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立体几何专题复习


空间立体几何专题复习 一、立体几何知识网络

二、考试要求——立体几何部分
考试内容 柱、锥、台、球及其简单组合体 三视图 斜二侧法画简单空间图形的直观图 球、棱柱、棱锥的表面积和体积 空间线、面的位置关系 公理 l、公理 2、公理 3、公理 4、定理* 线、面平行或垂直的判定 线、面平行或垂直的性质 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式 空间向量的

概念 空间向量基本定理 空间向量的正交分解及其坐标表示 空间向量的线性运算及其坐标表示 空间向量的数量积及其坐标表示 运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 A √ 要求层次 B C √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √

空间几何体 立体 几何 初步

点、直线、 平面间的 位置关系 空间直角 坐标系

空间向 量与立 体几何

空间向量 及其运算

空间向量 的应用

直线的方向向量 平面的法向量 线、面位置关系 线线、线面、面面的夹角

√ √ √ √

三、新课程标准要求——立体几何部分
新课程标准的要求有以下 4 个方面(具体要求略)(1)空间几何体, : (2)点、线、面 之间的位置关系, (3)空间向量及其运算, (4)空间向量的应用

四、近三年北京卷(理科)立体几何考题与考点分布
空间几何体 点、 直线、 平面间的位 置关系 综合题 总分值 2010 年 5 分(三视图) 5分 (创新,第 8 题) 14 分 24 分 2011 年 5 分(三视图) 2012 年 5 分(三视图)

14 分 19 分

14 分 19 分

五、回顾近 3 年北京的高考试题(立体几何部分)
(一)选择题 1(2012 北京文理 7) .某三棱锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是( ) A. 28+6 5 B. 30+6 5
4
4 正(主)视图

C. 56+ 12 5 D. 60+12 5 2(2011 北京理 7) .某四面体三视图如图所示,该四面体 四个面的 面积中最大的是( ) A. 8 B. 6 2

3
侧(左)视图

C. 10 D. 8 2 俯视图 3(2010 北京理 3)一个长方体去掉一个小长方体,所得 几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右图所示,则该几何体的 俯视图为 ( )

正(主)视图

侧(左)视图

A

B

C

D

4 (2010 北京理 8) 如图, 正方体 ABCD ? A B1C1D1 的棱长为 2, 动点 E 、F 在棱 A B1 1 1 上, 动点 P , Q 分别在棱 AD , CD 上, EF ? 1 , A E ? x, DQ ? y, DP ? z ( x, y, z 若 1 大于零) ,则四面体 PEFQ 的体积( ) (A)与 x, y, z 都有关 (B)与 x 有关,与 y , z 无关 (C)与 y 有关,与 x, z 无关 (D)与 z 有关,与 x, y 无关

答案:BCCD

(二)解答题 5 (2012 北京理 16) 如图 1, Rt△ABC 中, . 在 ∠C=90°, BC=3, AC=6, D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2. (I)求证:A1C⊥平面 BCDE; (II)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (III)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说 明理由.

7(2011 北京理 16) .如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD,底 面 ABCD 是菱形, AB=2 , ?BAD 60? . = (Ⅰ)求证: BD ? 平面 PAC; (Ⅱ)若 PA=PB ,求 PB 与 AC 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时,求 PA 的长.

P

D A B C

8 (2010 北京理 16) 如图, 正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直, ? AC , CE

EF // AC , AB ? 2 , CE ? EF ? 1 , (Ⅰ)求证: AF // 平面 BDE ; (Ⅱ)求证: CF ? 平面 BDE ; (Ⅲ)求二面角 A ? BE ? D 的大小.

