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专题5 导数的应用-含参函数的单调性讨论(答案)


〖专题 5〗

导数的应用—含参函数的单调性讨论

“含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容,也是我们高考 复习的重点.从这几年来的高考试题来看,含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数 的单调性、极值以及最值中,因此在高考复习中更应引起我们的重视. 一、思想方法:

f ' ( x) ? 0

? x ? A ? B ? ... ? f ( x)增区间为A, B和... f ' ( x) ? 0 ? x ? C ? D ? ... ? f ( x)增区间为C , D和... x ? D时f ' ( x) ? 0 ? f ( x)在区间D上为增函数 x ? D时f ' ( x) ? 0 ? f ( x)在区间D上为减函数 x ? D时f ' ( x) ? 0 ? f ( x)在区间D上为常函数
讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论. 二、典例讲解 [典例 1] 讨论 f ( x) ? x ? 解: f ( x) ? x ?

a 的单调性,求其单调区间. x

a 的定义域为 (??,0) ? (0,??) x

a x2 ? a ? ( x ? 0) (它与 g ( x) ? x 2 ? a 同号) 2 2 x x I)当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0( x ? 0) 恒成立, f ' ( x) ? 1 ?
此时 f ( x) 在 (??,0) 和 (0,??) 都是单调增函数, 即 f ( x) 的增区间是 (??,0) 和 (0,??) ; II) 当 a ? 0 时

f ' ( x) ? 0( x ? 0) ? x ? ? a或x ? a

f ' ( x) ? 0( x ? 0) ? ? a ? x ? 0或0 ? x ? a
此时 f ( x) 在 ( ??,? a ) 和 ( a ,??) 都是单调增函数,

f ( x) 在 (? a ,0) 和 (0, a ) 都是单调减函数,
即 f ( x) 的增区间为 ( ??,? a ) 和 ( a ,??) ;

f ( x) 的减区间为 (? a ,0) 和 (0, a ) .
步骤小结:1、先求函数的定义域, 2、求导函数(化为乘除分解式,便于讨论正负) , 3、先讨论只有一种单调区间的(导函数同号的)情况, 4、再讨论有增有减的情况(导函数有正有负,以其零点分界) , 5、注意函数的断点,不连续的同类单调区间不要合并. [变式练习 1] 讨论 f ( x) ? x ? a ln x 的单调性,求其单调区间.
1

解: f ( x) ? x ? a ln x 的定义域为 (0,??)

a x?a ? ( x ? 0) (它与 g ( x) ? x ? a 同号) x x I)当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0( x ? 0) 恒成立, f ' ( x) ? 1 ?
此时 f ( x) 在 (0,??) 为单调增函数, 即 f ( x) 的增区间为 (0,??) ,不存在减区间; II) 当 a ? 0 时

f ' ( x) ? 0( x ? 0) ? x ? ?a ; f ' ( x) ? 0( x ? 0) ? 0 ? x ? ?a

此时 f ( x) 在 (?a,??) 为单调增函数,

f ( x) 在 (0,?a) 是单调减函数,
即 f ( x) 的增区间为 (?a,??) ; f ( x) 的减区间为 (0,?a) . [典例 2] 讨论 f ( x) ? ax ? ln x 的单调性. 解: f ( x) ? ax ? ln x 的定义域为 (0,??)

f ' ( x) ? a ?
I)

1 ax ? 1 ? ( x ? 0) x x

(它与 g ( x) ? ax ? 1 同号)

当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0( x ? 0) 恒成立 (此时 f ' ( x) ? 0 ? x ? ? 义)

1 没有意 a

此时 f ( x) 在 (0,??) 为单调增函数,即 f ( x) 的增区间为 (0,??) II) 当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0( x ? 0) 恒成立, (此时 f ' ( x) ? 0 ? x ? ?

