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湖南师大附中2017届高三上学期第四次月考试题 数学(文) 含解析.doc

时间:2017-04-04


炎德· 英才大联考湖南师大附中 2017 届高三月考试卷(四) 数 学(文科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 10 页。时量 120 分钟。满分 150 分。 第Ⅰ卷 一、选择题: 本大题共 12 个小题,每小题 5 分, 共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. (1)若集合中三个元素为边可构成一个三角

形,则该三角形一定不可能是(A)

(A)等腰三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角三角形 【解析】由集合里元素的互异性可知选 A. (2)已知命题 p:若 a>b,则 a2>b2;q: “x≤1”是“x2+2x-3≤0”的必要不充分条件.则 下列命题是真命题的是(B) (A)p∧q (B)綈 p∧q (C)綈 p∧綈 q (D)p∧綈 q

【解析】命题 p:若 a>b,则 a2>b2,不正确, 举反例:取 a=1,b=-2,不成立; q:由 x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1,因此“x≤1”是“x2+2x-3≤0”的必要不充分 条件,是真命题. ∴p∧q,綈 p∧綈 q,p∧綈 q,是假命题,綈 p∧q 是真命题,故选 B. (3)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2=7,a6+a8=-6,则 Sn 取最大值时,n 的 值为(C) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 【解析】在等差数列{an}中,由 a6+a8=-6,得 2a7=-6,a7=-3 a7-a2 -3-7 又 a2=7,∴d= = =-2,∴an=a2+(n-2)d=7-2(n-2)=11-2n. 5 7-2 11 由 an=11-2n>0,得 n< ,∵n∈N*, 2 ∴Sn 取最大值时,n 的值为 5.故选 C. 2x (4)函数 y= 的图象大致为(B) ln|x|

【解析】易得该函数为奇函数可排除 A,C,当-1<x<0 时 y>0,故选 B. (5)过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于 A,B 两点,且|AB|=4,这样的直线 可以作 2 条,则 p 的取值范围是(D) (A)(0,4) (B)(0,4] (C)(0,2] (D)(0,2) 【解析】由已知可得 0<2p<4?p∈(0,2),故选 D. lg 3 lg 4 (6)已知 an=logn+1(n+2)(n∈N*),观察下列算式:a1?a2=log23?log34= ? =2; lg 2 lg 3 lg 3 lg 4 lg 8 a1? a2? a3? a4? a5? a6=log23? log34? ?? log78= ? ? ?? =3, ?; 若 a1? a2? a3? ?? am lg 2 lg 3 lg 7 =2 016(m∈N*),则 m 的值为(C) (A)22 016+2 (B)22 016 (C)22 016-2 (D)22 016-4

lg(m+2) 【解析】由已知得 a1?a2?a3???am= =2 016, lg 2 lg(m+2)=lg 22 016,解得 m=22 016-2.故选 C. (7)阅读如图所示的程序框图,若输出的数据为 58,则判断框中应填入的条件为(B)

(A)k≤3 (B)k≤4 (C)k≤5 (D)k≤6 【解析】当 S=0,k=1 时,不满足输出条件,故进行循环,执行完循环体后,S=1,k =2, 当 S=1,k=2 时,不满足输出条件,故进行循环,执行完循环体后,S=6,k=3, 当 S=6,k=3 时,不满足输出条件,故进行循环,执行完循环体后,S=21,k=4, 当 S=21,k=4 时,不满足输出条件,故进行循环,执行完循环体后,S=58,k=5, 当 S=58,k=5 时,满足输出条件,故判断框中应填入的条件为 k≤4,故选 B. (8)已知 f(x)是奇函数并且是 R 上的单调函数,若函数 y=f(x2+2)+f(-2x-m)只有一个

4 零点,则函数 g(x)=mx+ (x>1)的最小值是(A) x-1 (A)5 (B)-3 (C)3 (D)-5 【解析】由于函数为奇函数且单调,故 f(x2+2)+f(-2x-m)=0 等价于 f(x2+2)=f(2x +m), 即 x2+2=2x+m 有唯一解,判别式为零,即 4-4(2-m)=0,解得 m=1, 所以 g(x)=x+ 4 4 =x-1+ +1≥5.故选 A. x-1 x-1

(9)三棱锥 P-ABC 中,AB=BC= 15,AC=6,PC⊥平面 ABC,PC=2,则这三棱锥 的外接球表面积为(D) 25 25 83 83 (A) π (B) π (C) π (D) π 3 2 3 2 【解析】由题可知,△ABC 中 AC 边上的高为 15-32= 6, 球心 O 在底面 ABC 的投影即为△ABC 的外心 D,设 DA=DB=DC=x, ∴x2=32+( 6-x)2,解得 x= 5 6, 4