六、第一轮复习的教学建议
(一)关注基本概念的辨析、基本定理和性质的直接运用 例 1.下列命题正确的是( ) A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 例 2.下列命题中错误的是 ( ) .. A.如果平面 ? ⊥ 平面 ? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? B.如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? C.如果平面 ? ⊥ 平面 ? ,平面 ? ⊥ 平面 ? , ? ? ? ? l ,那么 l ⊥ 平面 ? D.如果平面 ? ⊥ 平面 ? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ? 例 3.已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2 ,将 ?ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行 翻折,在翻折过程中( ) A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直. B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直. C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直. D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”“AB 与 CD”“AD 与 BC”均不垂直 , , 例 4.如图,四棱锥 S—ABCD 的底面为正方形,SD ? 底面 ABCD,则下列 结论中不正确的是 ( ) ... A.AC⊥ SB; B.AB∥ 平面 SCD C.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 例 5.已知 ? 1 、 ? 2 、? 3 是三个相互平行的平面,平面 ? 1 、? 2 之间的距离为 d1 ,平面 ? 2 、

? 3 之间的距离为 d 2 ,直线 l 与 ? 1 、? 2 、? 3 分别相交于 P1 、 P2 、 P3 ,那么“ P P2 ? P2 P3 ” 1

是“ d1 ? d 2 ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必 要条件 CDBDC (二)空间的平行、垂直问题的证明 例 6.已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是菱形.PB ? PD ,E 为 PA 的中点. E (Ⅰ)求证: PC ∥平面 BDE ; D (Ⅱ)求证:平面 PAC ? 平面 BDE .
A B

P

C

例 7.在四棱锥 S ? ABCD中,底面 ABCD为正方形,侧棱 SD ? 底面 ABCD, E、F 分 别为 AB、SC 的中点. S (I)求证: EF // 平面 SAD; (II)若 SD ? 2CD ,①求 AF与面 SAD 所成的角; arctan (

2 ) 4 ②求二面角 A ? EF ? D 的大小. arctan 2 ) (
A

F

D C E B

例 8.如图,三棱柱 ABC ? A B1C1 中, AM ? 2MB , CN ? 2NB1 , 1 求证: MN // 平面 A ACC1 . 1

A1 N C1

B1

A C

M

B

(三)重点落实“坐标法”及其运算 (四)多面体与旋转体 1.基本问题 例 9.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为



例 10.已知一个球的球心 O 到过球面上 A、B、C 三点的截面的距离等于此球半径的一半, 若 AB ? BC ? CA ? 3 ,则球的体积为 . 2.从“折叠”的角度认识多面体 例 11.设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a ,且长为 a 的棱与长为 2 的棱 异面,则 a 的取值范围是( ) (A) (0, 2) (B) (0, 3) (C) (1, 2) (D) (1, 3)

例 12.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3 , ?ASC ? ?BSC ? 30? , 则三棱锥 S—ABC 的体积为 ( ) A. 3 3 B. 2 3 C. 3 D.1

例 13. 已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,?ABC 是边长为1 的正三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为( )

( A)
ACA

2 6

( B)

3 6

(C )

2 3

( D)

2 2

3.构造新图形求解 例 14.已知正三棱锥 P ? ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3 的球面上,若 PA,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为________. 例 15.设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积 为 . O 例 16.如图,在三棱锥 O ? ABC 中,三条棱 OA , OB , OC 两两垂直,且 OA > OB > OC ,分别经过三条棱 OA , OB , OC 作一个截面平分三棱锥的体积, 截面面积依次为 S1 , S 2 , S3 ,则 S1 , S 2 , S3 的大小关系为 . 例 17.已知正四面体的外接球的体积为

C A B

9? ,则该正四面体的表面积为 2



例18.如图,在正三棱锥 A ? BCD 中,E、F分别是AB、BC的中点, EF ? DE , 且 BC ? 1 ,则正三棱锥A-BCD的体积是 . 例 19. 某几何体的一条棱长为 7 , 在该几何体的正视图中, 这条棱的投影是长为 6 的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段, 则 a ? b 的最大值为 .4 (五)重视新增内容的复习——空间几何体的三视图 例 20.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能是( ...



例 21.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是( ... A.球 B.三棱柱 C.正方形 D.圆柱



例 22. 在一个几何体的三视图中, 正视图和俯视图如右图所示, 则相应的侧视图可以为 (



例 23.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是 ( (A) 8 ?



2? 3

(B) 8 ? (D)

?

(C) 8 ? 2?

