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复数
选择题 1、若 ( x ?1) ? ( x ? 3x ? 2)i 是纯虚数,则实数 x 的值是( A )
2 2

A

1

B

?1

C

?1

D 以上都不对 A)条件

2、 z1

? (m2 ? m ? 1) ? (m2 ? m ? 4)i, m ? R. z2 ? 3 ? 2i. 则 m ? 1 是 z1 ? z2 的( A 充分不必要 B 必要不充分 C 充要 ) D 既不充分又不必要

3、若 z1 , z2 ? C ,则 z1 ? z2 ? z1 ? z2 是( B A 纯虚数 B 实数 C 虚数

D 无法确定 )

4、 f (n) ? i n ? i ?n ,(n ? N ? ) 的值域中,元素的个数是(B A 2
3

B

3

C

4

D 无数个 B ) D ?

5、 (m ? i) ? R ,则实数 m 的值为( A ?2 3 B

?

3 3

C

? 3

3 2

6、若 x ? C ,则方程 | x |? 1 ? 3i ? x 的解是( C A

) D

1 3 ? i 2 2

B x1 ? 4, x2 ? ?1

C

?4 ? 3i
B )

1 3 ? i 2 2

7、 | z ? 3 ? 4i |? 2 ,则 | z | 的最大值为( A 3 B 7 C 9 D 5

8、已知 z ? ? A i 9、已知 x ? A ?1

1? i , 则 1 ? z 50 ? z100 的值为( A ) 2
B 1 C 2?i D 3

1 1 ? 1 ,则 x1996 ? 1996 的值为( A ) x x
B 1 C ?i D i

10、已知方程 | z ? 2 | ? | z ? 2 |? a 表示等轴双曲线,则实数 a 的值为( A ) A

?2 2

B
2

2 2

C

? 2

D

2

11、复数集内方程 z ? 5 | z | ?6 ? 0 的解的个数是( C ) A 2 B 4 C 6 D 8 )

12、复数 z ? 1 ? cos ? ? i sin ? ,(? ? ? ? 2? ) 的模是( B A

2 cos

?
2

B

?2 cos

?
2

C

2sin

?
2

D

?2 tan

?
2

解答题 1.在复平面上,设点 A、B、C ,对应的复数分别为 i,1, 4 ? 2i 。过 A、B、C 做平行四边形 ABCD ,求此平行四边形的对角 线 BD 的长。 解:由题知平行四边形三顶点坐标为 A(0,1), B(1, 0), C (4, 2) ,设 D 点的坐标为 D ( x, y ) 。

因为 BA ? CD ,得 (?1,1) ? ( x ? 4, y ? 2) ,得 ? 所以 BD ? (2,3) , 则 | BD |? 13 。

??? ?

??? ?

? x ? 4 ? ?1, ? x ? 3 得? ,即 D(3,3) ?y ? 3 ? y ? 2 ? 1.

??? ?

2.设 a , b 为共轭复数,且 (a ? b) ? 3abi ? 4 ?12i ,求 a , b 的值。
2

解:设 a ? x ? yi, b ? x ? yi, ( x, y ? R) 。带入原方程得
2 ? ? 4 x ? 4, 4x ? 3( x ? y )i ? 4 ?12i ,由复数相等的条件得 ? 2 2 ? ?3( x ? y ) ? 12.

2

2

2

解得 ?

? ? ?x ? 1 ? x ? ?1 或? ……….对应四组解略。 y ? ? 3 y ? ? 3 ? ? ? ?
14 ? z 为实数,求 z z ?1

3.已知复数 z 满足 | z ? 4 |?| z ? 4i |, 且 z ?

解: z ? x ? yi, ( x, y ? R) ,因为 | z ? 4 |?| z ? 4i |, 带入得 x ? y ,所以 z ? x ? xi, x ? R 又因为 z ?

14 ? z 14 ? z 14 ? z ? z? 为实数,所以 z ? , z ?1 z ?1 z ?1
2

化简得,所以有 z ? z ? 0 或 | z ? 1| ? 13 由 z ? z ? 0 得 x ? 0 ;由 | z ? 1| ? 13 得 x ? ?2, 或x ? 3 。
2

所以 z ? 0; z ? ?2 ? 2i; z ? 3 ? 3i.

(也可以直接用代数形式带入运算)

4.已知 z, ? 为复数, (1 ? 3i ) ? z 为纯虚数, ? ? 求复数 ? 。

z ,且 | ? |? 5 2 。 2?i

解:设 z ? x ? yi, ( x, y ? R) ,则 (1 ? 3i ) ? z = ( x ? 3 y) ? (3x ? y)i 为纯虚数,所以 x ? 3 y ? 0 , 因为 | ? |?|

z |? 5 2 ,所以 | z |? x 2 ? y 2 ? 5 10 ;又 x ? 3 y 。解得 x ? 15, y ? 5; x ? ?15, y ? ?5 2?i
10 10 ? R ,且 1 ? z ? ? 6 ;(2) z 的实部与虚部都是整数。 z z

所以。

5.求同时满足下列两个条件的所有复数 z ; (1) z ?

解:(1)解得 z ? z ? 0 或 | z |? 10 ,然后解决。 (2)设 z ? x ? yi, ( x, y ? R) ? ? ? 则z?

15 ? 5i ? ? (7 ? i ) 2?i

10 10 10( x ? yi ) 10 10 ? x ? yi ? ? x ? yi ? 2 ? x(1 ? 2 ) ? y(1 ? 2 )i 2 2 z x ? yi x ?y x ?y x ? y2 10 10 ? R ,所以 y (1 ? 2 ) ? 0 。所以 y ? 0或x2 ? y 2 ? 10 。 2 z x ?y
10 10 ? 6 ,所以 x ? R ? ,而 z ? ? 2 10 ? 6 ,所以在实数范围内无解。 z z

因为 z ?

当 y ? 0 时, z ? x ,又 1 ? z ? 当 x ? y ? 10 时,则 z ?
2 2

10 z?z 1 ? z? ? z ? z ? 2 x 。由 1 ? 2 x ? 6 ? ? x ? 3 2 z z

因为 x, y 为正整数,所以 x 的值为 1,或 2,或 3。

时, y ? ?3; 当 x ? 2时, y ? ? 6(舍) ;当 x ? 3时, y ? ?1 。 当 x ?1
则 z ? 1 ? 3i或,z ? 3 ? i 。 6.z=x+yi(x,y∈R),且 2x? y ? i log2 x ? 8 ? (1 ? log2 y)i ,求 z. 解:∵ 2x? y ? i log2 x ? 8 ? (1 ? log2 y)i ,

? 2x? y ? 8 ? 0 ?x ? y ? 3 ∴? ,∴ ? , ? xy ? 2 ?log2 x ? 1 ? log2 y
解得 ?

?x ? 2 ? x ? 1 或? , ∴ z=2+i 或 z=1+2i. ? y ?1 ?y ? 2

7.于 x 的的方程是 x 2 ? (tan? ? i) x ? (2 ? i) ? 0 ;若方程有实数根, 求锐角 ? 和实数根;
2 解:(1)设实数根是 a ,则 a 2 ? (tan? ? i) x ? (2 ? i) ? 0 ,即 a ? a tan? ? 2 ?

?a 2 ? a tan? ? 2 ? 0, (a ? 1)i ? 0 ,∵ a 、 tan ? ? R , ? ?a ? 1 ? 0;
∴ a ? ?1, 且 tan ? ? 1 ,又 0 ? ? ?

?
2

,∴ ? ?

?
4

, a ? ?1 ;


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