PC?2 75 83 ∴R2=x2+? ? 2 ? = 8 +1= 8 (其中 R 为三棱锥外接球的半径), 83 ∴外接球的表面积 S=4π R2= π ,故选 D. 2 → → → → → (10)O 为△ABC 内一点,且 2OA+OB+OC=0,AD=tAC,若 B,O,D 三点共线,则 t 的值为(A) 1 1 1 2 (A) (B) (C) (D) 3 4 2 3 【解析】以 OB,OC 为邻边作平行四边形 OBFC,连接 OF 与 BC 相交于点 E,E 为 BC 的中点. → → → → → → → → ∵2OA+OB+OC=0,∴OB+OC=-2OA=OF=2OE, ∴点 O 是直线 AE 的中点. → → ∵B,O,D 三点共线,AD=tAC,∴点 D 是 BO 与 AC 的交点. 过点 O 作 OM∥BC 交 AC 于点 M,则点 M 为 AC 的中点. 1 1 DM 1 1 则 OM= EC= BC,∴ = ,∴DM= MC, 2 4 DC 4 3 2 1 1 → → ∴AD= AM= AC,AD=tAC,∴t= .故选 A. 3 3 3

x2 y2 (11)如图,F1、F2 是双曲线 2 - =1(a>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线交于 a 24 点 A、B,若△ABF2 为等边三角形,则△BF1F2 的面积为(C)

(A)8 (B)8 2

(C)8 3

(D)16

【解析】根据双曲线的定义,可得|AF1|-|AF2|=2a, ∵△ABF2 是等边三角形,即|AF2|=|AB|, ∴|AF1|-|AB|=2a,即|AF1|-|AB|=|BF1|=2a, 又∵|BF2|-|BF1|=2a, ∴|BF2|=|BF1|+2a=4a, ∵△BF1F2 中,|BF1|=2a,|BF2|=4a,∠F1BF2=120°, ∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|?|BF2|cos 120°, 1? 2 即 4c2=4a2+16a2-2?2a?4a?? ?-2?=28a , 解之得 c= 7a,∴a2+24=7a2,∴a=2, 1 3 ∴△BF1F2 的面积为 S△BF1F2= ?2a?4a? =8 3.故选 C. 2 2 f(x1)-f(x2) (12)定义在 R 上的函数 f(x)对任意 x1,x2(x1≠x2)都有 <0,且函数 y=f(x x1-x2 -1)的图象关于(1,0)成中心对称,若 s,t 满足不等式 f(s2-2s)≤-f(2t-t2),则当 1≤s≤4 t-2s 时, 的取值范围是(D) s+t 1? (A)? ?-3,-2? 1? (C)? ?-5,-2? 1? (B)? ?-3,-2? 1? (D)? ?-5,-2?

【解析】设 x1<x2,则 x1-x2<0. 由 f(x1)-f(x2) <0,知 f(x1)-f(x2)>0, x1-x2

即 f(x1)>f(x2),所以函数 f(x)为减函数. 因为函数 y=f(x-1)的图象关于(1,0)成中心对称, 所以 y=f(x)为奇函数,所以 f(s2-2s)≤-f(2t-t2)=f(t2-2t), 所以 s2-2s≥t2-2t,即(s-t)(s+t-2)≥0. t-2s 3s 3 因为 =1- =1- , t s+t s+t 1+ s
? ?(s-t)(s+t-2)≥0 1 t - ,1?, 而在条件? 下,易求得 ∈? 2 ? ? s ?1≤s≤4 ?

3 ? t 1 ? 3 ,2 ,所以 ,6 所以 1+ ∈? ∈? 2 2 ?, ? ? ? s t 1+ s 1 3 所以 1- ∈?-5,-2? ?, t ? 1+ s 即 t-2s ? 1 ∈ -5,-2? ?,故选 D. s+t ? 选择题答题卡

题 号 答 案

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

A

B

C

B

D

C 第Ⅱ卷

B

A

D

A

C

D

本卷包括必考题和选考题两部分.第 (13) ~ (21) 题为必考题,每个试题考生都必须作 答.第(22)~(23)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分. 1? ? 1? (13)若 0<a<1,则关于 x 的不等式(a-x)? ?x-a?>0 的解集是__?a,a?__. (14)如图所示,在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25 m 的建筑物 CD,为了 测量该山坡相对于水平地面的坡角 θ,在山坡的 A 处测得∠DAC=15°,沿山坡前进 50 m 到达 B 处,又测得∠DBC=45°,根据以上数据可得 cos θ =__ 3-1__.

