nbhkdz.com冰点文库

第1讲 填空题中的“瓶颈题”


第1讲

填空题中的“瓶颈题”

【突破填空题】
第 1讲 填空题中的“瓶颈题”

(本讲对应学生用书第75~80页) 江苏高考对填空题知识点的考查相对稳定,共有14道,分值70分,填空题的得 分多少,决定了整个试卷的成败.我们应该坚持由易到难的做题顺序,要确保填空 题前10题正确.要突破填空题中的“瓶颈题”就

必须在填空题后4题中有所收获.解填 空题时,要有合理的分析和判断,要求推理、运算的每一个步骤都正确无误,还要 求将答案表达得准确、完整.合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解 答填空题的基本要求.数学填空题,解题的基本方法一般有:①直接法;②数形结 合;③特殊化(特殊值法、特殊函数法、特殊角法、特殊数列法、图形特殊位置法、 特殊点法、特殊方程法、特殊模型法);④整体代换;⑤类比、归纳;⑥图表等等. 求解填空题的基本策略是要在“准”、 “巧”、 “快” 上下功夫. 要想又快又 准地答好填空题,除直接推理计算外,还要讲究解题策略,合理利用“数形结合” 和“特殊化”等基本方法是关键.

【解法概述】
举题说法 直接法 解法概述

直接从题设条件出发,利用定义、定理、性质、公式等知识,通过变形、推理、运 算等过程,直接得到结果的方法叫作直接法,它是解决客观题的基本方法.熟悉有 关定义、定理、性质、公式是运用直接法的基础. 例1 (1) 已知集合A={x|lnx>0},B={x|2x≤4},则A∩B= .

(2) 已知向量a=(1,2),b=(0,1),设m=a+tb,n=2a-b,若m⊥n,则实数t的 值为 .

【分析】(1) 解不等式再求交集;(2) 运用向量垂直的条件计算.

8 【答案】(1) (1,2] (2) - 3
【解析】(1) 由题可得A={x|x>1},B={x|x≤2},则A∩B={x|1<x≤2}. (2) 由已知得m=a+tb=(1,2+t),n=2a-b=(2,3),

8 故由m⊥n可知1?2+(2+t)?3=0,所以t=- 3 .

数形结合法 对于一些含有几何背景的填空题,若能数中思形,以形助数,则往往可以简捷地解 决问题,得出正确的结果. 例1 已知定义在R 上的奇函数 f(x)满足当 x>0 时, f(x)=2 014x+log2 014x, .

则方程f(x)=0的实根的个数为 【答案】3

(例1)

【解析】由题意可得,f(x)的零点个数即函数y=2 014x和y=-log2 014x的图象的交 点个数,在同一平面直角坐标系下分别作出 y=2 014x , y=-log2 014x的图象如图所示, 在(0,+∞)上,两个图象只有一个交点,即方程f(x)=0只有一个实根. 再根据奇函数的性质可得f(0)=0,以及根据奇函数的图象的对称性可得, 当x<0时,两个图象也有一个交点,即方程f(x)=0只有一个实根. 综上,在R上,函数f(x)零点的个数为3. 【点评】f(x)零点个数即函数y=2 014x和函数y=-log2 014x的图象的交点个数,数 形结合可得在(0,+∞)上,两个图象只有一个交点.再根据奇函数的性质可得当x<0 时,两个图象也有一个交点,且f(0)=0,综合可得结论.

练习 的取值范围是

0 ? x ? 1, ? x ? 1, ? ? x 1 ?2 - ,x ? 1, 已知函数f(x)= ? 2 设a>b≥0,若f(a)=f(b),则b?f(a)
.

?3 ? , 2? ? 4 ? ? 【答案】

(练习) 【解析】作出f(x)的图象如图所示,

1 3 当x=1时,f(1)=2- 2 = 2 . 3 3 1 当y= 2 时,由x+1= 2 得x= 2 ,

1 3 1 3 所以 2 ≤b<1,而 2 ≤f(a)<2,所以 2 ? 2 ≤b?f(a)<1?2,
?3 ? 3 , 2? ? 4 ? ?. 4 即 ≤b?f(a)<2,所以b?f(a)的取值范围是

特例法 当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以把题中 变化的不定量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊图形、特殊位置、 特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替,即可以得到正确结果.特殊值法在解决填空 题时有着独特的优势.

b 例1 在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 a +
a tanC tanC b =6cos C,则 tanA + tanB =
【答案】4 .

(例1) 【解析】方法一:(特殊值法)根据题意可知,a,b是等价关系,我们将题目 中的a,b互换条件不变.因此,我们选用特殊图形,构造锐角三角形ABC为等腰三角

1 形,此时cos C= 3 .不妨设a=b=3(如图),作AD⊥BC垂足为D,所以CD=1,AD=2 2 , tanC tanC 所以tan C=2 2 ,tan A=tan B= 2 ,所以 tanA + tanB =4.

a 2 ? b 2 -c 2 b a ? 方法二:因为 a + b =6cos C ? 6abcos C=a2+b2,所以6ab? 2ab =a2+b2 3c 2 tanC tanC sinC cosBsinA ? sinBcosA sinC sin(A ? B) 2 2 sinAsinB a +b = 2 ,所以 tanA + tanB = cosC ? = cosC ? sinAsinB =

c2 1 sin 2C c2 c2 1 a 2 ? b 2 -c 2 cosC ? sinAsinB = 2ab ? ab = 4 =4.

练习

如图,在三棱锥O-ABC中,三条棱OA,OB,OC两两垂直,且

OA>OB>OC,分别经过三条棱OA,OB,OC作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依 次为S1,S2,S3,则S1,S2,S3的大小关系为 .

(练习) 【答案】S3<S2<S1

(练习) 【解析】要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等,则需满足与截面对 应的交点E,F,G分别为中点即可.故可以将三条棱长分别取为OA=6,OB=4,OC=2, 如图,则可计算S1= 45 ,S2= 40 ,S3= 13 ,故S3<S2<S1.

等价转化法 通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”,将问题等价地转化成便于解决的问题,从 而得出正确的结果.

例1

不论k为何实数,直线y=kx+1与曲线x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交 .

