

例 4.已知 a、b 都是非零向量, a + 3b 与 7a ? 5b 垂直,且 a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角。 解:由(a + 3b)(7a ? 5b) = 0 ? 7a2 + 16a?b ?15b2 = 0 ① (a ? 4b)(7a ? 2b) = 0 ? 7a2 ? 30a?b + 8b2 = 0 ② 两式相减:2a?b = b2
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 代入①或②得:a2 = b2

a?b b2 1 ? ? 2 2 设 a、b 的夹角为?,则 cos? = | a || b | 2 | b |

∴? = 60?

例 5.已知:|a| = 2 ,|b| = 3,a 与 b 夹角为 45?,求使 a+ ? b 与 ? a+b 夹角为 锐角的 ? 的取值范围。
2 解:由题设:a?b = |a||b|cos? = 3〓 2 〓 2 = 3

(a+ ? b)?( ? a+b) = ? |a|2 + ? |b|2 + ( ? 2 + 1)a?b = 3 ? 2 + 11 ? + 3 ∵夹角为锐角
??

∴必得 3 ? 2 + 11 ? + 3 > 0



? 11 ? 85 ? 11 ? 85 ?? 6 6 或

例 6.a、b 为非零向量,当 a + tb(t?R)的模取最小值时,①求 t 的值;②求证: b 与 a + tb 垂直 解:① |a + tb|2 = |a|2 + t2|b|2 + 2t|a||b|
2a ? b a ?b ?? 2 | b | 时, |a + tb|最小 ∴当 t = 2 | b | ?
| b |2 a?b |b| = 0

② ∵b? (a + tb) = a?b ?

∴b 与 a + tb 垂直

例 7.证明:三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。

1 1 ? ?? ? ?? ? ?? 证:设 AC = b, CB = a,则 AD = AC + CD = b+ 2 a, EB ? EC ? CB =a +2b A
? ?? ? ??
? ??

? ??

? ??

∵A, G, D 共线,B, G, E 共线 ∴可设 AG =λ AD , EG = μ EB ,
? ??
? ??

? ??

? ??

F G B

E

1 1 则 AG =λ AD =λ(b+ 2 a)=λb+ 2 λa,
? ??
? ??

D

C

? ??

1 1 EG = μ EB = μ( 2 b+a)= 2 μb+μa,
? ??

∵ AE ? EG ? AG

? ??

? ??

? ??

1 1 1 即: 2 b + ( 2 μb+μa) =λb+ 2 λa

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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案

1 1 1 ∴(μ? 2 λ)a + ( 2 μ?λ+ 2 )b = 0

∵a,

b 不平行,

2 1 ? ? ?? ? 3 ? ? ? 2? ? 0 ?? ? ?1 1 1 2 ? ? ? ? ? ? 0 ?? ? ? ?? ? ?? 2 3 ? AG = 3 AD ∴ ?2
2 ? ?? ? ?? 例 8.设 AB = 2 (a+5b), BC =?2a + 8b, CD =3(a ?b),求证:A,B,D 三点共线。
? ??

2 证: AD = AB + BC + CD = 2 (a+5b) + ( ?2a + 8b) + 3(a ?b)
? ?? ? ??

? ??

? ??

2 2 2 = (1+ 2 )a + (5 + 5 2 )b = (1+ 2 )(a + 5b) 2 而 AB = 2 (a+5b)
? ??
? ?? ? ??

∴ AD = ( 2 + 1) AB

? ??

又∵ AD , AB 有公共点 ∴A,B,D 三点共线 例 9.已知:A(1,?2),B(2,1),C(3,2),D(?2,3),①求证:A,B,C 三点不共线 ②以 AB 、 AC 为一组基底来表示 AD + BD + CD 解:①∵ AB =(1,3), AC =(2,4) ∴A,B,C 三点不共线
? ?? ? ?? ? ?? ? ??

? ??

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? ??

? ??

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∵1〓4?3〓2?0

∴ AB

? ??

? ??

AC

② AD + BD + CD =(?3,5)+(?4,2)+(?5,1) = (?12,8) 设: AD + BD + CD = m AB + n AC 即:(?12,8) = (m + 2n, 3m + 4n)
? ?? ? ??

? ??

? ??

?? 12 ? m ? 2n ? m ? 32 ?? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? 8 ? 3 m ? 4 n ? ?n ? ?22 ∴ AD + BD + CD = 32 AB ?22 AC ∴
例 10.求证:|a + b |≤|a| + |b| 证:|a + b |2 = (a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a?b = |a|2 + |b|2 + 2|a||b|cos? ≤ |a|2 + |b|2 + 2|a||b| = ( |a| + |b| )2 即:|a + b |≤|a| + |b| 例 11.设作用于同一点 O 的三个力 F1、 F2、 F3 处于平衡状态, 如果| F1|=1, |F2|=2,

2? F1 与 F2 的夹角为 3 .求①.F3 的大小;②.∠F3OF2 的大小.

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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 解:①F1、F2、F3 三个力处于平衡状态,故 F1+F2+F3=0,即 F3= -(F1+F2). ∴| F3|=| F1+F2|=
( F1 ? F2 ) 2 ? F1 ? F2 ? 2 F1 ? F2
2 2

? 1 ? 4 ? 2 ? 1 ? 2 cos

2? ? 3 3

②如图:以 F2 所在直线为 x 轴,合力作用点为坐标原点,建立直角坐标系.将向 量 F1、F3 正交分解,设∠F3OM= ? 由受力平衡知 2? ? ?| F3 | cos? ? | F1 | cos(? ? 3 ) ?| F2 | ? 2? ? ? | F3 | sin ? ?| F1 | cos( ? ) 3 2 ? 解之得
F1 M N F2 F3 Q x y

P

6 于是
∠F3OF2
?? ?

