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2015届高考调研文科7-4

时间:2014-05-16


高考调研

新课标版 · 高三数学(文)

第 4 课时

基本不等式

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1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题.

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请注意!

基本不等式是不等式中的重要内容,也是历年高考重点之 一,它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节,且常考常新, 但是它在高考中却不外乎大小判断、 求取值范围以及最值等几方 面的应用.

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1.基本不等式 a+b 若 a,b∈R ,则 2 ≥ ab,当且仅当 a=b 时取“=”.


这一定理叙述为:两个正数的算术平均数 不小于 几何平均数.

它们的

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2.常用不等式 1 ( ) 若 a, b∈R, 则 a2+b2≥2ab, 当 且 仅 当
? a2+b2 ? ?a+b?2 2 ( ) ≥ab. ? 2 ≥? ? 2 ?

a=b 时取“=”.

3 ( ) a2+b2≥2|ab|. 4 ( )
? 1? ?x+ ?≥2. x? ?

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3.利 用 基 本 不 等 式 求 最 大 、 最 小 值 问 题 1 ( ) 如 果 x,y∈(0, + ∞) , 且 xy=p(定 值 ), 那 么 当

x=y 时 , x+y 有 最 小 值

2 p

.

2 ( ) 如 果 x,y∈(0, + ∞) , 且 x+y= S( 定 值 ), 2 S 那 么 当 x=y 时 , xy 有 最 大 值 4 .

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1. 下 列 函 数 中 , 最 小 值 为 4 ①y=x+ x; ②y=n i s x+n ( < x< π ) ; i s x0 ③y=4 e x+e-x; ④y=o g l
答案

4的 是_ _ _ _ _ _ _ _



4

g l 3x+o


0 ( < x3

x< 1 ) .

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解析 注意基本不等式等号成立的条件是“a=b”, 同 时 考 虑函数的定义域,①x 的定义域为 x∈R,且 x≠0,函数没有最 小值; ②若 n i s x=n 则n i s i s x取到最小值 4, 没有最小值.故填③. 4
2

x=4, 显 然 不 成 立 .



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2. 2 ( 0 1 ·

陕 西 文 )设 0<a<b, 则 下 列 不 等 式 中 正 确 的 是 a+b B.a< ab< 2 <b D . a+b ab<a< 2 <b

(

)

a+b A . a<b< ab< 2 a+b C.a< ab<b< 2
答案 B

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a+b 解析 代入 a=1, b=2, 则 有 0<a=1< ab= 2< 2 =1.5<b =2.我 们 知 道 算 术 平 均 数 a+b 几 何 平 均 数 2 与 B. ab的 大 小 关 系 , 其

余各式作差(作商)比 较 即 可 , 答 案 为

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3.若 x+2y=4,则 2x+4y 的 最 小 值 是 A.4 C.2 2
答案 B
+2 y

(

)

B.8 D.4 2
=2 24=8,当且仅当 2x

解析 ∵2x+4y≥2 2x· 22y=2 2x =22y,即 x=2y=2 时取等号, ∴2x+4y 的 最 小 值 为 8.

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4.(课本习题改编)设 x>0,y>0,且 x+4y=40,则 lgx+lgy 的最大值是( A.40 C.4
答案 D

) B.10 D.2

解析 ∵x+4y=40,且 x>0,y>0, ∴x+4y≥2 x· 4y=4 xy.(当且仅当 x=4y 时取“=”) ∴4 xy≤40.∴xy≤100. ∴lgx+lgy=lgxy≤g 1 l0 0 =2.

∴lgx+lgy 的最大值为 2.
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5.当 x>2 时 , 不 等 式 范 围 是 ( )

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1 x+ ≥a 恒 成 立 , 则 实 数 x -2

a的 取 值

A.(-∞,2 ] C.[0, + ∞)
答案 B

B.(-∞,4 ] D.4 2 ] [ ,

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1 ∵x + ≥2 恒 成 立 , x-2

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解 析

∴a 必 须 小 于 或 等 于 ∵x>2,∴x-2 > 0 .