点,则实数a的取值范围是

【分析】直线y=kx+1恒过定点(0,1),转化为点(0,1)恒在圆的内部或边界上 即可满足题意. 【答案】[-1,3] 【解析】由于直线y=kx+1恒过定点(0,1),所以原题等价于点(0,1)恒在圆内 或圆上, 所以点(0,1)到圆x +y -2ax+a -2a-4=0的圆心(a,0)的距离小于或等于半径
2a ? 4 ,
2 2 2



(0-a ) 2 ? (1-0) 2

≤ 2a ? 4 ,解得-1≤a≤3,即a的取值范围是[-1,3].

练习

如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是AB,

CD的中点,点G是EF上的动点,记△A1B1G,△C1D1G的面积分别为S1,S2,则S1+S2的最 小值为 .

(练习) 【答案】2 5

1 1 2 【解析】设EG=x,则FG=2-x,0≤x≤2,则S1+S2= 2 ?2? x ? 4 + 2 ?2?
(2-x) 2 ? 4

=

(x-0)2 ? (0-2)2

+

(x-2) 2 ? (0-2) 2

,在平面直角坐标系中,它表示x轴上

的点P(x,0)到M(0,2)与N(2,2)两点的距离之和,而点 M关于x轴的对称点为M'(0, -2),则S1+S2≥M'N=2 5 .

整体代入法 将需要解决的问题看作一个整体,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体功能 或作整体处理后,达到准确而又简捷地解决问题的目的方法叫作整体代入法. 例1 已知三棱锥的三个侧面两两互相垂直,它们的侧面积分别是6, .

4,3,那么该三棱锥的体积等于

【分析】由题意联想到长方体,把三棱锥放置于长方体内,整体代入,解决 问题. 【答案】4

(例1) 【解析】由题意可联想到长方体模型,如图,设三条棱长分别为x,y,z,则

1 1 1 2 xy=6, 2 xz=4, 2 yz=3,有xy=12,xz=8,yz=6,即 1 (xyz)2=12?8?6=4?3?4?2?6=242,于是xyz=24,故所求体积V= 6 xyz=4.

练习 M+m= .

(x ? 1) 2 ? sinx x2 ? 1 设函数f(x)= 的最大值和最小值分别为M,m,则

【答案】2

(x 2 ? 1) ? 2 x ? sinx 2 x ? sinx 2 x ? sinx 2 2 2 x ?1 【解析】f(x)= =1+ x ? 1 ,则f(x)-1= x ? 1 为奇函数,
所以[f(x)-1]max+[f(x)-1]min=0 ? M-1+m-1=0 ? M+m=2.

分析法 根据题设条件的特征,如数值特征、结构特征、位置特征等,进行观察、分析,从 而得出正确的结论. 例1 如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形满足条件

时,有A1C⊥B1D1(填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能性的情形).

(例1) 【分析】由所给的四棱柱为直棱柱知A1C1为A1C在平面A1B1C1D1上的射影,只需 B1D1⊥A1C1即可. 【答案】B1D1⊥A1C1 【解析】因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,故A1C1为A1C在平面A1B1C1D1上的 射影,从而要使A1C⊥B1D1,只需B1D1与A1C1垂直即可,故底面四边形A1B1C1D1只需满足 条件B1D1⊥A1C1即可.

【专题突破】
分类解密 简易逻辑问题 例1 对于△ABC,有如下四个结论: 专题突破

①若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形;

②若sinB=cosA,则△ABC是直角三角形; ③若sin2A+sin2B>sin2C,则△ABC是锐角三角形;

a
④若

b

c

cos

A B C cos cos 2= 2= 2 ,则△ABC是等边三角形.
.

其中正确的结论个数是 【答案】 1

【解析】①不对,可能2A+2B=π ;②不对,如B=120°,A=30°;③不对,仅

A B C 能说明C为锐角;④对,由正弦定理可得sin 2 =sin 2 =sin 2 ,即A=B=C.
【点评】本题主要使用了特殊值法.当填空题已知条件中含有某些不确定的量, 但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以将题中 变化的不定量选取一些符合条件的恰当的特殊值 (或特殊函数、特殊角、特殊数列、 特殊图形、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理,从而得出探求 的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.

例2 的充要条件是

在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+b,b∈R与曲线x= .

1-y 2

相切

【答案】b=- 2

|b| 【解析】易得 2 =1,且b<0,即b=- 2 .
【点评】要理解必要不充分、充分不必要、充要条件的意义,准确判断命题 之间的相互关系.如果p ? q,p是q的充分条件,q是p的必要条件;如果p ? q且q p, p是q的充分不必要条件;如果p q且q ? p,p是q的必要不充分条件,如果p ? q, p是q的充要条件.

练习

(2015?扬州中学)“M>N”是“log2M>log2N”成立的



件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

【答案】必要不充分 【解析】因为当M>N时,不确定两个数字的正负,不一定得到log2M>log2N,即 前者不一定能推出后者; 当log2M>log2N时,根据对数函数的单调性知有M>N,即后者可以推出前者, 所以“M>N”是“log2M>log2N”成立的必要不充分条件.

立体几何中体积、面积的计算 例1 (2014?泰州期末)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为棱AA1的 .

中点.若AA1=4,AB=2,则四棱锥B-ACC1D的体积为

(例1) 【答案】2 3 【解析】方法一:过点B作BE⊥AC,垂足为E,因为平面ABC⊥平面ACC1A1,且

1 平面ABC∩平面ACC1A1=AC,所以BE⊥平面ACC1A1.又因为梯形ACC1D的面积为 2 1 VBACC1D 3 ?(2+4)?2=6,所以 = ?6? 3 =2 3 .
方法二: 体积为2 3 . 【点评】求几何体体积的关键是找“高”,如果高是现存的,需要证明线面 垂直,若题目中没有高,往往是根据面面垂直的性质定理作出高,求三棱锥的体积 也可以采用等体积来转化.

VBACC1D

1 V V V =3 BACD ,而 BACD = DABC = 3 ? 3 ?2,所以四棱锥B-ACC1D的

例2

如图(1),在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=1,BC=2,AC= 5 , .

AA1=3,M为线段BB1上的一动点,则当AM+MC1最小时,△AMC1的面积为

(例2(1)) 【分析】本题中点M在线段BB1上移动时,MA和MC1两者都在变化中,无法直接 求出距离之和的最小值.在平面几何中三角形两边之和大于第三边,且当三点共线 时,可以得到两边之和等于第三边,故利用该特征将该三棱柱的侧面展开转化为平 面几何进行研究. 【答案】 3

(例2(2)) 【解析】将三棱柱侧面展开后知,AM+MC1最小可以等价为在矩形ACC1A1中求 AM+MC1的最小值.如图(2),当A,M,C1三点共线时,AM+MC1最小. 又AB=1,BC=2,所以AM= 2 ,MC1=2 2 .又AC1= 9 ? 5 = 14 ,

AM 2 ? C1M 2 -AC12 2 ? 8-14 1 3 2 AM ? C M 2 ? 2 ? 2 2 1 所以cos∠AMC1= = =- 2 ,所以sin∠AMC1= 2 .

