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直线与圆高考题汇总


直线与圆
1.圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A. x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 C. ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 B. x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 D. x2 ? ( y ? 3)2 ? 1 ( ) )

2.点 P(4,-2)与圆 x2 ? y 2 ? 4 上任一点的线段的中点

轨迹方程是 A. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 C. ( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 B. ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 D. ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1

3. 已知直线 l1 : (k ? 3) x ? (4 ? k ) y ? 1 ? 0, 与l2 : 2(k ? 3) x ? 2 y ? 3 ? 0, 平行,则 k 得值是( A. 1 或 3 B.1 或 5 C.3 或 5 D.1 或 2 ( C.2
0



4.原点到直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 的距离为 A.1 B. 3

) D. 5

5.将直线 y ? 3x 绕原点逆时针旋转 90 ,再向右平移1个单位长度,所得到的直线为 A. y ? ?

1 1 x? 3 3

B. y ? ?

1 x ?1 3

C. y ? 3x ? 3

D. y ?

1 x ?1 3

6.若直线 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相交于 P、Q 两点,且∠POQ=120°(其中 O 为原点) ,则 k 的值为 ( A.- 3 或 3 B. 3 ) C.- 2 或 2 ( C.x=0 ) D.y=0 D. 2

7.圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1的切线方程中有一个是 A.x-y=0 B.x+y=0
2 2

8.设直线 l 过点 (?2,0) ,且与圆 x ? y ? 1相切,则 l 的斜率是 A. ? 1 二、填空题 B. ?

1 2

C. ?

3 3

D. ? 3

10. 以点(2, ?1 )为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是
2 2 2 2

.

11.若圆 x ? y ? 4 与圆 x ? y ? 2ay ? 6 ? 0(a ? 0) 的公共弦长为 2 3 ,则 a=________. 12.若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的长为 2 2 ,则 m 的倾斜角可以是 ① 15 ② 30 ③ 45 ④ 60 ⑤ 75

其中正确答案的序号是

.(写出所有正确答案的序号)

13.已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 5 和点 A(1,2) ,则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于

14.过原点 O 作圆 x2+y -6x-8y+20=0 的两条切线,设切点分别为 P、Q,
2-

则线段 PQ 的长为



15.已知圆 C 的圆心与点 P(?2,1) 关于直线 y=x+1 对称,直线 3x+4y-11=0 与圆 C 相交于 A, B 两点,且 AB ? 6 ,则圆 C 的方程为_______. 16.已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ,则 C 上各点到 l 的距离的最小值为_______.
2 2

三、解答题 17.(本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 和圆 C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 . (1)若直线 l 过点 A(4, 0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直 程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂 和 l2 ,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标。 直的直线 l1 长与直线 l2 线 l 的 方

1, 【答案】A 2, 【答案】A 3, 【答案】C 4, 【解析】将直线 x ? y ? 6 化为 x ? y ? 6 ? 0 ,圆的半径 r ? 所以圆的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

| 2 ?1 ? 6 | 5 , ? 1?1 2

25 2

【答案】 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

25 2 1 , a

5, 【解析】由已知,两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 y ?

1 | 2 2 a 利用圆心(0,0)到直线的距离 d ? 为 2 ? 3 ? 1 ,解得 a=1. 1 |
【答案】1 6, 【解析】解:两平行线间的距离为 d ?

| 3?1| 1?1
o

? 2 ,由图知直线 m 与 l 1 的夹角为 30o , l 1 的倾斜角为 45o ,所以
0 0

直线 m 的倾斜角等于 30 ? 45 ? 75 或 45 ? 30 ? 15 。
o 0 0

【答案】①⑤ 7, 【解析】由题意可直接求出切线方程为 y-2= ? 以所求面积为 【答案】

1 5 (x-1),即 x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是 5 和 ,所 2 2

1 5 25 ? ?5 ? 。 2 2 4

25 4

【解析】可得圆方程是 ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 5 又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得 PQ ? 4 . 8, 【答案】4 9, (1)设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 由垂径定理,得:圆心 C1 到直线 l 的距离 d ? 42 ? ( 结合点到直线距离公式,得:

2 3 2 ) ? 1, 2

| ?3k ? 1 ? 4k | k 2 ?1
7 24

? 1,

化简得: 24k ? 7k ? 0, k ? 0, or , k ? ?
2

求直线 l 的方程为: y ? 0 或 y ? ?

7 ( x ? 4) ,即 y ? 0 或 7 x ? 24 y ? 28 ? 0 24

(2) 设点 P 坐标为 (m, n) ,直线 l1 、 l2 的方程分别为:

1 1 1 y ? n ? k ( x ? m), y ? n ? ? ( x ? m) ,即: kx ? y ? n ? km ? 0, ? x ? y ? n ? m ? 0 k k k
因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,两圆半径相等。

由垂径定理,得: :圆心 C1 到直线 l1 与 C2 直线 l2 的距离相等。 故有: | ?3k ? 1 ? n ? km |

k 2 ?1

4 1 | ? ?5? n? m| k , ? k 1 ?1 k2

化简得: (2 ? m ? n)k ? m ? n ? 3, 或(m ? n ? 8)k ? m ? n ? 5 关于 k 的方程有无穷多解,有: ?

?2 ? m ? n ? 0 ?m-n+8=0 ,或 ? ?m ? n ? 3 ? 0 ?m+n-5=0

解之得:点 P 坐标为 (? 3 , 13 ) 或 ( 5 , ? 1 ) 。 2 2 2 2

10,答案

D 解析

d?

?5 1 ? 22

? 5。

11,答案 A 12,答案 A 13,答案 C 14,答案 C 15,答案 C 16,答案 17,答案 2

x2 ? ( y ? 1)2 ? 18


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