nbhkdz.com冰点文库

2011-2012学年度下学期高二期中考试数学试卷(理科)(教师版)


2011—2012 学年度下学期期中考试数学试题(理科)
命题人:高二数学组 本试卷分第Ⅰ部分(选择题)和第Ⅱ部分(非选择题)共 150 分 考试时间 120 分钟.

第Ⅰ部分(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符

合题目要求的. 1. 有一段演绎推理: “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线; 已知直线 b ? 平面 ? , 直线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥平面 ? ,则 b ∥ a ”的结论显然是错误的,这是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 答案:A 2.用反证法证明命题: “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,反设正确的是 A.假设三内角都不大于 60 度 B. 假设三内角都大于 60 度 C.假设三内角至多有一个大于 60 度 D. 假设三内角至多有两个大于 60 度 答案:B 3.下列四个命题: ①满足 z ?

1 的复数只有 ?1, ?i ;②若 a , b 是两个相等的实数,则 (a ? b) ? (a ? b)i 是纯虚 z

数;③复数 z ? R 的充要条件是 z ? z ;④复平面内 x 轴即实轴, y 轴即虚轴;⑤若两个 复数和为实数,则它们为共轭复数。其中正确的有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案:B 4.如图,已知空间四边形 OABC ,其对角线为 OB 、 AC , M 、 N 分别为对边 OA 、

BC 的中点,点 G 在线段 MN 上,且 MG ? 2GN ,现用基向 量 OA, OB, OC 表示向量 OG ,设 OG ? xOA ? yOB ? zOC , 则 x, y, z 的值分别是 1 1 1 1 1 1 A. x ? , y ? , z ? B. x ? , y ? , z ? 3 3 3 3 3 6 1 1 1 1 1 1 C. x ? , y ? , z ? D. x ? , y ? , z ? 3 6 3 6 3 3

O M A G N B C

答案:D 5.在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的 中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 A. 30 答案:C B. 45 C. 60 D. 90
.

6.用数学归纳法证明“ (n ? 1)(n ? 2)?(n ? n) ? 2 n ? 1? 2 ? ?? (2n ? 1) ” ( n ? N ? )时, 从“ n ? k 到 n ? k ? 1 ”时,左边应增添的式子是 A. 2 k ? 1 答案:B 7. B. 2(2k ? 1) C.

2k ? 1 k ?1

D.

2k ? 2 k ?1

(?1 ? 3i)3 ?2 ? i 的值是 ? (1 ? i)6 1 ? 2i
B.1 C. i D. 2i

A.0 答案:D

2 AB , E 为 AA1 中点,则异面直线 BE 与 8.已知正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1=

CB1 所形成角的余弦值为
A.

5 5

B.

10 10

C.

10 5

D.

5 10

答案:C 9.用 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的四位数,其中能被 6 整除的有 A.72 个 B.60 个 C.52 个 D.48 个 答案:C

,,,,, 2 3 4 5 6 } ,集合 A, B ? I ,若 A 中含有 3 个元素, B 中至少含 10.设集合 I ? { 1
有 2 个元素,且 B 中所有数均不小于 A 中最大的数,则满足条件的集合 A, B 有 A.33 组 答案:B B.29 组 C.16 组 D.7 组

11.已知复平面内的圆 M :| z ? 2 |? 1 ,若

p ?1 为纯虚数,则与复数 p 对应的点 P p ?1

A.必在圆 M 上 B.必在圆 M 内 C.必在圆 M 外 D.不能确定 答案:C 12 .将正整数按下表的规律排列,把行与列交叉处的一个数称为某行某列的数,记作

aij (i, j ? N * ) ,如第 2 行第 4 列的数是 15,记作 a24=15,则有序数对(a28,a84)是
1 2 9 10 4 3 8 11 5 6 7 12 16 15 14 13 17 18 19 20 36 35 34 33 ?? ?? ?? ??

25 24 23 22 21 26 27 28 29 30 ?? ?? ?? A. (63,53) 答案:A

32 31 ??

?? ?? ?? C.(63,54) D.(62,53)

B.(64,53)

第Ⅱ部分(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上。 13 . 如图,二面角 ? ? l ? ? 的大小是 45°,线段 AB ? ? . B ? l , AB 与 l 所成的角为 30°.则 AB 与平面 ? 所成的角的正弦值是 。

?
l
B

A
?