1 3 所以△AMC1的面积为S= 2 ? 2 ?2 2 ? 2 = 3 .

【点评】立体几何中相邻两个面之间的两点间路径距离最短问题,都可以转 化为平面几何中两点间距离最短,空间问题向平面问题转化,使得问题简化.

练习1 该圆柱的体积为

已知一圆柱的侧面展开图是长和宽分别为3π 和π 的矩形,则 .

3π 2 9π 2 或 4 【答案】 4

3 【解析】有两种情况:①圆柱的底面周长为3π 时,底面半径为 2 ,圆柱体积
9π 2 V=π r2h= 4 ; 3π 2 1 ②圆柱的底面周长为π 时,底面半径为 2 ,圆柱体积V=π r2h= 4 .

练习2

设正四棱锥的侧棱长为1,则其体积的最大值为

.

4 3 【答案】 27

1 【解析】方法一:设正四棱锥的底面边长为x,则体积V= 3 x2
2 6 x 4 (2-x 2 )

x2 12

=



4 32 4 3 记y=t2(2-t),t>0,利用导数可求得当t= 3 时,ymax= 27 ,此时Vmax= 27 . 1 2 2 方法二:设正四棱锥的侧棱与底面所成角为θ ,则V= 3 ?2cos θ ?sinθ = 3 π (1-sin2θ )?sinθ ,0<θ < 2 ,

3 2 3 4 3 记y=(1-t )t,0<t<1,利用导数可求得当t= 3 时,ymax= 9 ,此时Vmax= 27 .
2

三角形与三角函数问题

π 例1 (2015?大庆模拟)若满足条件AB= 3 ,C= 3 的△ABC有两个,则BC边
的长的取值范围是 【答案】( 3 ,2) .

π 【解析】因为C= 3 ,AB= 3 ,设BC=a,
3 AB BC a 3 则由正弦定理,得 sinC = sinA ,即 2 = sinA ,

? π 2π ? a ? , ? 2 解得sin A= ,由题意得,当A∈ ? 3 3 ? 时,满足条件的△ABC有两个,
3 a 所以 2 < 2 <1,解得 3 <a<2,则BC的取值范围是( 3 ,2).
【点评】由已知条件中C的度数,AB 及BC的值,根据正弦定理用 a表示出sin A , 由C的度数及正弦函数的图象可知满足题意△ABC有两个A的范围,然后根据A的范围, 利用特殊角的三角函数值即可求出sin A的范围,进而求出BC的取值范围.

π? ?π ? ? ? ? x ? ? ? ,π ? 4 ? 在? 2 ? 上单调递减,则ω 例2 已知ω >0,函数f(x)=sin ?
的取值范围是 .

?1 5? ? ,? 【答案】 ? 2 4 ?

π? ? ??x ? ? 4 ? 的图象可看作是由函数f(x)=sin x的图象先向左 【解析】函数f(x)=sin ?

π? ? π ?x? ? 4 ? 的图象,再将图象上所有点的横坐标缩小到 平移 4 个单位长度得到f(x)=sin ?

1 原来的 ? 倍,纵坐标不变得到的,
π? π? ? ? π 5π ? ? ? x ? ? 的减区间是 ? , ? ??x ? ? 4? 4?在 ? 4 4 ? ,所以要使函数f(x)=sin ? 而函数f(x)=sin ?
?π 1 π ? ? , ? 1 ?4 ? 2 解得 ? ?π ? 5 ? 5π ? 1 ? π, 2 ? ,π ? ? 2 4 ? ? ? 上是减函数,需满足 ? ≤ω ≤ 4 .

π? ? ? 2x ? ? 3 ? 的最大 例3 (2015?成都外国语)已知函数f(x)=asin 2x+cos ?
值为1,则a= 【答案】0或 3 .

π ? ? a- 3 ? ? 1 ? 2 x ? ? ? ? ? ? 2 3 ?=? ? sin 2x+ 2 cos 2x 的最大 【解析】因为函数f(x)=asin 2x+cos ?
值为1,
? 3? 1 a ? ? ? 2 ? ? ? + 4 =1,解得a=0或 3 . 所以
2

【点评】研究三角函数的性质,一般先化成一个角的三角函数再进行解答, 本意要注意应用asin x+bcos x的最值的结论进行作答.

3 练习1 若cosα cos(α +β )+sinα sin(α +β )=- 5 ,β 是第二象限角,
则tan2β = .

24 【答案】 7 3 【解析】因为cosα cos(α +β )+sinα sin(α +β )=cos(α +β -α )=cosβ =- 5 ,且
β 是第二象限角,

2tan? 24 4 4 2 所以sinβ = 5 ,tanβ =- 3 ,所以tan2β = 1-tan ? = 7 .

练习2

在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2-b2= 3 .

bc,sinC=2 3 sinB,则A= 【答案】30°

【解析】由sinC=2 3 sinB及正弦定理得c=2 3 b,代入a2-b2= 3 bc,得a2-b2= 3
2 2 2 b 2 ? c 2 -a 2 b ? 12b -7b 4 3b2 b?2 3 b=6b2,即a2=7b2,又c2=12b2,由余弦定理cosA= 2bc = =

3 4 3 = 2 ,又A∈(0°,180°),所以A=30°.

6

函数的零点问题 例1 已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间 .

[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围是

? 1? ? 0, ? 【答案】 ? 4 ?
【解析】当x∈[-1,0]时,-x∈[0,1],所以f(-x)=-x=f(x).

?4k ? 1, 1 ? k ? 0 , 又因为f(x)的周期为2,所以根据数形结合有 ? 所以0<k≤ 4 .

?2x ,x ? 0, ? 例2 设函数f(x)= ?log 2 x,x ? 0, 则函数y=f(f(x))-1的零点个数
为 . 【答案】2 【解析】令f(x)=t,函数y=f(t)-1的零点为t1=0,t2=2. 由f(x)=0,得x1=1;由f(x)=2,得x2=4,故有2个零点.
2) ?1-|x-1|,x ? (-? ,, ? ?1 f (x-2),x ? [2, ? ? ), ? 2 ? 设函数f(x)= 则函数F(x)=xf(x)-1的零点

练习1 的个数为 【答案】6 .