【解析】∵∠DAC=15°,∠DBC=45°,∴∠ADB=30°,

在△ABD 中,由正弦定理得 即 50 BD = , 1 6- 2 2 4

AB BD = , sin∠ADB sin∠BAD

∴BD=25( 6- 2). 在△BCD 中,由正弦定理得 即 25 25( 6- 2) = , sin∠BCD 2 2 CD BD = , sin∠DBC sin∠BCD

∴sin∠BCD= 3-1. ∴cos θ =sin(π -∠BCD)=sin∠BCD= 3-1. (15)如图,在△ABC 中,∠CAB=∠CBA=30°,AC、BC 边上的高分别为 BD、AE, 1 1 若以 A、B 为焦点,且过 D、E 的椭圆与双曲线的离心率分别为 e1,e2,则 + 的值为__ 3 e1 e2 __.

【解析】不妨役 BD=AE=1,则 AD=BE= 3,AB=2, 椭圆长轴长为 2a,双曲线实轴长为 2a′,焦距为 2c, 则 2c=2,2a=1+ 3,2a′= 3-1, 3-1 1 1 a a′ 1+ 3 + = + = + = 3. e1 e2 c c 2 2 (16)某同学的作业不小心被墨水玷污,经仔细辨认,整理出以下两条有效信息: ①题目: “在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 x2+2y2=1 的左顶点为 A,过点 A 作两 条斜率之积为 2 的射线与椭圆交于 B,C,?”

?1-2k , 2k ?,D?-5,0?,?” ②解: “设 AB 的斜率为 k,?点 B? ? ? 3 ? ?1+2k2 1+2k2?
3k 据此,请你写出直线 CD 的斜率为__ 2 __.(用 k 表示) 2k +4 2 【解析】由题设 AC 的斜率是 , k

2

?1-2k , 2k ?可得 C?k -8, 4k ?, 将其代入 B? ? ?k2+8 k2+8? ?1+2k2 1+2k2? ? ?
4k k2+8 3k 3k 运用斜率公式可得 kCD= 2 = ,应填 2 . k -8 5 2k2+4 2k +4 + k2+8 3

2

2

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且满足 cos 2C - cos 2A = π π 2sin? +C?· sin? -C?. ?3 ? ?3 ? (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a= 3,且 b≥a,求 2b-c 的取值范围. 3 2 1 2 ? 【解析】(Ⅰ)由已知得 2sin2A-2sin2C=2? ?4cos C-4sin C?.(2 分) 化简得 sin A= π 2π 3 ,故 A= 或 A= .(5 分) 2 3 3

b c a (Ⅱ)由正弦定理 = = , sin B sin C sin A 得 b=2sin B,c=2sin C(7 分) 故 2b-c=4sin B-2sin C=4sin B-2sin? π =2 3sin?B- ?(9 分) 6? ? 因为 b≥a, π 2π π π π 所以 ≤B< , ≤B- < ,(11 分) 3 3 6 6 2 π 所以 2b-c=2 3sin?B- ?∈[ 3,2 3).(12 分) 6? ? (18)(本小题满分 12 分) 设数列{an}满足:a1=1,点(an,an+1)(n∈N*)均在直线 y=2x+1 上. (Ⅰ)证明数列{an+1}为等比数列,并求出数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn=log2(an+1),求数列{(an+1)· bn}的前 n 项和 Tn. 【解析】(Ⅰ)证明:由点(an,an+1)(n∈N*)均在直线 y=2x+1 上可知 an+1=2an+1 则 an+1+1=(2an+1)+1=2(an+1) an+1+1 * 于是 =2(n∈N ) an+1 即数列{an+1}是以 2 为公比的等比数列. 因为 an+1=(a1+1)· 2n 1=2n,


2π ? ? 3 -B?=3sin B- 3cos B

所以 an=2n-1.(6 分) (Ⅱ)bn=log2(an+1)=log22n=n, 所以(an+1)· bn=n· 2n(7 分) Tn=1· 21+2· 22+3· 23+?+n· 2n ①

2Tn=1· 22+2· 23+?+(n-1)· 2n+n· 2n ①-②得

+1



-Tn=1· 21+1· 22+1· 23+?+1· 2n-n· 2n 1(10 分)




2(1-2n) + + -n· 2n 1=-2-(n-1)· 2n 1(11 分) 1-2


故 Tn=(n-1)· 2n 1+2.(12 分) (19)(本小题满分 12 分) 如图,在底面是菱形的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,∠ABC=60°,AA1=AC=2,A1B =A1D=2 2,点 E 在 A1D 上.