??

?

?
6

?

5? 6

作业设计: 1、写出你学习本章的复习小结或心得体会以及对今后的学习有何计划. 2、完成教材 P126---127 中 A 组习题第 4---14 题. 3、 (选做)复习题 2 的 B、C 组试题. [课后反思]

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平面向量试题(供选用) (时间 120 分钟,满分 150 分 ;) 一、选择题(每题 5 分,共 60 分,把答案填到第二卷对应空格中) 1.如图在平行四边形 ABCD 中 OA ? a, OB ? b ,
? ?? ? ? ?? ?

A B C

D

OC ? c , OD ? d , 则下列运算正确的是( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A、 a ? b ? c ? d ? 0 B、 a ? b ? c ? d ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? d ? 0 a C、 D、 ? b ? c ? d ? 0

? ??

? ? ??

?

O

2.下面给出的关系式中正确的个数是( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? 2 ? a ?b ? a ?b a ? a ① 0? a ? 0 ② a ? b ? b ? a ③ ④ (a ? b )c ? a(b ? c ) ⑤ A、 0 B、1 C、 2 D、 3 3.已知 A(2,1),B(3,2),C(-1,5),则ΔABC 的形状是( ) A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、任意三角形 4.已知 P(4,-9),Q(-2,3)且 y 轴与线段 PQ 的交点为 M,则 M 分 PQ 所成的比是 ( ) A、 2 B、3 C、 1/2 D、 1/3 5.下列命题中真命题是( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a // b ? a在b 上的投影为a a ? b ? 0 ? a ? 0 或 b ? 0 A、 B、 ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? a ? b a C、 D、 ? c ? b ? c ? a ? b
? ??

? ?

b ? ?2e2; a ? e1 ? e2,  b ? ?2e1 ? 2e2, . a ? 2e1,  6.下面向量 a, b共线的有(e1 , e2不共线) ① ②
b ? 2e1 ? 2e2 b ? e1 ? 0.1e2, ③ a ? 4e1 ? 0.4e2,  ④ a ? e1 ? e2, 

A、①③④
? ?

B、②③④

C、②③

D、①②③④ )

7.已知 a , b 为两个单位向量,下列四个命题中正确的是( A、 a 与 b 相等 C、 a 与 b 共线
? ? ? ?

B、如果 a 与 b 平行,那么 a 与 b 相等 D、如果 a 与 b 平行,那么 a = b 或 a =- b
? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

8. 设 e1 , e2 为两不共线的向量,则 a ? e1 ? ? e2 与 b ? ? 2e2 ? 3e1 共线的条件是 ( )
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?

?

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A、

??

3 2

B、

??

2 3

C、

???

2 3

D、

???

3 2

9.下列说法中正确的序号是( ) ①一个平面内只有一对不共线的向量可作为基底; ②两个非零向量平行,则他们所在直线平行; ③零向量不能作为基底中的向量; ④两个单位向量的数量积等于零。 A、①③ B、②④ C、③ D、②③
1 P2 延长线上,使 1 ?2,?1?, P2 ?0,5? 且点 P 在 P 10.已知 P

P1 P ? 2 PP2

? ??

? ??

,则点 P 坐标是





4 A、(-2,11) B、( 3 ,3)

2 C、 ( 3 ,3)

D、(2,-7)
? ?? ? ?? ? ?? ? ??

11.已知 ?ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P,且 PA ? PB ? PC ? AB ,则 点 P 与 ?ABC 的位臵关系是( A、P 在 ?ABC 内部 C、P 在 AB 边上或其延长线上
?

) B、P 在 ?ABC 外部 D、P 在 AC 边上
? ? ?

12.已知向量 a =(2cos ? ,2sin ? ) ,向量 b =(3cos ? ,3sin ? ) ,向量 a 与向量 b 的夹角为 60 , 则直线
0

x cos ? ? y sin ? ?

1 1 ?0 ( x ? cos ? ) 2 ? ( y ? sin ? ) 2 ? 2 2的 与圆

位臵关系为( ) A、相交( B、相切 C、相离 D、无法判断 二、填空题(每题 4 分,共 16 分) ? ? ? ? ? a ? 3, b ? (1,2) a 13.已知向量 ,且 ? b ,则 a 的坐标是_________________. ?2 ? ? ?2 ? ? ? a ? 1 , b ? 2 , a ? b ? a ? 0 a 14.若 ,则 与b 的夹角为__________________.

?

?

15.ΔABC 中,A(1,2),B(3,1),重心 G(3,2),则 C 点坐标为________________. 16.已知 a =(4,2) ,则与 a 垂直的单位向量的坐标是 三、解答题(共 74 分,应有必要的解题步骤) 17.如图,已知 OA, OB 不共线,点 C 满足 CB ? 2 AC , 试以 OA, OB 为基底表示 OC 并画出表达式的图形。 (10 分)
O
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? ?? ? ??
? ??

?

?

.

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? ??