1 【解析】由题意知,F(x)=xf(x)-1的零点,即函数f(x)与y= x 的图象的交点.
?1? ?3? 1 ? ? ? ? 作出x∈(-∞,2)时函数f(x)的图象,且f(0)=f(2)=0,f(1)=1,f ? 2 ? =f ? 2 ? = 2 .

(练习1)

1 1 当x∈[2,+∞)时,f(4)= 2 f(2)=0,f(6)= 2 f(4)=0,?
依次类推,易得f(4)=f(6)=f(8)=?=f(2n)=0.

1 1 1 1 又f(3)= 2 f(1)= 2 ,同理,f(5)= 2 f(3)= 4 ,
1 1 f(7)= 2 f(5)= 8 ,作出x∈[2,+∞)的函数f(x)的图象如图所示,显然零点共6
个,其中左边1个,右边5个.

练习2

若函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则函 .

数F(x)=f(x)-|log4x|的零点个数为 【答案】4

(练习2) 【解析】因为f(x+1)=f(x-1),所以函数f(x)的周期为2,且x∈[-1,1]时, f(x)=x2,在同一平面直角坐标系中作出函数f(x),y=|log4x|(x>0)的图象如图所示, 由图象可知,交点个数是4,即F(x)的零点个数为4.

函数的性质问题

1-x 例1 (2014?淮安、宿迁摸底)已知函数f(x)=loga b ? x (0<a<1)为奇函
数,且当x∈(-1,a]时,函数f(x)的值域是(-∞,1],则实数a+b的值为 【答案】
2

.

1-x 【解析】由 b ? x >0解得-b<x<1(b>0).又奇函数定义域关于原点对称,故b=1,

1-x 2 1-x 即f(x)=loga 1 ? x (0<a<1).又g(x)= x ?1 =-1+ x ?1 在x∈(-1,a]上单调递减,且
0<a<1,故f(x)在x∈(-1,a]上单调递增.又因为函数f(x)的值域是(-∞,1],故 g(a)=a,即a2+a=1-a,解得a= 2 -1,所以a+b= 2 . 【点评】本题易忽视奇函数的定义域对称的条件,而不能求出b的值,从而使 得题目无法继续解下去.

?1 ? 1? ? 4 x ,x ? ?0, ?, ? ? 2? ? ? π ?- x ? 1,x ? ? 1 ,, 1? ? ? 2 ? ? g(x)=asin 6 x例2 (2014?无锡期末)设函数f(x)= ?
a+2(a>0),若存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数a的取值范围 为 . 【分析】先分别求出函数f(x)和g(x)的值域,再根据条件建立这两个函数值域 之间的关系并求出实数a的取值范围. 【答案】[1,4]

? 1? ?1 ? ?1 ? 0,? , 1? 1? ? , ? ? 【解析】对于函数f(x),当x∈ ? 2 ? 时,f(x)∈ ? 2 ? ;当x∈ ? 2 ? 时,f(x)∈

? 1? 0, ? ? ? 2 ? ,从而当x∈[0,1],函数f(x)的值域为D1=[0,1].对于函数g(x),因为

π π π 1 π 1 0≤x≤1,0≤ 6 x≤ 6 ,0≤sin 6 x≤ 2 ,所以2-a≤asin 6 x-a+2≤2- 2 a,从而当
1 ? ? 2-a, 2- a ? ? 2 ? (a>0).因为存在x1,x2∈[0,1], x∈[0,1]时,函数g(x)的值域为D2= ?

1 使f(x1)=g(x2),所以D1∩D2≠ ? .若D1∩D2= ? ,则2- 2 a<0或2-a>1,解得0<a<1或a>4,
所以当D1∩D2≠ ? 时,1≤a≤4,即所求实数a的取值范围是[1,4]. 【点评】本题求函数f(x)和函数g(x)的值域并不困难,关键在于先求D1∩D2= ? 时,实数a的取值范围,再用补集的思想求实数a的取值范围,从而得到本题的最终 答案,这种正难则反的思想希望同学们掌握.

练习 1 -x2+1}的最小值为

?a,a ? b, ? 对 a , b∈R ,记 max{a , b}= ?b,a ? b, 则函数 f(x)=max{|x+1| ,
.

(练习1) 【答案】0 【解析】由题意知函数f(x)是两个函数y1=|x+1|,y2=-x2+1中的较大者,作出两 个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则 f(x)的图象是图中的实线部分, 由图象易知f(x)min=0.

1 练习2 已知函数f(x)= 3 x3+2x,若对任意的t∈[-3,3],f(tx2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围是 .

? 1? ? -1, ? 【答案】 ? 2 ?

1 【解析】易知函数f(x)= 3 x3+2x是R上的奇函数且单调递增,f(tx-2)+f(x)<0可化
为f(tx-2)<f(-x),即tx-2<-x,问题变为g(t)=tx+x-2<0在区间[-3,3]上恒成立,

? g (-3) ? 0, 1 ? 故有 ? g (3) ? 0, 解得-1<x< 2 .

导数的应用
?- x ? a,x ? 0, ? 1 ? x ? ,x ? 0, ? x 设函数f(x)= ? 若f(0)是f(x)的最小值,则实数a的取

例1 值范围是

.

【答案】(-∞,2]

【解析】由题意知,当x>0时,f(x)的极小值为f(1)=2;当x≤0时,f(x)的最小 值为f(0)=a,所以f(0)是f(x)的最小值,则a≤2.

例2 值范围是

若不等式|ax3-lnx|≥1对任意的x∈(0,1]恒成立,则实数a的取 .

? e2 ? ?? ? ? , 3 ? 【答案】 ?
1 【解析】令x=1,可得|a|≥1,即a≤-1或a≥1.令g(x)=ax3-lnx,g'(x)=3ax2- x
3ax 3 -1 = x .
3ax 3 -1 ①当a≤-1时,对任意的x∈(0,1],g'(x)= x <0,g(x)在(0,1]上单调递
减,g(x)min=g(1)=a≤-1,此时g(x)∈[a,+∞),|g(x)|的最小值为0,不适合题意.

1 3ax 3 -1 3 ②当a≥1时,由g'(x)= x =0,解得x= 3a ,可知当x∈(0,1]时,|g(x)|
? 1 ? e2 1 1 3 ? ? ? 3a ? ? = 3 + 3 ln(3a)≥1,解得a≥ 3 .故所求实数a的取值范围是 的最小值为g ?