答案:

2 4

14 . 观察下图中小正方形的个数,按规律则第 n 个图中有

个小正方形。

第 14 题图

答案:

(n ? 1)(n ? 2) 2

15 . 如图,一个图形分为 5 个区域,现给图形着色,要求相邻区域不得使用同一颜色.现 有 4 种颜色可供选择, 则不同的着色方法共有_____________种。 (以数字作答) 3 答案:240 2 4 o 16 . 已知二面角 ? ? l ? ? 为 60 ,动点 P, Q 分别在面 ? , ? 内,

P 到 ? 的距离为 3 , Q 到 ? 的距离为 2 3 ,则 P, Q 两点之间
距离的最小值为 答案: 2 3 。

5

1

三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) 已知复数 z1 满足 (1 ? i) z1 ? ?1 ? 5i , z2 ? a ? 2 ? i ,其中 i 为虚数单位, a ? R ,若

| z1 ? z2 |?| z1 | ,求 a 的取值范围。
解:由题意得 z1 ?

?1 ? 5i ? 2 ? 3i ???????3 分 1? i

?| z1 ? z2 |?| 4 ? a ? 2i |? (4 ? a) 2 ? 4 , | z1 |? 13 ? (4 ? a) 2 ? 4 ? 13 ? a2 ? 8a ? 7 ? 0 ???????6 分
?1 ? a ? 7 ???????9 分

? a 的取值范围是 (1, 7) ???????12 分
18. (本小题满分 12 分) 已知 z 是复数, z ? 3 i 、 (Ⅰ)求复数 z ; (Ⅱ)求一个以 z 为根的实系数一元二次方程。 解: (Ⅰ)设 z ? x ? yi ( x、y ? R) ,
学科网

z 均为实数( i 为虚数单位) , 3?i

? z ? 3i ? x ? ( y ? 3)i ,由题意得 y ? ?3 . ???3 分

学 科网

z x ? 3i 1 1 1 ? ? ( x ? 3i )(3 ? i )) (3x ? 3) ? ( x ? 9)i ???????6 分 3 ? i 3 ? i 10 10 10
学科网

由题意得 x ? 9 .

∴ z ? 9 ? 3i .??????8 分
学科网

学科网

(Ⅱ)若实系数一元二次方程有虚根 z ? 9 ? 3i ,则必有共轭虚根 z ? 9 ? 3i

? z ? z ? 18,

z ? z ? 90 ,

学科网

2 ? 所求的一个一元二次方程可以是 x ? 18x ? 90 ? 0 . ???????12 分

19. (本小题满分 12 分)

ABC , AA1 ? AC 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 AAC ? AC ? 2 , 1 1C ? 底面 1
AB ? BC 且 AB ? BC ,O 为 AC 中点.
(Ⅰ )证明: AO ? 平面 ABC ; 1 (Ⅱ )求直线 AC 1 与平面 A 1 AB 所成角的正弦值。
A1 B1 C1

A

O

C

B

解: (Ⅰ )证明:因为 A1 A ? AC ,且 O 为 AC 的中点,所以 AO ? AC . 1 1 又由题意可知,平面 AA1C1C ? 平面 ABC ,交线为 AC ,且 AO ? 平面 AA1C1C , 1 所以 AO ? 平面 ABC . ???????5 分 1 (Ⅱ )如图,以 O 为原点, OB, OC, OA1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 由题意可知, A1 A ? AC ? AC ? 2, 又 1
z
B1

A1

C1

AB ? BC, AB ? BC ,?OB ? AC ? 1,
所以得:
A O(0,0,0), A(0, ?1,0), A1 (0,0, 3), C(0,1,0), C1 (0,2, 3), B(1,0,0)
O
C

1 2

y

则有:

B

x

AC ? (0,1, ? 3), AA1 ? (0,1, 3), AB ? (1,1,0). 1
设平面 AA1 B 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则有

? 3 ?n ? AA1 ? 0 ? ? y ? 3z ? 0 ,令 y ? 1 ,得 x ? ?1, z ? ? ?? ? 3 ? x? y?0 ? n ? AB ? 0 ? ?
所以 n ? ( ?1,1, ?
cos ? n, A1C ??
3 ). 3

n ? A1C | n || A1C |

?