2? 3

3

例 24.已 知 ?ABC 的平面 直观图 ?A B C 是 边长为 a 的 正三 角形, 则 ?ABC 的面 积 为 . DDDA
' ' '

(六)关注立体几何中的创新问题 .. 例 25.如图,动点 P 在正方体 ABCD ? A B1C1D1 的对角线 BD1 上,过点 P 作垂直于平面 1

BB1D1D 的直 线,与正方体 表面相交 于 M,N .设 BP ? x , MN ? y , 则函 数 y ? f ( x) 的图象大致是(B )

例 26. 如图,AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱,BC ? 2 , AD ? 2c , 若 且 AB ? BD ? AC ? CD ? 2a ,其中 a 、 c 为常数,则四面体 ABCD 的体积的最 大值是 .

例 27.如图,在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中,P 是侧面 BBC1C 内一动点,若 P 1 1 到直线 BC 与直线 C1 D1 的距离相等, 则动点 P 的轨迹所在的曲线是( D ) A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 抛物线
A1

D1 B1 P D A B

C1

C

例 28.若三棱锥 A-BCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离与到棱 AB 的距离相等,则动点 P 的轨迹与 ?ABC组成图形可能是: (D )

例 29.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PAD 为正三角形,底面 ABCD 为正方形, 侧面 PAD⊥底 M 为底面 ABCD 内的一个动点,且满足 MP ? MC ,则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为(A)
P

D A B

C

例 30.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线 的平面内的轨迹是( D ) A.直线 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线 例 31.正三棱锥 S ? ABC中,侧面 SAB与底面 ABC所成的二面角等于 ? ,动点 P 在侧 面 SAB内, PQ ? 底面 ABC,垂足为 Q , PQ ? PS ? sin ? ,则动点 P 的轨迹为( D ) A. 线段 B. 圆 C.一段圆弧 D.一段抛物线 例 32.已知正三棱柱 ABC- A' B' C' 的正(主)视图和侧(左)视图如图所示. 设 ?ABC , ?A ' B ' C ' 的中心分别是 O , O ' ,现将此三棱柱绕直线 OO ' 旋转,射线 OA 旋转所成的角为 x 弧度( x 可以取到任意一个实 数 ) 对 应 的 俯 视 图 的 面 积 为 S ( x) , 则 函 数 S ( x) 的 最 大 值 , 为 ;最小正周期为 . 8,
3 4 正(主)视图 侧(左)视图

? 3

例 33.已知正方形 ABCD 的边长为 2 2 ,将 ?ABC 沿对角线 AC 折起,使平面 ABC ? 平 面 ACD ,得到如图所示的三棱锥 B ? ACD .若 O 为 AC 边的中点, M , N 分别为线段 ,且 DC , BO 上的动点(不包括端点) BN ? CM . 设 BN ? x ,则三棱锥 N ? AMC 的 体积 y ? f ( x) 的函数图象大致是( B )

例 34.如图,P 是正方体 ABCD—A1B1C1D1 对角线 AC1 上一动点,设 AP 的长度为 x,若△ PBD 的面积为 f ( x ) ,则 f ( x ) 的图象大致是( A )
D1 A1 P B1 C1

D A B

C

例 35.在正方体 ABCD - A' B ' C ' D ' 中,若点 P (异于点 B )是棱上一点,则满足 BP 与 AC ' 所成的角为 45° 的点 P 的个数为( B ) (A)0 (B)3 (C)4 (D)6

(七)关注立体几何中“逆向设计法”命制开放型问题的题目 例 36.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC , PA ? AB ,

?ABC ? 60? , ?BCA ? 90? ,点 D , E 分别在棱 PB, PC 上,且 DE // BC , (Ⅰ)求证: BC ? 平面 PAC ; (Ⅱ)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小; (Ⅲ)是否存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 为直二面角?并说明理由.

例 37.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? AC ,D 为 BC 的中点,PO⊥ 平 面 ABC,垂足 O 落在线段 AD 上,已知 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2 (Ⅰ)证明:AP⊥BC; (Ⅱ)在线段 AP 上是否存在点 M,使得二面角 A-MC-B 为直二面角?若存 在,求出 AM 的长;若不存在,请说明理由.


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