1 x+ 的 最 小 值 . x-2

1 1 ∴x+ =(x-2)+ +2≥4 . x -2 x-2

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3

6.(课本习题改编)建造一个容积为 8 m 体 无 盖 水 池 , 如 果 池 底 和 池 壁 m 1
2

, 深 为

2 m

的长方

的造价分别为 120 元和 80 元,

那么水池表面积的最低造价为________元.
答案 7 1 6 0

解 析

设 水 池 底 面 的 长 度 、 宽 度 分 别 为 y,

a m, b m, 则a b =4,

令 水 池 表 面 的 总 造 价 为

则 y=a b ×1 2 0 +2 ( a+2b)×8 0 =4 8 0 +3 2 0 ( 7 6 0 , 当 且 仅 当 a + b)≥4 8 0 +3 2 0 ×2 a b =4 8 0 +3 2 0 ×4 = 1 a=b=2 时 取 “=”.
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16x2-28x+11 5 例 1 已知 x>4,求函数 y= 的最小值. 4x-5 B 【思路】 通过换元转化为形如 Ax+ x +C 形式的函数. 5 【 解 析 】 设 4x-5=t,∵x>4,∴t>0 .
t+5 2 t +5 1 6 ? 4 ? -2 8 · 4 +11 t2+3t+1 ∴y= = t t 1 =t+ t +3≥2+3=5 .
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3 当且仅当 t=1 即 x=2时,上式取“=”号. 3 ∴x=2时,yn m i =5.
【答案】 5

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探 究 1

运 用 均 值 不 等 式 求 最 值 时 , 必 须 注 意 以 下 三 点 :

1 ( ) 各 项 或 各 因 式 均 正 ; 2 ( ) 和 或 积 为 定 值 ; 3 ( ) 等 号 成 立 的 条 件 存 在 . 必 要 时 做 适 当 变 形 , 以 满 足 上 述 前 提 .

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4 思考题 1 1 ( ) 若将例 1 中的条件变为 x≤5, 求 y 的最小值. t +5 【 解 析 】 设 4x-5=t, 则 x= 4 .
4 9 ∵x≤5,∴t≤-5. t2+3t+1 1 ∴y= =t+ t +3 . t 1 1 设 g(t)=t+ t ,∴g′(t)=1-t2>0 . 9 ∴g(t)在(-∞, - 5]上 为 增 函 数 .
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9 5 29 ∴yn m i =- - +3= 5 9 45. 29 【答案】 45

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5 2 ( ) 若将例 1 中的条件变为 x≠4,求 y 的值域.
【 解 析 】 设 4x-5=t, 则 t ≠0 . 1 ∴y=t+ t +3 . 当 t>0 时 , y≥2+3=5; 当 t<0 时 , y≤-2+3=1 . ∴函 数 的 值 域 为
【答案】

(-∞,1 ] ∪[5,+∞).

(-∞,1]∪[5,+∞)

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5 3 ( ) 若将例 1 中的条件变为 0<x<4时,求 y 的最大值. 5 【 解 析 】 x∈(0,4)时 , t∈(-0 5 ) , .
1 1 y=t+ t +3 , y′=1-t2. 令 y′=0, 得 t= -1 . t∈(-5, -1 )时 , y′>0 . t∈(-0 1 ) , 时 , y′<0 .

∴t = - 1时 , yx . m a =1
【答案】 1
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4 ( ) 自 己 总 结 形 如

Ax2+Bx+C y= 或 y= x

x 的一类函 Ax2+Bx+C

数的值域或最值的求法.
【答案】 略

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1 9 例2 1 ( ) 已知 x>0,y>0,且x +y =1,求 x+y 的最小值. 16 2 ( ) 已知 a>b>0,求 a + 的最小值. b?a-b?
2

1 ( ) 【 思 路 一 】

求二元函数 f(x,y)=x+y 的最值的一般方

法是通过已知等式进行代入消元,转化为一元函数.

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【 解 析 一 】

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1 9 9x 9 由x +y =1, 得 y= =9+ . x-1 x-1

?x>0, ? 9x 由? y= > 0, ? ? x-1

得 x>1 .

9 9 ∴x+y=x+9+ =x-1+ +1 0 x-1 x-1 ≥2 9+1 0 =1 6 . (当 且 仅 当 9 x-1= 即 x =4 时 , 上 式 取 x-1 1 6 .
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“=”号 .)

∴x+y 的 最 小 值 为

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【 思 路 二 】 后 利 用 均 值 不 等 式 求 解 . 【 解 析 二 】 1 9 ∵x +y =1, 对 二 元 函 数 也 可 转 化 为 形 如

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Ax By 函 数 , 然 y+x型

1 9 9x y ∴x+y=(x+y)(x +y )=1+ y +x+9 9x y =1 0 + y +x≥1 0 +2 (当 且 仅 当 9x y 6 . y· x=1 “=”号 .)

