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2013-2014学年高中数学人教A版选修1-1同步辅导与检测:3.3.1函数的单调性与导数

时间:2014-03-07


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导数及其应用

3 .3

导数在研究函数中的应用

3.3.1 函数的单调性与导数

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函数的单调性与其导数的正负有如下关系
在某个区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数y =f(x)在这个区间内单调递增;如果f′(x)<0,那么函 数y=f(x)在这个区间内单调递减.

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2.根据导数与函数单调性的关系,求函数单调区间的 一般程序 (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求导数f′(x); (3)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0;

(4)写单调区间.
3.利用导数判断函数单调性和确定单调区间的注意事 项 (1)必须首先确定函数的定义域,在具体的解决问题过 程中,只能在定义域内,通过讨论导数的符号,来判断函数 的单调区间; 金品质?高追求 我们让你更放心!

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(2)了解在某一区间内f′(x)>0[或f′(x)<0]是函数f(x)在该 区间为增(或减)函数的充分不必要条件; (3)函数的单调区间可以都用开区间表示,如果一个函 数具有相同单调性的单调区间有几个,它们不能用并集符 号“∪”连结,要用逗号或文字“和”、“及”等隔开; (4)若函数中含有参数,必须根据具体问题,对参数进 行分类讨论,然后分别求出单调区间; (5)一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值 较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数图象 就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓” 一些.

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求下列函数的单调区间: 1 (1)y=x-ln x;(2)y= . 2x 1 解析:(1)函数的定义域为(0,+∞),y′=1- , x 由 y′>0,得 x>1;由 y′<0,得 0<x<1, ∴函数 y=x-ln x 的单调增区间为(1,+∞); 单调减区间为(0,1) 1 (2)函数的定义域为{x|x≠0},y′= 2, 2x -1 ∵当 x≠0,y′= 2 <0 恒成立, 2x 1 ∴函数 y= 的单调减区间为(-∞,0), 2x (0,+∞),没有单调增区间. 返回 金品质?高追求 我们让你更放心!

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变式迁移 1.设函数f(x)=sin x-cosx+x+1,0<x<2π, 求函数f(x)的单调区间.
3π ? f(x)的单调递增区间是(0,π), 2 ,2π?, ? ? 3π? ? 单调递减区间是 π, 2 . ? ?

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ln x 证明函数 f(x)= 在区间(0,2)上是单调递增函数. x

ln x 证明:由于 f(x)= , x 1 · x-ln x x 1-ln x 所以 f′(x)= = , x2 x2 由于 0<x<2,所以 ln x<ln 2<1, 1-ln x 故 f′(x)= >0, x2 即函数在区间(0,2)上是单调递增函数.

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变式迁移 2.已知a>0,且a≠1,证明函数f(x)=ax-xln a在(- ∞,0)内是减函数. 证明:∵f′(x)=ax ln a-ln a=ln a(ax-1),x<0. ∴当a>1时,∵ln a>0,ax<1, ∴f′(x)<0,即f(x)在(-∞,0)内是减函数; 当0<a<1时,∵ln a<0,ax>1, ∴f′(x)<0,即f(x)在(-∞,0)内是减函数; 综上,函数f(x)=ax-x ln a在(-∞,0)内是减函数. 金品质?高追求 我们让你更放心!

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已知函数f(x)=x2+ 围.
3 a 2x -a 解析:f′(x)=2x- 2= 2 , x x

函数f(x)在x∈[2,+∞)上是单调递增的,求a的取值范

a (x≠0,常数a∈R).若 x

要使 f(x)在[2,+∞)上单调递增, 则 f′(x)≥0 在 x∈[2,+∞)时恒成立,

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2x3-a 即 2 ≥0,在 x∈[2,+∞)时恒成立, x ∵x2>0,∴2x3-a≥0, ∴a≥2x3 在 x∈[2,+∞)时恒成立, ∴a≤(2x3)min=16, 2x3-a 当 a=16 时,f′(x)= 2 ≥0 x (x∈[2,+∞))有且只有 f′(2)=0, ∴a 的取值范围是(-∞,16].

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变式迁移 3.已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取 值范围; (2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递

减?
若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说 明理由. (1)a≤0. (2)存在实数a≤3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.

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基础训练 1. 若f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且 x∈(a,b)时,f′(x)>0,又f(a)<0,则( D ) A.f(x)在[a,b]上单调递增,且f(b)>0 B.f(x)在[a,b]上单调递增,且f(b)<0 C.f(x)在[a,b]上单调递减,且f(b)<0 D.f(x)在[a,b]上单调递增,但f(b)的符号无法判 断

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2.f(x)=5x2-2x 的单调增区间为( 1 ? A. 5,+∞? ? ? 1 ? C. -5,+∞? ? ?

A

)

1? ? B. -∞,5 ? ? 1? ? D. -∞,-5 ? ?

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