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2018版高考帮·数学-选修4-5 不等式选讲

时间:2017-05-03


目 录 Contents
考情精解读 A.知识全通关 B.题型全突破 C.能力大提升

考点1 考点3

考点2 考点4

考法1 考法3

考法2

专题

考情精解读

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考情精解读 1

r />选修4-5

不等式选讲

考纲解读

考试大纲

命题规律

01

1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不 等式:|a+b|≤|a|+|b|.|a-b|≤|a-c|+|c-b|. 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-

命题趋势

a|+|x-b|≥c. 3.了解柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明. 4.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.

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考情精解读 2

选修4-5

不等式选讲

考纲解读

考点
不等式的性
质与绝对 值不等式 【80%】

2016全国
全国Ⅰ,24,10
分 全国Ⅲ,24,10 分

2015全国

2014全国
全国Ⅰ,24,10

自主命题区域
2016浙江,8,5分 2015山东,5,5分 2015江苏,21D,10分 2015天津,4,5分 2015浙江,14,4分

命题规律

全国Ⅰ,24,10分

分 全国Ⅱ,24,10 分

命题趋势

不等式 的证明 【30%】

全国Ⅱ,24,10



全国Ⅱ,24,10分

2016江苏,21D,10分

2014江苏,21D,10分

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考情精解读 3

选修4-5

不等式选讲

考纲解读
1.热点预测 绝对值不等式的解法与证明,恒成

命题规律

立问题,用基本不等式、柯西不等式证明不等 式是高考考查的热点和重点,以选择题、填空 题呈现时,分值为5分,解答题往往涉及含有两个

命题趋势

绝对值的问题或不等式的证明问题,难度中等,
分值10分. 2.趋势分析 预测2018年,含参不等式的求解、 证明及恒成立问题,绝对值不等式的解法,不等

式的证明可能会成为命题方向,多与函数综合
考查,应引起关注.

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知识全通关

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知识全通关 1

选修4-5 考点1 不等式的性质

不等式选讲

1.不等式的基本性质 不等式的基本性质,详见《高考帮》P187不等式的性质. 2.基本不等式 定理1 如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 定理2 (基本不等式)如果a,b>0,那么 定理3 如果a,b,c∈R+,那么 ,当且仅当a=b时,等号成立. , 当且仅当a=b=c时,等号成立. 即:两个正数的算术平均不小于(大于或等于)它们的几何平均. 即:三个正数的算术平均不小于它们的几何平均. 推广 对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即 当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.

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选修4-5 考点2 绝对值不等式

不等式选讲

1.绝对值三角不等式 定理1 如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立. 定理2 如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.

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选修4-5

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选修4-4 坐标系与参数方程数学 选修4-4 坐标与参数方程

【辨析比较】

|a+b|与|a|-|b|,|a-b|与|a|-|b|,|a|+|b|之间的关系 (1)|a+b|≥|a|-|b|,当且仅当a>-b>0时,等号成立. (2)|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时,左边等号成立,当且仅当ab≤0 时,右边等号成立

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选修4-5

不等式选讲

2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集:
不等式 |x|<a |x|>a a>0 {-a<x<a} {x|x>a或x<-a} a=0 ? {x|x≠0且x∈R} a<0 ? R

(2)|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式的解法:

①若c>0,则|ax+b|≤c等价于-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c等价于ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根
据a,b的值解出即可. ②若c<0,则|ax+b|≤c的解集为?,|ax+b|≥c的解集为R.
【说明】这种解绝对值不等式的方法只需将“ax+b”看成一个整体,即可化 成|x|≤c,|x|≥c型的不等式求解.注意变形过程中,应当保证是“同解”变形.

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选修4-5

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(3)|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)(c>0),|x-a|-|x-b|≤c(或≥c)(c>0)型不等式的解法: ①零点分区间法 零点分区间法的一般步骤为: (i)令每个绝对值符号内的代数式为零,并求出相应的根; (ii)将这些根按从小到大排序,并把实数集分成若干个区间; (iii)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式,解这些不等式,求出解集;

(iv)取各个不等式解集的并集即可得到原不等式的解集.
【注意】分区间讨论时,一是不要把分成的区间的端点遗漏,二是原不等式的解集是若干 个不等式解集的并集,而不是交集.

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选修4-5

不等式选讲

②几何法:利用|x-a|的几何意义 由于|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与x对应的点到与a,b对应的点的距离之 和与距离之差,因此对形如|x-a|+|x-b|≤c(c>0)或|x-a|-|x-b|≥c(c>0)的不等式,利用绝

对值的几何意义求解更直观.
③数形结合法 通过构造函数,利用函数的图象求解,体现函数与方程的思想,正确求出函数的零点并画 出函数图象(有时需要考查函数的单调性)是解题的关键.

【说明】构造函数时,应准确分类讨论并写出正确的分段函数,画出相应的图象是解题的关键.
(4)|f(x)|>g(x),|f(x)|<g(x)(g(x)>0)型不等式的解法 ①|f(x)|>g(x)?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x). ②|f(x)|<g(x)?-g(x)<f(x)<g(x).

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选修4-5 考点3 证明不等式的基本方法

不等式选讲

1.比较法 (1)作差法:要证明a>b,只需证a-b>0.

(2)作商法:要证明a>b,b>0,只要证>1.
2.综合法 从已知条件、不等式的性质和基本不等式等出发,通过逻辑推理,推导出所要证明的结论. 3.分析法 从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显 成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方 法叫分析法.

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选修4-5

不等式选讲

4.反证法 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,

进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的
结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种证明方法叫反证法. 5.放缩法 证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的 目的.这种证明方法叫放缩法.

