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3.1空间向量及其运算


空间向量及其运算

空间向量及其加减运算

复习 请你根据下列提示复习平面向量相关知识 1、相关概念: 向量,模,零向量,单位向量, 相等(反)向量,共线向量

2、平面向量运算
(1)向量的加法:平行四边形法则,三角形法则 (2)向量的减法

? a
? b

/>a

A ? ?

? a ?b

? C a

? b
? ? a ?b

o

? b

B

? a

A ? ?
a ?b
? b

思考

一个质量分布均匀的正三角形钢板, 重量为500N,在它的三个顶点处同时受力, 每个力与它相邻的三角形两边之间的夹角 都是60度,且大小均为200N,问钢板将 如何运动?

o 500N

问题 什么是空间向量?
从建筑物上找向量的影子

在空间里既有大小又有 方向的量叫做空间向量。 向量的大小叫向量的模

问题 空间向量怎样表示?什么是向量的模? 空间向量用有向线段表示, 有向线段的长度表示向量的模
向量
零向量:长度为0的向量叫零向量 单位向量:长度为1的向量叫单位向量 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量
相反向量:长度相等且方向相反的向量叫相反向量

问题 阅读教材P85内容,怎样定义空间向 量的加法与减法?
空间向量可以平移到同一平面内,其加减法 与平面向量的加减法一样.

问题 空间向量的加法是否满足交换律?

C

B

b b

b

O

A

a

a

空间向量加法交换律:

3. 空间向量及其加减

平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 减法:三角形法则
加法交换律 a ? b ? b ? a
加法结合律

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
加法交换律 a ? b ? b ? a 成立吗? 加法结合律

运 算 律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

问题

空间向量的加法是否满足结合律?

O

( a + b )+ c = a +( b + c ) O
a b
+

a
A

c
B

C

A

C

b

B

c

b

c

探究

11

三 . 举例
例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB ? BC ( 2) AB ? AD ? AA1 1 (3) ( AB ? AD ? AA1 ) 3 1 ( 4) AB ? AD ? CC1 2
A A1
G D C D1 B1 M C1

B

始点相同的三个不共面向量之和,等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量

课本

(3)实数与向量的积的运算规律

? ? 设a、b 为任意向量, ?、?为任意实数,则有: ? ? (1)? (?a ) ? (? ? ? )a ? ? ? (2)(? ? ? )a ? ?a ? ?a ? ? ? ? (3)? (a ? b ) ? ?a ? ?b
? ? ? 特别地,有: (?? )a ? ?(?a ) ? ? (?a ) ? ? ? ? ? (a ? b ) ? ?a ? ?b

2015-1-26

(4)向量的数量积

? ? 已知非零向量 a、b , 他们的夹角是 ?, ? ? ? ? 则数量 a b cos?叫做a与b 的数量积(或内积) ? ? ? ? ? ? 记作a ? b ,即有a ? b ? a b cos?

3.平面向量坐标运算

空间向量的数乘运算

问题1

什么是空间向量的数乘?

问题2 空间向量的数乘仍满足分配律与结合律吗?

问题3 什么是共线向量(平行向量)?
如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行 或重合,则这些向量叫共线向量或平行向量

探究

问题 什么是直线的方向向量? 4

问题5

类似于平面上点在直线上的充要条件,想一 想空间中点在直线上的充要条件是什么?

问题6 空间中三点共线的充要条件是什么?

问题7 什么是共面向量?
平行于同一平面(或在同一平面内)的向量叫共面向量

问题8
探究

空间中任意两个向量是否是共面向量?任意 三个向量共面的充要条件是什么呢?

问题9 空间一点位于平面内的充要条件是什么?

问题10 利用向量如何判定三点共线?

问题11

利用空间一点位于平面内的充要条件可 得点P与点A、B、C共面

知识点1

向量的概念

例1

知识点2 向量的加减运算和数乘运算 例 2

知识点3
例3

共线向量和共面向量

变式

例4

变式

空间向量的数量积运算

问题 什么是空间向量的夹角?

问题

什么是向量的数量积?

零向量与任何向量的数量积为零.
问题

问题 空间向量的数量积还满足平面向量的数量积
的运算律吗?

问题

问题

不能,向量没有除法
问题

知识点1 利用空间向量的数量积证明垂直

例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条
斜线的射影垂直,那么它和这条斜线垂直.

三垂线 定理

38

在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线 垂直,那么它和这条斜线在平面内的射影垂直.

问题

三垂线定理 的逆定理

你可以几何方法证明吗?

例2

直线与平面垂 直的判定定理

空间向量的数量积运算

知识点1 例3

利用空间向量的数量积证明垂直

知识点2
例4

求长度(或距离)

例5

知识点3 利用空间向量求空间角
例6

变式

问题

探究

空间向量的基本定理

问题

构成空间的基底应具备什么条件?

问题 阅读教材P90-91的内容,什么叫正交基底? 什么是空间向量的坐标?

知识点1 空间向量基本定理及其应用
例1

知识点1 空间向量基本定理及其应用
例2

变式

例3

变式

知识点2 例4

单位正交基底与空间直角坐标系

61

变式

知识点3
例4

空间向量的坐标表示

63

问题1 空间向量的坐标表示如何表示? 你能类比平面向量的加法、减法、数乘及 问题2 数量积运算的坐标表示,推导一下空间向 量的向量的加法、减法、数乘及数量积运 算的坐标表示吗?

问题2 你能类比平面向量运算的坐标表示,推导 一下空间向量的向量平行、垂直条件的坐 标表示吗?空间向量的模长、向量的夹角、 两点间的距离如何计算?

知识点1

向量运算的坐标表示

例1

例2

知识点2 利用向量的坐标证明平行与垂直
例3

知识点3 利用向量的坐标运算求夹角与距离
例3


3.1空间向量及其运算测试doc

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