9x y 2 时 , 上 式 取 y =x即 x=4,y=1 1 6 .

∴x+y 的 最 小 值 为

【答案】

16
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2 ( ) 【 思 路 】

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由 b(a-b)求出最大值,从而去掉 b,再由 a2

64 + a2 ,求出最小值. 【 解 析 】 ∵a>b>0,∴a-b> 0 .
b+?a-b? 2 a2 ∴b(a-b)≤[ ] =4. 2 1 6 6 4 2 ∴a + ≥a + a2 ≥2 b?a-b?
2 2

6 4 a· 6 . a2 =1
2

6 4 当 a = a2 且 b=a-b, 即 a=2 2,b= 2时 等 号 成 立 .

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16 ∴a + 的最小值为 16. b?a-b?
2

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【答案】

16

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探究 2 二元函数求最值,方法一是将二元化一元,方法二 是直接运用不等式.
思考题 2 1 ( ) 已知 x>0,y>0,2x+y=1,则 xy 的 最 大 值 为__________.

【 解 析 】

2x+y 2 1 ∵2xy≤( 2 ) =4, 1 1 2x=y 即 x=4,y=2时 取 “=”号 .) 1 8.

1 ∴xy≤8(. 当 且 仅 当 ∴xy 的 最 大 值 为

1 【答案】 8
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2 ( ) 已 知 不 等 式

1 a (x+y)(x+y)≥9 对 任 意 正 实 数 ) B.4 D.8

x,y 恒 成 立 ,

则正实数 a 的最小值为( A.2 C.6

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【 解 析 】 1 ) 2, 当 且 仅 当

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1 a x y (x+y)(x +y )=1+a· y+x+a≥1+a+2 a=( a+

x y 2 2 a· = , 即 a x = y 时“=”成 立 . y x ( a+1 ) 2≥9.

1 a ∴(x+y)(x +y )的 最 小 值 为 ∴a≥4 .
【答案】 B

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例 3 已知 a>0,b>0,且 ab=a+b+3,求 a+b 的最小 值.
【思路一】 化二元函数为一元函数. a+3 ∵ab=a+b+3,∴b= . a-1

【解析一】

?a>0, ? 由? a+3 b= >0, ? a - 1 ?

得 a>1.

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a+3 4 ∴a+b=a+ =a+1+ a-1 a-1 4 =a-1+ +2≥2 a-1 4 ?a-1?· +2=6. a-1

4 (当且仅当 a-1= 即 a=3 时,上式取“=”号.) a-1 ∴a+b 的最小值为 6.

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a+b 2 【思路二】 将 ab=a+b+3 与 ab≤( 2 ) 联立消去 ab 可 建立关于 a+b 的 不 等 式 , 求 出 b 的最小值. a+b 的 取 值 范 围 , 从 而 求 得 a+

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【 解 析 二 】 a+b 2 ∵a b ≤( 2 ) ,①

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将a b =a+b+3 代 入 ①式 , 得 a+b 2 a+b+3≤( 2 ) . 整 理 得 (a+b)2-4 ( a+b)-1 2 ≥0, 解 得 a+b≥6 或 a+b≤-2 . ∵a>0,b>0,∴a+b≥6 . ∴a+b 的 最 小 值 为
【答案】 6
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6 .

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探究 3 利用基本不等式求变量的取值范围也是高考的常见 题型.
思考题 3 设 x>0,y>0,且(x-1 ( ) y-1)≥2,则 xy 的取

值范围为__________.

【解析】 (x-1 ( ) y-1)=xy-(x+y)+1 ≤xy-2 xy+1, 又(x-1 ( ) y-1)≥2,即 xy-2 xy+1≥2, ∴ xy≥ 2+1,∴xy≥3+2 2.
【答案】 [3+2 2,+∞)
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例 4 已知 a,b,c∈R,求证: 1 ( ) a2+b2+ b2+c2+ c2+a2≥ 2(a+b+c);

2 ( ) a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).
【 证 明 】 a2+b2 a+b 2 1 ( ) ∵ 2 ≥( 2 ) ,

a2+b2 |a+b| a+b ∴ ≥ 2 ≥ 2 . 2 2 即 a +b ≥ 2 (a+b).
2 2
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2 同理 b +c ≥ 2 (b+c),
2 2

2 c +a ≥ 2 (c+a).
2 2

三式相加得 a2+b2+ b2+c2+ c2+a2≥ 2(a+b+c).

