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上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测


上海市浦东新区 2013—2014 学年度第一学期期末质量抽测

高三数学试卷(理卷)
2014.1 一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分, 否则一律得零分. 1. lim

n2 + 1 = ___________. n→∞ 2n 2 ? n
x < 0 的

解是___________. x ?1

2. 不等式

3.已知数列 {an } 中, a1 = 1 , an = an?1 + 3,( n ≥ 2, n ∈ N * ) ,则 an =___________. 4.已知 tan a、 tan β 是方程 x 2 + 6 x + 7 = 0 的两根,则 tan(a + β ) =_______. 5.甲校有 3600 名学生, 乙校有 5400 名学生, 丙校有 1800 名学生.为统计三校学生某方面的 情况,计划采用分层抽样法,抽取一个样本容量为 90 人的样本,则应在甲校抽取的学生数 是___________. 6.已知函数 f ( x) =

1 2x

?1 ?1 ?1 的反函数为 f ( x) ,则 f (12) = ___________. x 4

7.已知复数 z1 =+ 2 i, z2 =+ a 3i (a ∈ R), z1 ? z2 是 实数,则 z1 + z2 =___________. 8.二项式 ( x 2 ? )9 的展开式中,含 x 3 的项的系数是___________.

1 x

= AC 4, = BC 3 , 9.在锐角 ? ABC 中, 三角形的面积等于 3 3 , 则 AB 的长为___________.
10. 已知圆锥的底面半径为 3,体积是 12π ,则圆锥侧面积等于___________. 11. 某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为社区志愿者, 若用随机变量 ξ 表示选出 的志愿者中女生的人数,则随机变量 ξ 的数学期望 Eξ =_____(结果用最简分数表示). 13. 用 | S | 表示集合 S 中的元素的个数,设 A、B、C 为集合,称 ( A, B, C ) 有为有序三元 组.如果集合 A、B、C 满足 A ? B ? B ? C ? C ? A ? 1 ,且 A ? B ? C = ? ,则称有序 三元组 ( A, B, C ) 为最小相交.由集合 ?1, 2,3, 4? 的子集构成的所有有序三元组中,最小相交 的有序三元组的个数为 14. 已知函数 y= 函数,则 f (3) = .

f ( x), x ∈ N* , y ∈ N* ,对任意 n ∈ N* 都有 f [ f (n)] = 3n ,且 f ( x) 是增

-1-

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分) 每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项 是正确的,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.设 a, b ∈ R, a > b ,则下列不等式一定成立的是( (A) a 2 ? b 2 )

1 1 (C) a 2 ? ab ? a b ) 16. 方程 log 5 x ? sin x 的解的个数为(
(B) (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5

(D) 2a ? 2b

17.已知函数 f ( x) =

x2 ,则 x2 +1 ?1? f ? ? +?+ ?3? ? 1 ? f? ?+ ? 2013 ? ? 1 ? f? ?= ? 2014 ?

?1? f (1) + f ( 2 ) + ? + f (2013) + f ( 2014 ) + f ? ? + ?2?
( )

1 1 1 (C) 2012 (D) 2013 2 2 2 18. 如图所示,点 A, B, C 是圆 O 上的三点,线段 OC 与线段 AB 交于 ??? ? ??? ??? ? 圆内一点,若= ) OC mOA + nOB ,则(
(A) 2010

1 2

(B) 2011

A C
O B

(A) 0 < m + n < 1 ;

(B) m + n > 1 ;

(C) m + n < ?1 ; (D) ?1 < m + n < 0 ; 三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须写出 必要的步骤. 19. (本题满分 12 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分) 如 图 , 四 棱 锥 S ? ABCD 的 底 面 是 正 方 形 , SD ⊥ 平 面

= AD = 2 ABCD , SD
(1)求证: AC ⊥ SB ; (2)求二面角 C ? SA ? D 的大小.

