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上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学(理)试题


上海市普陀区 2014 届高三上学期 12 月质量调研数学理试题
2013.12 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 若集合 A ? {x | x 2 ? 2 x ? 0} , B ? {x || x ? 1 |? 2} ,则 A ? B ? .


2. 设 e1 、 e2 是平面内两个不平行的向量,若 a ? e1 ? e2 与 b ? me1 ? e2 平行,则实数

m?

.

3. 在△ ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 a ? 2 , c ? 2 3 , C ? 则b ? . .
*

?
3



4. 在 ( x ? 3)n 的展开式中,若第 3 项的系数为 27 ,则 n ?

2 2 5. 若 圆 x ? ( y ? 1) ? 1 的 圆 心 到 直 线 l n : x ? ny ? 0 ( n ? N ) 的 距 离 为 d n , 则

l i md n ?
n??

.
?1

6. 函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1) (1 ? x ? 2) 的反函数 f 7. 已知椭圆

( x) ?

.

x2 y 2 ? ? 1 的左、右两个焦点分别为 F1 、 F2 ,若经过 F1 的直线 l 与椭圆相交 4 3
. .

于 A 、 B 两点,则△ ABF2 的周长等于

1 * ( n ? N )则 lim( a1 ? a 2 ? ? ? a 2 n ) ? , n ?? 2n 5 1 9. 若函数 f ( x) ? x ? ,则不等式 2 ? f ( x) ? 的解集为 . x 2 a 8. 数列 {an } 中, a1 ? 1 , n ? an ?1 ? 若
10.如图,正四棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 的底面边长 AB ? 2 ,若直线 B1C 与底面 ABCD 所成的角的大小为 arctan 2 ,则正四棱柱 ABCD? A1 B1C1 D1 的侧面积为 11.数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a n ? 1 ? n cos .

第 10 题

n? * (n? N ) ,则 S 2014 ? 2

.

12. 已 知 全 集 U ? {1,2,3,4,5,6,7,8} , 在 U 中 任 取 四 个 元 素 组 成 的 集 合 记 为

A ? {a1 , a2 , a3 , a4 } , 余 下 的 四 个 元 素 组 成 的 集 合 记 为 CU A ? {b1 , b2 , b3 , b4 } , 若 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ,则集合 A 的取法共有
种.

13.正三角形 ABC 的三个顶点都在半径为 2 的球面上,球心 O 到平面 ABC 的距离为 1 ,点

D 是线段 BC 的中点,过 D 作球 O 的截面,则截面面积的最小值为

.

?2 x ? a , x ? 0 14.已知函数 f ( x) ? ? , 若方程 f ( x) ? x ? 0 有 ? f ( x ? 1), x ? 0
且仅有两个解,则实数 a 的取值范围是 .

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且
第 13 题

只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答 案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.若 f (x ) 和 g (x) 都是定义在 R 上的函数,则“ f (x ) 与 g (x) 同是奇函数或偶函数”是 “ f ( x) ? g ( x) 是 偶函 数” 的? ??? ? ?? ?? ?? ??? ? ?? ?? ?? ??? ( )

( A) 充分非必要条件. (C ) 充要条件.

(B ) 必要非充分条件. (D ) 既非充分又非必要条件


16. 若 a 和 b 均为非零实数, 则下列不等式中恒成立的是??????????? (

( A)

|a?b| ? 2

| ab | .

(B )

b a ? ? 2. a b

1 1 (C ) ( a ? b)( ? ) ? 4 . a b
17.将函数 y ? f (x) 的图像向右平移

(D )

a2 ? b2 a?b 2 ?( ) . 2 2

? 个单位, 再向上平移 1个单位后得到的函数对应的表 4

2 达式为 y ? 2 sin x ,则函数 f (x ) 的表达式可以是???????????????





( A) 2 sin x .

(B ) 2 cos x .

(C ) sin 2 x .

(D ) cos 2 x .

18. 若 Ai ( i ? 1,2,3,?, n )是 ?AOB 所在的平面内的点,且 OA ? OB ? OA ? OB . i 给出下列说法: ① | OA |?| OA2 |? ? ?| OAn |?| OA | ; 1 ② | OAi | 的最小值一定是 | OB | ;

A

O

B
第 18 题

③点 A 、 Ai 在一条直线上; ④向量 OA 及 OAi 在向量 OB 的方向上的投影必相等. 其中正确的个数是???????????????????????????? ( )

( A) 1个.

(B ) 2 个.

(C ) 3 个.

(D ) 4 个.

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 已知点 P ( 2, 0) ,点 Q 在曲线 C y 2 ? 2 x 上. (1)若点 Q 在第一象限内,且 | PQ |? 2 ,求点 Q 的坐标; (2)求 | PQ | 的最小值.

20. (本题满分 14 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? cos2x ? 2 3 sin x cos x (1)求函数 f (x ) 的最大值,并指出取到最大值时对应的 x 的值; (2)若 0 ? ? ?

?
6

,且 f (? ) ?