? e2 ? ? ?? ? , ?3 ?.
【点评】导数的运算与其它知识的综合是常见考题,可以将导数的几何意义 与数列、方程、不等式恒成立、基本不等式等知识综合,考查等价转化、函数与方 程、分离参数等数学思想方法.

练习1 取值范围是

当x∈[-2,1]时,若不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的 .

【答案】[-6,-2]

【解析】不等式ax -x +4x+3≥0变形为ax ≥x -4x-3.当x=0时,0≥-3,

3

2

3

2

x 2 -4 x-3 3 故实数a的取值范围为R;当x∈(0,1]时,a≥ x , x 2 -4 x-3 - x 2 ? 8 x ? 9 -(x-9)(x ? 1) 3 x4 x4 记f(x)= x ,f'(x)= = >0,
故函数f(x)单调递增,则f(x)max=f(1)=-6,故a≥-6.

x 2 -4 x-3 x3 -4 x-3 3 3 当x∈[-2,0)时,a≤ x ,记 f(x)= x ,令f'(x)=0,得x=-1或
x=9(舍去), 当x∈(-2,-1)时,f'(x)<0;当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,故f(x)min=f(-1)=-2, 则a≤-2, 综上,实数a的取值范围为[-6,-2].

练习2 取值范围为

设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,则实数a的 .

【答案】(-∞,-1) 【解析】利用导数将问题转化为导函数在(0,+∞)有零点,再利用分离参数 的方法求解. 由条件可得y'=ex+a=0在(0,+∞)上有解,所以a=-ex<-1. 【点评】分离参数法,导数经常与函数有极值点、不等式恒成立等综合应用, 函数有极值点等价转化为导函数等于0有解,而不等式恒成立又是通过分离参数转 化为函数最值问题,体现了导数的工具作用.

不等式与线性规划

例1

(2014?福建卷)已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1,设平面区域Ω =

? x ? y -7 ? 0, ? ? x-y ? 3 ? 0, ? y ? 0, ? 若圆心C∈Ω ,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大值为

.

(例1) 【答案】37 【解析】a2+b2即圆心(a,b)到原点O的距离的平方.作出不等式组表示的可行域 如图所示,则当圆心为A(6,1)时,OA最长,此时(a2+b2)max=62+12=37.

例2

? x 2 -2,x ? 0, ? 已知函数f(x)= ?3x-2,x ? 0, 若|f(x)|≥ax在x∈[-1,1]上恒成立,
.

则实数a的取值范围是 【答案】[-1,0]

?2 ? ? -x ? 2 【解析】当x∈[-1,0]时,|f(x)|=2-x ≥ax,所以a≥ ? x ?max =-1;
当x∈(0,1]时,|f(x)|=|3x-2|≥ax恒成立,作出图象即可得a≤0, 所以不等式在x∈[-1,1]上恒成立时,实数a的取值范围是[-1,0]. 【点评】分段函数是函数的热点问题,将分段函数与解不等式、不等式恒成 立等综合又是最新命题热点,需要利用分段函数的解析式将问题转化为一般不等式 问题,注意何时取交集、并集.

练习1

已知P(x,y)为函数y=x2-1(x> 3 )图象上一动点,记m=

3x ? y-5 x ? 3 y -7 x-1 + y -2 ,则当m最小时,点P的坐标为
【答案】(2,3)

.

3x ? x 2 -6 x ? 3 x 2 -10 x2 -3 x-1 x-1 + x 2 -3 =6+ x-1 + x2 -3 . 【解析】方法一:m=
x2 -3 x-1 2 当且仅当 x-1 = x -3 ,即x=2时m取得最小值,此时点P的坐标为(2,3).

3x-3 ? y-2 x-1 ? 3 y -6 y -2 x -1 y -2 x-1 方法二:m= + =6+ x-1 + y -2 .
y -2 x -1 当且仅当 x -1 = y -2 时,m取得最小值.以下同方法一.

【点评】用基本不等式研究最值,具有重要意义,要注意构造应用基本不等 式求最值的条件,同时要特别注意基本不等式应用的条件是否具备,特别是等号能 否取到,而且还要在条件不满足的情况下能够求解或者转化,如等号取不到时,要 借助函数图象,利用函数单调性求解最值等.

练习2 取值范围是

2 1 已知x>0,y>0, x + y =1,若x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的

.

【答案】(-4,2)

?2 1? ? ? ? 2 2 【解析】x+2y>m +2m恒成立可知m +2m<(x+2y)min,而x+2y=(x+2y) ? x y ? =4+
4y x x + y ≥4+4=8,所以m2+2m<8,解得-4<m<2.

平面向量的应用问题

(2014?天津卷)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分 ??? ? ??? ? 别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=λ DF.若 AE ? AF =1,则实数λ = . 【答案】2

例1

(例1) 【解析】建立如图所示的直角坐标系,则A(-1,0),B(0,- 3 ),C(1,0),
? ?1 2 3 ? ?1 ? 4 2 3 ? ??? 3? , ? , 3 ? , , AF ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?3 ? 3 ? ? ? 3 ? ? ,F ? ? ? ,所以 AE = ? 3 ? D(0, 3 ),E ? =
?1 3? ? 1 , 3 ? ? ? ?? ? ? ? ?.

4 ? 1 ? 2 3 ? 3- 3 ? ? ??? ? ??? ? ? ? ? 1? 3 ? ? ? 3 ? ? ? =1,解得λ =2. ? ? AE AF 因为 ? =1,所以 -

例2

已知向量a,b满足|a|= 2 ,|b|=1,且对一切实数x, .

|a+xb|≥|a+b|恒成立,则a与b的夹角大小为
3π 【答案】 4

【解析】由|a+xb|≥|a+b|,得(a+xb)2≥(a+b)2,将上式展开化简,得(2x2)a?b+x2-1≥0. 设a与b的夹角大小为θ ,由|a|= 2 ,|b|=1,得x2+2 2 xcos θ -1-2 2 cos θ ≥0对一切实数x恒成立,

3π 2 则Δ =8cos θ -4(-1-2 2 cos θ )≤0,解得cos θ =- 2 ,所以θ = 4 .
2

1 ???? ??? ? ???? ??? ? AC t AB AB 练习1 (2015?福建卷)已知 ⊥ ,| |= ,| AC |=t,若P是 ??? ? ???? AB 4 AC ? ???? ? ??? ? ??? ??? ? ??? | AB | | AC | PC AP PB △ABC所在平面内一点,且 = + ,则 ? 的最大值为 .