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选修4-5 考点4 柯西不等式与排序不等式

不等式选讲

1.二维形式的柯西不等式 定理1 若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.

2.柯西不等式的向量形式
定理2 设α,β是两个向量,则|α· β|≤|α|· |β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号 成立. 3.二维形式的三角不等式 定理3 设x1,y1,x2,y2∈R,那么

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选修4-5

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4.一般形式的柯西不等式 定理 设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则 (a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在

一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
5.排序不等式(排序原理) 定理 设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1, c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则 a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn,当且仅当a1=a2=…=an或 b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和 .

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题型全突破

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选修4-5 考法1 绝对值不等式的解法
解绝对值不等式的常用方法

不等式选讲

考法指导

(1)基本性质法:对a∈R+,|x|<a?-a<x<a,|x|>a?x<-a或x>a. (2)平方法:两边平方去掉绝对值符号. (3)零点分区间法(或叫定义法):含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分 区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解. (4)几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值问题转化为数轴上两点的距离 问题求解. (5)数形结合法:在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数 图象求解.

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选修4-5

不等式选讲

考法示例1 (1)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为{x|-5/3<x<1/3}1,则a= (2)不等式|x+3|-|2x-1|<x/2+1的解集为 .

.

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选修4-5

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【突破攻略】

在分类讨论含多个绝对值的不等式时,分类应做到不重不漏;在某个区间上解出不 等式后,不要忘了与前提条件求交集.

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选修4-5 考法2 含绝对值不等式的恒成立问题

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考法指导 含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法 (1)分离参数法 运用“f(x)≤a?f(x)max≤a,f(x)≥a?f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题. 求最值的思路:①利用基本不等式和不等式的相关性质解决;②将函数解析式用分段函数形 式表示,作出函数图象,求得最值;③利用性质“||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”求最值. (2)更换主元法

不少含参不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能解决时,可转换思维角度,
将主元与参数互换,常可得到简捷的解法. (3)数形结合法 在研究曲线交点的恒成立问题时,若能数形结合,揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维

与抽象思维各自的优势,可直观解决问题.
【注意】不等式的解集为R是指不等式恒成立问题,而不等式的解集为?的对立面也是 不等式恒成立问题,如f(x)>m的解集为?,则f(x)≤m恒成立.

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考法示例2 设函数f(x)=x+|x-a|. (1)当a=2 018时,求函数f(x)的值域; (2)若g(x)=|x+1|,求不等式g(x)-2>x-f(x)恒成立时a的取值范围.

思路分析 值范围

(1)把a的值代入已知函数式f(x)→去掉绝对值符号→求得结论

(2)转化已知不等式→根据不等式恒成立的条件,构造关于a的不等式→解不等式,得出a的取

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不等式选讲

解析

点评 解决含参数绝对值不等式问题的关键是根据条件确定参数所满足的条件,
基本思路就是先去掉绝对值符号,然后将其转化为一次方程求解.

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选修4-5 考法3 不等式的证明

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考法指导 证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法.如果已知条件与待证结论直 接联系不明显,可考虑用分析法;如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至 多”等方式给出的,则考虑用反证法;如果待证不等式与自然数有关,则考虑用数学归纳法.在 必要的情况下,可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明,用换元法证 明不等式时,要注意新元的取值范围. 证明不等式常用的思路:利用基本不等式、绝对值三角不等式、绝对值的含义将问题转化为 函数问题求解.

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考法示例3 已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1]. (1)求m的值; (2)若a,b,c∈R+,且

=m ,求证:a+2b+3c≥9.

思路分析

(1)将m当作常量解不等式,根据不等式的解集得出m的值;

(2)根据柯西不等式证明结论.

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解析

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考法示例4 设a,b,c为△ABC的三边,求证:a2+b2+c2<2(ab+bc+ca).

思路分析 要证此不等式→可以把不等式两边作差化简整理→然后利用三角形三
边关系比较大小→从而得证

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解析 a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2-a2-b2-c2=[(a-b)2-c2]+[(bc)2-a2]+[(c-a)2-b2].

而在△ABC中,|b-a|<c,
所以(a-b)2<c2,即(a-b)2-c2<0. 同理(a-c)2-b2<0,(b-c)2-a2<0, 所以a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)<0.

故a2+b2+c2<2(ab+bc+ca).

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选修4-5

不等式选讲

【温馨提示】
比较法证明不等式最常用的是差值比较法,其基本步骤是: 作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证 明的关键,一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因 式的积或配成几个代数式平方和的形式,当差式是二次三 项式时,有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也 可用柯西不等式来证明.

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能力大提升

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选修4-5 专题探究 绝对值三角不等式的应用

不等式选讲

应用绝对值三角不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|可以很方便地解决很多问题,比如求最值、证明
等,但要注意在应用绝对值三角不等式的过程中,至少有一步是放大或缩小的,在放大或缩小 时,若从小的一边入手,则只能放大;若从大的一边入手,则只能缩小.

示例5 已知x,y∈R,且|x+y|≤1/6,|x-y|≤1/4,求证:|x+5y|≤1.
思路分析 先将x+5y写成3(x+y)-2(x-y),然后利用绝对值三角不等式即可.

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示例6 若对任意实数x,不等式|x+1|-|x-2|>a恒成立,求a的取值范围.

思路分析

将问题转化为求解不等式左边式子的最小值→利用绝对值三角不等式

求解→可得a的取值范围

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选修4-5

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【温馨提示】

(1)要注意对原绝对值不等式进行转化,使之适合用绝对值三

角不等式求最值;
(2)求最值时要注意等号成立的条件.

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