1 不在定义域内,没有意义) a 此时 f ( x) 在 (0,??) 为单调增函数,即 f ( x) 的增区间为 (0,??) 1 a

III)

当 a ? 0 时, 令 f ' ( x) ? 0 ? x ? ?

于是,当 x 变化时, f ' ( x), f ( x) 的变化情况如下表:(结合 g(x)图象定号)

x

1 (0,? ) a

?
0

1 a

1 (? ,??) a

f ' ( x)
f ( x)

?
增↗

?
减↘

所以, 此时 f ( x) 在 (0,? ) 为单调增函数, f ( x) 在 (?

1 a

1 ,??) 是单调减函数, a

2

即 f ( x) 的增区间为 (0,? ) ; f ( x) 的减区间为 (?

1 a

1 ,??) . a

小结: 导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界, 但要注意其定义域和连续性. 即 先 求出 f ' ( x) 的 零点 ,再其 分区 间然后 定 f ' ( x) 在 相应区 间内 的符号 .一 般先讨 论 再讨论解 f ' ( x) ? 0 过程产生增根的情况 (即解方程变形中诸如平方、 f ' ( x) ? 0 无解情况, 去分母、去对数符号等把自变量 x 范围扩大而出现有根,但根实际上不在定义域内的) , 即根据 f ' ( x) 零点个数从少到多,相应原函数单调区间个数从少到多讨论,最后区间(最 好结合导函数的图象)确定相应单调性. [变式练习 2] 讨论 f ( x) ? 解: f ( x) ?

1 2 ax ? ln x 的单调性. 2

1 2 ax ? ln x 的定义域为 (0,??) 2
1 ax 2 ? 1 ? ( x ? 0) , 它与 g ( x) ? ax 2 ? 1同号. x x
2

f ' ( x) ? ax ?

令 f ' ( x) ? 0 ? ax ? 1 ? 0( x ? 0) , 当 a ? 0 时,无解;当 a ? 0 时, x ? 舍去) i)当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0( x ? 0) 恒成立 (此时 f ' ( x) ? 0 ? x ? ?
2

?

1 ?a ?? (另一根不在定义域内 a a

1 没有意义) a 此时 f ( x) 在 (0,??) 为单调增函数,即 f ( x) 的增区间为 (0,??)
2

ii)当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0( x ? 0) 恒成立, (此时 方程 ax ? 1 ? 0 判别式 ? ? 0 ,方程无解) 此时 f ( x) 在 (0,??) 为单调增函数,即 f ( x) 的增区间为 (0,??) iii) 当 a ? 0 时, 当 x 变化时, f ' ( x), f ( x) 的变化情况如下表:(结合 g(x)图象定号) x

1 (0, ? ) a

?
0

1 a

1 ( ? ,??) a

f ' ( x)
f ( x)

?
增↗

?
减↘

所以, 此时 f ( x) 在 (0, ? 即 f ( x) 的增区间为 (0, ?

1 1 ) 为单调增函数, f ( x) 在 ( ? ,??) 是单调减函数, a a

1 1 ) ; f ( x) 的减区间为 ( ? ,??) . a a
3

小结:一般最后要综合讨论情况,合并同类的,如 i),ii)可合并为一类结果.对于二次型函 数(如 g ( x) ? ax ? 1)讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论.
2

[典例 3] 求 f ( x) ? a x ? ax ? x ? 1 的单调区间.
2 3 2

解: f ( x) ? a x ? ax ? x ? 1 的定义域为 R,
2 3 2

f ' ( x) ? 3a 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? (3ax ? 1)( ax ? 1)
I) 当 a ? 0 时, f ' ( x) ? ?1 ? 0 ? f ( x) 在 R 上单调递减, f ( x) 减区间为 R, 无增区间. II) 当 a ? 0 时 3a ? 0 , f ' ( x) 是开口向上的二次函数,
2

令 f ' ( x) ? 0得x1 ? i)