【答案】13

(练习1)

?1 ? 0? ? , t ? ? ,C(0,t), 【解析】以A为坐标原点,建立平面直角坐标系如图所示,则B

? ?1 ? ??? -4 ? , PC ??? ? ??? ? ? -1, ? AP =(1,0)+4(0,1)=(1,4),即P(1,4),所以 PB = ? t =(-1,t-4),
1 ?1 ? 1 1 ? · 4t ??? ? ??? ? ? 4t ? t t PC ? ? t t PB 因此 ? =1- -4t+16=17,因为 +4t≥2 =4,
1 1 ? ??? ? ??? 所以 PB ? PC 的最大值等于13,当 t =4t,即 t= 2 时取等号.

练习2

(2015?天津卷)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,

? ???? 1 ???? 2 ??? ??? ? BC, DF DC BC=1,∠ABC=60°,点E和点F分别在线段BC和CD上,且 BE = 3 =6 ,则 ??? ? ??? ? AE ? AF = .
29 【答案】 18

【解析】在等腰梯形ABCD中,由AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°,
??? ? ??? ? ? 1, ???? 1 AB ???? ??? AB ???? 得 AD ? BC = 2 ? AD =1, DC = 2 , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? 所以 AE ? AF =( AB + BE )?( AD + DF )

? 2 ??? ? ? ? ???? 1 ??? ?? ? ??? ? AB ? BC ? ? AD ? AB ? 3 12 ? ?? ? =?
? ? 2 1 ??? ? 2 ??? 1 ??? ??? ? ???? ? BC ???? AB BC ??? 3 12 18 AB AD AD AB = ? + ? + + ? 1 1 1 29 =1+ 3 + 3 - 18 = 18 .

数列的应用问题 例1 (2014?苏北四市期末)设等比数列{an}的前n项和为Sn,若a4,a3,a5 .

成等差数列,且Sk=33,Sk+1=-63,其中k∈N*,则Sk+2= 【答案】129

【解析】设等比数列{an}的公比为q,则由题意得2a3=a4+a5, 也就是2a3=a3q+a3q2,即q2+q-2=0,解得q=1或q=-2. 由于Sk=33,Sk+1=-63,所以q=1不合题意,舍去; 当q=-2时,ak+1=Sk+1-Sk=-63-33=-96,从而ak+2=ak+1?q=-96?(-2)=192, 所以Sk+2=Sk+1+ak+2=-63+192=129.

例2

已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1),且a1=9,设其前n项之和为 .

1 Sn,则满足不等式|Sn-n-6|< 125 的最小整数n=

【答案】7

1 1 【解析】由3an+1+an=4(n≥1)得(an+1-1)=- 3 (an-1),即{an-1}是以- 3 为公比的

等比数列,
? 1? 1- ? - ? ? 3? n -1 n ? 1? ? 1? 1 1 1 6?- ? 1? ?- ? n 3 +n=6+n- ? 3 ? ? 6? 3 < 125 ? n≥7. 所以an=8 ? 3 ? +1,所以Sn=8?
n

1 即满足不等式|Sn-n-6|< 125 的最小整数n=7.

练习1

已知数列{an}满足a1=m(m为正整数),an+1=

? an ? ,当an为偶数时, ?2 ? ?3an ? 1,当an为奇数时. 若a6=1,则m所有可能的取值为

.

【答案】4,5,32
1 【解析】逆向思考,由a6=1得a5=2或0(舍去),再由a5=2得a4=4或a4= 3 (舍去),

再由a4=4得a3=1或a3=8.由a3=1得a2=2,则a1=4;
7 由a3=8得a2=16或a2= 3 (舍去),由a2=16得a1=32或a1=5,

所以a1=4或a1=5或a1=32.

S n2 2 2 2 练习2 设Sn为数列{an}的前n项和,若不等式 an + n ≥m a1 对任意等
差数列{an}及任意正整数n恒成立,则实数m的最大值为
1 【答案】 5

.

? a1 ? an ? S n2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? 2 【解析】由 an + n ≥m a1 可知an + ? 2 ? ≥m a1 ,即5 an +2a1an+ a1 ≥4m a1

2

①,
? an ? ? ? a ①式对任意正整数n恒成立,a1=0时显然成立.当a1≠0时,①式化为5 ? 1 ? +2
2

? an ? ? ? ? a1 ? +1≥4m ②,
an 令 a1 =t,则②式化为5t2+2t+1≥4m,
由题意,f(t)=5t2+2t+1≥4m对任意的实数t恒成立,等价于f(t)min≥4m,
? 1? 4 1 4 4 1 ?t ? ? 而f(t)=5 ? 5 ? + 5 ,当t=- 5 时,有f(t)min= 5 ,所以 5 ≥4m,m≤ 5 .
2

直线与圆 例1 已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2.

2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积为2,则k的值为 【答案】2 【解析】由圆的方程得x +(y-1) =1,所以圆心为(0,1),半径r=1,四边形 PACB的面积S=2S△PBC,
1 因为四边形PACB的最小面积为2,所以S△PBC的最小值为1,而S△PBC= 2 r?PB,即
2 2

PB的最小值为2,

|5|
2 2 2 此时PC最小为圆心到直线的距离,此时d= k ? 1 = 1 ? 2 = 5 ,即k2=4,因

为k>0,所以k=2.

例2

已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别 .

是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则PM+PN的最小值为 【答案】5 2 -4

【解析】两圆的圆心和半径分别为C1(2,3),C2(3,4),r1=1,r2=3且两圆内 含.C1:(x-2)2+(y-3)2=1关于x轴对称的圆的方程为C3:(x-2)2+(y+3)2=1,圆心C3(2, -3),所以PC1=PC3,所以动点P到圆心C3(2,-3),C2(3,4)的距离之和的最小值为
2 2 C2C3= (2-3) ? (-3-4) = 50 =5 2 ,所以PM+PN的最小值为C2C3-1-3=5 2 -4.

练习1

已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将 .