21 . 7

因 为 直 线 A1C 与 平 面 A1 AB 所 成 角 ? 和 向 量 n 与 A1C 所 成 锐 角 互 余 , 所 以
sin ? ? 21 . ???????12 分 7

20. (本小题满分 12 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 an ? (Ⅰ)求数 列 {an } 的通项公式;

n an ?1 ? 2n ? 3n ? 2 (n ? 2, n ? N * ) . n ?1

(Ⅱ)令 bn ? 解:(Ⅰ)

3n ?1 (n ? N * ) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,试比较 S2n 与 n 的大小。 an

an an ?1 ? ? 2 ? 3n ? 2 ???????2 分 n n ?1

an ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ? n 2(1 ? 3n ?1 ) ? 1? ? 3n ?1 1? 3
*

? 2 ? 3n ? 2


即 an ? n ? 3n?1 ( n ? N ).???????5 分 (II) bn ?

1 1 1 1 1 (n ? N * ) , 1 ? ? 1, 1 ? ? ? ? 2, n 2 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1? ? ? ? ? ? ? ? 3 . 2 3 4 5 6 7 8

猜想当 n ? 3 时, S2n ? n .???????7 分 下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 3 时,由上可知 S23 ? 3 成立;???????8 分 ②假设 n ? k (k ? 3) 时,上式成立,即 1 ? 当 n ? k ? 1 时,

1 1 ? ? 2 3

?

1 ?k . 2k

1 1 1 1 左边 ? 1 ? ? ? ? k ? k ? 2 3 2 2 ?1 1 1 ?k? k ? ? k ?1 2 ?1 2 k 2 ?k? k ? k ?1 2 ?1
*

?

1 2k ?1

所以当 n ? k ? 1 时成立.[来源:Zxxk.Com] 由①②可知当 n ? 3 (n ? N ) 时, S2n ? n . 综上所述当 n ? 1 时, S21 ? 1; 当 n ? 2 时, S22 ? 2 ;

当 n ? 3 (n ? N * ) 时, S2n ? n . ???????12 分 21. (本小题满分 12 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时, an , S n , S n ? (Ⅰ)求 a2 , a3 , a4 ,并推出 an 的表达式; (Ⅱ)用数学归纳法证明所得结论。 (Ⅰ)解:

1 成等比数列。 2

1 an , S n , S n ? 成等比数列 2 1 2 ? Sn ? an( Sn ? ) ( n ? 2① ) 2
由 a1 ? 1, S2 ? a1 ? a2 ? 1 ? a2 代入①得 a2 ? ? 由 a1 ? 1, a2 ? ?

2 3

2 1 2 , S 2 ? ? a2 代入①得 a3 ? ? 3 3 15 2 同理可得 a4 ? ? ,由此推出:???????3 分 35

?1(n ? 1) ? ???????5 分 an ? ? 2 ? ( n ? 2) ? (2n ? 3)(2n ? 1) ?
(Ⅱ)证明:当 n ? 1, 2 时,由(Ⅰ)知成立???????6 分 (2)假设 n ? k (k ? 2) 时,命题成立,即 ak ? ?

2 (2k ? 3)(2k ? 1)

? Sk2 ? ?

2 1 ( Sk ? ) (2k ? 3)(2k ? 1) 2

2 ?( 2 k ? 3)k (2 ? S1) 2 ? 1 k ? Sk ?

0

? Sk ?

1 1 , Sk ? ? (舍)???????9 分 2k ? 1 2k ? 3 1 ? Sk2?1 ? ak ? 1( Sk ? 1 ? ) 2 1 ? ( Sk ? ak?1 )2 ? ak?1 ( Sk ? a? k1 ? ) 2

?(

1 1 1 ? ak ?1 )2 ? ak? 1 ( ? a? ? ) k 1 2k ? 1 2 k? 1 2

? ak ?1 ? ?

2 (2 k ? 1) ( k2 ?

1)

也就是说,当 n ? k ? 1 时,命题也成立???????11 分

?1(n ? 1) ? 根据(1) (2)对于任意 n ? N , an ? ? ???????12 分 2 ?? (2n ? 3)(2n ? 1) (n ? 2) ?
*

22. (本小题满分 12 分) 如图,棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的所有棱长都等于 2, ?ABC ? 60 ,平面 AAC 1 1C ? 平 面 ABCD , ?A 1 AC ? 60 。 (Ⅰ)证明: BD ? AA1 ; (Ⅱ)求二面角 D ? A1 A ? C 的平面角的余弦值;

D1

A1
D

C1 B1
C

A
(Ⅲ)在直线 CC1 上是否存在点 P ,使 BP // 平面

B

P 点的位置;若不存在,说明 DAC 1 1 ?若存在,求出
理由。 (Ⅰ)证明:设 AC 与 BD 交于 O 点,连接 AO 1 在 ?AA1O 中, AA 1 ? 1, AO ? 1, ?A 1 AO ? 60

z
? A1 O ? A A ? A O ? 2
2 2 1 2

D1

A ? c Ao O s 60 ? 3 1 A
A

A1
D

C1 B1
C
y

? AO ? AO 1
ABCD 平面 AAC 1 1C ? 平面

O

x

B

? AO ? 平面 ABCD ???????2 分 1
以 OB, OC , OA 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,则