B C A
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? ? ? ? ? ? ? 18.已知向量 a ? 3e1 ? 2e2 , b ? 4e1 ? e2 , 其中e1 ? (1,0),e2 ? (0,1) ? ? ? ? ? ? a ? b; a ? b a 求① 的值; ② 与 b 的夹角。 (14 分)

19.已知四边形 ABCD 的顶点分别为 A(2,1),B(5,4),C(2,7),D(-1,4) 求证:四边形 ABCD 为正方形。 (12 分)

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(0 ? ? ? ? ? ? ) 是平面上的两个向量 20.设 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? )  

求证: a ? b与a ? b 垂直. (12 分)

3x ? 4 y ? 12 ? 0 和 l 2 :7 x ? y ? 28 ? 0 , 21. 已知直线 l1 : 用向量的方法求直线 l1 与
l 2 的夹角.(12 分)

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22.如图,海轮以 30 海里/小时的速度航行,在 A 点测的海面上油井 P 在南偏东 60 度,向北航行 40 分钟后到达 B 点,测的油井 P 在南偏东 30 度,海轮改为北 偏东 60 度航行 80 分钟到达 C 点, 求 PC 之间的距离。 (14 分)
北 C

B

A P

第三章 三角恒等变形 3.1 两角和与差的三角函数(两课时) 3.1.1 两角差的余弦函数 3.1.2 两角和的正、余弦函数 一.教学目标: 1.知识与技能 (1)能够推导两角差的余弦公式; (2)能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦 公式; (3)能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明; (4)揭示知识背景,引发学生学习兴趣; (5)创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识. 2.过程与方法 通过创设情境: 通过向量的手段证明两角差的余弦公式,让学生进一步体会向量 作为一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数, 然后通过诱导公式导出两角差 的正弦公式、两角和的正、余弦公式;讲解例题,总结方法,巩固练习. 3.情感态度价值观 通过本节的学习, 使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识;理解
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 掌握两角和与差的三角的各种变形,提高逆用思维的能力. 二.教学重、难点 重点: 公式的应用. 难点: 两角差的余弦公式的推导. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主性学习法:通过自学掌握两角差的余弦公式. (2)探究式学习法:通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程. (3)反馈练习法: 以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的 差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情境】 思考:如何求 cos(45-30)0 的值. 【探究新知】 1.思考:如何用任意角α与β 的正弦、余弦来表示 cos(α-β)?你认为会是 cos(α-β)=cosα-cosβ吗? [展示课件]在直角坐标系作出单位圆,利用向量的方法求解(如教材图 3.1). 学生思考:以上推导是否有不严谨之处? 教师引导学生分析其中的过程发现:上述证明仅仅是对α与β为锐角的情况,但 α与β为任意角时上述过程还成立吗? 当α-β是任意角时,由诱导公式总可以找到一个角θ∈ [0 ,2 π) ,使 cos θ =cos(α-β) 若θ∈[0,π ],则 OA ? OB = cosθ=cos(α-β) 若θ∈ [ π ,2 π ) ,则 2 π - θ∈ [0 ,π ] ,且 OA ? OB =cos(2 π - θ )=cos θ =cos(α-β). 结论归纳: 对任意角α与β都有 cos (? ? ? ) =cos ? 〃cos ? +sin ? 〃sin ? 这个公式称为:差角的余弦公式
? ?? ? ?? ? ?? ? ??

C? ??

注意:1.公式的结构特点 2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦,就可以求出 cos(α-β) [展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 例 1.利用差角余弦公式求 cos 15 的值 分析: cos 15 = cos (45 ? 30) = cos (60 ? 45) = cos (135? 120)
0 0

0

0

0

思考:你会求 sin 75 的值吗?

0

例 2.已知 cos

? ??

3 ? ? ? ? ( ,? ) ( ??) 5 , 2 ,求 cos 4 的值.

【巩固深化,发展思维】
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 1.cos 175 〃cos 55 +sin 175 〃sin 55 =
0
0

0

0

. .

0 0 0 0 2.cos (? ? 21 ) 〃cos (? ? 24 ) +sin (? ? 21 ) 〃sin (? ? 24 ) =

3.已知 的值. [展示投影]思考: 如何利用差角余弦公式导出下列式子:

1 sin??sin?=? 2

1 ? ? 2 2 ,cos??cos?= ,??(0, ),??(0, 2 ),求 cos(???)

cos (? ? ? ) = cos ? 〃cos ? - sin ? 〃sin ? sin (? ? ? ) =sin ? 〃cos ? ? cos ? 〃sin ? sin (? ? ? ) =cos ? 〃cos ? -cos ? 〃sin ? (可让学生自己讲解,教师只是适当点拨而已) [展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 例 3. 已知 sin

??

? 5 3? 4 ? ? ( ,? ) ? ? ? , ? ? (? , ), 2 13 2 求 cos (? ? ? ) , 5, , cos

sin (? ? ? ) 的值.
(? ? ? ) ? ? , ?? 13 求 cos ? . 5 ,cos 思考题:已知 ? 、 ? 都是锐角, cos

4

5

[学习小结] ①.两角差的余弦公式:cos (? ? ? ) =cos ? 〃cos ? +sin ? 〃sin ? ②.两角和的余弦公式:cos (? ? ? ) = cos ? 〃cos ? - sin ? 〃sin ? 两角和的正弦公式: sin (? ? ? ) =sin ? 〃cos ? ? cos ? 〃sin ? 两角差的正弦公式: sin (? ? ? ) =cos ? 〃cos ? -cos ? 〃sin ? ③.注意公式的结构特点 五、评价设计 1.作业:习题 3.1 A 组第 1,2,3 题.
? 2. (备选题) :求证:cos?+ 3 sin?=2sin( 6 +?) ? ? 1 3 证一:左边=2( 2 cos?+ 2 sin?)=2(sin 6 cos?+cos 6 sin?)

C? ?? C? ? ? S? ? ? S? ? ?

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? =2sin( 6 +?)=右边

(构造辅助角)

? ? 1 3 6 6 证二:右边=2(sin cos?+cos sin?)=2( 2 cos?+ 2 sin?)