20.(本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) (分贝) 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明, 声音强度 D 由公式 = D a lg I + b ( a、b 为非零常数)给出,其中 I (W / cm ) 为声音能量.
2

(1)当声音强度 D1 , D2 , D3 满足 D1 + 2 D2 = 3D3 时,求对应的声音能量 I 1 , I 2 , I 3 满足的 等量关系式; (2)当人们低声说话,声音能量为 10
?13

W / cm 2 时,声音强度为 30 分贝;当人们正常说
-2-

话,声音能量为 10

?12

W / cm 2 时,声音强度为 40 分贝.当声音能量大于 60 分贝时属于噪音,

一般人在 100 分贝~120 分贝的空间内,一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时, 人会暂时性失聪. (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 21、 如图, 设 A(

3 1 一个动点从点 A , ) 是单位圆上一点, 2 2

y

出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转一 周. 2 秒时,动点到达点 B , t 秒时动点到达点 P .设 O

A x

P ( x, y )















y = f (t = ) sin(ωt + ? ) (?

π
2

<? <

π
2

).

(1)求点 B 的坐标,并求 f (t ) ; (2)若 0 ≤ t ≤ 6 ,求 AP ? AB 的取值范围. 22、 (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) 已知实数 a > 0 ,函数 f ( x) =

??? ? ??? ?

1 ? x2 1 + x2 . +a 1 + x2 1 ? x2

(1)当 a = 1 时,求 f ( x) 的最小值; (2)当 a = 1 时,判断 f ( x) 的单调性,并说明理由; (3)求实数 a 的范围,使得对于区间 ? ? 以 f ( r )、f ( s )、f (t ) 为边长的三角形. 23、 (本题满分 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分) 设项数均为 k ( k ≥ 2, k ∈ N )的数列 {an } 、 {bn } 、 {cn } 前 n 项的和分别为 S n 、 Tn 、 U n .
*

? 2 5 2 5? , ? 上的任意三个实数 r、s、t ,都存在 5 ? ? 5

已知集合 {a1 , a2 , ? , ak , b1 , b2 , ? , bk } = {2, 4, 6, ? , 4k ? 2, 4k} . (1)已知 U n = 2n + 2 ,求数列 {cn } 的通项公式;
n

(2)若 S n ? Tn = 2n + 2

n

(1 ≤ n ≤ k , n ∈ N * ) ,试研究 k = 4 和 k ≥ 6 时是否存在符合
*

条件的数列对( {an } , {bn } ) ,并说明理由; ( 3 )若 an ? = bn 2n (1 ≤ n ≤ k , n ∈ N ) ,对于固定的 k ,求证:符合条件的数列对 ( {an } , {bn } )有偶数对.

-3-

上海市浦东新区 2013—2014 学年度第一学期期末质量抽测 高三数学试卷答案(理卷)
2014.1 一、填空题. 1.

1 2

2. 0 < x < 1 (或 (0,1) ) 8. -126 9.

3. 3n ? 2

4. 1

5. 30

6. log 2 3

7. 4 2 11. (理) 二、选择题 15. D

13

10. 15π 14.6

4 7

12. 1< a <4

13. 96

16. B

17. D

18. B

三、解答题 19.解:(1)连接 BD,∵ SD ⊥平面 ABCD

AC ? 平面 ABCD
∴AC⊥SD ………………4 分

又四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD ∴AC ⊥平面 SBD ∴AC⊥SB. ………………6 分

(2)设 SA 的中点为 E ,连接 DE 、 CE , ∵SD=AD,CS=CA, ∴DE⊥SA, CE⊥SA. ∴ ∠CED 是二面角 C ? SA ? D 的平面角. …………9 分 计算得:DE= 2 ,CE= 6 ,CD=2,则 CD⊥DE.

3 3 , ∠CED = cos ∠CED = arccos 3 3
所以所求二面角的大小为 arccos 20.解: (1)D D1 + 2 D2 = 3D3

3 .………12 分 3

∴ a lg I 1 + b + 2(a lg I 2 + b) = 3(a lg I 3 + b) ∴ lg I 1 + 2 lg I 2 = 3 lg I 3

…………………………2 分

………………………………………………4 分 …………………………………………………6 分

∴ I1 ? I 2 = I 3

2

3

-4-

(2)由题意得 ?