1 1 , x2 ? ? (a ? 0) , 因此可知(结合 f ' ( x) 的图象) 3a a 当 a ? 0 时, x1 ? x2

1 1 1 1 f ' ( x) ? 0 ? x ? ? 或x ? ; f ' ( x) ? 0 ? ? ? x ? a 3a a 3a 1 1 1 1 所以此时, f ( x) 的增区间为 (??,? )和( ,??) ; f ( x) 的减区间为 (? , ) a 3a a 3a ii) 当 a ? 0 时, x1 ? x2
1 1 或x ? ? ; 3a a 1 1 f ' ( x) ? 0 ? ?x?? 3a a 1 1 1 1 所以此时,f ( x) 的增区间为 (??, )和(? ,??) ;f ( x) 的减区间为 ( ,? ) . 3a a 3a a f ' ( x) ? 0 ? x ?
小结:求函数单调区间可化为导函数的正负讨论(即分讨论其相应不等式的解区间) ,常 见的是化为二次型不等式讨论,当二次函数开口定且有两根时,一般要注意讨论两根大小 (分大、小、等三种情况) 。含参二次不等式解时要先看能否因式分解,若能则是计算简 单的问题,需看开口及两根大小,注意结合图象确定相应区间正负. [变式练习 3] 求 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? x ? 1 的单调区间. 3 2
2

解: f ( x) 的定义域为 R, f ' ( x) ? x ? ax ? 1

f ' ( x) 是开口向上的二次函数, ? ? a 2 ? 4
I) 当 ? ? 0 ? ?2 ? a ? 2 时, f ' ( x) ? 0 恒成立 所以此时 f ( x) 在 R 上单调递增, f ( x) 增区间为 R,无减区间. II) 当 ? ? 0 ? a ? ?2或a ? 2 时 令 f ' ( x) ? 0得x1 ?

? a ? a2 ? 4 ? a ? a2 ? 4 , x2 ? , x1 ? x 2 2 2
4

因此可知(结合 f ' ( x) 的图象) f ( x) 与 f ' ( x) 随 x 变化情况如下表 x

(??, x1 )

x1
0

( x1 , x 2 )

x2
0

( x 2 ,??)

f ' ( x)

?
增↗

?
减↘

?
增↗

f ( x)

? a ? a2 ? 4 ? a ? a2 ? 4 )和( ,??) ; 所以此时, f ( x) 的增区间为 (??, 2 2
f ( x) 的减区间为 (

? a ? a2 ? 4 ? a ? a2 ? 4 , ) 2 2

小结:三次函数的导函数是常见二次函数,当二次函数开口定时对其正负进行讨论的,要 根据判别式讨论:无根的或两根相等的导函数只有一种符号,相应原函数是单调的较简单 应先讨论; 然后再讨论有两不等根的, 结合导函数图象列变化表, 注意用根的符号 x1 , x 2 代 替复杂的式,最后结论才写回.个别点处导数为 0 不影响单调性.只有在某区间内导数恒 为 0 时,相应区间内原函数为常数,一般中学所见函数除分段函数和常函数外不会出现此 种情况. 总结:求单调区间要确定定义域,确定导函数符号的关键是看分子相应函数,因此讨论点 有:第一是类型(一次与二次的根个数显然不同);第二有没有根(二次的看判别式) ,第 三是有根是否为增根(在不在定义根内;第四有根的确定谁大;第五看区间内导函数的正 负号(二次函数要看开口) .确记要数形结合,多数考题不会全部讨论点都要讨论的,题 中往往有特别条件,不少讨论点会同时确定(即知一个就同时确定另一个) .判别式与开 口的讨论点先谁都可以,但从简单优先原则下可先根据判别式讨论,因为当导函数无根时 它只有一种符号,相应原函数在定义域内(每个连续的区间)为单调函数较简单.

5

导数的应用—含参函数的单调性讨论
班级 1.已知函数 f ( x) ? ln x ? 姓名
a ,求 f ( x) 的单调区间. x

解: 函数的定义域为(0, +?),f ? ? x ? ?