= cos?+ 3 sin?=左边 3、进一步理解这四个公式的特点. 六、课后反思:

3.1.3 两角和与差的正切函数(1 课时) 一、教学目标: 1、知识与技能 (1)能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式; (2)能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明; (3)揭示知识背景,引发学生学习兴趣; (4)创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识. 2、过程与方法 借助两角和与差的正、 余弦公式推导出两角和与差的正切公式,让学生进一步体
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 会各个公式之间的联系及结构特点;讲解例题,总结方法,巩固练习. 3、情感态度价值观 通过本节的学习, 使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识;理解 掌握两角和与差的三角的各种变形,提高逆用思维的能力. 二、教学重、难点 重点: 公式的应用. 难点: 公式的推导. 三、学法与教学用具 学法:(1)自主性学习+探究式学习法:通过通过类比分析、探索、掌握两角和 与差的正切公式的推导过程。 (2)反馈练习法: 以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的 差距。 教学用具:电脑、投影机 四、教学设想 【探究新知】 1.两角和与差的正切公式 T?+? ,T??? 问:在两角和与差的正、余弦公式的基础上,你能用 tan?,tan?表示 tan(?+?) 和 tan(???)吗?(让学生回答) [展示投影] ∵cos (?+?)?0 tan(?+?)= 当 cos?cos??0 时 tan? ? tan ? 分子分母同时除以 cos?cos?得: tan(?+?)= 1 ? tan? tan ? 以??代?得:
sin( ? ? ? ) sin? cos ? ? cos? sin ? ? cos( ? ? ? ) cos? cos ? ? sin? sin ?

tan? ? tan ? tan(???)= 1 ? tan? tan ? 2.运用此公式应注意些什么?(让学生回答) [展示投影] 注意:1?必须在定义域范围内使用上述公式。即:tan?,tan?, tan(?〒?)只要有一个不存在就不能使用这个公式,只能(也只需)用诱导公式 来解;2?注意公式的结构,尤其是符号。 ) [展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 例 1.求 tan15?,tan75?及 cot15?的值:
3 3 ? 3 ? 3 ? 12 ? 6 3 ? 2 ? 3 6 3 3? 3 1? 3 1?

解:1? tan15?= tan(45??30?)=
1?

2? tan75?= tan(45?+30?)= 3? cot15?= cot(45??30?)=

3 3 ? 3 ? 3 ? 12 ? 6 3 ? 2 ? 3 6 3 3? 3 1? 3
1? 3 3 ?1 ? 4?2 3 ? 2? 3 2

(为什么?)

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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 例 2.(见课本 P134 例 1)
1 例 3.已知 tan?= 3 ,tan?=?2

求 cot(???),并求?+? 的值,其中 0?<?<90?,

90?<?<180?.
1

解:cot(???)= tan(? ? ? )

?

1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ? 7

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

∵ tan(?+?)= 又∵0?<?<90?, ∴?+?=135? 例 4.

1 ?2 3 ? ?1 1 1 ? ? (?2) 3

90?<?<180?

∴90?<?+?<270?

1 ? tan 75? ? 求下列各式的值:1? 1 ? tan 75

2?tan17?+tan28?+tan17?tan28?

tan 45? ? tan 75? ? tan(45? ? 75? ) ? tan120? ? ? 3 ? ? 1 ? tan 45 tan 75 解:1?原式= tan( 17? ? 28? ) ? tan17? ? tan 28? 1 ? tan17? tan 28?

2? ∵

∴tan17?+tan28?=tan(17?+28?)(1?tan17?tan28?)=1? tan17?tan28? ∴原式=1? tan17?tan28?+ tan17?tan28?=1 [展示投影]练习 教材 P135 第 1、2、3、4 题. [学习小结] 1.必须在定义域范围内使用上述公式。即:tan?,tan? ,tan(?〒?)只要有一 个不存在就不能使用这个公式,只能(也只需)用诱导公式来解; 2.注意公式的结构,尤其是符号。 五、评价设计 作业:习题 3.1 A 组第 4、5、6、7、8 题. 六、课后反思: 3.2 二倍角的正、余弦和正切 3.3 半角的三角函数(两课时) 一.教学目标: 1.知识与技能 (1)能够由和角公式而导出倍角公式; (2)能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明,增强学生灵活运用数学知识 和逻辑推理能力; (3)能推导和理解半角公式; ( 4)揭示知识背景,引发学生学习兴趣,激发学生分析、探求的学习态度,强化 学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 2.过程与方法 让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式, 领会从一般化归为特殊的数 学思想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣;通过例题讲解,总 结方法.通过做练习,巩固所学知识. 3.情感态度价值观 通过本节的学习, 使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识;理解掌 握三角函数各个公式的各种变形,增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和 综合分析能力.提高逆用思维的能力. 二.教学重、难点 重点:倍角公式的应用. 难点:公式的推导. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主+探究性学习:让学生自己由和角公式导出倍角公式,领会从一 般化归为特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。 (2)反馈练习法: 以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的 差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】 1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式: 2、提出问题:公式中如果 ? ? ? ,公式会变得如何? 3、让学生板演得下述二倍角公式:

sin 2? ? 2 sin ? cos?
tan 2? ?

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ? [展示投影]这组公式有何特点?应注意些什么?

? ? 注意:1.每个公式的特点,嘱记:尤其是“倍角”的意义是相对的,如: 4 是 8
的倍角. 2.熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角——降次,降角——升次) 3.特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形:
cos 2 ? ? 1 ? cos 2? , 2 sin 2 ? ? 1 ? cos 2? 2 这两个形式今后常用.

[展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 例 1.(公式巩固性练习)求值:
1 2 sin 45? ? 4 ①.sin22?30’cos22?30’= 2

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? ? 2 ? 1 ? cos ? 8 4 2

②.

2 cos 2

③.

sin 2
8 sin

? ? ? 2 ? cos 2 ? ? cos ? ? 8 8 4 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 cos cos cos ? 4 sin cos cos ? 2 sin cos ? sin ? 48 48 24 12 24 24 12 12 12 6 2

④. 例 2.化简
(sin

①.