?? 13a + b = 30 ?? 12a + b = 40 ?a = 10 ? ?b = 160

………………………………………8 分

………………………………………10 分

∴ 100 < 10 lg I + 160 < 120
10 ?6 < I < 10 ?4
?6 ?4

………………………………………………………13 分 ………………………………14 分

答:当声音能量 I ∈ (10 ,10 ) 时,人会暂时性失聪. 21、解: (1)当 t = 2 时, ∠AOB =× 2 所以 ∠XOB =

π

2π π =, 12 3

2

所以,点 B 的坐标是(0,1) 又 t 秒时, ∠XOP = +

……………………………………………………2 分 ………………………………………………………4 分

π

π
6

6

t

π? ?π = ∴ y sin ? t + ? , (t ≥ 0) . …………………………………………………………6 分 6? ?6
(2)由 A ?

??? ? ? 3 1? , B (0,1) ,得 AB = , ? ? 2 2? ? ?
? ?

? 3 1? ? ?? 2 , 2? ?, ? ?

又 P ? cos ?

π? π ?? ?π ?π t + ? ,sin ? t + ? ? , 6? 6 ?? ?6 ?6

??? ? ? π? 3 π ? 1? ?π ?π AP ? cos t ,sin t ∴ = + ? + ? ? ? ?? ? ? ? ,…………………………8 分 6 6 2 6 6 2 ? ? ? ? ? ?
??? ? ??? ? 3 3 π ? 1 1 ?π π ? ?π ∴ AP ? AB = ? cos ? t + ? ? + sin ? t + ? 4 2 6? 4 2 ?6 6? ?6

π π? 1 1 π? ?π ?π = + sin ? t + ? ? = + sin ? t ? ? ………………………………10 分 2 6 3? 2 6? ?6 ?6 π π ? π 5π ? π? ? 1 ? ?π ? 0 ≤ t ≤ 6 ,∴ t ? ∈ ? ? , ? ,∴ sin ? t ? ? ∈ ? ? ,1? …………12 分 6 6 ? 6 6 ? 6? ? 2 ? ?6
所以, AP ? AB 的取值范围是 ? 0, ? 2

??? ? ??? ?

? 3? ? ?

………………………………14 分

22、解:易知 f ( x) 的定义域为 ( ?1,1) ,且 f ( x) 为偶函数.
-5-

(1) a = 1 时, f ( x ) =

1 ? x2 1 + x2 2 ………………………2 分 + = 2 2 1+ x 1? x 1 ? x4

= f ( x) x =0时
(2) a = 1 时, f ( x ) =

1 ? x2 1 + x2 最小值为 2. + 1 + x2 1 ? x2
1 ? x2 1 + x2 2 + = 2 2 1+ x 1? x 1 ? x4

………………………4 分

x ∈ [ 0,1) 时,

f ( x ) 递增;

x ∈ ( ?1, 0] 时, f ( x ) 递减; ………………………6 分

f ( x) 为偶函数.所以只对 x ∈ [ 0,1) 时,说明 f ( x ) 递增.
设 0 ≤ x1 < x2 < 1 ,所以 1 ? x1 > 1 ? x2 > 0 ,得
4 4

1 1 ? x14

<

1
4 1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) =

1 1? x
4 1

?

1
4 1 ? x2

<0

所以 x ∈ [ 0,1) 时, (3) t =

f ( x ) 递增; ……………………………………………10 分

? 2 5 2 5? 1 1 ? x2 a 1 ,? x ∈ ? ? , ? ,∴ t ∈ [ ,1] ,∴ y = t + ( ≤ t ≤ 1) 2 5 ? 3 1+ x t 3 ? 5

从而原问题等价于求实数 a 的范围,使得在区间 [ ,1] 上, 恒有 2 ymin > ymax . ①当 0 < a ≤ ……………………………………………………………11 分

1 3

1 a 1 时, y = t + 在 [ ,1] 上单调递增, 9 t 3 1 1 ∴ ymin = 3a + , ymax =+ a 1, 由 2 ymin > ymax 得 a > , 15 3 1 1 从而 < a ≤ ; …………………………………………………………………12 分 15 9 1 1 1 a ②当 < a ≤ 时, y = t + 在 [ , a ] 上单调递减,在 [ a ,1] 上单调递增, 3 9 3 t 1 ∴ ymin = 2 a , ymax = max{3a + , a + 1} = a + 1 , 3 1 1 由 2 ymin > ymax 得 7 ? 4 3 < a < 7 + 4 3 ,从而 < a ≤ ;……………………13 分 9 3 1 1 a ③当 < a < 1 时, y = t + 在 [ , a ] 上单调递减,在 [ a ,1] 上单调递增, 3 t 3 1 1 ∴ ymin = 2 a , ymax = max{3a + , a + 1} = 3a + , 3 3
-6-