1 a x?a ? ? 2 , x x2 x

令f ' ? x? ? 0得: x? ? a

? ? x ? ?0 , ? ? 若 ? a ?0即 a ?0 ,则 f f ? f

在 ?x

( 0 ,?上单调递增; ?)

? ? x? ? 0 若 ? a ? 0即 a? 0 ,则由 f 得x>-a 由 , ?f? x ? ? 得 0 x<-a ) ,在 ? 0,-a ? 上单调递减. ? x? 在(? a,?? 上单调递增 总之,当a ? 0时,f ? x , ?上单调递增; ) ?在 ( 0 ? 当a ? 0时, f? x 上单调递增 ) ,在 ? 0,-a ? 上单调递减. ? 在 (? a, ? ?
1 2 x -ax+(a-1) ln x ,讨论函数 f ( x) 的单调性,求出其单调区间. 2 解: f ( x) 的定义域为 (0, ??) .
2.已知函数 f(x)=

f ' ( x) ? x ? a ?

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a) ? x ? 1? ? ? x ? ? a ? 1? ? ? = ? ? x x x x

令f ' ? x ? ? 0得:x1 ? 1, x2 ? a ? 1
(1) 若a ? 1 ? 0即a ? 1 时,f ' ( x) ? 0 ? x ? 1; f ' ( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1

? 此时f ( x)在(1,??)单调递增, 在(0,1)单调递减

时, (2) 若a ? 1 ? 0即a ? 1
①若 a ? 1 ? 1即 a ? 2 时, f ( x) ?
'

( x ? 1)2 >0, 故 f ( x) 在 (0, ??) 单调递增. x
'

②若 0< a ? 1 ? 1 ,即 1 ? a ? 2 时, 由 f ( x) ? 0 得, a ?1 ? x ? 1 ;由 f ( x) ? 0 得, 0 ? x ? a ?1或x ? 1
'

故 f ( x) 在 (a ? 1,1) 单调递减,在 (0, a ? 1),(1, ??) 单调递增. ③若 a ? 1 ? 1,即 a ? 2 时, 由 f ( x) ? 0 得, 1 ? x ? a ? 1 ;由 f ( x) ? 0 得, 0 ? x ? 1或x ? a ?1
' '

故 f ( x) 在 (1, a ? 1) 单调递减,在 (0,1),(a ? 1, ??) 单调递增. 综上所述,当 a ? 1 , f ( x) 单调增区为 (1,??) ,减区间是 (0,1) ; 当 1 ? a ? 2 时, f ( x) 的减区间是 (a ? 1,1) ,增区间是 (0, a ? 1),(1, ??) ; 当 a ? 2 时, f ( x) 在定义域上递增,单调增区为 (0, ??) (不存在减区间); 当 a ? 2 时, f ( x) 的减区间是 (1, a ? 1) ,在增区间是 (0,1),(a ? 1, ??) .
6

3.已知函数 f ( x) ? ax ? 3x ? 3x ? 1, a ? R ,讨论函数 f ( x) 的单调性.
3 2

解: 因为 f ( x) ? ax ? 3x ? 3x ? 1, a ? R ,
3 2

所以 f ( x) ? 3(ax ? 2 x ? 1)
/ 2

(1) 当 a ? 0 时, f ( x) ? 3(2 x ? 1) ,
/

当x??

1 1 , 时, f / ( x) ? 0 ;当 x ? ? , 时, f / ( x) ? 0 ; 2 2

所以函数 f ( x) 在 (??, ? ] 上单调递增,在 [? , ??) 上单调递减; (2) 当 a ? 0 时, f ( x) ? 3(ax ? 2 x ? 1) 的图像开口向上, ? ? 36(1 ? a)
/ 2

1 2

1 2

I) 增;

当 a ? 1时,? ? 36(1 ? a) ? 0, 时, f ( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 R 上递
/

II) 当 0 ? a ? 1时,? ? 36(1 ? a) ? 0, 时,方程 f ( x) ? 0 的两个根分别为
/

x1 ?