5? 5? 5? 5? 5? 5? 5? 3 ? cos )(sin ? cos ) ? sin 2 ? cos2 ? ? cos ? 12 12 12 12 12 12 6 2
? ? ? ? ? ? ? sin 4 ? (cos 2 ? sin 2 )(cos 2 ? sin 2 ) ? cos ? 2 2 2 2 2 2

②.

cos 4

1 1 2 tan ? ? ? ? tan 2? 2 ③. 1 ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? tan ?
2 2 2 ④. 1 ? 2 cos ? ? cos 2? ? 1 ? 2 cos ? ? 2 cos ? ? 1 ? 2

例 3、已知

sin ? ?

5 ? , ? ? ( , ?) 13 2 ,求 sin2?,cos2?,tan2?的值。 5 ? , ? ? ( , ?) 13 2

解:∵

sin ? ?



cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ?

12 13

∴sin2? = 2sin?cos? =
1 ? 2 sin 2 ? ?

?

120 169

cos2? =

119 169

tan2? =

?

120 119

[展示投影]思考:你能否有办法用 sin?、cos?和 tan?表示多倍角的正弦、余弦 和正切函数?你的思路、方法和步骤是什么?试用 sin?、cos?和 tan?分别表示 sin3?,cos3?,tan3?. [展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充)
1 sin 40 ? cos 40 ? cos 80 ? sin 20 cos 20 cos 40 cos80 2 ? sin 20 ? sin 20? cos20?cos40?cos80? =
? ? ? ?

例 4.

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1 1 sin 160 ? sin 80 ? cos 80 ? 1 8 4 ? ? ? ? ? 8 sin 20 sin 20
2 例 5.求函数 y ? cos x ? cos x sin x 的值域.

解:

y?

1 ? cos2 x 1 2 ? 1 ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 4 2

————降次

[展示投影]学生练习: 教材 P140 练习第 1、2、3 题 [展示投影]思考(学生思考,学生做,教师适当提示) 你能够证明:
sin 2 ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ? , cos 2 ? , tan 2 ? 2 2 2 2 2 1 ? cos ?

? 证:1?在 cos2? ? 1 ? 2 sin ? 中,以?代 2?, 2 代? 即得:
2

cos ? ? 1 ? 2 sin 2

? 2



sin 2

? 1 ? cos ? ? 2 2

? 2?在 cos2? ? 2 cos ? ? 1 中,以?代 2?, 2 代? 即得:
2

cos ? ? 2 cos 2

? ?1 2



cos 2

? 1 ? cos ? ? 2 2

3?以上结果相除得:

tan 2

? 1 ? cos ? ? 2 1 ? cos ?

[展示投影]这组公式有何特点?应注意些什么?

? 注意:1?左边是平方形式,只要知道 2 角终边所在象限,就可以开平方。 ? 2?公式的“本质”是用?角的余弦表示 2 角的正弦、余弦、正切
3?上述公式称之谓半角公式(课标规定这套公式不必记忆)

sin

? 1 ? cos? ? 1 ? cos? ? 1 ? cos? ?? , cos ? ? , tan ? ? 2 2 2 2 2 1 ? cos?
tan ? sin ? 1 ? cos ? ? ? 2 1 ? cos ? sin ? (课后自己证)

4?还有一个有用的公式:

[展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充)
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例 6.已知 cos

??

? ? ? 7 sin , cos , tan 2 2 2 的值. 25 ,求

? 例 7.求 cos 8 的值.
? ??
4 3? ? ? ? ? ? (? , ) sin , cos , tan 5, 2 ,求 2 2 2 的值.

例 8.已知 sin

[展示投影]练习 教材 P145 练习第 1、2、3 题. [学习小结]

? ? 1.公式的特点要嘱记:尤其是“倍角”的意义是相对的,如: 4 是 8 的倍角.
2.熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角——降次,降角——升次). 3.特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形:
cos 2 ? ? 1 ? cos 2? , 2 sin 2 ? ? 1 ? cos 2? 2 这两个形式今后常用.

? 4.半角公式左边是平方形式,只要知道 2 角终边所在象限,就可以开平方;公式 ? 的“本质”是用?角的余弦表示 2 角的正弦、余弦、正切.
5.注意公式的结构,尤其是符号. 五、评价设计 1.作业:习题 3.2 A 组第 1、2、3、4 题. 2. 作业:习题 3.3 A 组第 1、2、3、4 题. 六、课后反思:

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3.4 三角函数的和差化积与积化和差 3.5 三角函数的简单应用(两课时) 洋浦实验中学 赵生碧 一.教学目标: 1.知识与技能 (1)能够推导“和差化积”及“积化和差”公式,并对此有所了解. (2)能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系,进一步 体会这些三角恒等变形公式的意义和作用, 体会如何综合利用这些公式解决问题. (3)揭示知识背景,培养学生的应用意识与建模意识. 2.过程与方法 让学生自己导出“和差化积”及“积化和差”公式,领会这些三角恒等变形公式 的意义和作用,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣;同时让学生 初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.通过例题讲解, 总结方法.通过 做练习,巩固所学知识. 3.情感态度价值观 通过本节的学习,使同学们对三角恒等变形公式的意义和作用有一个初步的认 识;理解并掌握三角函数各个公式的灵活变形,体会公式所蕴涵的和谐美,增强 学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力. 二.教学重、难点 重点:三角恒等变形. 难点: “和差化积”及“积化和差”公式的推导. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主+探究性学习:让学生自己根据已有的知识导出“和差化积”及 “积化和差”公式,领会这些三角恒等变形公式的意义和作用,体会公式所蕴涵 的和谐美,激发学生学数学的兴趣。 (2)反馈练习法: 以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的 差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情景】 请回忆两角和的正弦公式、两角差的正弦公式、两角和的余弦公式、两角差的余 弦公式;问你能否用 sin (? ? ? ) 与 sin (? ? ? ) 表示 sin ? 〃 cos ? 和 cos
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? 〃sin ? ?类似地能否用 cos (? ? ? ) 与 cos (? ? ? ) 来表示 cos ? 〃cos ? 和
sin ? 〃sin ? ? 【探究新知】 [展示投影](在学生已完成的基础上进行评价) 积化和差公式的推导 sin(? + ?) + sin(? ? ?) = 2sin?cos? ? ?)] sin(? + ?) ? sin(? ? ?) = 2cos?sin? ? ?)]

