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【高优指导】2016高考数学二轮复习 专题七 解析几何 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线素能提升练 理


第二讲

椭圆、双曲线、抛物线
素能演练提升十三 SUNENG YANLIAN TISHENG SHISAN 掌握核心,赢在课堂

1.(2014 天津高考,理 5)已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一 个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( ) A.=1 B.=1

C.=1 D.=1 解析:由于双曲线焦点在 x 轴上,且其中一个焦点在直线 y=2x+10 上,所以 c=5. 2 2 又因为一条渐近线与 l 平行,因此=2,可解得 a =5,b =20,故双曲线方程为=1,故选 A. 答案:A 2 2.(2014 吉林长春调研,4)抛物线 x =y 的焦点 F 到准线 l 的距离是( ) A.2 B.1 C. D. 2 解析:由抛物线标准方程 x =2py(p>0)中 p 的几何意义知抛物线的焦点到准线的距离为 p,可知所求 距离为,故选 D. 答案:D 3.(2014 云南昆明第一次摸底调研,6)已知斜率为 2 的直线 l 与双曲线 C:=1(a>0,b>0)交于 A,B 两 点,若点 P(2,1)是 AB 的中点,则 C 的离心率等于( ) A.2 B.2 C. D. 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程得=1,=1,两式相减得,∴,∴2=, ∴a=b.故双曲线是等轴双曲线,则离心率为. 答案:D 2 4.若椭圆=1(a>b>0)的离心率 e=,右焦点为 F(c,0),方程 ax +2bx+c=0 的两个实数根分别是 x1 和 x2, 则点 P(x1,x2)到原点的距离为( ) A. B. C.2 D. 解析:因为 e=,所以 a=2c. 2 2 2 2 2 由 a =b +c ,得 b =3c ,即 b=c. 所以. 因为 x1+x2=-=-,x1x2=,点 P(x1,x2)到原点(0,0)的距离 d=. 答案:A 2 5.设 F1,F2 是双曲线 x -=1 的焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2 的面积等于 ( ) A.4 B.8 C.24 D.48 解析:由已知|PF1|=|PF2|,代入到|PF1|-|PF2|=2 中得|PF2|=6,故|PF1|=8,又双曲线的焦距为|F1F2|=10, 所以△PF1F2 为直角三角形,所求的面积为×8×6=24. 答案:C 2 2 2 6.(2014 云南昆明三中、玉溪一中统考,11)过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点 F 作圆 x +y =a 的切线, 切点为 E,直线 EF 交双曲线右支于点 P,若),则双曲线的离心率是( ) A. B.2 C. D. 解析:设双曲线的右焦点为 F1,连接 PF1. 由)知,E 是 FP 的中点. 又 O 是 FF1 的中点, ∴OE∥PF1,且|OE|=|PF1|,易知 OE⊥FP, 2 2 2 ∴PF1⊥FP,∴|PF| +|PF1| =|FF1| ,|PF1|=a,|PF|=2a+|PF1|=3a, 2 2 2 ∴9a +a =(2c) ,∴,选 D. 答案:D

1

7.设 F1,F2 分别是椭圆=1 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最 大值为 . 解析:由椭圆定义|PM|+|PF1|=|PM|+2×5-|PF2|, 而|PM|-|PF2|≤|MF2|=5, 所以|PM|+|PF1|≤2×5+5=15. 答案:15 2 8.抛物线 x =2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线=1 相交于 A,B 两点,若△ABF 为等边三角形,则

p=

.
2 2

解析:抛物线的准线方程为 y=-,设 A,B 的横坐标分别为 xA,xB,则|xA| =|xB| =3+, 2 所以|AB|=|2xA|.又焦点到准线的距离为 p,由等边三角形的特点得 p=|AB|,即 p =×4×,所以 p=6. 答案:6 9.(2014 山西四校第二次联考,20)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距为 2,离心率为. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 经过点 M(0,1),且与椭圆 C 交于 A,B 两点,若=2,求直线 l 的方程. 解:(1)设椭圆方程为=1(a>b>0), 因为 c=1,,所以 a=2,b=, 所以椭圆方程为=1. (2)由题得直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=kx+1, 2 2 则由得(3+4k )x +8kx-8=0,且 Δ >0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则由=2 得 x1=-2x2, 又 2 所以消去 x2,得,解得 k =,k=±, 所以直线 l 的方程为 y=±x+1, 即 x-2y+2=0 或 x+2y-2=0. 2 2 2 10.(2014 云南昆明三中、玉溪一中统考,20)已知圆 M:(x+a) +y =16a (a>0)及定点 N(a,0),点 P 是 圆 M 上的动点,点 G 在 MP 上,且满足|GP|=|GN|,G 点的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)若点 A(1,0)关于直线 x+y-t=0(t>0)的对称点在曲线 C 上,求 a 的取值范围. 解:(1)设 G(x,y), ∵|PG|+|GM|=4a,且|PG|=|GN|, ∴|GM|+|GN|=4a>2a, 由椭圆定义得,曲线 C 的方程为=1. (2)设 A(1,0)关于直线 x+y-t=0(t>0)的对称点为 A'(m,n), 则 ∴A'(t,t-1). ∵A'(t,t-1)在曲线 C:=1 上, 2 2 2 ∴t +4(t-1) =4a , 2 2 化简得 5t -8t+4-4a =0(t>0), 2 2 ∵此方程有正根,令 f(t)=5t -8t+4-4a , 其图象的对称轴为 t=>0, 2 2 ∴Δ =(-8) -4×5(4-4a )≥0, ∴a≥或 a≤-.∵a>0,∴a≥. 2 2 11.在直角坐标系 xOy 中,已知中心在原点,离心率为的椭圆 E 的一个焦点为圆 C:x +y -4x+2=0 的圆 心. (1)求椭圆 E 的方程; (2)设 P 是椭圆 E 上一点,过 P 作两条斜率之积为的直线 l1,l2,当直线 l1,l2 都与圆 C 相切时,求点 P 的坐标. 2 2 2 2 解:(1)由 x +y -4x+2=0,得(x-2) +y =2, 故圆 C 的圆心为点(2,0).

2

从而可设椭圆 E 的方程为=1(a>b>0), 其焦距为 2c.由题设知 c=2,e=, 2 2 2 所以 a=2c=4,b =a -c =12. 故椭圆 E 的方程为=1. (2)设点 P 的坐标为(x0,y0),l1,l2 的斜率分别为 k1,k2. 则 l1,l2 的方程分别为 l1:y-y0=k1(x-x0),l2:y-y0=k2(x-x0),且 k1k2=. 2 2 由 l1 与圆 C:(x-2) +y =2 相切得, 2 即[(2-x0) -2]+2(2-x0)y0k1+-2=0. 2 同理可得[(2-x0) -2]+2(2-x0)y0k2+-2=0. 2 2 从而 k1,k2 是方程[(2-x0) -2]k +2(2-x0)y0k+-2=0 的两个实根. 于是① 且 k1k2=.由 得 5-8x0-36=0,解得 x0=-2 或 x0=. 由 x0=-2 得 y0=±3;由 x0=得 y0=±, 它们均满足①式, 故点 P 的坐标为(-2,3)或(-2,-3)或.

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