4 ,计算 cos 2? 的值. 3

21.(本题满分 14 分) 本大题共有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 如图所示,一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液 时,滴管内匀速滴下球状液体,其中球状液体的半径 r ? 3 10 毫米,滴管 内液体忽略不计. (1)如果瓶内的药液恰好 156 分钟滴完,问每分钟应滴下多少滴? (2)在条件(1)下,设输液开始后 x (单位:分钟) ,瓶内液面与进气管 的距离为 h (单位:厘米) ,已知当 x ? 0 时, h ? 13 .试将 h 表示为 x 的
第 21 题

mm ) 函数.(注 1cm ? 1000
3 3

22. (本题满分 16 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分 ,第

3 小题满分 6 分. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , an?1 ? an ? 3 ? 2n , n ? N .
*
n (1)证明数列 an ? 2 是等比数列,并求数列 ?an ? 的通项公式;

?

?

(2)在数列 ?an ? 中,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项;若 不存在,请说明理由; (3)若 1 ? r 线上.

? s 且 r , s ? N * ,求证:使得 a1 , a r , a s 成等差数列的点列 ? r , s ? 在某一直

3.(本题满分 18 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小题满分 8 分. 定义在 ? 0, ?? ? 上的函数 f ? x ? , 如果对任意 x ? ? 0, ?? ? , 恒有 f ? kx ? ? kf ? x ?( k ? 2 ,

k ? N * )成立,则称 f ? x ? 为 k 阶缩放函数.
(1)已知函数 f ? x ? 为二阶缩放函数,且当 x ? ?1, 2? 时, f ? x ? ? 1 ? log 1 x ,求 f 2 2
2

?

?

的值; (2)已知函数 f ? x ? 为二阶缩放函数,且当 x ? ?1, 2? 时, f ? x ? ? 函数 y ? f ? x ? ? x 在 ?1, ?? ? 上无零点; (3) 已知函数 f ? x ? 为 k 阶缩放函数, 且当 x ? ?1, k ? 时,f ? x ? 的取值范围是 ?0,1? , f ? x ? 求
n ?1 在 0, k ? ( n ? N )上的取值范围. ?

2 x ? x2 ,求证:

?

2013 学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷评分标准
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. (?3, 0) ; 2. ? 1 ; 域不给分) ; 7. 8 ; 14. a ? 2 ; 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 题号 答案 15 A 16 D 17 C 18 B 8. 3. 4 ;4. 3 ; 5. 1 ; 6. f
?1

( x) ? 1 ? 2 x ( x ? 0) (不标明定义

2 ; 3

9. ( , 2)

1 2

10.32;

11. 1006;

12.31;

13.

9? ; 4

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分.
2 【解】设 Q( x, y ) ( x ? 0, y ? 0 ), y ? 2 x

(1)由已知条件得 | PQ |?

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 2 ??????????2 分

2 2 将 y ? 2 x 代入上式, 并变形得,x ? 2 x ? 0 , 解得 x ? 0(舍去) x ? 2 ????? 或

4分 当 x ? 2 时, y ? ?2 只有 x ? 2, y ? 2 满足条件,所以点 Q 的坐标为 (2, 2) ??????6 分 (2) | PQ | ?

( x ? 2) 2 ? y 2 其中 y 2 ? 2 x ??????????7 分

| PQ |2 ? ( x ? 2) 2 ? 2x ? x 2 ? 2x ? 4 ? ( x ? 1) 2 ? 3 ( x ? 0 )????10 分
当 x ? 1 时, | PQ |min ? 3 ??????????????12 分 (不指出 x ? 0 ,扣 1 分)

20. (本题满分 14 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 【解】 (1) f ( x) ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2 sin( 2 x ? 由0 ? x ?

?
6

) ??????2 分

?
2

得,

?
6

? 2x ?

?
6

?

所以当 2 x ?

?
6

?

?
2

7? ???4 分 6

时, f ( x) max ? 2 ,此时 x ?

?
6

???6 分

(2)由(1)得, f (? ) ? 2 sin( 2? ? 其中

?
6

)?

?
6

? 2? ?

?
6

?

?
2

得 cos( 2? ?

?
6

4 ? 2 ,即 sin( 2? ? ) ? ?????8 分 3 6 3

) ? 0 ??????10 分

所以 cos(2? ?

?
6

)?

5 ?????11 分 3

cos 2? ? cos[( 2? ?

?
6

)?

?
6

] ??????13 分

?

5 3 2 1 15 ? 2 ??????14 分 ? ? ? ? 3 2 3 2 6

21. (本题满分 14 分) 本大题共有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 【解】 (1)设每分钟滴下 k ( k ? N )滴,??????1 分
*

2 2 则瓶内液体的体积 V1 ? ? ? 4 ? 9 ? ? ? 2 ? 3 ? 156 cm ??????3 分 ?
3

4 40 k k? k 滴球状液体的体积 V2 ? k ? ? ? ? 10 ? mm 3 ? cm3 ??????5 分 3 3 75 k? ? 156 ,解得 k ? 75 ,故每分钟应滴下 75 滴。??????6 分 所以 156? ? 75
(2)由(1)知,每分钟滴下 ? cm 药液??????7 分
3

x ,此时 0 ? x ? 144 ???10 分 16 x 2 2 当 1 ? h ? 4 时, ? ? ? ? 4 ? 9 ? ? ? 2 ? (4 ? h) , h ? 40 ? , 即 此时 144 ? x ? 156 ??? x 4
2 当 4 ? h ? 13 时, x? ? ? ? 4 ? (13 ? h) ,即 h ? 13 ?