1 ? sin?cos? = 2 [sin(? + ?) + sin(?

1 ? cos?sin? = 2 [sin(? + ?) ? sin(?

1 cos(? + ?) + cos(? ? ?) = 2cos?cos? ? cos?cos? = 2 [cos(? + ?) + cos(?
? ?)]

1 cos(? + ?) ? cos(? ? ?) = ? 2sin?sin? ? sin?sin? = ? 2 [cos(? + ?) ?
cos(? ? ?)] [展示投影]这组公式有何特点?应注意些什么? 这套公式称为三角函数积化和差公式,熟悉结构,不要求记忆,它的优点在于将 “积式”化为“和差” ,有利于简化计算。 (在告知公式前提下) [展示投影]练习 1.求
sin

?
12

cos

5? 12 的值 5? 12 的值 ?? ??? ??? ?? 2 , 2

2.求

sin

?
12

sin

3.在积化和差中若令? + ? = ?,? ? ? = φ,则

代入可

得什么的式子,做做看: (教师巡视,先观察学生做的情况,再决定是否示范) ??? ??? 1 ??? ??? ??? ??? 1 sin cos ? [sin( ? ) ? sin( ? )] ? (sin ? ? sin ?) 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴
sin ? ? sin ? ? 2 sin ??? ??? cos 2 2

sin ? ? sin ? ? 2 cos

??? ??? sin 2 2
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??? ??? cos 2 2 ??? ??? cos ? ? cos ? ? ?2 sin sin 2 2 引导学生观察这套公式的特点: 这套公式称为和差化积公式,其特点是同名的正 (余)弦才能使用,它与积化和差公式相辅相成,配合使用. [展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 例 1.教材 P148 例 2. 例 2.教材 P149 例 3. [展示投影]练习. 教材 P149 第 1、2 题. [展示投影]例题讲评(学生边做教师边提示) cos ? ? cos ? ? 2 cos

1 1 ? 例 3. 已知 cos? ? cos ? = 2 ,sin? ? sin? = 3 ,求 tan(? + ?)的值
??? ? ?? 1 1 ? 2 sin sin ? 2 2 2 解:∵cos? ? cos ? = 2 ,∴ ??? ? ?? 1 1 ? 2 cos sin ?? 2 2 3 sin? ? sin ? = 3 ,∴



?





sin

? ?? ?0 2



? tan

??? 3 ?? 2 2



tan

??? 3 ? 2 2

3 2 2 ? ? 12 tan( ? ? ?) ? ? ? ?? 9 5 1 ? tan2 1? 2 4 ∴ 2 tan 2?
例 4.教材 P150 例 6. (学生做,教师巡视,鼓励学生用多种方法求解) [展示投影]练习 1.化简① 1 ? sin 80 ;② 1 ? cos80 ;③
0 0

? ??

1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? (0 ? ? ?

?
4

)

2. 教材 P151 练习第 1、2、3、4 题. [展示投影]例题讲评(学生边思考教师边提示) 例 5.要使半径为 R 的半圆形木料截成长方形(如图) ,应怎样截取才能使长方形 的面积最大?

[学生自主学习阶段] 学生阅读教材 P154~158 相关内容,学生提问,学生回答,教师控制课堂节奏。 学生自主学习检测:教材 P158~159 的相应习题。 [学习小结]
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O

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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 尝试由学生小结,学生补充的形式. 五、评价设计 1.作业:习题 3.4 A 组第 1、2、3、4、5、6、7 题. 2. 作业:习题 3.5 A 组第 4 题(选做) . 六、课后反思:

第三章 三角恒等变形复习课(2 课时) 洋浦实验中学 赵生碧 [第一部分:基础知识] 基本公式 一、两角和与差公式及规律

常见变形 常见变形

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? . cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? sin ? sin ? . tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? . 1 tan ? tan ?
二、二倍角公式及规律
sin 2? ? 2sin ? cos ? .

(1) tan ? ,tan ? 的和(差)与积互相转化 : tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 tan ? tan ? ).

? 1 ? tan ? (2)特例 : tan( ? ? ) ? . 4 1 tan ?
常见变形

? cos ? ?

sin 2? sin 2? ? ? ,sin ? ? . 1 ? sin ? ? (sin ? cos ) 2 . 2 cos ? 2 cos ? 2 2

cos 2? ? cos ? ? sin ?
2 2

? 2cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? .
tan 2? ? 2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

? ? 2 cos 2 . ? ? 2 ? 1 ? cos ? ? ? ?2sin 2 ? . ? ? 2

? 2 ? 1 ? cos ? . ?cos 2 ? 2 ? ? 2 ? 1 ? cos ? ? . ?sin 2 2 ? ? 2 ? 1 ? cos ? ? tan 2 ? 1 ? cos ? . ? ? 2 ? 1 ? cos ? 87 . ?cos 2 ? 2 ? ? 2 ? 1 ? cos ? ? . ?sin 2 2 ?

? ? 2 cos 2 . ? ? 2 ? 1 ? cos ? ? ? ?2sin 2 ? .