(Ⅰ)求证:AA1⊥平面 ABCD; A1E (Ⅱ)当 为何值时,A1B∥平面 EAC,并求出此时直线 A1B 与平面 EAC 之间的距离. ED 【解析】(Ⅰ)证明:∵底面 ABCD 是菱形,∠ABC=60°,∴AB=AD=AC=2,
2 2 在△AA1B 中,由 AA2 1+AB =A1B 知 AA1⊥AB.同理,AA1⊥AD.

又∵AB∩AD=A,∴AA1⊥平面 ABCD.(5 分) A1E A1E (Ⅱ)解:当 =1 时,A1B∥平面 EAC.证明如下:连结 BD 交 AC 于 O,当 =1 时, ED ED 即点 E 为 A1D 的中点时,连接 OE,则 OE∥A1B,∴A1B∥平面 EAC.(8 分) 直线 A1B 与平面 EAC 之间的距离等于点 A1 到平面 EAC 的距离. ∵点 E 为 A1D 的中点,可转化为 D 到平面 EAC 的距离,VD-EAC=VE-ACD,

设 AD 的中点为 F,连接 EF,则 EF∥AA1, 1 3 ∴EF⊥平面 ACD,且 EF=1,可求得 S△ACD= 3,∴VE-ACD= ?1? 3= . 3 3 又 AE= 2,AC=2,CE=2,S△AEC= 7 , 2

1 3 2 21 ∴ S△AEC?d= (d 表示点 D 到平面 EAC 的距离),d= , 3 3 7

2 21 ∴直线 A1B 与平面 EAC 之间的距离为 .(12 分) 7

(20)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)如图, 过椭圆 C 上且位于 y 轴左侧的一点 P 作圆 E 的两条切线, 分别交 y 轴于点 M、 N.试推断是否存在点 P,使|MN|= 14 ?若存在,求点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 3 2 ,其右焦点是圆 E:(x-1)2+y2=1 的圆心. 2

x2 y2 【解析】(Ⅰ)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),半焦距为 c. a b 因为椭圆的右焦点是圆 E 的圆心,则 c=1.(2 分) 因为椭圆的离心率为 2 c 2 ,则 = ,即 a= 2c= 2.(3 分) 2 a 2

x2 从而 b2=a2-c2=1,故椭圆 C 的方程为 +y2=1.(4 分) 2 (Ⅱ)设点 P(x0,y0)(x0<0),M(0,m),N(0,n), y0-m 则直线 PM 的方程为 y= x+m,即(y0-m)x-x0y+mx0=0.(5 分) x0 因为圆心 E(1,0)到直线 PM 的距离为 1, 则 =1, (y0-m)2+x2 0

|y0-m+x0m|

2 2 2 2 即(y0-m)2+x2 0=(y0-m) +2x0m(y0-m)+x0m ,即(x0-2)m +2y0m-x0=0.

同理,(x0-2)n2+2y0n-x0=0.(6 分) 由此可知,m,n 为方程(x0-2)x2+2y0x-x0=0 的两个实根, 2y0 x0 所以 m+n=- ,mn=- .(8 分) x0-2 x0-2

|MN|=|m-n|= (m+n)2-4mn=

4y2 4x0 0 + = (x0-2)2 x0-2

2 4x2 0+4y0-8x0 . (x0-2)2

x2 x2 0 0 2 因为点 P(x0,y0)在椭圆 C 上,则 +y2 0=1,即 y0=1- ,则 2 2

|MN|=

2 2x0 -8x0+4 = (x0-2)2

2(x0-2)2-4 = (x0-2)2

2-

4 .(10 分) (x0-2)2



4 14 2- , 2= 3 (x0-2)

则(x0-2)2=9.因为 x0<0,则 x0=-1. x2 1 2 0 y2 0=1- = ,即 y0=± . 2 2 2 故存在点 P?-1,±

?

2? 满足题设条件.(12 分) 2?

(21)(本小题满分 12 分) 1 1 已知函数 f(x)= ax2-2ax+ln x 有两个不同的极值点 x1,x2,且 x1?x2> . 2 2 (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)设上述 a 的取值范围为 M,若存在 x0∈?1+

?

2 ? ,2 ,使对任意 a∈M,不等式 f(x0) 2 ?