13 分

x ? ?13 ? 16 , 0 ? x ? 144 ? 综上可得 h( x ) ? ? ??????14 分 ?40 ? x , 144 ? x ? 156 ? 4 ?
22. (本题满分 16 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分 ,第 3

小题满分 6 分. 解: (1)将已知条件 an?1 ? an ? 3 ? 2n 变形为 an ?1 ? 2
n ?1

? ? ? an ? 2n ? ??1 分

a n?1 ? 2 n?1 由于 a1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 ? 0 ,则 ? ?1(常数)??3 分 an ? 2 n
n 即数列 an ? 2 是以 1 为首项,公比为 ?1 的等比数列??4 分

?

?

所以 an ? 2 n ? 1? (?1) n?1 ? (?1) n?1 ,即 an ? 2 n ? (?1) n?1 ( n ? N ) 。??5 分
*

(2) 假设在数列 ?an ? 中存在连续三项成等差数列, 不妨设连续的三项依次为 ak ?1 , k , k ?1 a a
* (k ? 2,k ?N ) ,由题意得, 2ak ? ak ?1 ? ak ?1 ,

将 ak ? 2 k ? (?1) k ?1 , ak ?1 ? 2 k ?1 ? (?1) k ?2 , ak ?1 ? 2 k ?1 ? (?1) k 代入上式得??7 分

2[2k ? (?1) k ?1 ] ? [2 k ?1 ? (?1) k ?2 ] ? [2 k ?1 ? (?1) k ] ??????8 分
化简得, ? 2 k ?1 ? 4 ? (?1) k ?2 ,即 2 k ?1 ? 4 ? (?1) k ?1 ,得 (?2) k ?1 ? 4 ,解得 k ? 3 所以,存在满足条件的连续三项为 a2 , a3 , a4 成等比数列。??10 分 (3)若 a1 , ar , as 成等差数列,则 2ar ? a1 ? as 即 2[2 ? (?1)
r r ?1

] ? 3 ? 2 s ? (?1) s ?1 ,变形得 2 s ? 2 r ?1 ? 2 ? (?1) r ?1 ? (?1) s ?1 ? 3 ??11 分

* 由于若 r , s ? N 且 1 ? r ? s ,下面对 r 、 s 进行讨论:

① 若 r , s 均为偶数,则 2 ? 2
s

r ?1

? 0 ,解得 s ? r ? 1 ,与 1 ? r ? s 矛盾,舍去;
r ?1

② 若 r 为奇数, s 为偶数,则 2 ? 2
s

? 0 ,解得 s ? r ? 1 ; ? 0 ,解得 s ? r ? 1 ,与 1 ? r ? s 矛盾,舍去;

③ 若 r 为偶数, s 为奇数,则 2 ? 2
s

r ?1

④ 若 r , s 均为奇数,则 2 ? 2
s

r ?1

? 0 ,解得 s ? r ? 1 ,与 1 ? r ? s 矛盾,舍去;?? 15

分 综上①②③④可知,只有当 r 为奇数, s 为偶数时, a1 , ar , as 成等差数列,此时满足条 件点列 ? r , s ? 落在直线 y ? x ? 1 (其中 x 为正奇数)上。??16 分(不写出直线方程 扣 1 分) 23. (本题满分 18 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分 ,第

3 小题满分 8 分. 解: (1)由 2 ? (1, 2] 得, f ( 2 ) ? 1 ? log 1
2

2?

1 ??????2 分 2

由题中条件得 f (2 2 ) ? 2 f ( 2 ) ? 2 ? (2)当 x ? (2i ,2i ?1 ] ( i ? N )时,

1 ? 1 ????????4 分 2

x ? ?1, 2? ,依题意可得: 2i
2

x ? x? ? x? ? x ? ? x? f ? x ? ? 2 f ? ? ? 22 f ? 2 ? ? ? ? 2i f ? i ? ? 2i 2 ? i ? ? i ? ? 2i ?1 x ? x 2 ? 2 ?2 ? ?2? ?2 ? ?2 ?
?6 分 方 程 f ( x) ? x ? 0 ?

2i?1 x ? x2 ? x ? x ? 0 或 x ? 2i , 0 与 2 i 均 不 属 于

(2i ,2i ?1 ] ??8 分
i i ?1 当 x ? 2 , 2 ? ( i ? N )时,方程 f ? x ? ? x ? 0 无实数解。 ? 0 1 1 2 i i?1 注意到 ?1, ?? ? ? 2 , 2 ? ? 2 , 2 ? ??? 2 , 2 ? ?? ? ? ?

?

?

?

?

所以函数 y ? f ? x ? ? x 在 ?1, ?? ? 上无零点。??10 分


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