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( ※ )三、积化和差与和差化积公式
1 sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )]. 2 1 cos ? sin ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )]. 2 1 cos ? cos ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )]. 2 1 sin ? sin ? ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )]. 2

. 2 2 ? ?? ? ?? sin ? ? sin ? ? 2 cos sin . 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? 2 cos cos . 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? ?2sin sin . 2 2

sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??

cos

? ??

四、学习本章应注意的问题 1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础,应记准该公式的形式. 2、倍角公式

cos2? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? 有升、降幂的功能,如果升幂,

则角减半,如果降幂,则角加倍,根据条件灵活选用. 3、公式的“三用” (顺用、逆用、变用)是熟练进行三角变形的前提. [第二部分:基本技能与基本数学思想方法] 整体原则-------从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手,寻求三 角变形的思维指向; 角度配凑方法 如 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? (? ? ? ) ? ? ? ? ? ( ? ? ? ) ? ? ? ? ?? 2 2 2 2 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? 2( ? ) ? 2( ? )? 2 2 2 2 等; 方程思想; 消参数思想; “1”的代换; 关于 sin ? ? cos ?与sin ? cos ? 间的互相转化; 关于 sin ? ,cos ? 的齐次分式、二次齐次式与 tan ? 间的互相转化;
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北师大版精品全册教案 高中数学必修 4 教案 配凑辅助角公式:
? sin ? ? cos ? ? ? 2 sin(? ? ). 4

?

? sin ? ? 3 cos ? ? ?2sin(? ? ). 6 ? 3 sin ? ? cos ? ? ?2sin(? ? ). 3
2 2 一般地, a sin ? ? b cos ? ? a ? b sin(? ? ? ). 其中

?

?

a ? , ?cos ? ? 2 a ? b2 ? ? b ?sin ? ? . 2 2 ? a ? b ?

?a sin ? ? b sin ? ? m ? 9、关于已知条件是 ?a cos ? ? b cos ? ? n 的求值、化简、证明的变形及其思维方
法。其中 ? , ? 是任意角;等等。 [第三部分:应用举例](供选用)
sin(3? ? x) cos( x ? ? ) tan( x ? ? ) cot( cos(n? ? x) n? ? x) 2 , (n ? Z )

f ( x) ?

[例1]已知
f( 52? ); 3 3? 4 )? , 2 5 求 f (? ) 的值.





cos(? ?

[分析]求三角函数式的值,一般先化简,再代值计算. [略解]当 n ? 2k (n ? Z ) 时,

f ( x) ?

? sin x cos x tan x cot x ? ? sin x; cos x
f ( x) ? ? sin x cos x tan x( ? tan x) ? ? sin x tan 2 x. cos x

当 n ? 2k ? 1(k ? Z ) 时,
cos(? ?

3? 4 ) ? ? sin ? ,? sin ? ? ? . 2 5 故当 n 为偶数时,
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52? 52? 4? 3 ) ? ? sin ? ? sin ? , 3 3 3 2 4 f (? ) ? ? sin ? ? ; 5 f(

当 n 为奇数时,

52? 52? 52? 4? 4? 3 3 ) ? ? sin tan 2 . ? ? sin tan 2 ? , 3 3 3 3 3 2 sin 2 ? 9 f (? ) ? ? sin ? tan 2 ? ? ? sin ? ? ? . 2 cos ? 16 f(
3sin ? ? sin 3? tan ? ? 3, [例2]已知 求 3cos ? ? cos 3? 的值.

[分析]已知三角函数式的值,求其它三角函数式的值的基本思路:考虑已知式 与待求式之间的相互转化.

3sin ? ? (3sin ? ? 4sin 3 ? ) 3 [略解]原式= 3cos ? ? (4cos ? ? 3cos ? )
sin ? (3 ? 2sin 2 ? ) 2cos3 ? sin ? (sin 2 ? ? 3cos 2 ? ) ? 2cos3 ? 1 ? tan ? (tan 2 ? ? 3) 2 ? 18. ?
2 1 sin(? ? ? ) ? ,sin(? ? ? ) ? . 3 5 [例3]已知

求 tan ? cot ? 的值;



? ? ? ? ? ? ? ? (? , ), ? ? ? ? (? , )
2 2

2 2 时,求 sin 2? 的值.

[分析]从角度关系分析入手,寻求变形的思维方向. [略解] (1)

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2 ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? , ? ? 3 ? ?sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 1 , ? 5 ? 13 7 ? sin ? cos ? ? , cos ? sin ? ? . 30 30 [方法1]

tan ? cot ? ?

从而,

sin ? cos ? 13 ? . cos ? sin ? 7 sin ? cos ? , cos ? sin ?

x ? tan ? cot ? ?

[方法2]设

sin(? ? ? ) 10 ? ,且 sin(? ? ? ) 3 sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) cos ? cos ? tan ? ? tan ? ? ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) tan ? ? tan ? cos ? cos ? tan ? ?1 x ?1 tan ? ? ? , tan ? x ? 1 ?1 tan ?
x ? 1 10 13 ? , ? tan ? cot ? ? x ? . x ?1 3 7 (2)由已知可得 ?

sin 2? ? sin[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ? sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )sin(? ? ? ) ? 4 6? 5 . 15

1 1 cos(? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ? , 2 2 求 tan ? tan ? 的值. [例 4]已知

tan ? tan ? ?