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2 ( ) ∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2, ∴2 ( a4+b4+c4)≥2 ( a2b2+b2c2+c2a2). 即 a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2. 又 a2b2+b2c2≥2a b 2c,b2c2+c2a2≥2a b c c2a2+a2b2≥2a2b c, ∴2 ( a2b2+b2c2+c2a2)≥2 (a b 2 c +a b c 即 a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+a b c
【答案】 略
2 2 2



+a2b c ).

+a2b c =a b c (a+b+c).

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探 究 4

证 明 不 等 式 时 , 可 依 据 求 证 式 两 端 的 式 子 结 构 , 合

理 选 择 重 要 不 等 式 及 其 变 形 不 等 式 来 证 . 本 题 先 局 部 运 用 重 要 不 等 式 , 然 后 用 不 等 式 的 性 质 , 通 过 不 等 式 相 加 (有 时 相 乘 )综 合 推 出 要 求 证 的 不 等 式 , 这 种 证 明 方 法 在

证 明 这 类 轮 换 对 称 不 等 式 时 具 有 一 定 的 普 遍 性 .

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思考题 4

已知 a>0,b>0,c>0 且 a,b,c 不全相等,求

bc ac ab 证: a + b + c >a+b+c.
【证明】 ∵a,b,c ∈R ,且不全相等, bc ac ∴ a + b ≥2 bc ac a· b =2c.


ac ab ab bc 同理: b + c ≥2a, c + a ≥2b.

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上述三个等号至少有一个不成立,三式相加,得
?bc ac ab? 2? a + b + c ?> 2 ( ? ?

a+b+c).

bc ac ab 即 a + b + c >a+b+c.
【答案】 略

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例5 如 图 所 示 , 为 处 理 含 有 某 种 杂 质 的 污 水 , 要 制 造 一 个 底宽 m 2 的 无 盖 长 方 体 的 沉 淀 箱 , 污 水 从 A孔 流 入 , 经 沉 淀 后 从 b m,已知流出的水中 60 m2,

B 孔流出,设箱体的长度为 a m, 高 度 为

该杂质的质量分数与 a, b 的乘积 ab 成 反 比 . 现 有 制 箱 材 料 问 a,b 各为多少 m 时 , 经 沉 淀 后 流 出 的 水 中 该 杂 质 的 质 量 分 数 最小(A,B 孔面积忽略不计).

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【 解 析 】 根 据 题 意 可 知 : 依 题 意 要 使 由 题 设 , 得

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设y为 流 出 的 水 中 杂 质 的 质 量 分 数 , k y=a 其 中 b, y最 小 , 只 需 求 k是 比 例 系 数 且 a b 的 最 大 值 . k> 0 .

4b+2a b +2a=6 0 ( a>0,b> 0 ) ,

即 a+2b+a b =3 0 ( a>0,b> 0 ) . ∵a+2b≥2 2a b ,∴2 2· a b +a b ≤3 0 . 当 且 仅 当 a=2b 时 取 “=”号 ,a b 有 最 大 值 .

∴当 a=2b 时 有 2 2· a b +a b =3 0, 即 b2+2b-1 5 =0 .

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解之得 b1=3,b2=-5(舍去),∴a=2b=6. 故当 a=m 6 ,b=3 m 数最少.
【答案】 a=m 6 ,b=m 3

时经沉淀后流出的水中杂质的质量分

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探究 5 1 ( ) 解 应 用 题 时 , 一 定 要 注 意 变 量 的 实 际 意 义 , 从 而 指明函数的定义域. 2 ( ) 一 般 利 用 均 值 不 等 式 求 解 最 值 问 题 时 , 通 常 要 指 出 取 得 最值时的条件,即“等号”成立的条件. 3 ( ) 在 求 函 数 最 值 时 , 除 应 用 基 本 不 等 式 外 , 有 时 会 出 现 基 本不等式取不到等号,此时要利用函数的单调性.