△ABC分割成面积相等的两部分 ,则实数b的取值范围是
? 2 1? 1? ? ? 2 , 2? ? ? 【答案】

(练习1(1)) 【解析】设直线y=ax+b与直线BC:x+y=1的交点为D(xD,yD),与x轴的交点为E

? b ? 0? ?- , ? a ? ,由题意可知,要平均分割三角形,则b>0,所以点E只能处于x轴负半轴上,
1 当点E在点A与原点之间时,如图(1)可得△DEB的面积为 2 , a?b 联立直线y=ax+b与直线BC:x+y=1,得yD= 1 ? a ,

1? b? a?b 1 1 ?1 ? ? 2 2 所以有S△BDE= BE?yD= ? a ? ? 1 ? a = 2 ,

b2 1 整理得a= 1-2b >0,解得b< 2 .
当点E与点A(-1,0)重合时,如图(2)所示,直线y=ax+b平分△ABC的面积,必

?1 1? ? ,? 须过B,C的中点 ? 2 2 ? ,
1 1 1 此时可确定直线y=ax+b的方程为y= 3 x+ 3 ,此时b= 3 .

(练习1(2))

(练习1(3))

当点E处于点A左侧时,如图(3)所示,此时若直线y=ax+b平分△ABC的面积,
1 则0<a<1,0<b<1,且△CDF的面积为 2 , 1-b 联立直线y=ax+b与直线BC:x+y=1得xD= 1 ? a , 1-b 联立直线y=ax+b与直线BC:y-x=1,得xF= a -1 , 2 1 1 1 2 1a 所以有S△CDF= 2 (1-b)(xD-xF)= 2 (1-b)2 = 2 ,a2=1-2(1-b)2>0,

? 2 1 ? 2 2 ?b? } ?b|12 2 ? 解得1- 2 <b<1+ 2 .综上所述,实数b的取值范围为 ? .

练习2 则直线AB的方程为

过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B, .

【答案】2x+y-3=0 【解析】方法一:设点P(3,1),圆心为C,设过点P的圆C的切线方程为y1=k(x-3),

4 2 1 ? k 由题意得 =1,解得k=0或 3 ,即切线方程为y=1或4x-3y-9=0.

|2k -1|

? y ? 1, 1 1-0 1 ? 2 2 联立 ?(x-1) ? y ? 1, 得一切点为(1,1).又因为kPC= 3-1 = 2 ,所以kAB=- kPC =-2,
即弦AB所在直线的方程为y-1=-2(x-1),整理得2x+y-3=0. 方法二:设点P(3,1),圆心为C,以PC为直径的圆的方程为(x-3)(x-1)+y(y1)=0,

? x 2 -4 x ? y 2 -y ? 3 ? 0 ①, ? 2 2 整理得x2-4x+y2-y+3=0,联立 ?(x-1) ? y ? 1 ②, 两式相减得2x+y-3=0.

圆锥曲线问题 例1 已知F1,F2为椭圆的两个焦点,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,若 .

PF1⊥PQ且PF1=PQ,则椭圆的离心率为

c 【分析】利用椭圆定义,再根据椭圆的几何性质e= a 及已知条件,寻求a,b,

c之间的关系,进而求出椭圆的离心率.

(例1) 【答案】 6 - 3 【解析】如图,设PF1=m,则PQ=m,F1Q= 2 m.由椭圆的定义得, PF1+PF2=QF1+QF2=2a,所以PF1+PQ+F1Q=4a,即( 2 +2)m=4a,所以m=(4-2 2 )a. 又PF2=2a-m=(2 2 -2)a,在Rt△PF1F2中,P F1 +P F2 =(2c)2,
2 2

2 2 2 2 2 即(2 2 -2) a +(4-2 2 ) a =4c ,

c2 c 2 2 所以 a =9-6 2 =3( 2 -1) ,所以e= a = 6 - 3 .
【点评】解答本题的关键是把已知条件转化为a,b,c之间的关系.求椭圆的离
c 心率e的值,即求 a 的值,所以解答这类题目的主要思路是将已知条件转化为 a,b,

c之间的关系,如特征三角形中三边的关系、椭圆的定义、c2=a2-b2等关系都与离心 率有直接联系.

x2 y 2 例2 已知椭圆C: 4 + 3 =1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆C
上且直线PA2的斜率的取值范围为 ? 是 .

-2, -1?

,那么直线PA1的斜率的取值范围

?3 3? ? ,? 【答案】 ? 8 4 ?
【解析】椭圆的左、右顶点分别为(-2,0),(2,0),设P(x0,y0),则
2 y0 y0 y0 2 kPA1 kPA2 x0 ? 2 x0 -2 x0 ? = ? = -4 ,
2 2 3 x0 y0 3 3 2 2 4k k k k 而 4 + 3 =1,即 y0 = 4 (4- x0 ),所以 PA1 ? PA2 =- 4 ,所以 PA1 =- PA2 ∈

?3 3? ? ,? ?8 4?.
x2 y 2 2 2 练习1 设双曲线 a - b =1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线
的右支上,且PF1=4PF2,则此双曲线离心率的最大值为
5 【答案】 3

.

2a 8a 【解析】因为PF1=4PF2,又因为PF1-PF2=2a,所以PF2= 3 ,PF1= 3 . 2a 5 因为PF2≥c-a,所以 3 ≥c-a,所以e≤ 3 .

x2 y 2 2 2 练习2 若椭圆 a + b =1(a>b>0)上的任意一点M(短轴端点除外)与短
轴两个端点B1,B2的连线交x轴于点N和K,点O是坐标原点,则ON+OK的最小值 是 . 【答案】2a 【解析】方法一:(非计算法)当M趋近于B1或B2时,ON+OK的值增大至无穷大, 故凭直觉可知M在长轴端点处时,ON+OK有最小值为a+a=2a(瞬时秒开!).

y0 ? b k 方法二:(计算法)设M(x0,y0)(x0≠0),又B1(0,-b),所以 MB1 = x0 ,所以 y0 ? b 直线MB1:y= x0 x-b.
2 -b2 x0 bx0 -bx0 2 2 令y=0,得xN= y0 ? b ,同理,xK= y0 -b ,而xN?xK= y0 -b >0,即xN与xK同号.

所以ON+OK=|xN+xK|=

bx0 bx - 0 y0 ? b y0 -b

=

-2b2 x0 2 y0 -b2

2 2 x0 y0 2 2 2 ,又M在椭圆上,所以 a + b =1, y0

-2b 2 x0 2 b2 2 b 2 2 2a - 2 x0 x 2 0 2 =b - a ,代入上式,得ON+OK= a = |x0 | ,所以当|x0|=a时,ON+OK有最小值

为2a.