[分析]根据问题及已知条件可先“化切为弦” 。由 求出 sin ? sin ? 和 cos ? cos ? ,问题即可迎刃而解. [略解]

sin ? sin ? cos ? cos ? ,只需

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1 ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? , ? ? 2 ? ?cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 1 , ? 3 ? 5 1 ? cos ? cos ? ? ,sin ? sin ? ? ? . 12 12

? tan ? tan ? ?

sin ? sin ? 1 ?? . cos ? cos ? 5

[点评]

对公式整体把握,可“居高临下”的审视问题。

1 1 sin ? ? cos ? ? , cos ? ? sin ? ? , 2 3 求 sin(? ? ? ) 的值. [例 5]已知

[分析]要想求出 sin(? ? ? ) 的值,即要求出 sin? cos ? ? cos? sin? 的值,而要出 现 sin ? cos ? 和 cos ? sin ? ,只需对条件式两边平方相加即可。 [ 略解 ] 将两条件式分别平方,得
1 sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? ? , 4 1 cos 2 ? ? 2 cos ? sin ? ? sin 2 ? ? . 9

将上面两式相加,得

13 , 36 59 ? sin(? ? ? ) ? . 72 2 ? 2sin(? ? ? ) ?
2 [ 例 6]已知方程 mx ? (2m ? 3) x ? (m ? 2) ? 0 有两根 tan ? , tan ? ,求 tan(? ? ? ) 的

最小值. [分析] 可借助于一元二次方程的根与系数关系求出 tan(? ? ? ) 关于 m 的解析式。 [ 略解]
tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? 3 ? m ? . 1 ? tan ? tan ? 2



?m ? 0, ? 2 ? ? (2m ? 3) ? 4m(m ? 2) ? 0,

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m? 9 3? m 3 , 且m ? 0. ? ?? . 4 2 4

解得



3 ? 。 tan(? ? ? ) 的最小值为 4
0 ?? ?

? ?
4 4 ,

[例 7]已知 值.

?? ?

3? ? 3 3? 5 , cos( ? ? ) ? ,sin( ? ? ) ? , 4 4 5 4 13 求 sin(? ? ? ) 的

[分析]注意到

(

3? ? 3? ? ? ( ? ? ) ( ?? ) ? ? ) ? ( ? ? ) ? ? (? ? ? ), 4 4 2 可通过 4 与 4 的正、

余弦值来求出 sin(? ? ? ) 的值。 [略解] 由已知可得

sin(? ? ? ) ? sin[(

3? ? ? ? ? ) ? ( ?? ) ? ] 4 4 2 3? ? ? ? cos[( ? ? ) ? ( ? ? )] 4 4 3? ? 3? ? ? ? cos( ? ? ) cos( ? ? ) ? sin( ? ? )sin( ? ? ) 4 4 4 4 12 3 5 4 56 ? ?( ? ) ? ( ? ) ? . 13 5 13 5 65

[例 8]

sin 7 ? cos15 sin 8 cos 7 ? sin15 sin 8 的值等于


2? 3 C. 2 2? 3 D. 2



A. 2 ? 3

B. 2 ? 3

[分析]从角度关系分析入手,尝试配凑已知角、待求角、特殊角之间的和、差、 倍、半表示式。 [略解]

sin(150 ? 80 ) ? cos150 sin 80 原式 ? cos(150 ? 80 ) ? sin150 sin 80 sin150 cos80 ? cos150 sin 80 ? cos150 sin 80 cos150 cos80 ? sin150 sin 80 ? sin150 sin 80 tan 450 ? tan 300 ? tan150 ? tan(450 ? 300 ) ? 1 ? tan 450 tan 300 ? ? 2 ? 3. 故选 B.
0 0 [例 9]求函数 f ( x) ? 3sin( x ? 20 ) ? 8sin( x ? 80 ) 的最小值。

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0 0 0 0 0 [分析]注意到 ( x ? 80 ) ? ( x ? 20 ) ? 60 ,故可把 x ? 80 用 x ? 20 表示。

[略解]

f ( x) ? 3sin( x ? 200 ) ? 8sin[( x ? 200 ) ? 600 ] ? 3sin( x ? 200 ) ? 8sin( x ? 200 ) cos 600 ? 8cos( x ? 200 )sin 600 ? 7sin( x ? 200 ) ? 4 3 cos( x ? 200 ) ? 97 sin( x ? 200 ? ? ).
7 ? ?cos ? ? 97 , ? ? ?sin ? ? 4 3 . ? 97 其中 ?

故函数的最小值为 ? 97 。

2 2 [例 10] 已知 a, ? 满足方程 a cos x ? b sin x ? c, 其中 a, b, c 为常数,且 a ? b ? 0 。

求证:当 a ? ? 时,

4 cos 2

?
2

cos 2

?
2

?

(a ? c) 2 . a 2 ? b2

? ? [分析]从角度关系分析入手,先将 2 、 2 转化为 a, ? 。
[略解]由 b sin x ? c ? cos x, 两边平方,并化简得

(a2 ? b2 )cos2 x ? 2ac cos x ? c2 ? b2 ? 0. ①
依题意, cos ? , cos ? 是方程①的两个实根。
2ac c2 ? b2 ? cos ? ? cos ? ? 2 cos ? ? cos ? ? 2 . a ? b2 a ? b2
4 cos 2

?
2

cos 2

?
2

? (1 ? cos ? )(1 ? cos ? )

(a ? c) 2 2 2 = 1 ? cos ? ? cos ? ? cos ? cos ? = a ? b
x y x y x2 y 2 cos ? ? sin ? ? 1(1), sin ? ? cos ? ? 1(2), ? 2 ?2 2 b b b [例 11]若 a 且 a 求证: a .

[分析] 比较条件式与已知式,可以发现需要消去 ? . [证明] (1)? cos? ? (2) ? sin ? 得

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x ? cos ? ? sin ? a 。┅┅(3)

(1)? sin ? ? (2) ?cos? 得
y ? sin ? ? cos ? b 。┅┅(4)

(3)2 ? (4)2 得

x2 y 2 ? ?2 a 2 b2 .

作业设计: 1、写出你学习本章的复习小结或心得体会以及对今后的学习有何计划. 2、完成教材 P162~163 中 A 组习题. 3、 (选做)复习题 3 的 B、C 组试题. [课后反思]

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