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思 考 题 5 元 的 书 桌 共

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某 商 店 预 备 在 一 个 月 内 分 批 购 入 每 张 价 值 为 x 张(x 是 正 整 数 ), 且 每 批 均 需 付

2 0

3 6 张 , 每 批 都 购 入

运 费 4元 , 储 存 购 入 的 书 桌 一 个 月 所 付 的 保 管 费 与 每 批 购 入 书 桌 的 总 价 值 (不 含 运 费 )成 正 比 , 若 每 批 购 入 4张 , 则 该 月 需 用 去 运 4 8 元 资 金 可 以 用 于 支 付 运 费

费 和 保 管 费 共 和 保 管 费 .

5 2 元 , 现 在 全 月 只 有

1 ( ) 求 该 月 需 用 去 的 运 费 和 保 管 费 的 总 费 用 2 ( ) 能 否 恰 当 地 安 排 每 批 进 货 的 数 量 , 使 资 金 够 用 ? 写 出 你 的 结 论 , 并 说 明 理 由 .
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f(x);

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【 解 析 】

1 ( ) 设 题 中 比 例 系 数 为 2 0 x元 .

k, 若 每 批 购 入

x张 , 则 共

3 6 需 分 x批 , 每 批 价 值 为 由 题 意 , 知

3 6 f ( x) = x · 4+k2 0 · x.

1 6 1 由 x=4 时 , f4 ( ) =5 2, 得 k =8 0 =5. 1 4 4 ∴f(x)= x +4x0 ( < x≤3 6 ,x∈N*).

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1 4 4 2 ( ) 由1 ( ) 知 f(x)= x +4x0 ( < x≤3 6 ,x∈N*), ∴f(x)≥2 当 且 仅 当 1 4 4 8 ( 元). x ×4x=4 1 4 4 即 x =6 时 , 上 式 等 号 成 立 x =4x, 6张 书 桌 , 可 以 使 资 金 够 用 . .

故 只 需 每 批 购 入

144 【答案】 1 ( ) f(x)=4x+ x 0 ( < x≤36,x∈N*) 2 ( ) 每 批 购 入 6 张.

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1.x∈R,下列不等式恒成立的是( A.x +1≥x C.g ( l x2+1 > g ) 2 ( l
答案 A
2

)

1 B. 2 <1 x +1 x) D.x2+4 > 4 x

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2.2 ( 0 1 3 · A.9 C.3
答案 B

重庆) ?3-a??a+6?(-6≤a≤3)的最大值为( 9 B.2 3 2 D. 2

)

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解析

方法一:因为-6≤a≤3,所以 3-a≥0,a+6≥0. ?3-a?+?a+6? 9 ?3-a??a+6?≤ =2, 当 且 仅 2

由 基 本 不 等 式 , 可 知 3 当 a= - 2时 等 号 成 立 . 方 法 二 : 3 =-2时 等 号 成 立 .

?3-a??a+6?=

32 8 1 9 -?a+2? + 4 ≤2, 当 且 仅 当

a

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3.下列不等式证明过程正确的是( b a A.若 a,b∈R,则a+b≥2 ba a· b=2

)

B.若 x>0,y>0,则 lgx+lgy≥2 lgx g l· y 4 C.若 x<0,则 x+x ≥-2


4 x· x =-4


D.若 x<0,则 2x+2 x>2 2x· 2 x=2
答案 D

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解析 ∵x<0,∴2 ∈1 0 ) ( ,
- -

x

,2 > 1 .

-x

∴2x+2 x>2 2x· 2 x=2.∴D 正确. 而 A、B 首 先 不 满 足 “一正”,C 应当为“≤”.

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4. 已 知 函 数 ab 的最大值为( 1 A.2 C.2
答案 B

g(x)=2x, 且 有 )

g(a)g(b)=2,若 a>0 且 b>0,则

1 B.4 D.4
a+b 2 1 =2,∴a+b=1,ab≤( 2 ) =4, 故 选

解析 ∵2 2 =2 B.

a b

a+b

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5.2 ( 0 1 3 ·

山东)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则 )

z 当xy取得最小值时,x+2y-z的最大值为( A.0 C.2
答案 C

9 B.8 9 D.4

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2 2 z x -3xy+4y x 4y 解析 xy= =y+ x -3≥2 xy

x 4y 当 且 y· x -3=1, x+

仅当 x=2y 时等号成立,因此 z=4y2-6y2+4y2=2y2, 所 以 2y-z=4y-2y2=-2(y-1)2+2≤2.

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