新定义问题

例1

?1? g1 ? ? 2 ? ? 已知x∈(0,+∞),函数f(x)= ,g(x)=lo 2 x,记h(x)=

x

? f (x),f (x) ? g (x), 2 ? g ( x ) , f ( x ) ? g ( x ) , ? 则不等式h(x)≥ 2 的解集为

.

(例1)

? 1? ? 0, ? 【答案】 ? 2 ?
【解析】(数形结合法)记f(x)与 g(x)的图象交点的横坐标为x=x0,

1 ? 1 ? ? 1 ?2 ?1 ? 2 g1 1? ? ? ?2? ? , 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ,得h(x)的图象如图所示, 2 2 因为f = = <1=lo ,所以x0∈

1

2 ? 1? ?1? ?1? 2 的解集为? 0,? ? ? ? ? ? 2? . 且h ? 2 ? =f ? 2 ? = 2 ,所以不等式h(x)≥ 2

例2 3

已知x,y∈R,x ? y=x(x-y),给出以下命题: ②a ? (b+c)=a ? b+a ? c;

(ma) ? b=m(a ? b);

③a ? b=0的充分不必要条件是a=0; ④a ? (b ? c)=(a ? b) ? c. 其中正确的命题是 【答案】③ 【解析】(筛选法)命题①,(ma) ? b=ma(ma-b)=m2a2-mab,m(a ? b)=m[a(ab)]=m(a2-ab)=ma2-mab,所以(ma) ? b=m(a ? b)不成立,即该命题不正确; 命题②,a ? (b+c)=a[a-(b+c)]=a2-ab-ac,a ? b+a ? c=a(a-b)+a(a-c)=2a2-ab-ac, 所以a ? (b+c)≠a ? b+a ? c,即该命题不正确; .(填序号)

命题③,因为a ? b=a(a-b),所以a ? b=0的充要条件是a(a-b)=0,解得a=0或 a=b,所以a=0是a ? b=0的充分不必要条件,该命题正确; 命题④,a ? (b ? c)=a ? [b(b-c)]=a ? (b2-bc)=a[a-(b2-bc)]=a2-ab2+abc, (a ? b) ? c=[a(a-b)] ? c=(a2-ab) ? c=(a2-ab)(a2-ab-c)=(a2-ab)2-c(a2-ab), 显然a ? (b ? c)≠(a ? b) ? c,故该命题不正确.综上,正确的命题是③.

练习1

已知定义在[1,+∞)上的函数f(x)满足:①f(2x)=2f(x);②当 .

x∈[2,4]时,f(x)=1-|x-3|,则集合{x|f(x)=f(36)}中的最小元素是 【答案】12

?9? ?9? 1 ? ? ? ? 【解析】易得f(36)=2f(18)=4f(9)=8f ? 2 ? =16f ? 4 ? =16? 4 =4,由条件可知,
f(x)在[2,4],[4,8],[8,16],?上的最大值依次为1,2,4?,即最大值构成 一个以2为公比的等比数列,结合图象不难发现f(x)=4时x取最小值为12.

练习2

用C(A)表示非空集合A中的元素个数,定义A*B=

?C (A)-C(B),当C(A) ? C(B), ? ?C (B)-C(A),当C(A) ? C(B), 若A={1,2},B={x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0},且A*B=1,由
a的所有可能值构成的集合是S,那么C(S)等于 【答案】3 【解析】(分析法、分类讨论法)由A={1,2}得C(A)=2,而由A*B=1知C(B)=1或 C(B)=3. 由(x2+ax)(x2+ax+2)=0得x2+ax=0或x2+ax+2=0, 当C(B)=1得方程(x2+ax)(x2+ax+2)=0只有实根x=0,这时a=0; 当C(B)=3时,必有a≠0,这时x2+ax=0有两个不相等的实根x1=0,x2=-a,得方 程x2+ax+2=0必有两个相等的实根,且异于x1=0,x2=-a,有Δ =a2-8=0,所以a=±2
2 ,可验证均满足题意,所以S={-2 2 ,0,2 2 },则C(S)=3.

.


第1讲 填空题中的“瓶颈题”

第1讲 填空题中的瓶颈题”_数学_高中教育_教育专区。第1讲 填空题中的瓶颈题” 【突破填空题】第 1讲 填空题中的瓶颈题” (本讲对应学生用书第75~...

35_【答案】

第三部分第1讲 瓶颈题突破——冲刺高分填空题中的瓶颈题” ② 举题说法—...【答案】4 【解析】由题意可联想到长方体模型,如图, (例1) 1 1 1 设三...

第一篇 第1讲 快速解答选择填空题

第一篇 第1讲 快速解答选择填空题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016版...点评 排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时, ...

四年级上册第1至4单元概念题填空题

四年级上册第1至4单元概念题汇总填空题 一.填空 1.240 里有( )个 60,( )个 14 是 112,368 是 23 的( )倍。 )位数。 )位数,试商 2.计算 272÷20...

瓶颈时段卷高考英语的复习策试题1

0 瓶颈时段高考英语的复习策略目前,高三学习处于第一、二轮复习的末期,各科的难度...并且不只是为 了训练基本功,而是应将基础训练应用于高考英语试卷当中直接换取...

第1章习题答案(单选和填空题)_2302_697_20090326180506

第1章习题答案(单选和填空题)_2302_697_20090326180506_教育学_高等教育_教育专区...4、企业综合自动化(P10) 企业综合自动化,是企业生产经营管理中的一系列重要...

1.1第三单元基础测试题(填空题)

1.1第三单元基础测试题(填空题)_语文_初中教育_教育专区。第三单元基础测试题-填空题 1. 《春》的作者是(___),他著有诗集《雪朝》,诗文集《踪迹》,散文集...

试题生物高考卷中的瓶颈效应与解决试

” 二、 审题的“瓶颈效应”与解决对策 通过审题获得解题信息,是解题的第一步...只将它们不清晰地保持在记忆中,加上这些信息抗干扰性差容易 被遗忘;这样就使...

填空题

填空题 网络信息安全习题 网络安全 TCP/IP 体系 第1讲 0.4 较差 4 按网络...“瓶颈”现象 网络安全 网络安全威胁 第4讲 0.6 中 4 环形拓扑结构存在的...

七上第1章知识要点整理(填空题)

七上第1章知识要点整理(填空题)_政史地_初中教育_教育专区。龙文教育—您值得...。 (3)读数时,不能温度计从被测液体中取出。视线应与温度计内液面 (4)...