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13.共轭运算


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高考数学母题
[母题]Ⅰ(1-13):共轭运算(013)

31

共轭运算 [母题]Ⅰ(1-13):(《选修 2-2》(人教 A 版)P116 复习参考题 B 组第 1 题)把复数 z 的共轭复数记作

z ,已知
(1+2i) z =4+3i,求 z 及
z z

.
z z

[解析]:由(1+2i) z =4+3i ? z = 4 ? 3i =2-i ? z=2+i ?
1 ? 2i

=

2?i 3 4 = + i. 2?i 5 5

[点评]:共轭复数有如下运算性质:① z =z;② z1 ? z2 ? z1 ? z2 ;③ z1 ? z2 ? z1 ? z2 ;④ ( z1 ) ?
z2

z1 z2

;⑤z1=z2 ? z1 = z 2 .灵活利用这些性

质可巧解一类复数问题.

[子题](1): (2010 年课标卷高考试题)已知复数 z=
(A)
1 4

3 ?i (1 ? 3i)2

, z 是 z 的共轭复数,则 z z =(

)

(B)
3 ?i (1 ? 3i)2

1 2

(C)1
?zz =
3 ?i (1 ? 3i)2
?

(D)2 =
4 42

[解析]:由 z=

? z=
z z2

3 ?i (1 ? 3i)2
z1 z2

3 ?i (1 ? 3i)2

=

1 .故选(A). 4

注:利用共轭复数性质: ( 1 ) ?

,可巧解类似于本题的复数问题.

[子题](2): (2008 年湖北高考试题)设 z1 是复数,z2=z1-i z1 (其中 z1 表示 z1 的共轭复数).己知 z2 的实部是-1,则 z2
的虚部为 .
? z2 ? z1 ? i z1 ? z1 ? i z1 ? z1 ? i z1 ? z1 ? iz1 =i(z1-i z1 )=iz2,所以 z2 的实部与虚部互为相反数 ? z2 的虚部

[解析]:由 z2=z1-i z1
=1.

注:利用共轭复数性质①②③,可巧解关于 z 与 z 的关系型问题.

[子题](3): (2001 年全国高中数学联赛试题)若复数 z1,z2 满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2= -i,则 z1z2= [解析]:|z1|=2,|z2|=3 ? z1 z1 =4,z2 z 2 =9 ?
1 3 30 72 z1z2( +i) ? z1z2=+ i. 6 2 13 13

3 2

.

3 1 1 1 1 -i=3z1-2z2= z1z2 z 2 - z2z1 z1 = z1z2(2 z 2 -3 z1 )=- z1z2(3 z1 -2 z 2 )= 2 3 2 6 6

注:对于关于 z 与 z 的关系型问题,在已知式的两边同时取共轭复数,可增加一个等式,有助于问题的解决.

[子题系列]:
1.(2009 年全国Ⅰ高考试题)己知复数 z=1+2i,那么
5 2 5 ? i 5 5 5 2 5 ? i 5 5
1 z

=(

)
1 2 ? i 5 5 1 2 ? i 5 5

(A)

(B)

(C)

(D) )

2.(2014 年江西高考试题)设 z 是 z 的共轭复数,若 z+ z =2,(z- z )i=2(i 为虚数单位),则 z=( (A)1+i (B)-1-i (C)-1+i

(D)1-i

32

[母题]Ⅰ(1-13):共轭运算(013)
. ) (D)5-i ) (D)-1-i
?w ? w
1? | ? |2

3.(2009 年上海高考试题)若复数 z 满足 z(1+i)=1-i(i 是虚数单位),则其共轭复数 z = 4.(2013 年山东高考试题)复数 z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则 z 的共轭复数 z 为( (A)2+i (A)1+i (B)2-i (B)1-i (C)5+i (C)-1+i 5.(2013 年安徽高考试题)设 i 是虚数单位, z 是复数 z 的共轭复数,若 z z i+2=2z,则 z=(

6.(1985 年全国高中数学联赛试题)设 z,w,λ 为复数,|λ |≠1 关于 z 的方程 z -λ z=w 下面有四个结论:①z= 个方程的解;②这个方程只有一个解;③这个方程有两个解;④这个方程有无穷多解.则( (A)只有①和②是正确的 (B)只有①和③是正确的 (C)只有①和④是正确的
z1
2 z2

是这

) (D)以上(A)、(B)、(C)都不正确 为实数,那么|z1|=|z2|=( (D) 6
z1z 2 的值为 | z1z 2 |

7.(2006 年复旦大学保送生考试试题)设 z1、z2 为一对共轭复数,如果|z1-z2|= 6 ,且 (A) 2 (B)2 (C)3

)

8.(2006年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)如果复数z1,z2满足|z1|=|z2|,且z1-z2=2-i,则

.

9.(2012年全国高中数学联赛山东初赛试题)设z1、z2为一对不相等的共轭复数,且|z1|= 3 , ( ) (B) 6 (C)3

2 z1 为实数,则|z1-z2|的值为 z2

(A) 3

(D)2 3

[子题详解]:
1.解:由 z=1+2i ?
1 z

=

z zz

=

1 2 ? i .故选(C). 5 5

2.解:由(z- z )i=2 ? z -z=2i 与 z+ z =2 两式相减得 z=1-i.故选(D). 3.解:由 z(1+i)=1-i ? z (1-i)=1+i ? z =i. 4.解:由(z-3)(2-i)=5 ? ( z -3)(2+i)=(2+i)(2-i) ? z -3=2-i ? z =5-i.故选(D). 5.解:由 z z i+2=2z ? - z zi+2=2 z ,两式相加得 z+ z =2 ? z 的实部为 1,排除(C)(D);两式相减得 z z i=z- z ? z 的虚部为 正,排除(B).故选(A). 6.解: z -λ z=w ? z- ? z = w ? z- ? (λ z+w)= w ? (1-λ ? )z= ? w+ w ? z= 7.解:设 z1=a+bi,则 z2=a-bi,由|z1-z2|= 6 ? 2|b|= 6 ;由
a 2 ? b2 =
2 3 |b|= 2 .选(A). 3
2 2

?w ? w
1? | ? |2
2 2

.故选(A).
2

z1
2 z2

为实数 ? a:(a -b )=b:(-2ab) ? a = b ? |z1|=|z2|=

1 3

2

8.解:设|z1|=|z2|=a ? z1 z1 =z2 z 2 =a ? a (2-i)=z1z2 z 2 -z2z1 z1 =-z1z2( z1 - z 2 )=-z1z2(2+i) ?
? 3 ? 4i . 5
2 9.解:设 z1= 3 (cosθ +isinθ ),则 z1 =3(cos2θ +isin2θ ),z2= 3 (cosθ -isinθ ),由

?2 ? i zz z1z 2 = 1 22 = = 2?i | z1z 2 | a

2 z1 为实数 ? cos2θ :cosθ = z2

sin2θ :(-sinθ ) ? cos θ =

2

1 3 (sinθ =0 舍去) ? |sinθ |= ? |z1-z2|=2 3 |sinθ |=3.故选(C). 4 2


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