+ln(a+1)>m(a -1)-(a+1)+2ln 2 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2 1 ax -2ax+1 【解析】(Ⅰ)f′(x)=ax-2a+ = (x>0).(1 分) x x

2

令 f′(x)=0,则 ax2-2ax+1=0. a≠0 ? ?Δ=4a -4a>0 据题意,方程有两个不等正根,则? (3 分) 1 ? ?x x >2
2 1 2

a(a-1)>0 ? ? 即?1 1 ,解得 1<a<2. 故实数 a 的取值范围是(1,2).(4 分) > ? a 2 ? (Ⅱ)由 ax2-2ax+1>0,得 a(x-1)2>a-1. 即 x<1- 1 1- 或 x>1+ a 1 1- . a 1? ? 1- 和 1+ a? ? 1 ? 1- ,+∞ 上是增函数. a ?

所以 f(x)在?-∞,1-

?

因为 1<a<2,则 1+ 当 x∈?1+

1 2 2 1- <1+ ,所以 f(x)在?1+ ,2?上是增函数. a 2 2 ? ?

?

2 ? ,2 时, 2 ?

f(x)max=f(2)=-2a+ln 2.(6 分) 据题意,当 a∈(1,2)时,f(x)max+ln(a+1)>m(a2-1)-(a+1)+2ln 2 恒成立,即 ln(a+1)-2a+ln 2>m(a2-1)-(a+1)+2ln 2, 即 ln(a+1)-ma2-a+m+1-ln 2>0 恒成 立. 设 g(a)=ln(a+1)-ma2-a+m+1-ln 2,

1? -2am? ?a+1+2m? 1 则 g′(a)= -2ma-1= .(8 分) a+1 a+1 (1)当 m≥0 时,因为 a∈(1,2),则 g′(a)<0,所以 g(a)在(1,2)上是减函数. 此时,g(a)<g(1)=0,不合题意.(9 分) 1 1 1 (2)当 m<0 时, 若 1+ ≥-1, 即 m≤- , 因为 a∈(1, 2), 则 a+1+ >0, g′(a)>0, 2m 4 2m 所以 g(a)在(1,2)上是增函数. 此时,g(a)>g(1)=0,符合题意.(10 分) 若 1+ 1? 1 1 <-1,即- <m<0,则-? ?1+2m?>1. 2m 4

1? 1 ?? 1 ? ? 当 1<a<-? ?1+2m?时,a+1+2m<0,则 g′(a)<0,所以 g(a)在?1,-?1+2m??上是减函 数. 此时,g(a)<g(1)=0,不合题意. 1? 综上分析,m 的取值范围是? ?-∞,-4?.(12 分) 请考生在(22)、(23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 1 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ-6cos θ +2sin θ + =0,以极点为平面直角坐标系的 ρ 原点,极轴为 x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系,在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 经过点 P(3,3),倾斜角 α= π . 3

(Ⅰ)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程; (Ⅱ)设 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求|AB|的值. 【解析】(Ⅰ)曲线 C 化为:ρ2-6ρcos θ +2ρsin θ +1=0,再化为直角坐标方程为 x2+y2-6x+2y+1=0,化为标准方程是(x-3)2+(y+1)2=9,

?x=3+tcosπ 3 直线 l 的参数方程为? ,(t 为参数).(5 分) π ?y=3+tsin 3
(Ⅱ)将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,整理得:t2+4 3t+7=0, △=(4 3)2-4?7=20>0,则 t1+t2=-4 3,t1?t2=7, 所以|AB|=|t1-t2|= (t1+t2)2-4t1?t2= 48-28=2 5.(10 分) (23)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+1|,g(x)=m-2|x-5|, 若 2f(x)≥g(x+2)恒成立,实数 m 的最大值为 t. (Ⅰ)求实数 t.

t (Ⅱ)已知实数 x、y、z 满足 2x2+3y2+6z2=a(a>0),且 x+y+z 的最大值是 ,求 a 的值. 8 【解析】(Ⅰ)由题意得? x∈R,2f(x)=2|x+1|≥g(x+2)=m-2|x+2-5|=m-2|x-3|, 从而有 m≤2(|x-3|+|x+1|), 由绝对值不等式的性质可知 2(|x-3|+|x+1|)≥2|x-3-(x+1)|=8, 因此,实数 m 的最大值 t=8.(5 分) (Ⅱ)由柯西不等式:

[(

2x)2+( 3y)2+( 6z)2]

?? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2? ? ? + + ?? 2? ? 3? ? 6? ?



2 ? 1 ? 2x+ 1 ? 3y+ 1 ? 6z? , 3 6 ? 2 ? 因为 2x2+3y2+6z2=a(a>0),所以 a≥(x+y+z)2, 因为 x+y+z 的最大值是 1,所以 a=1,当 2x=3y=6z 时,x+y+z 取最大值, 所以 a=1.(10 分)


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湖南师范大学附属中学2017届高三第7次月考试题 数学(文)

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