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2.3.1函数的单调性


函数的单调性

一:问题情境 二:思考交流

三 :抽象概括
四:新知应用

五: 课堂练习 六:课时小结
七:课后作业

一:问题情境
1. 如图为某地区一天内的气温变化图:

(1)观察这个气温变化图,说出气温在这一天内 的变 化情况. (2)

怎样用数学语言刻画在这一天内“随着时间的增大, 气温逐渐升高或下降”这一特征?

2. 分别作出下列函数的图像: (1)y ? 2x (2) y ? ? x ? 1 (3)y ? x
2

根据三个函数图像,分别指出当x∈(-∞,+∞) 时,图像的变化趋势?

图像

二:思考交流
引导学生对两个例题进行观察分析,并 提问,然后对学生的回答进行总结
观察函数图像可以发现: y ? 2x在(-∞,+∞) 上、 y ? x 2 在(0,+∞)上的图像由左向右都 y ? ?x ? 1 在(-∞,+∞)上、 y ? x2 在 是上升的; (-∞,0)上的图像由左向右都是下降的.函 数图像的“上升”或“下降”反映了函数的一个 基本性质———单调性.那么,如何用数学语言 描述函数图像“上升”或“下降”这个图像特征 呢?如何理解呢?

二:思考交流
?

以函数 y ? ?x ? 1 ,x∈(-∞, +∞ )为 例,图像由左向右下降,意味着“随着x的增 大,相应的函数值y=f(x)反而减小”,如 何量化呢?取自变量的两个不同的值,如x1= -5,x2=-3,这时有x1 < x2,f(x1)>f (x2 ) ,但是这种量化并不精确.取的特殊 值不能说明问题的,因此, x1,x2应具有“任 意性”.所以,在区间(-∞, +∞ )上, 任取两个x1, x2求出f(x1)=- x1 +1,f(x2) =- x2 +1 .当x1 < x2时,都有f( x1 )>f ( x2 ).这时,我们就说函数f(x)在区间 (-∞, +∞ )上是减函数.

三:抽象概括
1,增(减)函数的定义 设函数f(x)的定义域为I: (1)如果对于定义域I内某个区间D上的任 意两个自变量的值x1 , x2 ,当x1 < x2时, 都有f( x1 )<f( x2 ),那么我们就说函 数f(x)在区间D上是增函数(如下图1)

(2) 如果对于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1 , x2 ,当x1 < x2时,都有f( x1 )>f( x2 ), 那么我们就说函数f(x)在区间D上是 减函数(如下图2)

课时小结

2 ,单调区间的概念

如果函数y=f(x)在区间D上是增函数 或减函数,那么我们就说函数y=f(x)在这 一区间具有(严格的)单调性,是单调函数, 区间D叫作y=f(x)的单调区间.

观察问题情境1中气温变化图像,根据 图像说出函数的单调区间,以及在每一 单调区间上,它是增函数还是减函数.
小结
问题提出

思考问题
1,定义当中对x1, x2 有什么要求? 2,定义在R上的函数f(x),满足f(2)>f(1),能否 判断函数f(x)在R是增函数? 3,增(减)函数还可以怎么定义呢? 4,我们所学过函数中,在定义域内哪些是递增函 数吧?哪些是递减函数?哪些既有增又有减? 5,是不是所有的函数都具有单调性? 6,如果一个函数在A区间上递减,B区间也递减, 那么在 A B 是不是也递减

归纳总结
1,定义中x1,x2是区间D上的任意两个自变量,它们有大 小,是任意的,必须同属一个单调区,函数的单调性是 相对于某一区间而言的. 2,如果函数f(x)在区间A上,对任意x1,x2 ( x1 ? x2 ) 有 ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 (? 0)则函数f(x)是区间 A上减(增)函数 3,一次函数是单调函数,二次函数定义域内不是单调函 数 ,因为既有增又有减。常数函数不具有单调性的 4,如果一个函数在A区间上递减,B区间也递减,那么 在 A B 不一定递减 5,单调区间和所在的子区间上单调性相同
课时小结

四:新知应用
1,证明函数f(x)=2x+1,在(-∞,+∞)是 增函数. 2, 求函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 和 f ( x) ? ?2 的单调区 x 间 思考:如何证明函数的单调性?

1,证明:设

x1 ? x2 ? (??, ??) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 x1 ? 1 ? (2 x2 ? 1) ? 2( x1 ? x2 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x) ? 2 x ? 1

所以函数f(x)=2x+1在(-∞,+∞)是增函数.
2,作出他们的图像即可求出

f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3的增区间是 [1, ??) 减区间是 (??,1]
?2 f ( x) ? x

的增区间是

(??,0)和(0,+?)

方法总结
证明函数单调性的步骤: (1)设出 x1 ? x2 属于给定的区间 (2)求出 f ( x1)和f ( x2 ),然后做差f ( x1) ? f ( x2 ) (3)判断差的符号是大于零还是小于零,然后根 据定义下结论 求函数单调区间的方法可以利用函数图像数形 结合

五:课堂练习
1, 函数.
1 2 证明函数f(x)=x -x在(-∞,]上是减 2

证明:设

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x12 ? x1 ? ( x2 2 ? x2 ) ? ( x12 ? x2 2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ? 1) 1 x1 ? x2 ? (-?, ]? x1 ? x2 ? 0, 2 x1 ? x2 ? 1? x1 ? x2 ? 1 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )

1 x1 ? x2 ? (-?, ] 2

∴函数f(x)=x2-x在(-∞,]上是减函数.

六:课时小结
1,增(减)函数的定义 ? 2,单调函数的定义 ? 3,单调区间的定义 ? 4,几点注意的问题 ? 5,用定义证明函数单调性的步骤 ? 6,求简单函数单调区间的方法
?


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