?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a , x2 ? , 且 x1 ? x2 , a a ?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a ),( , ??) 上单调递增, a a

所以函数 f ( x) 在 ( ??,

在(
/

?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a , ) 上单调递减; a a
2

(3) 当 a ? 0 时, f ( x) ? 3(ax ? 2 x ? 1) 的图像开口向下,且 ? ? 36(1 ? a) ? 0 方程 f ( x) ? 0 的两个根分别为 x1 ?
/

?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a , x2 ? ,且 a a

x1 ? x2 ,
所以函数 f ( x) 在 ( ??,

?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a ) ,( , ??) 上单调递减, a a

在(

?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a , ) 上单调递增。 a a ?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a , ) 上单调递增, a a

综上所述,当 a ? 0 时,所以函数 f ( x) 在 ( 在 ( ??,

?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a ) ,( , ??) 上单调递减; a a
7

当 a ? 0 时, f ( x) 在 (??, ? ] 上单调递增,在 [? , ??) 上单调递减; 当 0 ? a ? 1时 ,所以函数 f ( x) 在 ( ??, 增, 在(

1 2

1 2

?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a ) ,( , ??) 上单调递 a a

?1 ? 1 ? a ?1 ? 1 ? a , ) 上单调递减; a a

当 a ? 1时 ,函数 f ( x) 在 R 上递增; 4.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 解:因为 f ( x) ? ln x ? ax ?
'

1? a ? 1 (a ? R) .讨论 f ( x) 的单调性. x

1? a ? 1 的定义域为 (0,??) x

1 a ? 1 ax 2 ? x ? 1 ? a x ? (0, ??) , 所以 f ( x) ? ? a ? 2 ? x x x2


h( x) ? ax 2 ? x ? 1 ? a, x ? (0, ??) ,则 f ' ( x)与g ( x) 同号

法一:根据熟知二次函数性质可知 g(x)的正负符号与开口有关,因此可先分类型讨论:

① 当 a<0 时,由于

1 ? 1<0 <1, h( x) 开口向下,结合其图象易知 a

x ? (0,1) , h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减; x ? (1, ??) 时, h( x)<0 ,此时 f ' ( x)>0 ,函数 f ( x) 单调递增.
②当 a ? 0 时, h( x ) 开口向上,但 x 2 是否在定义域需要讨论:

8



1 ? 1 ? 0 ? a ? 0或a ? 1 所以 a
1 ? 1<0 <1, h( x) 开口向上,结合其图象易知 a

i) 当 a ? 1时,由于

x ? (0,1) , h( x)<0 ,此时 f ' ( x)>0 ,函数 f ( x) 单调递增. x ? (1, ??) 时, h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减;
ii)当 0 ? a ? 1 时,g(x)开口向上且 x1 , x2 ? (0,??) ,但两根大小需要讨论: a) 当 a ?

1 时, x1 ? x2, h( x )≥0 恒成立, 2
'

此时 f ( x)≤0 ,函数 f ( x) 在 上单调递减; (0,+?) b) 当 0<a< 时, ? 1 >1>0 ,g(x)开口向上且在(0, ? ? )有两根

1 2

1 a

x ? (0,1) 时, h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减;

1 x ? (1, ? 1) 时 h( x)<0 ,此时 f ' ( x)>0 ,函数 f ( x) 单调递增; a 1 ' 此时 f ( x)<0 , 函数 f ( x) 单调递减; x ? ( ? 1, ??) 时,h( x)>0 , a
c) 当

1 1 ? a ? 1 时, 0 ? ? 1 ? 1 ,g(x)开口向上且在(0, ? ? )有两根 2 a x ? (0, 1 ? 1) 时, h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减; a

