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简单分式不等式的解法

时间:2014-12-16


简单分式不等式的解法

复习回顾
? 利用数轴标根法解不等式:

x( x ? 1) ( x ? 2) ? 0
2

强调:实心点

新课

分式不等式的定义
? 分母中含有未知数形式的不等式叫分式不等

式。 ? 满足分式不等

式的未知数的取值范围叫做这 个不等式的解集。

练习1
? 判断下列不等式是否为分式不等式?

x2 ? 2x ? 3 (1) ?0 x

3x 2 ? 2 x ? 3 (2) ?0 5

2x (3) ?0 x ?1
2

1 2 1 (4) x ? 2 x ? ? 0 3 5

2 x ? 2x x ? 2 x ? 3 (5) 2 ? 0 (6) ?0 2 x ? 2x ?1 2x

解不等式: x ? 1 ? 0.
3x ? 2
分析:当且仅当分子与分母同号时, 上述不等式成立.
x ?1 ? 0 ?x ? 1 ? 0 因此 原不等式等价于 ? 或? ? ?3x ? 2 ? 0 ?3x ? 2 ? 0 ? x ? ?1 ? x ? ?1 ? ? 2 或? 2 ? x? x? ? ? 3 ? 3 ?



2 即x ? 或x ? ?1 3

所以,原不等式的解集为{x|x>2/3或x<-1}

即 (??, ?1) ( , ??).

2

解不等式: x ? 1 ? 0.
3x ? 2

分析:当且仅当分子 x ? 1与分母 3 x ? 2同号时, 上述不等式成立,而两个数的商与积同号. 因此,上述不等式可转化为 整式不 解法2:原不等式等价于 等式 ? x ?1??3x ? 2? ? 0

所以,原不等式的解集为{x|x<-1或x>2/3}

2 (??, ?1) ( , ??). 3

x ?1 不等式 3 x ? 2 ? 0

分类讨论

解法比较
转化(化归)
通过等价转换,变成 我们熟悉的、已经因 式分解好了整式不等 式C

需要解两个不等式 组,再取这两个不 等式组解集的并集





规范步骤
x ?1 ? 0. ? 例1.解不等式 3 x ? 2

解:原不等式等价于

? x ?1??3x ? 2? ? 0
解得x<-1或x>2/3

所以,原不等式的解集为{x|x<-1或x>2/3}即
2 (??, ?1) ( , ??). 3

?思考:不等式
解:
?

例2

x ?1 ?0 3x ? 2

x ?1 ?0 的解 3x ? 2

( x ? 1)(3x ? 2) ? 0
3x ? 2 ? 0

(1) (2)

由(1)得x≤-1或x≥2/3

由(2)得x≠2/3
所以,原不等式的解集为{x|x≤-1或x>2/3},即

? ??, ?1?

?2 ? ? , ?? ? . ?3 ?

小结1
解分式不等式的方法是 将之等价转化为解整式不等式

ax ? b ? 0 ? (ax ? b)(cx ? d ) ? 0 cx ? d

?(ax ? b)(cx ? d ) ? 0 ax ? b ?0?? cx ? d ?cx ? d ? 0
ax ? b ? 0 ? (ax ? b)(cx ? d ) ? 0 cx ? d ?(ax ? b)(cx ? d ) ? 0 ax ? b ?0?? cx ? d ?cx ? d ? 0

例 3如何求解: ?

?x ?1 ? ?2 ?3x ? 2
?3 x ? 2

解:原不等式等价于 ? x ? 1 ? 2 ? 0, 整理,得 ?7 x ? 5 ? 0,
?3 x ? 2

7x ? 5 ?0 即 3x ? 2


(7 x ? 5)(3x ? 2) ? 0,
2 5 得x ? 或x ? 3 7

故原不等式的解集为

2? ?5 ? ? ?? , , ?? ? ? ? ? 3 7 ? ? ? ?

小结2

移项、通分、化整式

ax ? b (a ' x ? b ') ?k ? ?0 cx ? d (cx ? d ) ? (a / x ? b/ )(cx ? d ) ? 0 ax ? b (a ' x ? b ') ?k ? ?0 cx ? d (cx ? d )

? (a x ? b )(cx ? d ) ? 0
/ /

练习2:
解不等式

x ?1 ? 2. 3x ? 2

解不等式 解:原不等式等价于
即 即 所以原不等式等价于

x ?1 ? 2. 3x ? 2

x ?1 ?2?0 3x ? 2 ?5 x ? 5 ? 0. 3x ? 2

5x ? 5 ?0 3x ? 2
?(5x ? 5)(3x ? 2) ? 0, ? ?3x ? 2 ? 0.

解得

?2 ? x ?1 ? ?3 ? ?x ? 2 ? 3 ?

2 即 ? x ?1 3

所以,原不等式的解集是

? 2 ? ? x | ? x ? 1? . ? 3 ?

练习3
解不等式

x ?1 ?2 2 ? 3x

例4
解不等式:

? x ? 1?? x ? 3? ? 0
3x ? 2

解:原不等式可等价转化为

? x ?1??3x ? 2?? x ? 3? ? 0
3x ? 2 ? 0

所以原不等式的解集为 [?1, 2 ) [3, ??).
3

练习4
x ? x?2 ?0 2 x ? 2x ? 3
2

解不等式

小结3
? 解分式不等式的基本思路是将其转化为

整式不等式。在此过程中,等价性尤为 重要,因此解分式不等式一般不去分母, f ( x) ?0 而是先将它化归为 等形式,再 g ( x) 实施同解变形.
f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

思路总结
分式不等式

同解 变形

整式不等式

化 归
未知

等价 变换

已知

x 2 ? 2 x ? 24 ? ?2 2 x ? 7 x ? 12

练习

解:
移项,得 即

3x 2 ? 16 x ?0 2 x ? 7 x ? 12
x( x ? 3)( x ? 4)(3x ? 16) ? 0

解集为

16 (??, 0) (3, 4) ( , ??). 3

作业

x 解不等式:

? 16 ? 0 2 x ? 4x ? 3

2

下 课!


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