A(0, ?1,0), B( 3,0,0), C(0,1,0), D(? 3,0,0), A1(0,0, 3)
(Ⅰ)? BD ? (?2 3,0,0), AA 1 ? (0,1, 3),? BD ? AA 1 ?0

? BD ? AA1 ???????4 分
(Ⅱ)

OB ? 平面 AAC 1 1C ? 平面 AAC 1 1C 的法向量 n 1 ? (0,1,0)

设 n2 ? ( x, y, z) 为平面 AA 1D 的法向量, AA 1 ? (0,1, 3), AD ? (? 3,1,0)

? ? y ? 3z ? 0 ?? ,取 x ? 1 ,得 n2 ? (1, 3, ?1) ? 3 x ? y ? 0 ? ?
? cos ? n1 , n2 ?? n1 ? n2 5 ? ???????7 分 | n1 || n2 | 5

? 二面角 D ? A1 A ? C 的平面角的余弦值为

5 ???????8 分 5

(Ⅲ)假设在直线 CC1 上是否存在点 P ,使 BP //平面 DAC 1 1 设 CP ? ?CC1, P( x, y, z) ,则 ( x, y ?1, z) ? ? (0,1, 3)

? P(0,1 ? ?, 3?), BP ? (? 3,1 ? ?, 3?)
设 n3 ? ( x, y, z) 为平面 DAC 1 1 的法向量,

? ?2 y ? 0 ?? ,取 x ? 1 ,得 n3 ? (1,0, ?1) 3 x ? 3 z ? 0 ? ?
BP //平面 DAC 1 1 ?n3 ? BP ? 0?? 3 ? 3? ? 0?? ? ?1
即点 P 在 C1C 的延长线上且 C1C ? CP ???????12 分


2011-2012学年度下学期高二期中考试数学试卷(理科)(教师版)

2011-2012学年度下学期高二期中考试数学试卷(理科)(教师版)_数学_高中教育_教育专区。东北育才学校高二下学期期中数学测试题(教师版)2011...

湖北省武昌区2011-2012学年下学期高二年级期末考试数学试卷(理科)

湖北省武昌区 2011-2012 学年下学期高二年级期末考试数学试卷(理科) 本试卷共 21 题,满分 150 分,考试用时 120 分钟. ★祝考试顺利★ 一、选择题:本大题共...

2011—2012学年度第二学期期中高二数学(理科)试卷及答案

2011-2012 学年丰润二中高二下学期数学期中模拟演练(理科) 2012.4 班级 姓名 ...A 都不大于 2 新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞 wxckt@126.com http://...

北京市海淀区2012-2013学年高二下学期期中考试数学理试题(WORD版教师版)

北京市海淀区2012-2013学年高二下学期期中考试数学试题(WORD版教师版)_数学_高中教育_教育专区。海淀区高二年级第二学期期中练习 数学(理科)学校___ 班级姓名成...

上海重点中学2011-2012学年高二下学期期末考试 理科数学试题

上海重点中学 2011-2012 学年度第二学期 高二数学期终试卷(理科卷)本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 一.填空题(本大题满分 56 分)本...

运城市2011-2012学年度第二学期期中测试高二数学(理)

运城市2011-2012学年度第二学期期中测试高二数学(理...2014年幼儿园教师资格考... 2014教师资格中学教育知...6页 免费 高二数学理科第二学期期... 8页 免费©...

2010—2011学年度第二学期高二年级理科数学(学科)期末试卷教师版

2010—2011 学年度第二学期高二年级理科数学(学科)期末试卷 2010— 学年度第二学期高二年级理科数学(学科)命题人 孙伟 审核人 顾梅选择题 (共 40 分) 20112011...

2012-2013学年第二学期高二理科数学期末试卷(含答案)

2012—2013 学年度第二学期八县(市)一中期末联考 5...高中年数学(理科)试卷命 题:平潭一中 魏雄 ...

2011-2012第一学期高二数学(理科)试卷及答案

2011-2012第一学期高二数学(理科)试卷及答案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。石家庄高二第一学期期末考试数学试卷 石家庄市 201 1~2012 学年度第一学期期末考试...