1 x ? ( ? 1,1) 时 h( x)<0 ,此时 f ' ( x)>0 ,函数 f ( x) 单调递增; a
x ? (1,??) 时, h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减;
小结: 此法是把单调区间讨论化归为导函数符号讨论,而确定导函数符号的分子是常见二次 型的,一般要先讨论二次项系数,确定类型及开口;然后由于定义域限制讨论其根是否在 定义域内,再讨论两根大小注,结合 g(x)的图象确定其在相应区间的符号,得出导函数符 号。讨论要点与解含参不等式的讨论相应。 法二:
9



1 ? 1 ? 0 ? a ? 0或a ? 1 a
i)当 a<0 时,由于

1 ? 1<0 <1, h( x) 开口向下,结合其图象易知 a

x ? (0,1) , h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减; x ? (1, ??) 时, h( x)<0 ,此时 f ' ( x)>0 ,函数 f ( x) 单调递增.
ii)当 a ? 1时,由于

1 ? 1<0 <1, h( x) 开口向上,结合其图象易知 a

x ? (0,1) , h( x)<0 ,此时 f ' ( x)>0 ,函数 f ( x) 单调递增.
x ? (1, ??) 时, h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减;


1 ? 1 ? 0 ? 0 ? a ? 1 时 g(x)开口向上且 x1 , x2 ? (0,??) a
i)当 a ?

1 时, x1 ? x2, h( x )≥0 恒成立, 2
'

此时 f ( x)≤0 ,函数 f ( x) 在 上单调递减; (0,+?) ii)当 0<a< 时, ? 1 >1>0 ,g(x)开口向上且在(0, ? ? )有两根

1 2

1 a

x ? (0,1) 时, h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减;

1 x ? (1, ? 1) 时 h( x)<0 ,此时 f ' ( x)>0 ,函数 f ( x) 单调递增; a 1 ' x ? ( ? 1, ??) 时,h( x)>0 , 此时 f ( x)<0 , 函数 f ( x) 单调递减; a
10

iii) 当

1 1 ? a ? 1 时, 0 ? ? 1 ? 1 ,g(x)开口向上且在(0, ? ? )有两根 2 a x ? (0, 1 ? 1) 时, h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减; a

1 x ? ( ? 1,1) 时 h( x)<0 ,此时 f ' ( x)>0 ,函数 f ( x) 单调递增; a
x ? (1,??) 时, h( x)>0 ,此时 f ' ( x)<0 ,函数 f ( x) 单调递减;
5.设 a ? 0 ,讨论函数 f ( x) ? ln x ? a(1 ? a) x ? 2(1 ? a) x 的单调性.
2

解:函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??)

f ?( x) ?

1 2a(1 ? a) x 2 ? 2(1 ? a) x ? 1 ? 2a(1 ? a) x ? 2(1 ? a) ? (x>0) x x
2

令 g ( x) ? 2a(1 ? a) x ? 2(1 ? a) x ? 1,则 f ' ( x) 与 g ( x) 同号 (1)当 a ? 1 时, g ( x) ? 1, f ' ( x) ?
2

1 ? 0, f ( x) ? ln x 在定义域 (0,??) 上为增函数 x
2

(2) 当 a ? 1 时, ? ? 4(1 ? a) ? 8a(1 ? a) ? 12a ? 16a ? 4 ? 4(3a ? 1)(a ? 1) ? 当? ? 0 ?

1 ? a ? 1 时,g(x)开口向上,图象在 x 轴上方,所以 g ( x) ? 0 3

所以 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增 ? 当

??0?

1 a ? 或a ? 1 3

,







f ?( x ?)

, 0





x1 ?

