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全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(42)


加试模拟训练题(42)
1、 设 P 是△ABC 内一点,∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC,又设 D、 E 分别是△APB 及△APC 的内心.证明 AP、BD、CE 交于一点.

2、设 N 为自然数集合,k∈N.如果有一个函数 f:N→N 是严格递增的,且对每个 n ∈N,都有 f(f(n))=kn.求证,对每一个 n∈N 都有


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3、在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线,并且各节的长相等.能使这闭折线的节数 为奇数?证明你的结论. (莫斯科数学竞赛试题)

4、 试确定使 ab2 ? b ? 7 整除 a 2 b ? a ? b 的全部正整数对 (a, b).

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加试模拟训练题(42)
1、 设 P 是△ABC 内一点,∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC,又设 D、E 分别是△APB 及△APC 的内心.证明 AP、BD、CE 交于一点. 【证】 延长 AP 交 BC 边于 K,交△ABC 的外接圆于 F,连结 BF、 CF. ∠APC-∠ABC=∠AKC+∠PCK-∠ABC =∠BAK+∠PCK =∠BCF+∠PCK=∠PCF 同理 所以由已知 有正弦定理 所以 即 ∠APB-∠ACB=∠PBF ∠PCF=∠PBF PB PF PF PC = = = sin∠PFB sin∠PBF sin∠PCF ∠PFC PB sin∠PFB sin∠ACB AB = = = PC sin∠PFC sin∠ABC AC PB PC = AB AB

PM PB 设∠ABP 的角平分线 BD 交 AP 于 M,则 = AM AB PN PC 同样设 CE 与 AP 交于 N,则 = AN AC PM PN 由此, = ,所以 M 与 N 重合,即 AP、BD、CE 交于一点. AM AN 2、设 N 为自然数集合,k∈N.如果有一个函数 f:N→N 是严格递增的,且对每个 n ∈N,都有 f(f(n))=kn.求证,对每一个 n∈N 都有

【题说】第五届(1990 年)全国冬令营选拔赛题 1. 【证】由于 f 严格递增且取整数值,所以 f(n+1)≥f(n)+1 从而对 m≥n,有 f(m)=f(n+m-n)≥f(n)+m-n 取 m=f(n),得 f(f(n))-f(n)≥f(n)-n

故 f(n)≥2kn/(k+1)
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3、在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线,并且各节的长相等.能使这闭折线的节数 为奇数?证明你的结论. (莫斯科数学竞赛试题)

【解】令符合题设条件的闭折线为 A1 A2 …An A1 ,则所有顶点 Ai 的坐标( xi , y i )符 合 xi , yi ? Z (i ? 1,2, ?, n). 并且 X i2 ? Yi 2 ? C (i ? 1,2,? n, C 为一固定的正整数) ,其中

X i ? x i ? xi ?1 , Yi ? yi ? yi ?1 (i ? 1,2,?, n, xn?1 ? x1 , y n?1 ? y1 ), 则由已知有

? X i ? 0,
i ?1

n



?Y
i ?1

n

i

? 0,



2 2 X 12 ? Y12 ? X 2 ? Y22 ? ? ? X n ? Yn2



不妨设 X i 和Y i 中至少有一个为奇数(因为设 X i ? 2 m t i , m 是指数最小的,ti 为奇数, 用 2m 除所有的数后,其商仍满足①、②、③式) ,于是它们的平方和 C 只能为 4k+1 或 4k+2. 当 C=4k+2 时,由③知,所有数对 X i 与Y i 都必须是奇数,因此,根据①、②式知,n 必为偶数. 当 C=4k+1 时,由③知,所有数对 X i 与Y i 都必一奇一偶,而由①知,Xi 中为奇数的有 偶数个(设为 2u) ,余下的 n-2u 个为偶数(与之对应的 Yi 必为奇数) ,再由②知,这种奇 数的 Yi 也应有偶数个(设为 2? ? n ? 2u ) ,故 n ? 2(u ? ? ) =偶数. 综上所述,不能作出满足题设条件而有奇数个节的闭折线. 4、 试确定使 ab ? b ? 7 整除 a b ? a ? b 的全部正整数对 (a, b).
2 2

解: b(a b ? a ? b) ? a(ab ? b ? 7) ? b ? 7a. ? ab 2 ? b ? 7 (b 2 ? 7 a )
2 2 2

(i)若 b ? 7a ? 0 则有: ab ? b ? 7 ? b ? 7a ? b . 矛盾;
2
2 2 2

(ii)若 b ? 7a ? 0 则 ab ? b ? 7 ? 7a ? b ? 7a. ?b ? 7 , ?b ? 1 或 b ? 2.
2 2 2 2

当 b ? 1 时,题设成为 a ? 8 整除 7a ? 1, 有7a ? 1 ? 7(a ? 8) ? 57

得 a ? 8 57 ? 3 ? 29 ,

? a ? 21 或 a ? 49
当 b ? 2 时, 4a ? 9 4 ? 7a
2

由于 0 ? 7a ? 4 ? 2(4a ? 9) 知: 4a ? 9 ? 7a ? 4 无整数解;
?

2 ( iii ) 若 b ? 7a ? 0 则 b ? 7k , a ? 7k 其 中 k ? Z

此 时 a b?a?b 除 以
2

ab2 ? b ? 7 商恰为 k,题设条件满足。
综上:所有满足条件的正整数对为 (a, b) ? (21,1), (49,1)(7k , 7k ) (k ? N )
2

?

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