由 2 ymin > ymax 得 ④当 a ≥ 1 时, y = t +

1 7?4 3 7+4 3 ,从而 < a < 1 ; …………………14 分 <a< 3 9 9

1 a 在 [ ,1] 上单调递减, 3 t 1 ∴ ymin =+ a 1, ymax = 3a + , 3 5 5 由 2 ymin > ymax 得 a < ,从而 1 ≤ a < ;……………………………………………15 分 3 3 1 5 综上, < a < . …………………………………………………………………16 分 15 3
23、解: (1) n = 1 时, c1 = U1 = 4

n ≥ 2 时, cn = U n ? U n ?1 = 2n + 2n ? 2(n ? 1) ? 2n ?1 = 2 + 2n ?1 , c1 = 4 不适合该式
故, cn = ?

?4, n = 1
n ?1 ?2 + 2 , 2 ≤ n ≤ k

…………………………………………………………4 分

(2) a1 ? b1 = S1 ? T1 = 4 ,

n ≥ 2 时, an ? bn = ( S n ? S n ?1 ) ? (Tn ? Tn ?1 ) = ( S n ? Tn ) ? ( S n ?1 ? Tn ?1 ) = 2n + 2n ? 2(n ? 1) ? 2n ?1 = 2 + 2n ?1
……………………6 分 当 k = 4 时, a1 ? b1 = 4 , a2 ? b2 = 4 , a3 ? b3 = 6 , a4 ? b4 = 10

{a1 , a2 , a3 , a4 , b1 , b2 , b3 , b4 } = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
数列 {an } 、 {bn } 可以为(不唯一) : ① 6,12,16,14;2,8,10,4
k ?1



16,10,8,14;12,6,2,4

…………………8 分

当 k ≥ 6 时, ak = bk + 2 + 2

> 2 + 2k ?1 =+ 2 (1 + 1) k ?1

1 2 k ?2 k ?1 =+ 2 Ck0?1 + Ck ?1 + Ck ?1 + ? + Ck ?1 + Ck ?1 1 2 2 ≥ 2 + 2(Ck0?1 + Ck ?1 + Ck ?1 ) = k ? k + 4 = ( k ? 1)( k ? 4) + 4k > 4k

此时 ak 不存在. 故数列对( {an } , {bn } )不存在. 另证: ak = bk + 2 + 2
k 0 k ?1

………………………………10 分

> 2 + 2k ?1 > 4k ? 2k > 8k ? 4
1 2 k ?1 1 + Ckk > 2(Ck0 + Ck + Ck2 ) = k 2 + k + 2 ≥ 8k ? 4

当 k ≥ 6 时, 2 = Ck + Ck + Ck + ? + Ck

(3)令 d n = 4k + 2 ? bn , en = 4k + 2 ? an ( 1 ≤ n ≤ k , n ∈ N )
*

…………………12 分

d n ? en = (4k + 2 ? bn ) ? (4k + 2 ? an ) = an ? bn = 2n
又 {a1 , a2 , ? , ak , b1 , b2 , ? , bk } = {2, 4, 6, ? , 4k} ,得

{4k + 2 ? a1 , 4k + 2 ? a2 , ? , 4k + 2 ? ak , 4k + 2 ? b1 , 4k + 2 ? b2 , ? , 4k + 2 ? bk }
= {2, 4, 6, ? , 4k} 所以,数列对( {an } , {bn } )与( {d n } , {en } )成对出现。 ……………………16 分

-7-

假设数列 {an } 与 {d n } 相同,则由 d 2 = 4k + 2 ? b2 = a2 及 a2 ? b2 = 4 ,得 a 2k + 3 , = 2

= b 2k ? 1 ,均为奇数,矛盾! 2
故,符合条件的数列对( {an } , {bn } )有偶数对。 ……………………18 分

-8-


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