1? a ? ? 1? a ? ? , x2 ? 2a (1 ? a ) 2a (1 ? a )

由于 2a(1 ? a) ? 0 ? 0 ? a ? 1 ? g ( x)开口向上且0 ? x1 ? x2 , 因此可进一步分类讨论如下: i) 当 a ? 1 时, 2a(1 ? a) ? 0 ? g ( x)开口向下,x
2

? 0 ? x1

∵ x ? 0 , f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? x1 ; f ?( x) ? 0 ? x ? x1 则 f ( x) 在 (0,

1 ? a ? (3a ? 1)(a ? 1) ) 上单调递增, 2a (1 ? a )

11

在(

1 ? a ? (3a ? 1)(a ? 1) , ??) 上单调递减 2a(1 ? a)

ii)当 0 ? a ?

1 时, f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? x1 或 x ? x2 ; f ?( x) ? 0 ? x1 ? x ? x2 3
1 ? a ? (3a ? 1)(a ? 1) 1 ? a ? (3a ? 1)(a ? 1) ) ,( , ??) 上单调 2a (1 ? a ) 2a(1 ? a)

则 f ( x) 在 (0, 递增, 在(

1 ? a ? (3a ? 1)(a ? 1) 1 ? a ? (3a ? 1)(a ? 1) , ) 上单调递减 2a(1 ? a) 2a(1 ? a)

综上所述,f(x)的单调区间根据参数 a 讨论情况如下表:

0?a?
(0, x1 )
增? (其中 x1 ?

1 3
( x2 , ??)
增?

1 ? a ?1 3
(0, ??)
增?

a ?1
(0, x1 )
增?

( x1 , x2 )
减?

( x1 , ??)
增?

(a ? 1)(3a ? 1) (a ? 1)(3a ? 1) 1 1 ) ? , x2 ? ? 2a 2a (1 ? a ) 2a 2a (1 ? a )
1 2 kx ( k ≥0),求 f ( x )的单调区间. 2

6.已知函数 f ( x )= ln (1+ x )- x + 解: x ? (?1, ??) , f '( x) ?

1? k x(kx ? k ? 1) ' . 令f ? x ? ? 0得:x1 ? 0, x2 ? , ? k ? 0? 1? x k
x . 1? x

(1) 当 k ? 0 时, f '( x) ? ?

所以,在区间 (?1,0) 上, f '( x) ? 0 ;在区间 (0, ??) 上, f '( x) ? 0 . 故 f ( x) 的单调递增区间是 (?1,0) ,单调递减区间是 (0, ??) . (2)当 x2 ? ?1即

1? k ? ?1时,考虑到k>0得,无解 . k
x2 ?0 1? x
故 f ( x) 的单调递增区间是 (?1, ??) .

(3)当 x2 ? x1 即 k ? 1 时, f '( x) ?

(4)当 x2 ? x1 即 0 ? k ? 1(? k ? 0 )时,

12

由 f ( x) ? 0 得, 0 ? x ?
'

1? k 1? k ' ;由 f ( x) ? 0 得, ?1 ? x ? 0或x ? k k
1? k 1? k ). , ??) ,单调递减区间是 (0, k k

故 f ( x) 的单调递增区间是 (?1,0) 和 ( (5)当 x2 ? x1 即 k ? 1 (? k ? 0 )时, 由 f ( x) ? 0 得,
'

1? k 1? k ? x ? 0 ;由 f ' ( x) ? 0 得, ?1 ? x ? 或x ? 0 k k
1? k 1? k ) 和 (0, ??) ,单调递减区间是 ( , 0) . k k

故 f ( x) 的单调递增区间是 (?1,

综上知: 当 k ? 0 时, f ( x) 得单调递增区间是 (?1,0) ,单调递减区间是 (0, ??) ; 当 k ? 1 时, f ( x) 的单调递增区间是 (?1, ??) ; 当 0 ? k ? 1 时, f ( x) 的单调递增区间是 (?1,0) 和 (

1? k , ??) ,单调递减区间是 k

(0,

1? k ) k
1? k )和 (0, ??) ,单调递减区间是 k

当 k ? 1 时, f ( x) 的单调递增区间是 (? 1,

1? k ( , 0) . k

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